Lista de Revisão 1

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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B – 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios – Revisa˜o 1
Exerc´ıcio 1.
Os dados abaixo referem-se aos instantes de chamadas para atendimentos em uma rodovia em
dois dias consecutivos. Calcule para cada dia, a me´dia, mediana e o coeficiente de variac¸a˜o.
Construa os bloxpots e compare as varia´veis instantes de chegada dos dois dias.
1o dia 0,55 1,30 4,00 5,20 5,20 6,35 6,55 7,42 9,20 9,20
9,30 10,32 10,40 10,50 11,05 11,30 12,10 15,35 16,00 16,10
16,15 17,30 17,35 17,50 17,53 19,20 20,35 21,45 22,00 23,15
23,20 23,50
2o dia 4,20 7,00 7,10 8,25 10,10 12,25 12,25 12,40 13,45 14,45
14,45 15,20 15,20 15,35 16,30 16,42 16,42 17,00 17,00 17,00
19,05 22,55
Soluc¸a˜o.
Para o primeiro dia temos:
x¯ =
32∑
i=1
xi/32 = (0, 55 + 1, 30 + · · ·+ 23, 50)/32 = 416, 07/32 = 13, 002.
Mediana: com os dados ordenados, a mediana e´ o valor que ocupa a posic¸a˜o (32+1)/2=
16,5. Neste caso, ela e´ a me´dia dos valores que esta˜o nas posic¸o˜es 16 e 17:
Md = (11, 30 + 12, 10)/2 = 11, 70.
s2 =
32∑
i=1
(xi − x¯)2/(32− 1) =
(
(0, 55− 13, 002)2 + · · ·+ (23, 50− 13, 002)2) /31 = 43, 749.
s =
√
s2 =
√
43, 749 = 6, 614.
cv = s/x¯× 100% = 6, 614/13, 002× 100% = 50, 9%.
Para o segundo dia temos:
x¯ =
22∑
i=1
xi/32 = (4, 20 + 7, 00 + · · ·+ 22, 55)/22 = 303, 39/22 = 13, 790.
Mediana: com os dados ordenados, a mediana e´ o valor que ocupa a posic¸a˜o (22+1)/2=
11,5. Neste caso, ela e´ a me´dia dos valores que esta˜o nas posic¸o˜es 11 e 12:
Md = (14, 45 + 15, 20)/2 = 14, 825.
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s2 =
22∑
i=1
(xi − x¯)2/(22− 1) =
(
(4, 20− 13, 79)2 + · · ·+ (22, 55− 13, 79)2) /21 = 18, 889.
s =
√
s2 =
√
18, 889 = 4, 346.
cv = s/x¯× 100% = 4, 346/13, 79× 100% = 31, 5%.
Na Tabela abaixo, apresentamos as estat´ısticas descritivas calculadas anteriormente:
Dia Me´dia Mediana Var DP CV
1o 13,002 11,70 43,749 6,614 50,9%
2o 13,790 14,825 18,889 4,346 31,5%
Nota-se que no segundo dia as chamadas ocorre um pouco mais tarde do que no primeiro,
ja´ que, tanto a me´dia quanto a mediana do segundo dia foram maiores do que as do primeiro.
Ale´m disso, os instantes de chamada no segundo dia apresenta uma variabilidade menor, ou seja,
os instantes encontre-se mais concentrados em torno da me´dia. Este comportamento tambe´m
pode ser observado no gra´fico de Box-plot comparando os dois dias. Neste gra´fico observa-se
tambe´m que existe uma leve assimetria, isto e´, no primeiro dia a concentrac¸a˜o maior esta´ nos
valores menores e no segundo dia nos valores maiores, pode-se notar que ha´ menor variabilidade
dos instantes de chamada no segundo dia, sendo eles concentrados entre 12 e 18 horas.
Figura 1: Boxplot dos dados.
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Exerc´ıcio 2.
O gra´fico de dispersa˜o apresentado na Figura 2 e´ referente a um estudo feito com uma amostra
de 25 famı´lias para determinar a relac¸a˜o das varia´veis: renda familiar e gasto com alimentac¸a˜o
(em unidades moneta´rias).
Figura 2: Gra´fico de dispersa˜o do estudo, com a reta ajustada.
O coeficiente de correlac¸a˜o linear obtido foi 0,954. Ale´m disso foi estimada uma reta de
regressa˜o linear da varia´vel gasto de alimentac¸a˜o (Y ) em func¸a˜o da renda familiar (X), obtendo
Yˆ = 5, 380 + 0, 256X.
(a) Interprete o coeficiente de correlac¸a˜o linear e comente o diagrama de dispersa˜o entre a
renda familiar e o gasto com alimentac¸a˜o.
Soluc¸a˜o.
O coeficiente de 0,954 indica uma forte associac¸a˜o linear positiva entre as varia´veis de
interesse, o gra´fico de dispersa˜o e´ uma nuvem de pontos ao redor de uma reta.
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(b) Interprete coeficiente angular estimado.
Soluc¸a˜o.
