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CAPÍTULO 6 DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES semicondutores intrínsecos SILÍCIO GERMÂNIO Elétrons (-) Lacunas (+) CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Banda de valência preenchida Energia Semicondutor Banda proibida Banda de condução vazia CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Composição e formação do núcleo NeutronsPrótons Prótons Alta pressão gravitacional no interior das estrelas CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Prótons Neutrons Núcleo Atômico CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Elétrons Núcleo Átomo Órbitas CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Camadas de Energia: k = 2 elétrons l = 8 elétrons m = 18 elétrons n = 32 elétrons 0 = 32 elétrons p = 18 elétrons q = 2 elétrons m = 4 elétrons l = 8 elétrons CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES m = 18 elétrons k = 2 elétrons Silicio -14 n = 4 elétrons m = 18 elétrons l = 8 elétrons CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Germânio - 32 k = 2 elétrons n = 32 elétrons CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES (Sobre Aquecimento) Banda de condução Banda proibida Aquecimento fornece energia aos átomos da banda de valência que saltam p/ a banda de condução CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES (Sobre pressão) Pressão fornece energia aos átomos da banda de valência que saltam p/ a banda de condução Banda de condução Banda proibida CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Condutividade Mobilidade µ Concentração ρ Lacuna ou buraco h Elétron e CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Germânio Mobilidade µ Concentração ρ Lacuna h Elétron e Silício Lacuna h Elétron e 0,360,17 0,0250,12 m Vs 2 Condutividade σ 4,0 C/m3 4,0 C/m 0,11 C/m 0,11 C/m2 3 3 2,1|C/m|-1 0,00162|C/m|2,1|C/m|-1 0,00162|C/m|-1 -1 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Na processo chamado dopagem, um átomo doador de elétron ou lacuna, conhecido como impureza doadora, aumenta significativamente o número de portadores de carga e a condutividade do material Semicondutores intrínsecos satisfazem a lei de ohm, microscopicamente, condutividade mantém constante com o aumento da corrente e na direção da densidade de corrente CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES Doador de elétrons => material semicondutor tipo n Doador de lacunas => material semicondutor tipo p 10 de impurezas, aumenta de 10 a condutividade -7 5 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS DIELÉTRICOS SÃO ARRANJOS MICROSÓPICOS DE DIPOLOS Banda de condução Banda proibida Banda de valência CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS DIELÉTRICOS SÃO ARRANJOS MICROSÓPICOS DE DIPOLOS DIELÉTRICOS NÃO SÃO CONDUTORES NÃO TEM LIGAÇÕES LIVRES Cargas ligadas ou de polarização CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Q é a carga + do dipolo d é a forma vetorial da distância p momento de dipolo pi é o momento de cada dipolo por volume Cm n é número de dipolos (moléculas / m ) ∆v o volume considerado 3 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS ∆S E Material Dielétrico P envolve uma quantidade n.∆v de moléculas, mas em termos incrementais pequena: n.∆v P é o momento de cada dipolo por volume C/m 2 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS ∆S + - + + + + + + + ++ + + + 1/2d.cosθ 1/2d.cosθ ∆S θ - - - - - - - - - - - A densidade volumétrica de carga de polarização age como densidade volumétrica de cargas livres, tendo um efeito semelhante a Lei de Gauss 1/2d.cosθ . ∆S 1/2d.cosθ . ∆S volume Projeção de d em ∆S d +Q −Q n Q d.cosθ . ∆S O número de moléculas que atravessa a superfície ∆S é CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Em termos e produto escalar Sendo ∆S uma superfície fechada, a acréscimo é dirigido para fora (-), indicando que o acréscimo líquido dentro da superfície é Que é análoga a lei de Gauss Onde a carga livre envolvida por ∆S CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Combinando as três últimas equações ou em termos gerais Quando o material se torna polarizável temos a carga livre envolvida CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Considerando as várias densidades volumétricas envolvidas temos CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS das três equações anteriores a última temos: Em engenharia trabalhamos com materiais isotrópicos, onde E e P