Lista 1 - Álgebra Linear

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MAT3457 – ÁLGEBRA LINEAR I
1a Lista de Exercícios – 1o semestre de 2021
Exercícios 1–34: sistemas lineares, matrizes e determinantes
Exercícios 35–44: o espaço V3
Exercícios 45–52: base e coordenadas
Exercícios 53–74: produto escalar
Exercícios 75–79: mudança de base
Exercícios 80–99: produto vetorial e misto
1. Encontre a solução dos sistemas:
(i)

2x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4
3x1 + 3x2 + 3x3 − 3x4 = 5
(ii)

x1 + 2x2 − 3x3 = 4
x1 + 3x2 + x3 = 11
2x1 + 5x2 − 4x3 = 13
2x1 + 6x2 + 2x3 = 22
(iii)

x1 + x3 + x5 = 1
x2 + x3 + 2x5 + x6 = 2
x4 + 3x5 = 3
(iv)

x1 + 2x2 − 3x3 = 6
2x1 − x2 + 4x3 = 2
4x1 + 3x2 − 2x3 = 14
2. Em cada um dos itens abaixo, encontre as condições precisas que as constantes bi devem satisfazer
para que o sistema seja compatível:
(i)

x1 − 2x2 + 5x3 = b1
4x1 − 5x2 + 8x3 = b2
−3x1 + 3x2 − 3x3 = b3
(ii)

x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = b1
−2x1 + x2 + 5x3 + x4 = b2
−3x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = b3
4x1 − 3x2 + x3 + 3x4 = b4
(iii)

x2 + x3 = 2
x1 + x2 + x3 = b1
x1 + x2 = 2
(iv)

x2 + x3 = 2
x1 + b1x2 + x3 = 2
x1 + x2 = 2
3. Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas linea-
res abaixo, determine os valores de a e b para os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma
solução e tem infinitas soluções.
(i)

x + y− az = 0
x + 2y− 2z = 1
x + (1− a)y− 2z = 2− 2a
2x + 3y− (2 + a)z = 1
(ii)

x + y + az = a + b + 1
2x + 3y + az = 3a + 2b + 1
x + y + 2az = 2b + 2
4. Em cada caso, encontre condições sobre os números a e b para que o sistema dado não tenha solução,
tenha uma única solução, ou tenha infinitas soluções. Resolva o sistema quando ele for consistente.
(i)
{
ax + y = −1
2x + y = b
(ii)
{
x + ay = 1
bx + 2y = 5
(iii)

x + 2y + z = −1
3x + 7y + 6z = −1
2x + 4y + (a2 + 1)z = b− 1
(iv)

ax + bz = 2
ax + ay + 4z = 4
ay + 2z = b
5. Determine os valores de a e b que tornam o sistema

3x− 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b− 1
compatível e determi-
nado. Em seguida, resolva o sistema.
1
6. Sejam α, β, γ ∈ R e considere o sistema linear:
x + w = 0
αx + 2y + z + 2w = β
x− 2y− z = γ
,
com incógnitas x, y, z, w. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) Se α 6= 1, então o sistema possui uma única solução.
(B) Se α = 1 e β + γ = 0, então o sistema possui infinitas soluções.
(C) Se α = 2 e β + γ = 1, então o sistema possui infinitas soluções.
(D) Para quaisquer α, β, γ ∈ R, o sistema possui infinitas soluções ou não possui solução.
(E) Se α = 3 e γ = 2, então o sistema possui infinitas soluções.
7. Sejam m, n, p ∈ R. O sistema linear 
x + y + z = m
x + 2z = n
−2x + y− z = p
−x + 3y− z = 5
tem uma única solução se, e somente se, 2m− n + p é igual a
(A) 5/2
(B) 5
(C) 6
(D) 3/2
(E) 10
8. Sejam a, b ∈ R e considere o sistema linear

x1 + x2 + x3 = 1
2x1 + ax2 − x3 = 2a
3x1 + 2x2 + bx3 = 0
nas incógnitas x1, x2, x3. Assinale
a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.
(A) (a− 2)(b + 3) + 1 = 0 e a 6= 1
(B) (2− a)(3− b)− 3 = 0 e a 6= 4
(C) ab− 3a− 2b + 7 6= 0
(D) (a− 2)(b + 3) 6= 0 e ab− 3a 6= 0
(E) a 6= 1 e b = 2a
9. Sejam A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm×1(R). Considere o sistema linear não-homogêneo AX = B e o
sistema homogêneo associado AX = 0. Prove ou dê contra-exemplo.
(i) Se AX = B tem infinitas soluções, então AX = 0 tem infinitas soluções.
(ii) Se AX = 0 tem infinitas soluções, então AX = B tem infinitas soluções.
(iii) Se AX = B não tem solução, então AX = 0 só tem a solução trivial.
(iv) Se AX = 0 só tem a solução trivial, então AX = B tem solução única.
10. Sejam A, B ∈ Mm×n(R). Considere a equação matricial AX = B, em que a incógnita X é uma matriz
quadrada de tamanho n× n. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução, então
ela terá infinitas soluções.
11. Considere as seguintes afirmações:
I. Seja A uma matriz n× n. Se, para quaisquer b1, . . . , bn ∈ R, o sistema linear
A

