Álgebra Linear I - Poli - P3 - 2001

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a1Q1: Seja B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)} ⊆ IR3 e seja S o subespac¸o
gerado por B. Enta˜o B e´ base de S e:
a) (3, 1, 0) = (2, 1)B.
b) (3, 1, 0) = (2, 1, 0)B.
c) (3, 1, 0) = (4, 1, 0)B.
d) (3, 1, 0) = (4, 1)B.
e) (3, 1, 0) /∈ S.
a1Q2: Para que valores de a o conjunto {(a, 1, 0), (a, 0, a), (−1, 0, a)} ⊆
IR3 e´ base de IR3?
a) Para a = 0.
b) Para a < 0.
c) Para a > 0.
d) Para a 6= 0.
e) Para todo a ∈ IR.
a1Q3: Sejam A e B subconjuntos de um espac¸o vetorial V . Pode-
mos afirmar que:
a) Se A ⊆ B e B e´ L.D., enta˜o A e´ L.D..
b) Se A ⊆ B e B e´ L.I., enta˜o A e´ L.I..
c) Se dim [A] = dim [B], enta˜o [A] = [B].
d) Se dim [A] = dim [B] = dim V , enta˜o A = B.
e) Se dim [A] = dim [B] = dim V , enta˜o A e B teˆm o mesmo
nu´mero de elementos.
a1Q4: Considere o subespac¸o U = [1, cos 2x, sen2 x, cos2 x] de
F(IR). Assinale a alternativa correta:
a) dim U = 1.
b) dim U = 3.
c) dim U = 4.
d) dim U = 2.
e) Na˜o se pode determinar a dimensa˜o de U .
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a1Q5: Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Considere as
afirmac¸o˜es:
(I) Todo subconjunto de V com n vetores e´ base de V .
(II) Todo subconjunto de V com menos do que n vetores e´ l.i..
(III) Todo subconjunto de V com mais do que n vetores e´ l.d..
Podemos dizer que:
a) Apenas I e´ verdadeira.
b) Apenas II e´ verdadeira.
c) Apenas III e´ verdadeira.
d) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
e) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
a1Q6: Assinale a alternativa falsa:
a) Os polinoˆmios (1− t)3, (1− t)2, 1− t e 1 geram P3(IR).
b) O subespac¸o W = {(0, y, z)|y, z ∈ IR} de IR3 e´ gerado por
(0,1,2),(0,2,3) e (0,3,1).
c) Na˜o existe k ∈ IR tal que (1,−2, k) e´ combinac¸a˜o linear de
(3, 0,−2) e (2,−1,−5).
d) W = {(x, y, z)|x, y, z sa˜o racionais} na˜o e´ subespac¸o de IR3.
e) {(1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5)} na˜o pode ser esten-
dido a uma base de IR4.
a1Q7: Seja V = IR2 e considere as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar em V dadas, respectivamente, por:
(I) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 − y2, −x2 + y1); α(x, y) = (αx, αy).
(II) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1); α(x, y) = (x, αy).
(III) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1); α(x, y) =
(αx− α+ 1, αy − α+ 1).
Podemos afirmar que:
a) Somente (II) e (III) definem estruturas de espac¸o vetorial em
V .
b) Somente (I) define uma estrutura de espac¸o vetorial em V .
c) Somente (II) define uma estrutura de espac¸o vetorial em V .
d) Somente (I) e (III) definem estruturas de espac¸o vetorial em V .
e) Somente (III) define uma estrutura de espac¸o vetorial em V .
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a1Q8: Considere IR3 munido das operac¸o˜es
α(x, y, z) = (αx, αy, z)
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′).
onde α ∈ IR, (x, y, z) e (x′, y′, z′) ∈ IR3. Enta˜o podemos afirmar
que com essas operac¸o˜es IR3:
a) Na˜o e´ espac¸o vetorial pois u+(v+w) 6= (u+v)+w para algum
u, v, w ∈ IR3.
b) Na˜o e´ espac¸o vetorial pois α(βu) 6= (αβ)u para algum α, β ∈ IR
e u ∈ IR3.
c) E´ espac¸o vetorial pois a soma e´ igual a` soma em IR3.
d) Na˜o e´ espac¸o vetorial pois (α + β)u 6= αu + βu para algum
α, β ∈ IR e algum u ∈ IR3.
e) Na˜o e´ espac¸o vetorial pois α(u+v) 6= αu+αv ∀α ∈ IR ∀u, v ∈
IR3.
a1Q9: Qual dos seguintes conjuntos e´ uma base para S = {p ∈
P2(IR) : p(1) = p(0)}?
a) {0, x− x2}.
b) {x2 − x, x3 − x}.
c) {1}.
d) {1, −x+ x2, 1 + x− x2}.
e) {1, −x+ x2}.
a1Q10: Qual dos conjuntos abaixo na˜o e´ base de P2(IR)?
a) {2x2 + x, x2 + x+ 1, x+ 2}.
b) {1− x, 1 + x+ x2, 1− x− x2}.
c) {x2 − x, x− 1, x}.
d) {1, x+ 1, 1 + x+ x2}.
e) {2x2 + x, x2 + x+ 1, x− 2}.
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a1Q11: Seja V um espac¸o vetorial e sejam u, v e w ∈ V .
