gabarito aula de revisao 1 com gabarito b22015

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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2015 (Aula de revisa˜o - Gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(Moscas de frutas) Abaixo listamos os comprimentos de to´rax (em mil´ımetros) de duas amostra
de moscas-macho de frutas de uma regia˜o dos Estados Unidos. Responda.
Tipos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T1 0,72 0,90 0,84 0,68 0,84 0,90 0,92 0,84 0,64 0,84 0,76
T2 0,61 0,70 0,67 0,95 0,67 0,70 0,71 0,67 0,57 0,67 0,99
(a) Calcule a me´dia, desvio padra˜o, Q1, Q2 (mediana), Q3 e coeficiente de variac¸a˜o (CV) para os
dois tipos de moscas de frutas. Fac¸a um breve comenta´rio (quando pertinente) das medidas
encontradas.
Resposta:
Me´dias:
T¯1 :
∑n
i=1 T1i
n
= 0,72+0,90+...+0,76
11
= 0, 8073.
T¯2 :
∑n
i=1 T2i
n
= 0,61+0,70+...+0,99
11
= 0, 7191.
Desvios:
sT1 =
√
s2T1 =
√∑n
i=1(T1i− ¯T1i)2
n−1 =
√
(0,72−0,8073)2+(0,90−0,8073)2+...+(0,76−0,8073)2
11−1 = 0, 0939.
sT2 =
√
s2T2 =
√∑n
i=1(T2i− ¯T2i)2
n−1 =
√
(0,61−0,7191)2+(0,70−0,71913)2+...+(0,99−0,7191)2
11−1 = 0, 1309.
Para obtermos os valores de Q1, Md e Q3 necessitamos dos dados ordenados.
Valores ordenados na tabela a seguir:
Tipos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T1 0,64 0,68 0,72 0,76 0,84 0,84 0,84 0,84 0,90 0,90 0,92
T2 0,57 0,61 0,67 0,67 0,67 0,67 0,70 0,70 0,71 0,95 0,99
Quantis: Apo´s ordenar os valores de T1 e T2, como dado na tabela acima, temos que:
Para as moscas-macho Tipo 1
Posic¸a˜o de Q1T1: 0,25×(12)=3 ⇒ Q1T1=0,72.
Assim, 25% das moscas-macho do tipo 1 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,72 mm.
Posic¸a˜o da Md(T1): 0,50×(12)=6 ⇒ Md(T1)=0,84.
Assim, 50% das moscas-macho do tipo 1 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,84 mm.
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Posic¸a˜o de Q3T1: 0,75×(12)=9 ⇒ Q3T1=0,90.
Assim, 75% das moscas-macho do tipo 1 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,90 mm.
Para as moscas-macho Tipo 2
Q1T2=0,67.
Assim, 25% das moscas-macho do tipo 2 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,67 mm.
Md(T2)=0,67.
Assim, 50% das moscas-macho do tipo 2 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,67 mm.
Q3T2=0,71.
Assim, 75% das moscas-macho do tipo 2 tem comprimento de to´rax menor ou igual a 0,71 mm.
Coeficientes de variac¸a˜o:
CVT1 =
sT1
T¯1
× 100 = 0,0939
0,8073
× 100 = 11, 635.
CVT2 =
sT2
T¯2
× 100 = 0,1309
0,7191
× 100 = 18, 20.
Em resumo, temos que:
Tipos / Medidas Me´dia DP CV Min Q1 Q2 Q3 Max
T1 0,8073 0,0939 11,635 0,64 0,72 0,84 0,90 0,92
T2 0,7191 0,1309 18,20 0,57 0,67 0,67 0,71 0,99
Notamos que, em termos das medidas de posic¸a˜o (me´dia, mediana, Q1 e Q3) as moscas do
tipo T1 apresentam medidas de comprimentos do to´rax maiores do que as moscas do tipo T2.
Considerando a dispersa˜o relativa a` me´dia, medida pelo coeficiente de variac¸a˜o (CV), os com-
primentos do to´rax sa˜o mais dispersos nas moscas do tipo T2. �
(b) Qual e´ o intervalo central de comprimento do to´rax, para o tipo 1 e o tipo2, tal que contenha
50% dos valores?
Resposta:
O intervalo central que conte´m 50% dos valores e´ [Q1, Q3]. Assim,
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em T1 o intervalo central e´ [0, 72; 0, 90]⇒ IIQ = 0, 90− 0, 72 = 0, 18
em T2 o intervalo central e´ [0, 67; 0, 71]⇒ IIQ = 0, 71− 0, 67 = 0, 04
�
(c) Construa os correspondentes box-plots (em um mesmo gra´fico). Fac¸a um breve comenta´rio
dos gra´ficos.