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn

possuir uma única solução, então é possível obter a matriz identidade fazendo operações ele-
mentares de escalonamento sobre as linhas da matriz A.
II. Se P e Q são soluções de um sistema linear, então P+Q necessariamente é solução desse sistema.
III. Se P e 2P são soluções de um sistema linear, então λP necessariamente é solução desse sistema,
para todo λ ∈ R.
2
Está correto o que se afirma em
(A) I e III, apenas.
(B) II e III, apenas.
(C) I, II e III.
(D) I e II, apenas.
(E) I, apenas.
12. Encontre uma matriz X tal que
(i)
1 −1 12 3 0
0 2 −1
X =
2 −1 5 7 84 0 −3 0 1
3 5 −7 2 1
 (ii)
1 2 32 3 4
3 4 5
X =
−2 1 1−2 1 1
−2 1 1

13. Encontre a matriz C que satisfazC
1 2 00 1 0
0 0 1
−
10
1
 [1 0 1]
t−1 =
 1 2 0−1 −3 −1
1 1 −3

(Aqui, At denota a transposta da matriz A.)
14. Mostre que a matriz
1 0 0a 1 0
b c 1
 é invertível e que a sua inversa é
 1 0 0−a 1 0
ac− b −c 1
.
15. Mostre que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule as suas inversas.
A =
[
1 2
2 2
]
, B =
1 0 11 1 0
0 2 1
 , C =

0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 −1
0 2 0 3

16. (i) Sejam A ∈ Mm(R) e B, C ∈ Mm×n(R), com A invertível. Mostre que se AB = AC, então B = C.
(ii) Existe alguma matriz invertível A tal que A2 = 0?
(iii) Dê um exemplo de uma matriz A ∈ Mm(R) tal que A2 = 0.
17. Considere a matriz A =
 2 −4 03 6 5
−2 1 4
 e calcule seu determinante. Em cada caso, procure adivinhar
quanto será det B, em que B é a matriz obtida a partir de A
(i) permutando-se as linhas 2 e 3.
(ii) multiplicando-se a linha 2 por 23 .
(iii) multiplicando-se a linha 3 por 2.
(iv) somando-se a linha 2 à linha 3.
(v) somando-se −π vezes a linha 1 à linha 2.
(vi) transpondo-se A.
18. Calcule os determinantes das seguintes matrizes. Recomenda-se fazer operações elementares para
reduzir as contas.
 3 −6 9−2 7 −2
0 1 5
 ,
3 1 −20 4 4
2 −3 6
 ,

1 0 3 2
3 4 −1 2
0 3 1 2
1 5 2 3
 ,

1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 1

19. Encontre det A sabendo que A é uma matriz 3× 3 e det(7A) = 6. E se A for 4× 4?
20. Suponha que det
a b cd e f
g h i
 = 8. Encontre det
e + h 2h 3b + ef + i 2i 3c + f
d + g 2g 3a + d
 e det
d− g 3g 2a + df − i 3i 2c + f
e− h 3h 2b + e
.
21. Suponha que det
a b cp q r
u v w
 = 1. Calcule det
b + q (x− 1)q 5v + 2bc + r (x− 1)r 5w + 2c
a + p (x− 1)p 5u + 2a
.
3
22. Calcule det

1 2 2 1 2
0 1 1 0 0
−1 3 3 1 −2
2 1 2 1 −3
1 1 1 1 1
 e det

1 0 −1 2 1
2 1 3 1 1
2 1 3 2 1
1 0 1 1 1
2 0 −2 −3 1
.
23. Se A =
[
0 1
−1 0
]
, mostre que A2 = −I. Mostre que não existem matrizes de tamanho 3× 3 tais que
A2 = −I3. Mostre que não existem matrizes de tamanho n× n, com n ímpar, tais que A2 = −In.
24. Seja A =
 1 a b−a 1 c
−b −c 1
. Calcule det A e verifique que A é invertível, quaisquer que sejam os valores
de a, b e c.
25. Use operações elementares para mostrar que det
 a2 b2 c21 + a 1 + b 1 + c
2a2 − a− 1 2b2 − b− 1 2c2 − c− 1
 = 0 e que
det
 a + 2 b + 2 c + 2x + 1 y + 1 z + 1
2x− a 2y− b 2z− c
 = 0.
26. Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
(i) Se A2 = I, então det A = 1.
(ii) Se A3 = I, então det A = 1.
(iii) Se det A 6= 0 e AB = AC, então B = C.
(iv) det(3A) = 3 det A.
(v) Se A é invertível, então det(A−1BA) = det B.
(vi) det(AB) = det(BA).
(vii) Se det A = 0, então A possui duas linhas idênticas.
(viii) det(−A) = −det A.
(ix) det(A + B) = det A + det B.
(x) Se A é 2× 2, det(7A) = 49 det A.
(xi) Se det A = det B, então A = B.
(xii) Se a diagonal principal de A consiste de zeros, então det A = 0.
(xiii) Se At = −A, então det A = −1.
27. Sob quais condições vale det(−A) = det A? E det(−A) = −det A?
28. Mostre que det
 1 1 1x y z
x2 y2 z2
 = (y− x)(z− x)(z− y).
29. Mostre que det

