Álgebra Linear I - Poli - Psub - 2016

Prévia do material em texto

Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é
uma base ortonormal de V 3. Sejam π1 e π2 os planos dados pelas equações
π1 : x− 2y + 3z = 1 e π2 : x+ z = 2
no sistema de coordenadas Σ. Seja r a reta dada pela interseção de π1 e π2
e seja s a reta que passa pelo ponto que tem coordenadas (1, 1, 1) no sistema
Σ e é paralela ao vetor que tem coordenadas (1, 0, 1) na base E . A distância
entre as retas r e s é igual a:
(a) 1√
6
;
(b) 16 ;
(c) 12 ;
(d) 1;
(e) 1√
2
.
Q2. Seja fixada uma orientação no espaço E3. Considere as seguintes afir-
mações:
(I) ~v · (~w ∧ ~z ) = ~w · (~z ∧ ~v ), para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3;
(II) ~v ∧ (~v ∧ ~w) = ~0, para quaisquer ~v, ~w ∈ V 3;
(III) (λ~v ) ∧ ~w = λ(~v ∧ ~w), para quaisquer ~v, ~w ∈ V 3 e qualquer λ ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira;
(e) todas as afirmações são verdadeiras.
Q3. Sejam n um inteiro positivo e V um espaço vetorial de dimensão n.
Considere as seguintes afirmações:
(I) se um subconjunto B de V com n elementos gera V , então B é uma
base de V ;
(II) dados um inteiro positivo k menor ou igual a n e vetores dois a
dois distintos v1, v2, . . . , vk ∈ V , vale que a dimensão do subespaço
[v1, v2, . . . , vk] é igual a k;
(III) se A e B são subconjuntos linearmente independentes de V que ge-
ram o mesmo subespaço de V , então A e B têm o mesmo número
de elementos.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
(d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Q4. Sejam ~v, ~w ∈ V 3 vetores não nulos. Considere as seguintes afirmações:
(I) proj~v (λ~w) = λ proj~v ~w, para todo λ ∈ R;
(II) projλ~v ~w = λproj~v ~w, para todo λ ∈ R não nulo;
(III) proj~v ~w = ~v se, e somente se, os vetores ~v e ~w são linearmente de-
pendentes.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
(b) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
(c) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
(d) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
(e) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Q5. Considere a matriz
A =
(
0 −1
1 0
)
e os subespaços de M2(R) definidos por:
S1 =
{
B ∈M2(R) : AB = BA
}
e S2 =
{
B ∈M2(R) : AB = −BA
}
.
Assinale a alternativa correta:
(a) dim(S1 ∩ S2) = 2 e dim(S1 + S2) = 3;
(b) dim(S1 ∩ S2) = 1 e S1 + S2 = M2(R);
(c) dim(S1 ∩ S2) = 1 e dim(S1 + S2) = 3;
(d) S1 ∩ S2 = {0} e S1 + S2 = M2(R);
(e) S1 ∩ S2 = {0} e dim(S1 + S2) = 3.
Q6. Seja B = {~e1, ~e2, ~e3} uma base de V 3. Assinale a alternativa em que a
base C tenha a mesma orientação que B:
(a) C = {~e2 − ~e1, ~e3 − ~e2,−~e3};
(b) C = {~e3, ~e2, ~e1};
(c) C = {~e1 + ~e2, ~e2 − ~e3, 2~e3};
(d) C = {−~e2,−~e3,−~e1};
(e) C = {~e3,−~e1, ~e2}.
Q7. Seja m ∈ R e considere o subconjunto
A =
{(
1 0 0
−1 1 0
)
,
(
0 0 m
1 0 1
)
,
(
2 0 m
−1 m 1
)}
do espaço vetorial M2×3(R). Temos que A é linearmente independente se, e
somente se:
(a) m 6= 2;
(b) m 6= 1;
(c) m = 1;
(d) m 6= 0;
(e) m = 2.
Q8. Seja a ∈ R e considere o subconjunto
B = {1 + at+ t2, a− t2, a+ 1 + a2t, 1− at2}
do espaço vetorial P2(R). Temos que B gera P2(R) se, e somente se:
(a) a 6= 1;
(b) a 6= 0 e a 6= −1;
(c) a 6∈ {0, 1,−1};
(d) a 6= 1 e a 6= −1;
(e) a 6= 0 e a 6= 1.