são paralelos e linearmente relacionados. Susceptibilidade elétrica do material CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Cristais simples podem ser anisotrópicos, polarizado na direção do eixo de cristalização e não de E Materiais ferrelétricos além de anisotrópicos, tem histerese Constante de proporcionalidade CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Do que vimos anteriormente permissividade Permissividade relativa do material CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Tabela das Permissividades relativas de alguns materiais (HAYT Jr. 95) CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Para os MATERIAIS ANISOTRÓPICOS, D, E (e P) não são paralelos, então usamos as três equações abaixo Tensores Neste caso as equações ao lado continuam valendo, mas ε é interpretado como tensor Relação ente D e E CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS A densidade de fluxo relacionada a cargas livres é dada na forma da Lei de Gauss na forma integral Quando trabalhamos com materiais isotrópicos é suficiente usar CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS Exemplo: seja uma placa de teflon 0 ≤ x ≤ a entre o espaço livre, fora do teflon o campo elétrico uniforme é dado por Eext = E0ax V/m. A constante dielétrica do teflon é 2,1 e sua susceptibilidade é 1.1. EncontreDint e Pint. Fora do Teflon DEXT = ε0 E0ax , como não há material dielétrico em Pex =o, usando uma da últimas equações obtemos que a CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Para analisar o campo D no interior do dielétrico precisamos considerar as CONDIÇÕES DE CONTORNO Dn1 ∆S ∆h Dn2 a ∆ h ∆ w ∆ w b c d Etg1 Etg2 Região 1 Região 2 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS A ddp entre dois pontos próximos da superfície separados por ∆W é a mesma imediatamente acima e abaixo da superfície Se o campo potencial é descontínuo através da fronteira, D tangencial é descontínuo pois: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Dn1 ∆S ∆h Dn2 Região 1 Região 2 As condições de contorno para as normais são dadas pela gaussiana cilíndrica cujos lado são Desprezíveis, fornece o fluxo dado por: onde CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS A densidade de carga não é a densidade de polarização do dielétrico que é nula. Mas consideramos o aumento da permissividade. Esta carga foi colocada ali deliberadamente, desbalanceando o equilíbrio das cargas no dielétrico, em geral considerar ρS = 0 na superfície. Assim. O componente normal de D é contínua. então E a componente normal de E é descontínua. CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS D1 Dn1 Dtg1 Dtg2 Dn2 ε2 ε1 α1 α2 D2 Baseado nas últimas considerações, façamos haver um ângulo entre D e E, Como as componentes de D são contínuas, escrevemos CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS A razão entre as componentes tangenciais é dada por Que fornece ou CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS ε1>ε2 e da figura anterior vimos que a2>a1 As direções de D e E são idênticas pois D = ε E Assim das últimas 4 equações temos: D1 Dn 1 Dtg1 Dtg2 Dn 2 ε2 ε1 α1 α2 D2 Então o módulos de E é: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Teflon eR = 2,1 χe =1,1 E = E0 E = E0 D = ε0E0 P = 0 D = ε0E0 P = 0 x = ax = 0 Exemplo: Agora podemos encontrar o D e E dentro do Teflon Se D é contínuo dentro Dint =Dext = ε0E0 ax Isto fornece Eint =Dint/ε = ε0E0 ax / (εR.ε0) = 0,476E0 ax Se D = ε0E+P, o campo de polarização é Pint =Dint - ε0 Eint = ε0E0 ax - 0,476 ε0 E0 ax = 0,524 ε0 E0 ax E = 0,476E0 D = ε0E0 P = 0,524ε0E0 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Resultando CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS As condições de contorno entre um condutor e um dielétrico são mais simples que no problema acima, pois D e E são nulo dentro do condutor Aplicando Gauss CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS D e E são normais na superfície do condutor, logo Dn = ρS ser En = ρS/ε que diferencia do campo no espaço livre dos condutores pela substituição de ε0 por ε Assim: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Como as cargas induzidas no condutor chegam a superfície? Da lei de Ohm temos: e a equação da continuidade J e ρ só envolve cargas livres logo podemos escrever: ou CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Considerando o meio homogêneo tal que σ e ε não seja função da posição Usando a primeira lei de Maxwell para obter CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Considerando que σ não fosse função de ρ. Isto no permite comparar condutores diferentes, então rearranjando e integrando temos: ρ0 É a densidade de carga em t=0. Isto mostra o decaimento exponencial de ρ com uma constante de tempo ε/σ. A constante de decaimento para a água destilada p.ex. é CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS Isto significa que qualquer carga colocada no interior da água destilada decairá de 37% do seu valor inicial em 1 µs. Isto é característico dos bons condutores. 