1 11 1
x1 x2 x3 x4
x21 x
2
2 x
2
3 x
2
4
x31 x
3
2 x
3
3 x
3
4
 = (x4 − x3)(x4 − x2)(x4 − x1)(x3 − x2)(x3 − x1)(x2 − x1).
30. Mostre que det

x −1 0 0
0 x −1 0
0 0 x −1
a b c x + d
 = a + bx + cx2 + dx3 + x4. (Sugestão: Suponha, primeiro, que
o determinante é não nulo. Mostre que o resultado permanece válido quando det A = 0.)
31. O que pode ser dito sobre o valor de det A, onde A é uma matriz n× n tal que (i) A2 = I, (ii) A3 = I,
(iii) A2 = 5A, (iv) A = −At, (v) A2 + I = 0, (vi) A3 = A, (vii) A−1 = At?
32. Suponha que det A = −3, det B = 5 e det C = −1, em que A, B e C são matrizes quadradas de
mesmo tamanho. Calcule det(A3B−2CtB3 A−2) e det
(
Bt A−1B−1CA3(C−1)t
)
.
33. Se A é 4× 4 e det(3A−1) = 5 = det
(
A2(Bt)−1
)
, encontre det A e det B.
4
34. Em cada caso, encontre os valores do número c para que A possua inversa e encontre A−1 para tais
valores de c:
(i) A =
1 c 02 0 c
c −1 1
 (ii) A =
1 −c c1 1 −1
c −c 1

