AulaTeorica 4 Limite

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1 
 
 
Limite e 
Continuidade 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
Prof. Thales Maier de Souza 
2 
Conteúdos da Aula 
 Limites no Infinito; 
 Limites Infinitos; 
 Assíntotas; 
 Limites Fundamentais; 
 Continuidade; 
 Propriedades das funções contínuas. 
 
 
3 
Limites no Infinito 
Lxf
x


)(lim
 Definição: 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, +). 
Escrevemos: 
 se para qualquer   0, existe um A  0 tal que f(x) - L   
sempre que x > A. 
4 
Limites no Infinito 
 Definição: 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (-, b). 
 Escrevemos: 
Lxf
x


)(lim
 se para qualquer   0, existe um B < 0 tal que 
f(x) - L   sempre que x < B. 
5 
Limites no Infinito 
 Teorema: 
 Se n é um número racional positivo, 
então: 
0
1
lim)(
0
1
lim)(




nx
nx
x
ii
x
i
6 
Observação: As propriedades dos limites apresentadas na 
aula anterior continuam válidas para limites no infinito, 
bem como o Teorema do Confronto, ou seja: 
 Teorema do Confronto: 
 Se 𝑓 𝑥 ≤ 𝑕 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 para todo 𝑥 em um intervalo 
(a, +∞), ou respectivamente (−∞, 𝑎) e se 
lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝐿 = lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥) 
 Então, 
lim
𝑥→±∞
𝑕 𝑥 = 𝐿 
7 
Limites no Infinito 
 Exemplo 1: 
8
52
lim)(lim)(
Determinar



 x
x
xfi
xx
Temos uma indeterminação do tipo 
∞
∞
 
 
 8lim
52lim
8
52
lim












 x
x
x
x
x
x
x
8 








 8
52
lim)(
x
x
i
x
)81(
)52(
lim
x
x
x
x
x 



 Solução: 
)81(lim
)52(lim
x
x
x
x





)81(
)52(
lim
x
x
x 



x
x
xx
xx
8lim1lim
5lim2lim
 





x
x
xx
xx
1lim81lim
1lim52lim





2
0.81
0.52
 



9 
Limites no Infinito 
 Exemplo 2: 24
32
lim)(lim)(
Determinar
5
3



 x
x
xfii
xx
Novamente, temos uma indeterminação do tipo 
∞
∞
 
10 



 24
532
lim)(
5
3
x
xx
ii
x
 Solução: 
 
 55
32
3
24
532
lim
x
x
xx
x
x 


0
4
2
.0 
 
 52
32
24
532
lim
x
x
xx
x 


 
 5
32
2 24
532
lim
1
lim
x
xx
x xx 


11 
Limites Infinitos 
 Definição: 
 Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto 
contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: 
 se para qualquer A  0, existe um   0 tal que f(x) > A 
sempre que 0< x - a   . 


)(lim xf
ax
12 
Limites Infinitos 
 Definição: 
 Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, 
exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: 
 se para qualquer B < 0, existe um  > 0, tal que f(x) < B 
sempre que 0< x - a   . 


)(lim xf
ax
13 
Limites Infinitos 
Além dos limites infinitos definidos anteriormente, podemos 
ainda considerar os limites laterais infinitos e os limites 
infinitos no infinito. 
Vejamos: 
.)(lime)(lim
,)(lim,)(lim,)(lim
,)(lim,)(lim,)(lim








xfxf
xfxfxf
xfxfxf
xx
xxax
axaxax
14 
Existem definições formais para cada um dos limites 
apresentados. 
Por exemplo: 
Dizemos que lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 =+∞ se para qualquer 𝐴 > 0, existe 
um 𝛿 > 0 tal que 𝑓 𝑥 > 𝐴 sempre que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎. 
15 
Limites Infinitos 
 Teorema: 
 Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: 













ímpar ése,
par ése,1
lim)(
1
lim)(
0
0
n
n
x
ii
x
i
n
x
n
x
16 
A tabela a seguir nos fornece um resumo dos fatos principais válidos para 
os limites infinitos, onde podemos ter 𝒙 → 𝒂, 𝒙 → 𝒂+, 𝒙 → 𝒂−, 𝒙 →
+ ∞, 𝒙 → −∞. 
17 
Na tabela 0+ indica que a função tende a zero por valores 
positivos e 0− indica que a função tende a zero por valores 
negativos. 
18 
Limites Infinitos 
 Exemplo 3: 
 23
00
1lim)(lim)(
Determinar
x
xxxfiii
xx