Considere as afirmac¸o˜es:
(I) {u, v} e´ l.d. ⇐⇒ u = αv ou v = βu, para algum α, β ∈ IR.
(II) {u} e´ l.d. ⇐⇒ u = 0V .
(III) {u, v, w} e´ l.d. ⇐⇒ w = αu+ βv, para algum α, β ∈ IR.
Podemos dizer que:
a) Apenas I e II sa˜o verdadeiras.
b) Apenas II e III sa˜o verdadeiras.
c) Apenas I e III sa˜o verdadeiras.
d) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
e) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
a1Q12: Sejam B1 e B2 duas bases distintas de um espac¸o vetorial
V . Assinale a alternativa falsa:
a) B1 e B2 sa˜o L.I..
b) B1 ∪B2 e´ L.I..
c) B1 ∪B2 gera V .
d) B1 ∩B2 e´ L.I..
e) B1 e B2 teˆm o mesmo nu´mero de elementos.
a1Q13: Sejam
U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : y + z + t = 0} e
W = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x+ y = 0, z = 2t}.
Assinale a alternativa correta:
a) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩W ) = 0.
b) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩W ) = 2.
c) dim U = 1, dim W = 2 e dim (U ∩W ) = 1.
d) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩W ) = 1.
e) dim U = 1, dim W = 2 e dim (U ∩W ) = 0.
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a1Q14: Considere o subconjunto A de IR4 dado por:
A = {(1, 2, 0, 0), (0, a, 1, 0), (0,−1, 0, a), (0, 0, 1, 2)},
onde a ∈ IR. Podemos afirmar que:
a) A e´ l.i. para todo a 6= ±1.
b) A e´ l.i. para todo a 6= ±√2.
c) A e´ l.d. se e somente se a =
√
2.
d) A e´ l.d. se e somente se a = ±1.
e) A e´ l.d. se e somente se a = ±2.
a1Q15: Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Os conjuntosA = {(1, 1, 0), (0, 1, 0)} e B = {(1, 0, 0), (0,−1, 0)}
geram o mesmo subespac¸o de IR3.
(II) Os conjuntos C = {(sen2 x, cos2 x, senx cosx} e D = {1, sen 2x, cos 2x}
geram o mesmo subespac¸o de F(IR).
(II) Os conjuntos D = {1, 2−t, 1+t2, 1−t+t2} e E = {1, t, t2, t3}
geram o mesmo subespac¸o de P3(IR).
Temos enta˜o que:
a) Somente (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) Somente (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
c) Somente (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
d) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
e) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o falsas.
a1Q16: Seja A = {u, v, w, z} um subconjunto de P2(IR). Enta˜o
podemos afirmar que:
a) {u, v, w} e´ L.I.
b) {u, v, w, z} e´ L.I.
c) existe B ⊆ A tal que B e´ base de P2(IR).
d) existe C ⊆ A tal que C gera P2(IR).
e) {u+ v, u− v, u+ w, v − w} e´ L.D.
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a1Q17: Sejam A = {(3, 1,−1), (2,−2, 2)} e e1 = (1, 0, 0), e2 =
(0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Enta˜o:
a) A ∪ {e1}, A ∪ {e2} e A ∪ {e3} sa˜o bases de IR3.
b) A∪ {e2} e A∪ {e3} sa˜o bases de IR3 mas A∪ {e1} na˜o e´ base
de IR3.
c) A∪ {e1} e A∪ {e2} sa˜o bases de IR3 mas A∪ {e3} na˜o e´ base
de IR3.
d) A∪ {e1} e A∪ {e3} sa˜o bases de IR3 mas A∪ {e2} na˜o e´ base
de IR3.
e) A∪ {e2} e´ base de IR3 mas A∪ {e1} e A∪ {e3} na˜o sa˜o bases
de IR3.
a1Q18: Se e1, e2, e3 e v sa˜o vetores de um espac¸o vetorial V tais
que {e1, e2, e3} e´ L.I. e {e1, e2, e3, v} e´ L.D., enta˜o podemos afirmar
que:
a) {e1, e2, v} e´ L.D..
b) v na˜o e´ combinac¸a˜o linear de e1, e2, e3.
c) {v} e´ L.D..
d) [e1, e2, e3] = [e1, e2, e3, v].
e) {e1 − v, e2 + v, e3} e´ L.I..
a1Q19: Qual dentre os conjuntos abaixo pode ser reunido ao
conjunto
A = {2−7x−5x2+2x3, 3−4x+3x2+3x3, 1−2x+3x2+x3}
de modo a constituir uma base de P3(IR)?
a) φ.
b) {0}.
c) {x}.
d) {x2}.
e) {1}.
a1Q20: Seja V um espac¸o vetorial com pelo menos dois elementos
distintos. Assinale a afirmac¸a˜o falsa.
a) Se λ ∈ IR e u ∈ V , temos λu = 0V se e somente se u = 0V .
b) Se u, v, w ∈ V sa˜o tais que u+ w = v + w, enta˜o u = v.
c) Se u+ v = u+ v′ para todo u ∈ V , enta˜o v = v′.
d) Se u+ v = 0V e u+ v′ = 0V , enta˜o v = v′.
e) V tem infinitos elementos dois a dois distintos.