Resposta:
Para construir o boxplot precisamos das 5 medidas (Min, Q1, Q2, Q3 e Max), bem como as
linhas LI e LS.
Enta˜o, temos que:
Limites LI e LS, moscas tipo T1
LI = Q1T1 − 1, 5(Q3T1 −Q1T1) = 0, 72− 1, 5(0, 90− 0, 72) = 0, 45.
LS = Q3T1 + 1, 5(Q3T1 −Q1T1) = 0, 90 + 1, 5(0, 90− 0, 72) = 1, 17.
Limites LI e LS, moscas tipo T2
LI = Q1T1 − 1, 5(Q3T1 −Q1T1) = 0, 67− 1, 5(0, 71− 0, 67) = 0, 61.
LS = Q3T1 + 1, 5(Q3T1 −Q1T1) = 0, 71 + 1, 5(0, 71− 0, 67) = 0, 77.
Figura 1: Boxplot dos comprimentos dos to´rax.
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A caixa e´ delimitada por Q1 e Q3 e a linha central e´ o Q2 (ou Md). Depois verificamos se ha´
pontos aberrantes, ou seja, se ha´ pontos menores ou iguais a LI e pontos maiores ou iguais a
LS. Para este conjunto de dados, LI = 0, 61 e LS = 0, 77.
Olhando os dados ordenados temos os seguintes pontos aberrantes: 0,57; 0,61; 0,95; 0,99.
Marcamos esses pontos no gra´fico.
Os ”brac¸os´´ do boxplot va˜o do Q1 ate´ o primeiro ponto maior que LI e do Q3 ate´ o maior
ponto menor que LS.
Para as moscas do T1, na˜o ocorre valores discrepantes de comprimento de to´rax.
Por fim, no geral, os comprimentos do to´rax das moscas do tipo 1 apresentaram maiores
valores do que para as moscas do tipo 2 e ambos os conjuntos de dados sa˜o assime´tricos. �
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Exerc´ıcio 2.
As vendas da Sunflowers Roupas, uma cadeia de lojas de roupas de primeira linha, teˆm aumentado
durante os u´ltimos 12 anos. Um novo diretor de planejamento acredita que o tamanho da loja
contribui significativamente para as vendas da loja e deseja utilizar essa relac¸a˜o no processo de
tomada de decisa˜o. Para examinar a relac¸a˜o entre o tamanho de uma loja, medido atrave´s de sua
a´rea em milhares de pe´s quadrados, e as suas vendas anuais em milho˜es de do´lares, foi selecionada
uma amostra de 14 lojas da Sunflowers Roupas.
Loja A´rea (Pe´s Quadrados) (X) Vendas Anuais (Y)
1 1,7 3,7
2 1,6 3,9
3 2,8 6,7
4 5,6 9,5
5 1,3 3,4
6 2,2 5,6
7 1,3 3,7
8 1,1 2,7
9 3,2 5,5
10 1,5 2,9
11 5,2 10,7
12 4,6 7,6
13 5,8 11,8
14 3 4,1
(a) Construa o diagrama de dispersa˜o e interprete o relacionamento entre as varia´veis.
Resposta:
O diagrama de dispersa˜o pode ser obtido pelo Rcmdr, depois de importado o arquivo de
dados, por:
Gra´ficos → Diagrama de dispersa˜o, e escolhemos as varia´veis de interesse, neste caso, Vendas
anuais e A´rea (Pe´s quadrados).
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Figura 2: Diagrama de dispersa˜o: Vendas anuais vs. A´rea (pe´s quadrados).
Segundo a Figura 2, o diagrama de dispersa˜o sugere a existeˆncia de relac¸a˜o linear crescente
entre a a´rea e as vendas anuais. A` medida que o tamanho da loja aumenta, as vendas anuais
tambe´m crescem.
�
(b) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson entre X e Y.
Resposta:
O coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson pode ser calculado como:
r =
∑n
i=1(xi − x)(yi − y)
(n− 1)sxsy .
em que x e y sa˜o as me´dias amostrais de X e Y , respectivamente, e sx e sy sa˜o os desvios
padra˜o de X e Y , respectivamente.
Alternativamente, podemos calcular o coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson como:
r =
∑n
i=1 xiyi − nx y
(n− 1)sxsy .