 
19 
 23
0
1lim)(
x
xxiii
x

 Solução:    2
00
3 
0
1 lim lim lim
x
xx
xxx  

= +∞ 
     2
00
3
0
1 lim lim lim
x
xx
xxx  

20 
Limites Infinitos 
 Exemplo 4: 
? 
 143lim)(lim
Determinar
35 

xxxf
xx
Temos uma indeterminação do tipo ∞ − ∞ 
21 
 143lim)(lim 35 

xxxf
xx
 Solução: 
  525 143lim xxxx            525 1lim1lim43limlim xxx xxxx  

22 
Assíntotas 
Encontramos com muita frequência gráficos que se 
aproximam de uma reta a medida que x cresce ou decresce. 
23 
Assíntotas 
Esta retas são chamadas assíntotas. 
Particularmente analisaremos com mais atenção as 
assíntotas horizontais e verticais. 
24 
Assíntotas 
 Definição: 
 A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = 
f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for 
verdadeira: 












)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
xfiv
xfiii
xfii
xfi
ax
ax
ax
ax
25 
 Exemplo 5: 
 
assíntota. aencontrar e 
2
1
lim
Determinar
22  xx
 Solução: 
 


2
2 2
1
lim
xx  


2
2 2
1
lim
xx

 


22 2
1
lim
xx
Logo, 
Assíntota vertical: 𝑥 = 2 
26 
Assíntotas 
 Definição: 
 A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y 
= f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for 
verdadeira: 
bxfii
bxfi
x
x




)(lim)(
)(lim)(
27 
Assíntotas 
 Exemplo 6: 
As retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 são assíntotas horizontais do 
gráfico de 
𝑦 =
𝑥
𝑥2 + 2
 
Pois, 
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥2 + 2
= 1 
 
e 
 
lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑥2 + 2
= −1 
 
28 
Assíntotas 
 Definição: 
 A reta y = ax + b é uma assíntota inclinada do gráfico 
de y = f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações 
for verdadeira: 
 
  0)()(lim)(
0)()(lim)(




baxxfii
baxxfi
x
x
29 
 Exemplo 7: 
Verifique que a reta 𝑦 = 2𝑥 é assíntota do gráfico de 
𝑦 =
2𝑥3
𝑥2 + 4
 
 
30 
Limites Fundamentais 
 Proposição: 
 
)1,0(ln 
1
lim)3(
8459...2,71828182 é aproximadovalor 
 cujo neperiano irracional número o é onde
,11lim)2(
1
sen 
lim)1(
0
 
0







aaa
x
a
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
31 
Limites Fundamentais 
 Exemplo 8: Calcule 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
 
Solução: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
 . 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
4𝑥
 .4𝑥
 
 
 = 
3lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
 
4lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
4𝑥
 
 
 
 = 
3
4
 .
1
1
 = 
3
4
 
1
sen 
lim
lFundamenta Lim.
0

 x
x
x
32 
Limites Fundamentais 
 Exemplo 9: Calcule 
lim
𝑥→+∞
1 +
2
𝑥
𝑥+1
 
Solução: 
lim𝑥→+∞
1 +
2
𝑥
𝑥+1
= lim
𝑥→+∞
1 +
2
𝑥
𝑥
1 +
2
𝑥
 
 
 = lim
𝑥→+∞
1 +
1
𝑥
2
𝑥
2
.2 
lim
𝑥→+∞
1 +
2
𝑥
 
 
 = 𝑒2. 1 = 𝑒2 
  ,11lim
lFundamenta Lim.
 
e
x
x
x


33 
Continuidade 
 Definição: 
 Dizemos que a função f é contínua no ponto a se todas 
as condições forem satisfeitas: 
)()(lim(c)
existe; )(lim)(
; ponto no definida é )(
afxf
xfb
afa
ax
ax



34 
Funções não-contínuas em um ponto 𝒂 
35 
Continuidade 
 Exemplo 8: Sejam as funções: 
a) 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
, 
 
 
b) 𝑔 𝑥 = 
𝑥2−1
𝑥−1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
1 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
, 
 
 
c) h 𝑥 = 
𝑥2−1
𝑥−1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
2 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 
 
 
h(x) 
Não é contínua em 𝑎 = 1 
Não é contínua 
em 𝑎 = 1 
É contínua em 𝑎 = 1 
36 
Propriedades das Funções Contínuas 
 Proposição: 
 Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então: 
 
