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Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Equação dos laços (malhas) Um método de analisar um circuito é pela Equação dos Laços, ou das malhas. Esse método consiste em atender a Lei de Kirchoff das tensões, logo, nas equações teremos um valor de corrente multiplicado pelo valor de uma resistência (pela lei de Ohm, E = R I ). Para proceder com esse método, é necessário um número exato de equações que atenda cada circuito, ou seja, precisamos de um número certo de laços (cada laço nos fornece uma equação), e contemplar todos os componentes do circuito (resistores, fontes, etc.) através dos laços. Para conhecermos o número de laços necessário, aplicamos a fórmula: 1 NBL Onde: L Número de laços (equações) necessários. B Número de ramos. Ramo é cada caminho que há entre dois nós. N Número de nós. Um nó é um ponto onde se juntam 3 ou mais componentes simultaneamente. Esses laços são distribuídos de forma totalmente aleatória tanto no sentido quanto no percurso, as únicas regras são: contemplar todos os componentes do circuito, como foi dito acima, e o laço deve sempre percorrer uma malha, que é qualquer percurso fechado no circuito, sem levar em conta se há ou não fontes de tensão. Havendo fontes de corrente no circuito, sugere-se que apenas um laço passe por ela, pois esse laço vai ter o próprio valor da corrente da fonte. Obs: De qualquer maneira que forem distribuídos os laços pelos circuitos obteremos o resultado correto, então, a forma que eles serão distribuídos neste solucionário não é a única forma de solução correta, sendo interessante o aluno distribuir os laços de outras formas também, para melhor fixação do método. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Em alguns circuitos desta lista nos depararemos com sistemas de três equações e três incógnitas, existem muitos métodos para se resolver esses sistemas e você tem liberdade de escolher o método que quiser. Um deles é a Regra de Cramer, um método simples e muito útil. Este apêndice irá tratar resumidamente deste método: Regra de Cramer A Regra diz que: “Se é um sistema de equações lineares em incógnitas tal que, ,então o sistema tem uma única solução. Esta solução é bAx n n A A x det det 1 1 0det A A A x det det 2 2 A A x nn det det ... onde é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de pelas entradas da matriz” jA A nb b b b 2 1 Fonte: Álgebra Linear com Aplicações (8ª edição) - Howard Anton e Chris Rorres APÊNDICE Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Lista 1 Seção 1.1 Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 A) Seguindo os procedimentos descritos no slide introdutório, vamos analisar na prática as informações desse circuito: 1 NBL Lembrando que um nó é a junção de 3 ou mais componentes, observamos que neste circuito temos 2 nós (destacados em vermelho): o de “cima” onde se juntam os resistores de 1Ω, 3Ω, e 2Ω; e o nó de “baixo”, onde se juntam a fonte de 3V e os resistores de 3Ω e 4Ω. Outra informação necessária é o número de ramos, que é o caminho entre dois nós, neste circuito existem 3 ramos, mostrados acima pelas setas azuis. Aplicando a fórmula dos laços necessários: 123 L 2L Logo são necessários 2 laços para que a equação dos laços seja plenamente aplicada neste circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Neste caso, o laço passa pela fonte de 3V no sentido contrário ao da sua corrente, logo seu valor entra na equação com sinal positivo antes da igualdade: Agora distribuímos os dois laços de forma aleatória pelo circuito, atendendo todos os componentes, uma forma possível é: Observe que os dois laços foram distribuídos contemplando todos os componentes. Agora vamos escrever as equações de cada laço, lembrando que escreveremos a Lei de Kirchoff das tensões teremos sempre uma das correntes (laços) acima, multiplicando os resistores que elas percorrem. Um detalhe importante, os dois laços se encontram no resistor de 3Ω na mesma direção, logo eles se somam nas equações. Quando o laço passar por uma fonte de tensão , o valor da tensão da fonte entra na equação antes da igualdade obedecendo a regra abaixo: ai bi ai 03)3()13( ba ii - + *sentido do laço. *sinal que a tensão da fonte vai receber nas equações. *valor da fonte. *resistores que o laço toca *resistor no qual os laços se encontram Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ai bi Observando agora o laço : bi Como ele não passa por nenhuma fonte de tensão, não teremos nenhum valor independente. Os laços se encontram no resistor de 3Ω, mas agora a corrente é nossa referência. Escrevendo sua equação: 0)423()3( ba ii 03)3()4( ba ii Então, montando essas equações em um sistema: 0)9()3( ba ii Aia 1 Aib 3 1 Resolvendo