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Do enunciado temos que:
n∑
i=1
xi = 40, 9 ;
n∑
i=1
yi = 81, 8
n∑
i=1
x2i = 157, 41 ;
n∑
i=1
y2i = 594, 9 ;
n∑
i=1
xiyi = 302, 3
assim temos que:
• x =
∑n
i=1 xi
n
=
40, 9
14
= 2, 921;
• y =
∑n
i=1 yi
n
=
81, 8
14
= 5, 843;
• sx =
√∑n
i=1 x
2
i − nx2
n− 1 =
√
157, 41− 14× (2, 921)2
13
=
√
37, 924
13
=
√
2, 917 ∼= 1, 708;
• sy =
√∑n
i=1 y
2
i − ny2
n− 1 =
√
594, 9− 14× (5, 843)2
13
=
√
116, 954
13
=
√
8, 996 ∼=2, 999.
Portanto, o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson entre X e Y e´ dado por:
r =
302, 3− 14× (2, 921)(5, 843)
13× (1, 708)(2, 999) =
63, 327
66, 598
= 0, 951
Nota-se que o valor de r e´ bem pro´ximo de 1, indicando que ha´ uma forte correlac¸a˜o linear
positiva entre as varia´veis a´rea e vendas, ou seja, a` medida que a a´rea (pe´s quadrados) de
uma loja aumenta a sua venda anual aumenta, o que e´ coerente com o gra´fico (Figura 2) de
dispersa˜o apresentado anteriormente. �
(c) Ajuste uma reta de regressa˜o para a relac¸a˜o entre as varia´veis Y: Vendas anuais (dependente)
e X: A´rea (independente). Interprete o valor do coeficiente angular obtido.
Resposta:
A equac¸a˜o da reta de regressa˜o relacionando as varia´veis Y e X e´ dada por:
Yˆ = a+ bX
em que
b =
∑n
i=1 xiyi − nx y
(n− 1)s2x
=
302, 3− 14× (2, 921)(5, 843)
13× (1, 708)2 =
63, 327
37, 924
= 1, 670
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a = y − bx = 5, 843− 1, 670× 2, 921 = 0, 964.
A reta de regressa˜o estimada da varia´vel vendas anuais (Y) em func¸a˜o da a´rea (pe´s quadrados)
(X) e´ dada por
Yˆ = 0, 964 + 1, 670X.
Logo, para um aumento de um pe´ quadrado na a´rea (X) das lojas, a venda anual (Y ) au-
menta, em me´dia, 1,67 milho˜es de do´lares. �
(d) Considerando a reta ajustada em (c), estime a venda anual me´dia das loja com 5 pe´s qua-
drados.
Resposta:
Para X = 5, temos que Yˆ = 0, 964+1, 670×5 = 9, 314. Logo, considerando as lojas com 5 pe´s
quadrados, espera-se que, em me´dia, suas vendas anuais sejam de 9, 314 milho˜es de do´lares. �
Exerc´ıcio 3.
Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeic¸o˜es: salada completa ou um prato
a` base de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das
mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses sa˜o homens. Para um fregueˆs sorteado ao acaso desse
restaurante, obtenha a probabilidade de:
(a) Preferir salada.
Consideram-se os seguintes eventos:
H: fregueˆs e´ homem ; S: fregueˆs prefere salada; M: fregueˆs e´ mulher ; C: fregueˆs
prefere carne.
Temos pelo enunciado: P(H) = 0,75, P (S/H) = 0,20 e P(C/M) = 0,30. Com
isso, podemos construir o seguinte diagrama de a´rvore:
Resposta:
Temos que calcular P(S). Utilizando o diagrama de a´rvore, temos que:
P (S) = P (S ∩H) + P (S ∩M) = 0, 15 + 0, 175 = 0, 325.
�
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(b) Preferir carne dado que e´ um homem.
Resposta:
Temos que calcular P(C/H). Pelo diagrama de a´rvore, tem-se: P (C/H) = 0, 80. �
(c) Ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada.
Resposta:
Temos que calcular P(M / S). Mas, sabemos que
P (M/S) =
P (M ∩ S)
P (S)
=
0, 175
0, 325
= 0, 538.
�
Exerc´ıcio 4.
Um estudo realizado por uma empresa de turismo indica que 30% dos passageiros que utilizam
certo aeroporto realizam voos de curta distaˆncia, de ate´ 500 milhas. Selecionando se aleatoria-
mente 25 passageiros desse aeroporto, determine:
(a) A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distaˆncia;
Resposta:
Seja X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero de passageiros que utilizam o aeroporto
e realizam voos de curta distaˆncia de ate´ 500 milhas, dentre os 25 selecionados. Enta˜o,
X ∼ b(25; 0, 30).
A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distaˆncia e´
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P (X ≥ 12) = 1− P (X ≤ 11) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1) + ...+ P (X = 11)]
= 1− 0, 95575 = 0, 04425.
