Álgebra Linear I - Poli - Prec - 2016

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Q1. Se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o 5, enta˜o o nu´mero de subespac¸os
de V que teˆm dimensa˜o 3 e´:
(a) igual a 3;
(b) igual a 5;
(c) infinito;
(d) igual a 10;
(e) igual a 2.
Q2. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Sejam r, s e t as retas dadas pelas equac¸o˜es
r :
{
x+ z + 1 = 0,
2x− y + 1 = 0, s :

x = −2− 2λ,
y = 2 + λ,
z = −2,
λ ∈ R,
t : x− 2 = y − 5
2
= −z − 3
no sistema de coordenadas Σ. Assinale a alternativa correta:
(a) as retas r e s sa˜o reversas e as retas r e t sa˜o paralelas e distintas;
(b) as retas r e s sa˜o concorrentes e as retas r e t sa˜o coincidentes;
(c) as retas r e s sa˜o ortogonais e as retas r e t sa˜o reversas;
(d) as retas r e s sa˜o reversas e as retas r e t sa˜o ortogonais;
(e) as retas r e s sa˜o ortogonais e as retas r e t sa˜o coincidentes.
Q3. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o E3 e sejam ~v, ~w, ~z ∈ V 3 vetores
tais que:
[2~v + 5~z,~v + ~w + ~z,−~w + ~z ] = 12.
Temos que o volume de um tetraedro determinado pelos vetores ~v, ~w e ~z e´
igual a:
(a) 12;
(b) 2;
(c) 1;
(d) 4;
(e) 6.
Q4. Considere as matrizes
A1 =
(
1 2
−1 1
)
, A2 =
(
1 1
0 −1
)
, A3 =
(
1 −1
0 3
)
, A4 =
(
1 1
1 1
)
,
B =
(
2 3
0 2
)
e seja C = {A1, A2, A3, A4}. Assinale a alternativa correta:
(a) o subespac¸o de M2(R) gerado por C tem dimensa˜o 2 e B = A1 +A4;
(b) C e´ uma base de M2(R) e B = (1, 0, 0, 1)C ;
(c) o subespac¸o de M2(R) gerado por C tem dimensa˜o 3 e B = A1 +A4;
(d) o subespac¸o de M2(R) gerado por C tem dimensa˜o 3 e B = A2 +A3;
(e) C e´ uma base de M2(R) e B = (0, 1, 1, 0)C .
Q5. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Seja pi o plano dado pela equac¸a˜o
pi : z = 0
no sistema de coordenadas Σ e considere as retas r, s e t de equac¸o˜es
r :

x = λ,
y = λ,
z = 3− 3λ,
λ ∈ R, s :

x = µ,
y = µ,
z = 3 + 3µ,
µ ∈ R,
t :
{
3y + z − 3 = 0,
3x− z + 3 = 0
no sistema Σ. Se A = (0, 0, 3)Σ e B, C e D sa˜o, respectivamente, os pontos
na intersec¸a˜o do plano pi com as retas r, s e t, enta˜o o volume do tetraedro
ABCD e´ igual a:
(a) 13 ;
(b) 3;
(c) 2;
(d) 5;
(e) 12 .
Q6. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Sejam pi1 e pi2 os planos dados pelas equac¸o˜es
pi1 : 2x+ y + z = 1 e pi2 : 2x+ 2y − z = −2
no sistema de coordenadas Σ e seja r a reta de equac¸a˜o
r :