o sistema obtemos: ai bi bi Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ai bi Conhecendo todas as incógnitas necessárias, já podemos encontrar e : 0i 0e A corrente é o próprio valor da corrente calculada, observe no circuito que elas estão no mesmo sentido, por isso são iguais em módulo e magnitude: 0i b i bii 0 Ai 3 1 0 Para a tensão o critério é o mesmo, lembrando que a queda de tensão é sempre contrária ao sentido da corrente, logo a corrente que passa pelo resistor de 4Ω, é positiva em relação a pois estão em sentidos contrários. Logo, pela lei de Ohm: 0e bi 0e 3 1 44 00 eie b Ve 3 4 0 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 B) Antes de tudo, vamos analisar quantos nós e quantos laços esse circuito possui: Como assinalado acima, este circuito possui 2 nós e 3 ramos . Aplicando a fórmula dos laços: 1 NBL 123 L 2L Logo são necessários 2 laços para satisfazer plenamente o circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Vamos distribuir agora de forma aleatória os laços pelos ramos do circuito: ai bi Observe que a corrente passa pelos resistores de 4Ω e 3Ω, e a corrente passa pelos de 3Ω, 2Ω e 1Ω, e as duas correntes se encontram no resistor de 3Ω no sentido contrário entre si. A corrente passa pela fonte de tensão no mesmo sentido de sua corrente, observando mais uma vez a regra, vemos que o valor da fonte será aplicado com sinal negativo antes da igualdade. ai bi ai - + Feitas tais observações, montaremos agora o sistema dos dois laços arbitrados: 05)3()7( ba ii 0)6()3( ba ii ai bi *4+3 *1+2+3 *aqui a corrente aparece negativa pois tomamos por base a corrente . Em relação a , a corrente é negativa! ai bi bi ai Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Resolvendo o sistema de equações: 05)3()7( ba ii 0)6()3( ba ii ai bi Aia 11 10 Aib 11 5 Encontramos : ai bi Voltando ao circuito: A corrente desejada é a própria corrente encontrada, porém, por estar em sentido contrário recebe o sinal negativo: b i0i bii 0 Ai 11 5 0 11 5 0i Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Observe que o laço passa peloresistor de 1Ω no mesmo sentido de . Logo ele será calculado com um sinal negativo. Pela lei de Ohm: bie 10 Ve 11 5 0 11 5 10e 0e Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 C) Observando este circuito, vemos que ele possui 2 nós e 3 ramos: Logo, precisamos de 2 laços para descrever plenamente as equações dos laços para este circuito. 1 NBL 123 L 2L Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo aleatoriamente os laços: Escrevendo as equações, e montando o sistema: ai bi 02)2()3( ba ii 0)9()2( ba ii ai bi Aia 23 18 Aib 23 4 Resolvendo o sistema, encontramos: Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Voltando no circuito: ai bi A corrente possui o mesmo valor que a corrente calculada: bi0i bii 0 Ai 23 4 0 Observe que dois laços passam pelo resistor de 2Ω, onde se quer conhecer a tensão. Neste caso, aplica-se normalmente a lei de Ohm, mas com relação à corrente, faremos um somatório entre elas, as que estão no sentido contrário ao sentido de pré estabelecido terão sinal positivo, e as que estão no mesmo sentido terão sinal negativo. Neste caso será negativa e será positiva: ai 0e bi ab iie 20 23 18 23 4 20e Ve 23 28 0 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 D) Analisando o circuito, observamos que ele possui 2 nós e 3 ramos (os ramos não serão mais destacados daqui em diante) : Logo, precisamos de 2 laços para este circuito. Com isso: 123 L 2L Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo os laços: ai bi Montando as equações: 01)3()3( ba ii 0)10()3( ba ii ai bi O que nos dá: Aia 21 10 Aib 7 1 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Começando pela corrente : Voltando ao circuito para encontrar os valores desejados: ai bi 0i bii 0 7 1 0i Ai 7 1 0 Agora a tensão . Como os dois laços passam no mesmo sentido de , a soma será entre os dois valores negativos: 0e 0 e ba iie 10 7 1 21 10 10e Ve 3 1 0 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 E) Este circuito é um pouco maior, mas não muda em nada o modo de avaliar os nós e ramos que ele possui. Então observe os nós, e os caminhos entre eles mostrados abaixo: Vemos então que o circuito possui 3 nós, e 5 caminhos entre os nós, logo, 5 laços. Aplicando na fórmula: 135 L 3L São necessários 3 laços para este circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo livremente os laços, uma forma possível é: ai bi ci )3(ai 2)1()4( cb ii ai bi Montando as equações para estes laços: )8()1( cb ii 0 0 02 ci Resolvendo o sistema obtemos: Aia 3 2 Aib 31 16 Aic 31 2 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ai bi ci Analisando os laços, vamos encontrar as incógnitas de interesse: Vamos analisar primeiramente as