35. Determine #»x em função de #»u e #»v na equação 2 #»x − 3 #»u = 10( #»x + #»v ).
36. Resolva o sistema
{
#»x + 2 #»y = #»u
3 #»x − #»y = 2 #»u + #»v
nas incógnitas #»x e #»y .
37. Ache a soma dos vetores indicados em cada figura:
(i)
A
B C
D
EF (ii)
A
B C
D
EF
38. Em um triângulo de vértices A, B e C, sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC, respecti-
vamente. Mostre que o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem comprimento igual à metade do
comprimento de AB.
39. Dado um triângulo de vértices A, B e C, cujas medianas são AM, BN e CP mostre que
# »
AM +
# »
BN +
# »
CP =
#»
0 .
40. Dado um tetraedro de vértices A, B, C e O, considere o ponto X no segmento BC, tal que
# »
BX = 3
# »
XC.
Exprima o vetor
# »
AX como combinação linear dos vetores
# »
OA,
# »
OB e
# »
OC.
A
O
C
B
X
41. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que
# »
AX = m
# »
XB, A 6= B e m 6= −1, exprima # »CX em função de
# »
CA,
# »
CB e m.
A B
C
X
(Sugestão: na relação
# »
AX = m
# »
XB faça aparecer C em ambos os membros.)
42. Num triângulo de vértices A, B e C, considere o ponto X sobre o segmento AB tal que ‖ # »AX‖ =
2‖ # »XB‖ e o ponto Y sobre o segmento BC tal que ‖ # »BY‖ = 3‖ # »YC‖. Seja P o ponto intersecção dos
segmentos CX e AY. Exprima o vetor
# »
AP como combinação linear dos vetores
# »
AB e
# »
AC.
43. Sejam #»u , #»v e #»w três vetores linearmente indepententes em V3, seja O um ponto de E3 e seja λ ∈ R.
Considere os pontos A, B, C, D de E3 tais que
# »
OA = #»u − 2 #»v + #»w, # »OB = − #»u + #»v − 2 #»w, # »OC = λ #»u + #»v − #»w, # »OD = −2 #»u − λ #»v .
Determine λ de modo que os vetores
# »
AB,
# »
AC e
# »
AD sejam linearmente dependentes.
44. Prove que #»u + #»v − #»w, #»u − #»v + #»w e − #»u + #»v + #»w são linearmente independentes, se e somente se,
#»u , #»v e #»w o forem.
5
45. Seja { #»e1, #»e2, #»e3} uma base de V3. Dados os vetores #»u = 4 #»e1 + #»e2− 3 #»e3, #»v = 3 #»e2 + #»e3 e #»w = 2 #»e2 + 3 #»e3,
justifique por que #»v não pode ser escrito como combinação linear de #»u e #»w.
46. Exprima o vetor #»u = 4 #»e1 +
#»e3 com combinação linear dos vetores
#»v = #»e1,
#»w = 3 #»e1 + 2
#»e2 +
#»e3 e
#»t = − #»e1 − #»e2 + #»e3, em que { #»e1, #»e2, #»e3} denota uma base de V3.
47. Assinale o vetor que é uma combinação linear de #»u = (0, 2,−2) e #»v = (1,−3, 0), em que coordena-
das são dadas em relação a uma base fixada de V3.
(A) (−1,−5, 0)
(B) (0, 4, 5)
(C) (2,−6, 2)
(D) (1,−2, 2)
(E) (−1, 1, 2)
48. Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação
a uma base de V3:
(i) {(0, 0, 0)} (ii) {(2, 1, 3), (1,−1, 2), (0, 1, 1)}
49. Determine o valor de α ∈ R para que o vetor #»u = α #»e1 + 2 #»e2 + 3 #»e3 seja combinação linear dos vetores
#»v = #»e1 + 4
#»e2 + 5
#»e3 e
#»w = 2 #»e1 +
#»e3, em que { #»e1, #»e2, #»e3} denota uma base de V3.
50. Para que valores de a ∈ R os vetores de coordenadas, em relação a uma base fixa, (a, 1, 0), (1, a, 1) e
(0, 1, a) são coplanares?
51. Seja { #»e1, #»e2, #»e3} uma base de V3. Em cada um dos itens abaixo, decida se { #»u , #»v , #»w} é ou não uma
base de V3.
(i) #»u = 3 #»e1 + 2
#»e2 − #»e3, #»v = #»e1 + #»e2 + #»e3, #»w = 4 #»e1 + 3 #»e2
(ii) #»u = #»e1 +
#»e2,
#»v = #»e1 +
#»e3,
#»w = #»e2 +
#»e3
(iii) #»u = #»e2,
#»v = #»e3,
#»w = #»e1
(iv) #»u = 2 #»e1 + 3
#»e2 +
#»e3,
#»v = − #»e1 − #»e2 + #»e3, #»w = #»e2
52. Sendo E = { #»e1, #»e2, #»e3} e F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases de V3 tais que
#»
f1 = 2
#»e1 − #»e3,
#»
f2 =
#»e2 + 2
#»e3 e
#»
f3 = 7
#»e3,
se #»w = #»e1 +
#»e2 +
#»e3, determine as coordenadas de
#»w na base F.
53. Mostre (usando vetores) que as diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente
se, o paralelogramo é um retângulo.
#»u
#»v
#»u +
#»v
#»u − #»v
(Sugestão: traduza o problema para ‖ #»u + #»v ‖ = ‖ #»u − #»v ‖ ⇐⇒ #»u ⊥ #»v .)
54. Dados ‖ #»u‖ = 13, ‖ #»v ‖ = 19, ‖ #»u + #»v ‖ = 24, calcule ‖ #»u − #»v ‖.
55. Sabendo que ‖ #»u‖ = 11, ‖ #»v ‖ = 23 e ‖ #»u − #»v ‖ = 30, calcule ‖ #»u + #»v ‖.
56. Sabendo que #»u ⊥ #»v , ‖ #»u‖ = 12, ‖ #»v ‖ = 5, calcule ‖ #»u + #»v ‖ e ‖ #»u − #»v ‖.
57. Os vetores #»u e #»v formam um ângulo de 60◦. Sabe-se que ‖ #»u‖ = 8 e ‖ #»v ‖ = 5. Calcule ‖ #»u + #»v ‖ e
‖ #»u − #»v ‖.
58. Três forças
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3 estão aplicadas num ponto O e têm direções perpendiculares entre si. Calcule a
intensidade da força
#»
f resultante, sabendo que ‖ #»f1‖ = 2, ‖
#»
f2‖ = 10, ‖
#»
f3‖ = 11.
59. Mostre que as três medianas de um triângulo se encontram num ponto (chamado baricentro).
60. Sejam A, B e C três pontos não colineares de E3 e sejam #»u =
# »
BA e #»v =
# »
BC. Mostre que o vetor
#»w =
#»u
‖ #»u‖ +
#»v
‖ #»v ‖ é paralelo à bissetriz do ângulo AB̂C. Interprete geometricamente esse resultado,
relacionando-o com uma conhecida propriedade dos losangos. (Sugestão: calcule os cossenos dos
ângulos entre #»w e #»u e entre #»w e #»v , e compare-os.)
6
61. A medida em radianos do ângulo entre #»u e #»v é π4 . Sabendo que ‖
#»u‖ =
√
5 e ‖ #»v ‖ = 1, determine a
medida em radianos do ângulo entre #»u + #»v e #»u − #»v .
62. A medida, em radianos, do ângulo entre #»u e #»v é π3 . Sabendo que ‖
#»u‖ = 2 e ‖ #»v ‖ = 1 e que o ângulo
entre #»u + #»v e #»u − #»v mede θ radianos, é correto afirmar que cos θ vale
(A) − 3√
24
(B) − 3√
21
(C) 3√
21
(D) 17
(E) 3√
24
63. Calcule
# »
AB · # »DA sabendo que o tetraedro ABCD é regular e de aresta unitária.
64. Mostre (usando vetores) as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, e que, reciproca-
mente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango.
65. Seja E = { #»ı , #» , #»k } uma base ortonormal de V3. Sendo #»u = 1√
3
( #»ı + #» − #»k ), #»v = 1√
2
( #» +
#»
k ) e #»w =
1√
6
(2 #»ı − #» + #»k ), prove que F = { #»u , #»v , #»w} é uma base ortonormal de V3 e calcule as coordenadas
do vetor
#»t = 3 #»ı − 2 #» − #»k em relação à base F.
Nos exercícios 66–73, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonor-
mal de V3.
66. Determine #»u tal que ‖ #»u‖ = 3
√
3 e #»u é ortogonal a #»v = (2, 3,−1) e a #»w = (2,−4, 6). Dos #»u ’s
encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor (1, 0, 0)?
67. Determine #»u tal que ‖ #»u‖ =
√
2, a medida, em graus, do ângulo entre #»u e (1,−1, 0) seja 45 e #»u ⊥
(1, 1, 0).
68. Sabe-se que #»x é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma
√
3 e, sendo θ a medida do ângulo entre
#»x e (0, 1, 0), tem-se cos θ > 0. Determine #»x .
69. Para cada par de vetores a seguir, determine se o ângulo entre #»v e #»w é agudo, obtuso ou reto.
(i) #»v = (2,−1, 3), #»w = (−1, 2,−7)
(ii) #»v = (3, 3, 3), #»w = (2,−2, 2)
(iii) #»v = (1,−1, 2), #»w = (2, 4, 1)
70. Encontre todos os possíveis a, b e c de modo que #»u = (a, b, c) seja ortogonal a ambos os vetores
#»v = (2, 4, 1) e #»w = (2, 4,−1).
71. Determine a projeção ortogonal do vetor #»w sobreo vetor #»v nos casos:
(i) #»w = (1,−1, 2), #»v = (3,−1, 1)
(ii) #»w = (−1, 1, 1), #»v = (−2, 1, 2)
(iii) #»w = (1, 3,−1), #»v = (−3, 2, 0)
72. Dados #»a = (0, 1, 1),
#»
b = (0, 1, 0) e #»c = (1, 1, 0), determine o vetor unitário #»u tal que #»u é ortogonal
a #»c , proj #»a
#»u = (0, 12 ,
1
2 ) e
#»u · #»b > 0. Determine os vetores #»v de norma
√
8, sabendo que o ângulo
entre #»v e #»a mede π3 radianos e que os vetores
#»a , #»c , #»v são linearmente dependentes.
73. Em cada caso, decomponha #»v como uma soma #»v = #»v1 +
#»v2 com
#»v1 paralelo a
#»w e #»v2 ortogonal a
#»w.
(i) #»v = (3, 1,−1), #»w = (1, 2,−1)
(ii) #»v = (2, 3, 1), #»w = (4,−2, 1)
(iii) #»v = (−1,−3, 2), #»w = (0, 1, 3)
74. Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
Em todos os itens,
#»
d , #»v e #»w representam vetores.
(i) Se #»v · #»w = 0, então #»v = #»0 ou #»w = #»0 .
(ii) Se #»v e #»w são ortogonais, então 8 #»v e −4 #»w também são ortogonais.
(iii) Se − #»v é ortogonal a #»w, então #»v é paralelo a #»w.
(iv) Se proj #»d
#»v =
#»
0 , então #»v =
#»
0 .
(v) Se proj #»d
#»v =
#»
0 , então #»v é ortogonal a
#»
d .
(vi) Se #»v é paralelo a
#»
d , então proj #»d
#»v = #»v .
7
75. Sendo E = { #»e1, #»e2, #»e3}, F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases de V3 com
#»
f1 = 2
#»e1 − #»e3
#»
f2 =
#»e2 + 2
#»e3
#»
f3 = 7
#»e3
e #»w = #»e1 +
#»e2 +
#»e3, determine as coordenadas de
#»w em relação à base F.
76. Dadas as bases E = { #»e1, #»e2, #»e3}, F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} e G = { #»g1, #»g2, #»g3} de V3, se valem
#»e1 = 2
#»
f1 +
#»
f2
#»e2 =
#»
f1 −
#»
f2
#»e3 =
#»
f1 +
#»
f3
e