�
(b) A probabilidade de que no ma´ximo 13 sejam passageiros de voos de curta distaˆncia;
Resposta:
P (X ≤ 13) = P (X = 0) + P (X = 1) + ...+ P (X = 13) = 0, 994. �
(c) A probabilidade de que exatamente 10 na˜o sejam passageiros de voos de curta distaˆncia;
Resposta:
Defina a varia´vel aleato´ria Y como o nu´mero de passageiros que utilizam o aeroporto e na˜o
realizam voos de curta distaˆncia, dentre os 25 selecionados.
Enta˜o, Y ∼ b(25; 0, 70). Ale´m disso, temos que Y = k quando X = 25 − k, para k =
0, 1, . . . , 25, visto que X + Y = n = 25.
Assim a probabilidade de que exatamente 10 na˜o sejam passageiros de voos de curta distaˆncia
e´ P (Y = 10) = P (X = 15) = 0, 001325. �
(d) O nu´mero esperado de passageiros de voos de curta distaˆncia? E qual e´ o desvio padra˜o?
Resposta:
O nu´mero esperado de passageiros de voos de curta distaˆncia, e´ µ = E(X) = np = 25×0, 30 =
7, 5 passageiros e desvio padra˜o σ =
√
V ar(X) =
√
np(1− p) = √25× 0, 30× 0, 70 =√
5, 25 = 2, 2913 passageiros. �
Exerc´ıcio 5.
Os pesos dos alunos de uma determinada universidade distribuem-se de acordo com uma dis-
tribuic¸a˜o normal com me´dia 65 kg e desvio padra˜o 5 kg. A Escola de Educac¸a˜o F´ısica dessa
universidade classifica os alunos da seguinte forma:
(a) Determine a porcentagem de alunos que recebe cada uma das treˆs classificac¸o˜es.
Resposta:
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Peso(X) Classificac¸a˜o
X < 57,5 Abaixo da me´dia
57,5 < X < 74 Me´dia
X > 74 Acima da me´dia
Seja X: peso dos alunos da universidade, enta˜o, temos que X ∼ N(65; 52). A porcentagem
de alunos classificados como Abaixo da me´dia e´:
P (X < 57, 5) = P
(
(X − 65)
5
<
57, 5− 65
5
)
= P (Z < −1, 5) = P (Z > 1, 5)
= 1− P (Z < 1, 5) = 1− A(1, 5) = 1− 0, 9332 = 0, 0668 (6, 68%).
A porcentagem de alunos classificados como na Me´dia e´:
P (57, 5 < X < 74) = P
(
57, 5− 65
5
<
X − 65
5
<
74− 65
5
)
= P (−1, 5 < Z < 1, 8)
= P (Z < 1, 8)− P (Z < −1, 5) = P (Z < 1, 8)− P (Z > 1, 5)
= P (Z < 1, 8)− (1− P (Z < 1, 5)) = A(1, 8)− (1− A(1, 5))
= 0, 96411− 1 + 0, 9332 = 0, 8973 (89, 73%).
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A porcentagem de alunos classificados como acima da me´dia e´:
P (X > 74) = P
(
X − 65
5
5 > 74− 65
5
)
= P (Z > 1, 8) = 1− P (Z < 1, 8)
= 1− A(1, 8) = 1− 0, 96411 = 0, 0359 (3, 59%).
�
(b) Suponha que a Escola de Educac¸a˜o F´ısica atribua a classificac¸a˜o “Muito abaixo da me´dia”
aos 1% dos alunos com os pesos mais baixos e a classificac¸a˜o “Muito acima da me´dia” aos
2% com pesos mais altos. Determine os limites de peso dessas duas classificac¸o˜es.
Resposta:
O limite de peso para ser classificado como “Muito abaixo da me´dia” (x1) e´ tal que 0, 01 =
P (X < x1) = P
(
Z < x1−65
5
)
.
Da tabela, temos que z1 =
x1−65
5
= −2, 33. Logo, x1 = 65− 5× 2, 33 = 53, 35.
Portanto, os alunos com peso inferior a 53,35 kg sera˜o classificados como “Muito abaixo da
me´dia”.
O limite de peso para ser classificado como “Muito acima da me´dia” (x2) e´ tal que
0, 02 = P (X > x2) = P (Z >
x2−65
5
).
Temos que A(z2) = 0, 98 e, pela tabela, z2 = 2, 054 =
x2−65
5
. Logo, x2 = 65 + 5 × 2, 054 =
75, 27.
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Portanto, os alunos com peso superior a 75,27 kg sera˜o classificados como “Muito acima da
me´dia”. �
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