x = 1− λ,
y = 2− λ,
z = −1 + 2λ,
λ ∈ R
no sistema Σ. Se P e´ o ponto na intersec¸a˜o de pi1 e r, enta˜o a distaˆncia de
P a pi2 e´ igual a:
(a) 13 ;
(b) 12 ;
(c) 1;
(d) 2;
(e) 3.
Q7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se V e´ um espac¸o vetorial tal que dim(V ) = 350 e S1 e S2 sa˜o
subespac¸os de V tais que dim(S1) = 150 e dim(S2) = 210, enta˜o
dim(S1 ∩ S2) ≥ 10;
(II) se S1 e S2 denotam os subespac¸os de R
3 definidos por
S1 =
{
(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 0
}
e S2 =
{
(x1, x2, x3) ∈ R3 : x3 = 0
}
,
enta˜o S1 + S2 =
{
(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0
}
;
(III) se V denota o espac¸o vetorial das func¸o˜es f : R → R que sa˜o de
classe C2, enta˜o {
f ∈ V : f + f ′ + f ′′ = 0}
e´ um subespac¸o de V .
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(b) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q8. Seja E uma base ortonormal de V 3. Considere os vetores
~v1 = (1, 2, 1)E , ~v2 = (0, 0, 1)E , ~v3 = (2,−1, 0)E
e a base B = {~v1, ~v2, ~v3} de V 3. Dado d ∈ R, temos que os vetores
~w1 = (1, d,−1)B e ~w2 = (3,−2, 2d)B
sa˜o ortogonais se, e somente se, d e´ igual a:
(a) 92 ;
(b) 169 ;
(c) 23 ;
(d) 94 ;
(e) 34 .
Q9. Considere os polinoˆmios:
p1(t) = −1−t+4t2−5t3, p2(t) = 1+4t−t2+3t3 e p3(t) = 1+t−4t2+4t3.
Assinale a alternativa em que o polinoˆmio p4 e´ tal que {p1, p2, p3, p4} e´ uma
base de P3(R):
(a) p4(t) = 1 + 3t− 2t2 + 3t3;
(b) p4(t) = t
3;
(c) p4(t) = t+ t
2;
(d) p4(t) = 1 + 4t− t2;
(e) p4(t) = 5t
2 + 5t3.
Q10. Seja fixada uma orientac¸a˜o no espac¸o E3. Considere as seguintes
afirmac¸o˜es:
(I) para quaisquer ~v, ~w ∈ V 3 com ~v na˜o nulo, vale que ~w − proj~v ~w e´
ortogonal a ~v;
(II) se E e´ uma base ortonormal de V 3 e se ~v = (1, 2,−1)E e ~w = (1, 1, 0)E ,
enta˜o proj~v ~w =
(
1
2 , 1,−12
)
E ;
(III) se C e D sa˜o bases negativas de V 3 e se MCD e MDC denotam as
matrizes de mudanc¸a de base, enta˜o det(MCD) > 0 e det(MDC) > 0.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q11. Considere fixadas uma orientac¸a˜o no espac¸o E3 e uma base ortonormal
positiva E de V 3. Sejam b, c ∈ R e considere os vetores:
~v =
(
1√
6
, b, c
)
E e ~w = (1, 0, b
2)E .
Se ~v ∧ ~w = (−1, 0, 1)E , enta˜o 2b+
√
6 c e´ igual a:
(a) 3;
(b) 2;
(c) −1;
(d) −3;
(e) 1.
Q12. Seja n um inteiro positivo e sejam A,B ∈ Mn(R) tais que a matriz
B seja obtida da matriz A por operac¸o˜es elementares de escalonamento
em linhas. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o que NA˜O e´
necessariamente verdadeira:
(a) os sistemas lineares homogeˆneos AX = 0 e BX = 0 (na inco´gnita
X ∈Mn×1(R)) possuem as mesmas soluc¸o˜es;
(b) det(A) = det(B);
(c) se o sistema linear homogeˆneo AX = 0 (na inco´gnita X ∈ Mn×1(R))
possui infinitas soluc¸o˜es, enta˜o det(B) = 0;
(d) qualquer linha de A e´ uma combinac¸a˜o linear das linhas de B;
(e) se as linhas da matriz B sa˜o linearmente independentes, enta˜o o sistema
linear AX = Y (na inco´gnita X ∈Mn×1(R)) possui uma u´nica soluc¸a˜o,
para qualquer Y ∈Mn×1(R).
Q13. Seja ABC um triaˆngulo no espac¸o E3 e sejam P um ponto do seg-
mento AC e Q um ponto do segmento BC tais que:
‖−→AP‖ = 3 ‖−−→PC‖ e ‖−−→QC‖ = 2 ‖−−→BQ‖.
Se H e´ o ponto na intersec¸a˜o dos segmentos AQ e BP , enta˜o o quociente
‖−−→AH‖
‖−→AQ‖
e´ igual a:
(a) 34 ;
(b) 910 ;
(c) 913 ;
(d) 1013 ;
(e) 1011 .
Q14. Seja S o subespac¸o de R4 definido por:
S = [(1, 1,−1, 2), (−1, 0, 0,−3), (2, 1,−1, 1), (2, 2,−2, 0)].
Dados a, b, c, d ∈ R, pode-se afirmar que:
(a) (a, b, c, d) ∈ S se, e somente se, a+ c = 0;
(b) (a, b, c, d) ∈ S;
(c) (a, b, c, d) ∈ S se, e somente se, b+ c = 0 e 2a− d = 0;
(d) (a, b, c, d) ∈ S se, e somente se, b+ c+ d = 0;
(e) (a, b, c, d) ∈ S se, e somente se, b+ c = 0.
Q15. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E e´
uma base ortonormal de V 3. Seja r a reta dada pela equac¸a˜o
r : X = (0, 1, 1)Σ + λ(1, 0,−2)E , λ ∈ R
e seja pi um plano que contenha a reta r e diste 1√
5
da origem O. Sejam
a, c ∈ R e suponha que o vetor (a,−5, c)E seja normal ao plano pi. Temos
que c e´ igual a:
(a) 2;
(b) −3;
(c) −5;
(d) 4;
(e) −1.
Q16. Considere os subespac¸os de R4 definidos por:
S1 = [(1, 1,−1, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0,−1, 1)],
S2 = [(1, 1, 0, 2), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 2)].
Assinale a alternativa correspondente a uma base de S1 ∩ S2:
(a)
{
(0,−1, 0,−2), (−1, 0, 1, 0), (1, 1,−1, 0)};
(b)
{
(0,−1, 0,−2), (−1, 0, 1, 0)};
(c)
{
(1,−1,−1,−2)};
(d)
{
(−1,−1, 1,−2)};
(e)
{
(0,−1, 0,−2), (2, 1, 0, 2)}.