#»g1 =
#»e1 − #»e2
#»g2 =
#»e1 − #»e3
#»g3 =
#»e1 +
#»e3
,
determine todas as matrizes de mudança de base envolvendo essas bases.
77. Utilizando as bases E, F e G do exercício anterior, determine as coordenadas do vetor #»u = 4 #»g1 +
2 #»g2 +
#»g3 em relação às bases E e F.
78. Sejam E = { #»e1, #»e2, #»e3} e F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases de V3 tais que
#»
f1 =
#»e1 − #»e3,
#»
f2 = 3
#»e1 e
#»
f3 = 4
#»e1 − 3 #»e2.
Calcule as coordenadas de #»v = (1, 2,−1)F na base E.
79. Sejam E = { #»e1, #»e2, #»e3} e F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases de V3 tais que
#»
f1 =
#»e1 +
#»e2,
#»
f2 =
#»e1 − #»e3 e
#»
f3 =
#»e2.
Determine a matriz M tal que para todo #»u em V3, vale M[ #»u ]E = [
#»u ]F.
80. Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases E = { #»e1, #»e2, #»e3} e F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} têm a mesma
orientação:
(i)

#»
f1 = 2
#»e1 − #»e2 − #»e3
#»
f2 =
#»e1 − #»e3
#»
f3 =
#»e2
(ii)