 
 
0. que desde em contínua é )(
 em contínua é )(
 em contínua é )(
 em contínua é )(









g(a)a
g
f
iv
agfiii
agfii
agfi
,
;
;
;
37 
Propriedades das Funções Contínuas 
 Proposição: 
 
real; número todopara 
contínua é polinomial função Uma)i(
;seu do pontos os todosem
 contínua é racional função Uma(ii)
domínio ; real número todopara contínuas são 
cos e funções As(iii)
x
xf(x)xsenf(x) 
 . real número todopara 
contínua é lexponencia funçãoA (iv)
x
ef(x) x
38 
 Exemplo 9: Calcule: 
lim
𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 + cos 𝑥
 
 A função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (numerador) é contínua; 
 
 A função 𝑔 𝑥 = 2 + cos 𝑥 (denominador) é contínua; 
 
 A função 𝑔(𝑥) nunca é zero, pois −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1; 
 
 Logo a função 𝑕 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2+cos 𝑥
 é contínua em todo 
ponto 𝑥 ∈ ℝ. 
 Portanto: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2+𝑐𝑜𝑠 𝑥
=𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
𝑕 𝑥 = 𝑕 𝜋 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋
2+𝑐𝑜𝑠 𝜋
=
0
2−1
= 0 
 
 
 
 
 
 
39 
Propriedades das Funções Contínuas 
bxf
ax


)(lim
 Proposição: 
 Se f e g são funções tais que 
 e g é contínua em b. 
 
Então, 
lim
𝑥→𝑎
(𝑔0𝑓) 𝑥 = 𝑔(𝑏) 
ou seja, 
   )(lim)(lim xfgxfg
axax 

40 
 Exemplo 10: Calcule: 
lim
𝑥→0
 𝑠𝑒𝑛 
𝜋 − 𝑥
2 − 𝑥
 
 Temos lim
𝑥→0
 
𝜋− 𝑥
2−𝑥
=
𝜋
2
; 
 
 A função 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é contínua, logo 
 lim
𝑥→0
 𝑠𝑒𝑛 
𝜋− 𝑥
2−𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 lim
𝑥→0
 
𝜋− 𝑥
2−𝑥
 
 
= 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1. 
 
Propriedades das Funções Contínuas 
41 
 Proposições: 
 Se 𝑓 é contínua em 𝑎 e 𝑔 é contínua em 𝑓(𝑎), 
então a função composta 𝑔0𝑓 é contínua no 
ponto 𝑎. 
 Seja y = f(x) uma função definida e contínua 
num intervalo I. Seja J = Im(f), se f admite 
uma função inversa g = f -1 : J → I, então g é 
contínua em todos os pontos de J. 
42 
OBSERVAÇÃO: 
Como consequência da Proposição anterior temos que a 
função 𝐟 𝐱 = 𝐥𝐧𝒙 é contínua em todos os pontos de seu 
domínio uma vez que esta é inversa da função 𝒆𝒙 que é 
contínua. 
43 
 Definição: 
 Seja f definida num intervalo fechado [a, b]. 
 
a. ponto no 
 que dizemos ),()(lim Se)(
a
 à direitaé contínua
fafxfi
x


b. ponto no 
 que dizemos ),()(lim Se)(
b
a à esquerdé contínua
fbfxfii
x


]. ,[ fechado intervalo no contínua é que dizemos , em 
esquerda à contínua e em direita à contínua é ), ,( aberto 
 intervalo do ponto todoem contínua é Se)(
bafb
afba
fiii
44 
 Teorema do Valor Intermediário: 
. que tal] ,[ 
um menos pelo existe então , 
ou que talnúmero um é e 
] ,[ fechado intervalo no contínua é Se
Lf(x)bax
f(a)Lf(b)
f(b)Lf(a)L
baf



Este teorema nos mostra que as 
funções contínuas em um 
intervalo muitas vezes são 
consideradas como funções cujo 
gráfico pode ser traçado sem 
levantar o lápis do papel, isto é, 
sem interrupções. 
45 
Consequência do Teorema do Valor 
Intermediário: 
Se 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) tem sinais 
opostos, então existe pelo 
menos um número 𝑐 tal que 
𝑓(𝑐) = 0.