Q9. Seja V o espaço vetorial das funções f : R→ R e considere os elementos
de V definidos por
f1(x) = sen(2x), f2(x) = x senx, f3(x) = 1 + senx cosx,
f4(x) = sen
2x, f5(x) = cos
2x e f6(x) = cos(2x),
para todo x ∈ R. A dimensão do subespaço de V gerado por
{f1, f2, f3, f4, f5, f6}
é igual a:
(a) 5;
(b) 3;
(c) 4;
(d) 2;
(e) 6.
Q10. Considere no espaço E3 um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E,
F , G, H, em que ABCD, ADHE e ABFE são faces desse cubo, como
ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
FE
D C
GH
Seja M o ponto médio do segmento CG e considere a base de V 3 dada por:
B =
{−−→
BH,
−−→
CF,
−−→
DM
}
.
A soma das coordenadas do vetor
−−→
DF na base B é igual a:
(a) 1;
(b) 75 ;
(c) 32 ;
(d) −13 ;
(e) 72 .
Q11. Seja A uma matriz real 5× 5 tal que det(A) = −1 e denote por At a
sua transposta. Se B = −2A7At, então det(B) é igual a:
(a) −2;
(b) −32;
(c) 128;
(d) 32;
(e) 2.
Q12. Seja ABCD um tetraedro no espaço E3 e considere os vetores:
~v =
−−→
AB, ~w =
−→
AC e ~z =
−−→
AD.
Suponha o espaço E3 orientado de modo que a base {~v, ~w, ~z } seja positiva.
Se o volume do tetraedro ABCD é igual a 3, então o produto misto
[~v + ~z,~v − 2~w, ~z ]
é igual a:
(a) −6;
(b) 3;
(c) 36;
(d) 6;
(e) −36.
Q13. Seja ABC um triângulo equilátero de lado unitário no espaço E3 e
considere uma base B = {~e1, ~e2, ~e3} de V 3 em que ~e1 =
−−→
AB, ~e2 =
−→
AC e ~e3
seja um vetor ortogonal a ~e1 e a ~e2 tal que ‖~e3‖ = 2. Se ~v é o vetor com
coordenadas (1, 1, 1) na base B e ~w é o vetor com coordenadas (−1, 0, 1) na
base B, então ~v · ~w é igual a:
(a) −12 ;
(b) 52 ;
(c) 0;
(d) 1;
(e) 12 .
Q14. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é
uma base ortonormal de V 3. Sejam r e s as retas dadas pelas equações
r : x− 1 = y = z − 1
2
e s : x+ 3 =
y + 1
2
= z
no sistema de coordenadas Σ. Seja π o plano que passa pela origem O e que
é paralelo às retas r e s. A distância do ponto que tem coordenadas (1, 1, 1)
no sistema Σ ao plano π é igual a:
(a) 1√
5
;
(b) 15 ;
(c) 1;
(d) 111 ;
(e) 1√
11
.
Q15. Seja m ∈ R e considere o sistema linear homogêneo em 5 incógnitas
reais cuja matriz de coeficientes é:1 0 0 1 11 0 m 1 2
2 0 m2 m+ 1 3
 .
Seja S ⊂ R5 o conjunto solução desse sistema. Assinale a alternativa correta:
(a) dim(S) = 2 se, e somente se, m = 1;
(b) dim(S) = 3 se, e somente se, m = 1;
(c) dim(S) = 3 se, e somente se, m = 0 ou m = 1;
(d) dim(S) = 3 se, e somente se, m = 0;
(e) dim(S) = 2 se, e somente se, m = 0 ou m = 1.
Q16. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E
é uma base ortonormal de V 3. Seja π o plano que passa pelo ponto que
tem coordenadas (−1, 0, 1) no sistema Σ e que é normal ao vetor que tem
coordenadas (1, 2, 1) na base E . Dado a ∈ R, temos que o ponto que tem
coordenadas (a, 2, a) no sistema Σ pertence a π se, e somente se:
(a) a = −2;
(b) a = 0;
(c) a = 1;
(d) a = −1;
(e) a = 2.
Henrique Hokama
Carimbo