#»
f1 =
#»e1 +
#»e2 +
#»e3
#»
f2 =
#»e1 − #»e2 + #»e3
#»
f3 =
#»e1 +
#»e2 − #»e3
Nos exercícios 81–87, assume-se que uma orientação de V3 está fixada.
81. Suponha fixada uma base positiva E de V3. Dados os seguintes conjuntos de vetores, cujas coor-
denadas estão expressas em termos da base E, determine se formam ou não uma base e, em caso
afirmativo, se a base é positiva ou negativa:
(i) {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}
(ii) {(−1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}
(iii) {(1, 0, 1), (−2, 1, 0), (−1, 1,−2)}
(iv) {(1, 2,−1), (1, 3, 2), (1, 0,−7)}
(v) {(1, 1, 1), (0, 1,−1), (−2, 0, 0)}
(vi) {(1, 1, 1), (1, 1,−1), (5, 5, 1)}
82. Suponha que o conjunto ordenado { #»u , #»v , #»w} seja uma base positiva. Determine as relações entre os
números reais a, b, c, para que o conjunto ordenado {a #»u , b #»v , c #»w} seja uma base positiva.
83. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖ # »AB ∧ # »AC‖.
84. Prove que se #»u e #»v não são colineares e #»w ∧ #»u = #»w ∧ #»v = #»0 , então #»w = #»0 . Interprete esse resultado
geometricamente.
85. Seja #»u 6= #»0 . Prove que se #»u · #»v = 0 e #»u ∧ #»v = #»0 , então #»v = #»0 . Interprete esse resultado geometri-
camente.
86. Sendo ‖ #»u‖ = 26, ‖ #»v ‖ = 3 e ‖ #»v ∧ #»u‖ = 72, calcule #»u · #»v sabendo que o ângulo entre #»u e #»v é obtuso.
87. Seja #»v = ( #»a + α
#»
b ) ∧ (2 #»a + #»b ), com α ∈ R. Se ‖ #»a ‖ =
√
2, ‖ #»b ‖ = 1 e a medida do ângulo entre #»a e
#»
b é 3π4 radianos, determine α para que ‖
#»v ‖ = 1.
88. Calcule a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB em função de
# »
AB e
# »
BC.
Nos exercícios 89–99, assume-se que V3 está orientado e que as coordenadas de vetores estão expressas em
relação a uma base ortonormal positiva { #»ı , #» , #»k }.
89. Calcule a área do triângulo ABC, sendo
# »
AC = (−1, 1, 0) e # »AB = (0, 1, 3).
8
90. Dados #»u = (1, 1, 1) e #»v = (0, 1, 2), determine uma base ortonormal positiva { #»a , #»b , #»c } tal que
• #»a e #»u são paralelos e têm o mesmo sentido do que #»u , e
• #»b é combinação linear de #»u e #»v , e sua primeira coordenada é positiva.
91. Resolva o sistema
{
#»x · (2 #»ı + 3 #» + 4 #»k ) = 9
#»x ∧ (− #»ı + #» − #»k ) = −2 #»ı + 2 #»k .
.
92. Determine #»x tal que #»x ∧ ( #»ı + #»k ) = 2( #»ı + #» − #»k ) e ‖ #»x ‖ =
√
6.
93. Seja M o ponto de encontro das diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD. Sendo
# »
BM = (0,−1, 2)
e
# »
AC = (−2, 2, 2), calcule a área do paralelogramo ABCD e a distância do ponto M à reta AB.
94. Seja O um ponto de E3 e considere os pontos R, S, T tais que
# »
OR = (12,−7, 9), # »OS = (14,−6, 9) e
# »
OT = (t + 11, t− 7, 10). Determine a menor área possível para o triângulo RST, em que t percorre
R.
95. Sejam
# »
AB = (1, 0, 1) e
# »
CB = (0, 0, 2).
(i) Mostre que o triângulo ABC é retângulo.
(ii) Determine proj # »BC
# »
AB.
(iii) Calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo ABC.
96. Considere os vetores #»u = (0, 3,−4), #»v = (1, 2,−1), #»w = (1, 0,
√
3) e
#»t = (0, 0, 2). Calcule o volume
do tetraedro ABCD e a altura relativa à base determinada por
# »
AB e
# »
AC, sabendo que
# »
AB = proj #»u
#»v , ‖ # »AC‖ = 1, # »AC// #»w, # »AC · #»w < 0 e
(
proj #»t
# »
AB
)
∧ # »AC = # »BD.
97. Sejam #»u e #»v dois vetores unitários que formam um ângulo de π6 radianos e seja
#»w um vetor ortogonal
a #»u e a #»v de norma igual a 4. Determine
∣∣[ #»u , #»v , #»w]∣∣.
98. Sejam A, B, C e D pontos tais que
• ‖ # »AB‖ = 2, ‖ # »BC‖ = 2 e ‖ # »BD‖ = 1,
• o ângulo entre # »AB e # »BC mede π/3 radianos,
• # »AB e # »AC são paralelos ao plano de equação x− y + z = 0, e
• o vetor (1,−1, 1) faz um ângulo de π/3 radianos com # »BD.
Então, o volume do paralelepípedo que tem os segmentos AB, AC e AD como arestas vale
(A)
√
3
(B) 3
(C) 1
(D)
√
3/2
(E) 1/2
99. Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores #»u , #»v , #»w ∈ V3:
I. #»u = 2 #»v + 2 #»w implica [ #»u , #»v , #»w] = 2‖ #»v ‖2‖ #»w‖+ 2‖ #»v ‖‖ #»w‖2.
II. Se #»u , #»v , #»w são dois a dois ortogonais, então |[ #»u , #»v , #»w]| = ‖ #»u‖‖ #»v ‖‖ #»w‖.
III. [ #»u , #»v , #»w] = [ #»v , #»w, #»u ].
Está correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas.
(C) II e III, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
9
Respostas
1. (i) Incompatível; (ii) (1, 3, 1); (iii) (1− r− s, 2− r− 2s− t, r, 3− 3s, s, t), r, s, t ∈ R;
(iv) (2− t, 2 + 2t, t), t ∈ R
2. (i) b1 = b2 + b3; (ii) b1 = b3 + b4 e b2 = 2b3 + b4; (iii) b1 ∈ R; (iv) b1 6= 2
3. (i) Tem uma única solução quando a 6= 2 e a 6= −1; não tem soluções quando a = −1; tem
infinitas soluções quando a = 2. (ii) Tem infinitas soluções quando a = 0 e b = −1; não tem
soluções quando a = 0 e b 6= −1; tem uma única solução quando a 6= 0.
4. (i) Se a = 2 e b 6= −1, o sistema é inconsistente; se a = 2 e b = −1, é consistente com infinitas
soluções:
(
− 12 −
1
2 t, t
)
, t ∈ R; se a 6= 2, é consistente com uma única solução:
( b+1
2−a ,
−2−ab
2−a
)
.
(ii) Se ab 6= 2, o sistema é consistente com uma única solução; se ab = 2 e b = 5 (ou seja
a = 25 ), é consistente com infinitas soluções; se ab = 2 e b 6= 5, é inconsistente.
(iii) Se a = 1 ou a = −1 e b 6= −1, o sistema é inconsistente; se a = 1 ou a = −1 e b = −1, é
consistente com infinitas soluções: (−5 + 5t, 2− 3t, t), t ∈ R; se a 6= 1 e a 6= −1, é consistente
com umaúnica solução:
(
−5 + 5 b+1a2−1 , 2− 3
b+1
a2−1 ,
b+1
a2−1
)
.
(iv) Se a 6= 0 e b = 2, o sistema é consistente com infinitas soluções (neste caso, as soluções
são da forma
( 2−2r
a ,
2−2r
a , r
)
, r ∈ R); se a 6= 0 e b 6= 2, é consistente com uma única solução (neste
caso, a solução é
( 2−b
a ,
b−2
a , 1
)
; se a = 0 e b = 2, é consistente com infinitas soluções (neste caso,
as soluções são da forma (r, s, 1), r, s ∈ R); se a = 0 e b 6= 2, é inconsistente.
5. a = 2 e b = 4; x = 3 e y = 1
6. (A)
7. (B)
8. (B)
9. (i) verdadeiro; (ii) falso; (iii) falso; (iv) em geral, falso (mas verdadeiro se m = n)
11. (A)
12. (i) X =
 11 12 −3 27 26−6 −8 1 −18 −17
−15 −21 9 −38 −35
; (ii) X =
 2 + λ −1 + µ −1 + γ−2− 2λ 1− 2µ 1− 2γ
λ µ γ