correntes: cii 0 Ai 31 2 0 bii 1 Ai 31 16 1 Agora analisaremos as tensões: cie 30 Ve 31 6 0 aie 21 Ve 3 4 1 31 2 30e 3 2 21e Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 F) Neste circuito, observe que não podemos juntar todos os elementos na linha de baixo em somente um nó. A distribuição dos nós fica da seguinte forma: Então esse circuito possui 4 nós, e 6 ramos. Aplicando à fórmula obtemos: 146 L 3L Sendo necessários 3 laços para descrever plenamente as equações dos laços neste circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo aleatoriamente os laços pelas malhas: ai ci bi Observe que mesmo escolhendo um caminho diferente, pegando os resistores pela malha mais externa, todos os elementos foram contemplados. Montando o sistema de equações para cada laço: 4)5( ba ii )4()11(4 cba iii ai bi 1)4()4( cb ii 0 0 0 ci Resolvendo o sistema obtemos: Aia 19 4 Aib 19 5 Aic 76 39 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ai ci bi Agora que já conhecemos as incógnitas necessárias, iremos encontrar os valores postos pelo problema: ba iii 0 Ai 19 1 0 19 5 19 4 0 i *observe que o laço está no mesmo sentido que , em contrapartida, o laço no contrário. ai 0i bi Analisando a corrente : 0i Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 bie 10 Ve 19 5 0 19 5 10e Analisando agora a queda de tensão : 0e Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 G) Destacando os nós do circuito: Então o circuito possui 3 nós. Os ramos, entre os nós, são 5. 135 L 3L São necessários 3 laços para satisfazer este circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo livremente os 3 laços: Montando o sistema de equações para essa configuração: ai ci bi 2)6( ba ii )1()5(2 cba iii ai bi )4()1( cb ii 0 0 02 ci O sistema nos fornece: Aia 49 19 Aib 49 8 Aic 49 2 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Finalmente, podemos agora encontrar as incógnitas de interesse: ai ci bi cb iii 0 Ai 49 6 0 49 2 49 8 0 i bie 20 Ve 49 16 0 49 8 20e Analisando a corrente : 0i Analisando a queda de tensão : 0e Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 H) Analisando os nós e os ramos deste circuito: Vemos que o circuito possui 3 nós, e 5 ramos: 135 L 3L São necessários 3 laços para descrever plenamente o circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Distribuindo arbitrariamente os laços pelas malhas: ai ci Montando as equações de cada laço: 3)6( ba ii 2)1()4(3 cba iii ai bi )2()1( cb ii 0 0 0 ci Aia 2 1 Aib 1 Aic 2 1 Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Encontrando os valores de interesse: ai ci ba iii 0 Ai 2 1 0 1 2 1 0 i cb iie 10 Ve 2 1 0 2 1 110e Obtendo a corrente : 0i Obtendo a queda de tensão : 0e Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 I) Este circuito possui uma particularidade, há um curto ligado após a fonte de tensão, impedindo que os três resistores que estão diretamente em paralelo com este curto recebam corrente. Se eles não recebem corrente, fica claro que não interferem em nada no circuito, podendo ser descartados diretamente. Então, simplesmente ignoraremos esses três resistores a partir de agora, e não passaremos laço algum por eles. Conforme destacado acima, o circuito possui 3 nós, e 5 ramos: 135 L 3L Precisamos de 3 laços para aplicar as equações dos laços, neste circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ai bi ci Então, distribuiremos os laços ignorando os três resistores que não recebem corrente da fonte:Montando as equações dos laços arbitrados: 1)1( ba ii )2()6(1 cba iii ai bi )3()2( cb ii 0 0 01 ci Aia 11 14 Aib 11 3 Aic 11 2 O que nos fornece: Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 cii 0 Ai 11 2 0 Calculando, agora, as variáveis de interesse: Ve 00 Obtendo a corrente : 0i A tensão está situada em um resistor que não recebe corrente, se não há corrente passando por ele, logo não há tensão retida nele. Então: 0e ai bi ci Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 J) Encontrando os nós e os ramos no circuito: Logo o circuito possui 3 nós, e 6 caminhos entre dois nós consecutivos, ou seja, 6 ramos: 136 L 4L Precisamos de 4 laços para atender este circuito. Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Passando esses 4 laços livremente pelo circuito: ai bi ci di Montando as equações destes laços: 3)6( ba ii )4(3 ba ii ai bi 1)3()3( dc ii 0 0 01 ci )6()3( dc ii 0 di Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 Resolvendo esse sistema: mAia 15 4 mAib 5 1 mAic 3 2 mAid 3 1 Encontrando os valores de interesse: ai bi ci di cd iii 0 mAi 3 1 0 mmi 3 2 3 1 0 Obtendo a corrente : 0i Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 ab iike 20 Ve 15 2 0 mmke 15 4 5 1 20 Obtendo a queda de tensão : 0e
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