1µs CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA M2 M1 + + + + + ++++ + + + - - - - - - - - - - - - - - ---- - - - ε dielétrico Sejam dois metais M1 e M2 com cargas Q simétricas envoltos por um dielétrico Metal 1 Metal 2 φ CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA M2 M1 + + + + + ++++ + + + - - - - - - - - - - - - - - ---- - - - ε dielétrico φ Precisa-se realizar trabalho para levar cargas de M1 para M2 contra o fluxo de campo Designando a ddp entre M1 e M2 como V0, podemos definir a capacitância dos dois como CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA Em termos gerais podemos substituir Q por uma integral de superfície sobre o condutor positivo e V0 pelas integral de linha a do condutor com Q<0 para o condutor com Q>0 A capacitância é constante e não depende de Q nem de V0, Mas somente da forma, dimensões das placas e permissividade do material CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA A capacitância é medida em Farads [F] que equivale a C/V Sub múltiplios de Farads [F] são: µF ou micro Farad = 10 F nF ou nano Farad = 10 F pF ou pico Farad = 10 F -6 -9 -12 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA z = d E z=0 Superfície condutora -ρs Superfície condutora +ρs Densidade superficial Uniforme de cargas Determinando a capacitância de um par de placas com dimensões infinitas, paralelas, idênticas, estando a primeira no plano z=0 com distribuição de carga +ρs e a segunda no plano z=d com distribuição de carga –ρs. Assim o campo E entre elas é: (z) CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA Onde a permissividade do meio é ε e a densidade de campo é VS Dn Dn A carga no condutor inferior é >0, D aponta para cima e seu valor é A densidade de carga na superfície do condutor superior Onde a densidade de carga é >0, estabelecendo a ddp entre elas D CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA A capacitância é proporcional à área S dos planos que são infinitas. Como S é muito maior que d, podemos simplesmente representar a capacitância em função de S. Na Prática E e ρs são quase uniforme entre as placas nos pontos não adjacentes ao perímetro: Assim: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA z = d E z=0 Superfície condutora Exemplo: Determinar a capacitância do par de placas com dielétrico de mica εR = 6, área S = 0,064516 m separados por d = 2,54x10 cm, sabendo que ε0 = 8,854x10 (z) 2 -4 C = 6 x 8,854x10 x = 1350 pF0,000254-12 -12 0,064516 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA A área S de um capacitor, pode ser grandemente aumentada, enrolando longas fitas ou empilhando de 50 a 100 sandwíches de placas condutoras intercaladas com isolantes, CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.9 – CAPACITÂNCIA Se mais de 2 placas são envolvidas no capacitor, as capacitâncias parciais entre elas pode ser definida, conforme Maxwell. CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Exemplo: determinar a capacitância do par de placas coaxial abaixo: a b d Vimos que ln (b/a)V0 = Q 2piε0 de que então CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Vimos que o campo e o potencial da esfera é dado por: a b Exemplo: determinar a capacitância do par cascas esféricas Então a capacitância será: +Q -Q CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Fazendo a o raios da esfera externa b>>a, obtemos a capacitância de um condutor esférico isolado Lim b→∞ Se o raio a for de 1 metro C= 0,556 pF no espaço livre CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Suponha no espaço livre, cobrindo esta esfera, haja uma camada diferente com ε = ε1, indo de r = a a r = r1 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Então a ddp é Assim a Capacitância é CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Placas Condutoras ε2 d2 ε1 d1 d Área S C Seja um par de placas planas de área S com dimensões infinitas, paralelas, idênticas, afastadas de d << S que tem como capacitância C = ε1S/d, usando-se um dielétrico de permissividade ε2, fazendo a fronteira entre os dois dielétricos paralela às placas do capacitor. Onde C1 = ε1.S/d1 está em paralelo com C2 = ε2.S/d2 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Opção I: As intensidades de campo nas 2 regiões E1 e E2 é a mesma e uniforme e o potencial aplicado é V0 = E1 d1 + E2 d2. Portanto a densidade de carga é Na interface do dielétrico Dn1=Dn2 ou ε1E1 = ε2E2 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Como D1 = D2, o módulo da densidade de cargas é o mesmo em cada placa, a capacitância é dada por CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Opção 2: Considerando uma carga Q numa das placas, levando a densidade Q/S e a um valor D = Q/S. verificamos que Dn1=Dn2e D é normal. Então ou E1 = D/ε1 = Q / E1S CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Como a resposta seria alterada se um terceiro plano condutor for na interface de ambos dielétricos? Considerando as carga Q superficiais iguais, ignorando a passagem direta da linhas de campo entre as placas condutoras, não ocorrem modificações se o condutor tiver espessura constante. A capacitância cresceria de a distância entre as placas fossem mantidas, pois reduziria a espessura dos dielétricos. CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Se os dielétricos forem colocados com a fronteira normal as placas, ou seja ocupando cada um uma parte da seção S que se divide em S1 e S2. Então a ddp V0 produziria campos E1 = E2 = V0 / d tangenciais á face onde encontramos D1, D2, ρs1, ρs2, e Q e com eles a capacitância Placas Condutoras d Área S L L/2 L/2 ε1 d ε2 CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS SEMICONDUTORES 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS D D CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS (-a,0,0) (a,0,0) R2 R1 x 2a -ρL +ρL y z Considera a linha de dois fios abaixo O potencial do fio positivo em P é V P y x CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Considerando o potencial dos dois fios em P temos: Considerando R10 = R20 = a e R1 = (x-a)ax+yaY; R2 = (x+a)ax+yay CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Para conhecer as equipotenciais, manipulamos e escolhemos V = V1, logo temos que: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Reagrupando os termos de mesma potências temos que: Esta é uma equação de um cilindro CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Mostra que V = V1 é uma superfície independente de z interceptando o plano xy em um cilindro de raio b CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Agora se pode especificar um problema físico achando uma capacitância entre o condutor de raio b e um plano a uma distância h do cilindro. Os condutores atuam como circuitos equipotenciais. Escolhendo o círculo de raio r = b, centro (x=h e y=0) e resolvendo para a localização a Da linha de cargas, e K1 = f(V1) CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS Considerando que o plano está no potencial 0, e a ddp é V1 V1 Assim o módulo da carga no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de cargas é ρL pela lei de Gauss, e a capacitância para o fio de comprimento L, logo: CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS O Cilindro de raio b = 5[m] é uma equipotencial de 100[V] e seu centro se encontra a 13[m] de um plano onde V=0 em que com tem o eixo y. Valores numéricos são obtidos para: 1 - a carga por unidade de comprimento no cilindro 2 – a capacitância entre o cilindro e o plano 3 – a posição da equipotencial de 50V e 4 – a posição da linha filamentar de cargas para outras equipotenciais. CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS E = grad (V) e D = εE b=5 Linha equivalente de cargas V=0V P l a n o e q u i p o t e n c i a l e n t r e a s l i n h a s (x) (y) h=13 V=50V Cilindro p/ (h; b; K1)=(13; 5; 25) ρL=3,45x10 C/m, a =12 a=12 b=13,4 p/ (h; b; K1)=(18; 13,4; 5) ρL é invariável C = 2piε0L = 34,5 [pF/m] ln 5 -9 V=100V CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.11 – CAPACITÂNCIAS DE UMA LINHA DE DOIS FIOS PARALELOS (x) (y) C = 2piεL ln (2h/b) p/ b>>a h h CAPÍTULO 5 CONDUTÂNCIA E CAPACITÂNCIA 5.6 – SEMICONDUTORES 5.7 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS 5.8 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA DIELÉTRICOS 5.9 – CAPACITÂNCIA 5.10 – EXEMPLOS DE CAPACITÂNCIAS Considerações finais
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