13. C =
6 −14 23 − 152 12
0 12
1
2

14. Basta realizar o produto.
15. A−1 =
[
−1 1
1 − 12
]
, B−1 =
1
3
 1 2 −1−1 1 1
2 −2 1
 , C−1 = 1
9

−2 7 2 −1
−3 −3 3 3
7 −2 2 −1
2 2 −2 1

16. (ii) não; (iii) um exemplo é
[
0 1
0 0
]
17. det A = 126; (i) −126; (ii) 84; (iii) 252; (iv) 126; (v) 126; (vi) 126
18. O determinante da matriz 4× 4 é −26; o da 5× 5 é −2.
19. det A = 673 ; se A é 4× 4, det A =
6
74
20. O determinante da primeira matriz é 48; o da segunda, −48.
21. 5(x− 1)
22. 2 e 2
24. det A = 1 + a2 + b2 + c2 6= 0
26. (i) falsa; (ii) verdadeira; (iii) verdadeira; (iv) falsa; (v) verdadeira; (vi) verdadeira; (vii) falsa;
(viii) falsa; (ix) falsa; (x) verdadeira; (xi) falsa; (xii) falsa; (xiii) falsa
27. n par; n ímpar
28. det
 1 1 1x y z
x2 y2 z2
 = det
 1 0 0x y− x z− x
x2 y2 − x2 z2 − x2
 = (y− x)(z− x)det [ 1 1y + x z + x
]
31. (i) det A = ±1, (ii) det A = 1, (iii) det A = 0 ou det A = 5n, (iv) det A = 0 se n é ímpar,
(v) det A = ±1 se n é par, se n é ímpar é impossível ter A2 = −I, (vi) det A = 0 ou det A = ±1.
(vii) det A = ±1
32. 15 e 9
33. det A = 3
4
5 , det B =
38
53
10
34. (i) A possui inversa se, e somente se, c 6= 0, 1,−1; nesse caso,
A−1 =
1
−c + c3
 c −c c2−(2− c2) 1 −c
−2 1 + c2 −2c

(ii) A possui inversa se, e somente se, c 6= ±1; nesse caso,
A−1 =
1
1− c2
 1− c c− c2 0−1− c 1− c2 1 + c
−2c c− c2 1 + c

35. #»x = − 38
#»u − 54
#»v
36. #»x = 57
#»u + 27
#»v e #»y = 17
#»u − 17
#»v
37. Os vetores soma são:
(i)
A
B C
D
EF (ii)
A
B C
D
EF
40.
# »
AX = − # »OA + 14
# »
OB + 34
# »
OC
41.
# »
CX = 1m+1
# »
CA + m1+m
# »
CB
42.
# »
AP = 29
# »
AB + 23
# »
AC
43. λ = 2 ou λ = −4/3
46. 113
#»v + 13
#»w + 23
#»t
47. (E)
48. (i) L.D.; (ii) L.I.
49. α = 32
50. a = 0,±
√
2
51. Os vetores em (ii), (iii) e (iv) formam base.
52. #»w = (1/2, 1,−1/14)F
54. 22
55. 20
56. ‖ #»u + #»v ‖ = ‖ #»u − #»v ‖ = 13.
57. ‖ #»u + #»v ‖ =
√
129; ‖ #»u − #»v ‖ = 7
58. ‖ #»f ‖ = 15
59. Dica: Mostre que se A, B, C são os vértices do triangulo e G é o baricentro, então
# »
AG = 13 (
# »
AB +
# »
AC).
61. arccos 4√
26
62. (C)
63. − 12
65.
#»t =
( 2√
3
,− 3√
2
, 7√
6
)
F
66. #»u = (3,−3,−3) ou #»u = (−3, 3, 3); ângulo agudo: (3,−3,−3)
67. #»u =
(√2
2 ,−
√
2
2 , 1
)
ou #»u =
(√2
2 ,−
√
2
2 ,−1
)
68. #»x = (−1, 1,−1)
69. (i) obtuso; (ii) agudo; (iii) reto
70. Vetores da forma t(−2, 1, 0), qualquer que seja t ∈ R.
71. (i) 611 (3,−1, 1); (ii)
5
9 (−2, 1, 2); (iii)
3
13 (−3, 2, 0)
72. #»u =
(
− 23 ,
2
3 ,
1
3 ),
#»v = (−2, 0, 2) ou #»v = (2, 2, 0)
73. (i) #»v1 = (1, 2,−1), #»v2 = (2,−1, 0); (ii) #»v1 = 17 (4,−2, 1),
#»v2 = 17 (10, 23, 6); (iii)
#»v1 =
(
0, 310 ,
9
10
)
, #»v2 =(
−1,− 3310 ,
11
10
)
74. (i) falso; (ii) verdadeiro; (iii) falso; (iv) falso; (v) verdadeiro; (vi) verdadeiro
75. #»w =
( 1
2 , 1,−
1
14
)
11
76. MEF =
2 1 11 −1 0
0 0 1
; MFE = M−1EF = 13
1 1 −11 −2 −1
0 0 3

MGE =
 1 1 1−1 0 0
0 −1 1
; MEG = M−1GE = 12
0 −2 01 1 −1
1 1 1

MGF = MEF MGE =
1 1 32 1 1
0 −1 1
; MFG = MEG MFE = 16
−2 4 22 −1 −5
2 −1 1

77. #»u = (7,−4,−1)E; #»u = (9, 11,−1)F
78. (3, 3,−1)E
79. M = MEF = M
−1
FE =
1 1 01 0 1
0 −1 0
−1 =
 1 0 10 0 −1
−1 1 −1

80. (i) mesma orientação; (ii) mesma orientação
81. (i) base negativa; (ii) base positiva; (iii) base negativa; (iv) coplanares; (v) base positiva;
(vi) coplanares
82. abc > 0
83.
√
3
2
86. −30
87. α = 0 ou α = 1
88.
‖ # »AB ∧ # »BC‖
‖ # »AB‖
89.
√
19
2
90. #»a =
( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
;
#»
b =
( 1√
2
, 0,− 1√
2
)
; #»c =
(
− 1√
6
, 2√
6
,− 1√
6
)
91. #»x = (1, 1, 1)
92. #»x = (−1, 2, 1)
93. área = 2
√
14; distância =
√
7
3
94.
√
5
2
95. proj # »BC
# »
AB = (0, 0, 1); altura = 1
96. volume = 875 ; altura =
8
5
√
13
97. 2
98. (A)
99. (C)
12