Estima-se que para cada aumento de uma unidade moneta´ria da renda familiar ocorre um
acre´scimo em me´dia de 0,256 unidades no gasto com alimentac¸a˜o.
(c) Considerando a reta obtida, estime o gasto me´dio com alimentac¸a˜o se a renda familiar fosse
de 160.
Soluc¸a˜o.
Yˆ = 5, 380 + 0, 256× 160 = 46, 34
Com uma renda de 160 espera-se em me´dia um gasto com alimentac¸a˜o de 46,34
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Exerc´ıcio 3.
Numa pesquisa sobre os ha´bitos de fumar de uma populac¸a˜o, constatou-se que
• 75% dos homens entrevistados fumam,
• 47% das mulheres fumam,
• 60% dos entrevistados eram homens.
Sejam os eventos:
• H: “a pessoa escolhida e´ homem”
• M : “a pessoa escolhida e´ mulher”
• F : “a pessoa escolhida fuma”
• NF : “a pessoa escolhida na˜o fuma”
Podemos enta˜o construir o diagrama de a´rvore de probabilidades:
Para uma pessoa aleatoriamente sorteada dessa populac¸a˜o, calcule a probabilidade de:
(a) Fumar;
Soluc¸a˜o.
P (F ) = P (H ∩ F ) + P (M ∩ F ) = 0, 45 + 0, 188 = 0, 638.
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(b) Na˜o fumar, sabendo-se que e´ homem;
Soluc¸a˜o.
P (NF |H) = 1− P (F |H) = 1− 0, 75 = 0, 25
ou
P (NF |H) = P (NF ∩H)
P (H)
=
0, 60× 0, 25
0, 60
= 0, 25
(c) Ser uma mulher, sabendo-se que na˜o fuma.
Soluc¸a˜o.
P (M |NF ) = P (M ∩NF )
P (NF )
=
0, 40× 0, 53
0, 362
=
0, 212
0, 362
= 0, 5856.
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Exerc´ıcio 4.
Apo´s a vinda do novo te´cnico, analistas esportivos acreditam que o Palmeiras tem probabilidade
0,92 de vito´ria sempre que joga. Se o time atuar 4 vezes, determine a probabilidade de que
venc¸a
(a) todas as 4 partidas;
Soluc¸a˜o.
Temos que a cada jogo, o Palmeiras pode vencer ou pode na˜o vencer. Assim, cada jogo
do Palmeiras e´ um ensaio de Bernoulli. Como estamos interessados nos resultados de
4 jogos, supondo que o resultado de um jogo e´ independente do resultado dos demais,
temos 4 repetic¸o˜es independentes de um ensaio de Bernoulli com a mesma probabilidade
de sucesso. Assim, sendo X: nu´mero de vito´rias do Palmeiras nos 4 jogos, enta˜o X ∼
b(4; 0, 92). Utilizando o R, obtemos a seguinte tabela de distribuic¸a˜o de probabilidades
X = x 0 1 2 3 4
P (X = x) 0,000 0,002 0,033 0,249 0,716
Logo, temos que
P (X = 4) = 0, 7164.
Assim, a probabilidade do Palmeiras vencer todas as 4 partidas e´ 0,7164.
(b) exatamente 2 partidas;
Soluc¸a˜o.
Da Tabela, temos:
P (X = 2) = 0, 033,
enta˜o, a probabilidade do Palmeiras vencer exatamente duas partidas e´ 0,033.
(c) pelo menos uma partida;
Soluc¸a˜o.
P (X ≥ 1) = P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) = 0, 002+0, 033+0, 249+0, 716 = 1
ou
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P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X ≤ 0) = 1− P (X = 0) = 1− 0 = 1.
A probabilidade do Palmeiras vencer pelo menos uma partida e´ 1.
(d) no ma´ximo 3 partidas.
Soluc¸a˜o.
P (X ≤ 3) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3) = 0+0, 002+0, 033+0, 249 = 0, 284
ou
P (X ≤ 3) = 1− P (X > 3) = 1− P (X ≥ 4) = 1− P (X = 4) = 1− 0, 716 = 0, 284,
a probabilidade do Palmeiras vencer no ma´ximo 3 partidas e´ 0,284.
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Exerc´ıcio 5.
Em uma cidade, 30% das donas de casa fazem suas compras no supermercado PEGPAG. Usando
a aproximac¸a˜o pela normal, calcule a probabilidade de que, em uma amostra de 300 donas de
casa selecionadas ao acaso nessa cidade, haja:
(a) entre 65 e 100 (inclusive os extremos) donas de casa que compram no supermercado PEG-
PAG.
Soluc¸a˜o.
SejaY : o nu´mero de donas de casa que compram no supermercado PEGPAG, utilizando
a aproximac¸a˜o pela Normal, temos que Y ∼ N(300× 0, 3; 300× 0, 3× 0, 7) = N(90; 63)⇒
Z = (Y − 90)/√63 ∼ N(0; 1).
P (65 ≤ Y ≤ 100) = P
(
65− 90√
63
≤ Y − 90√
63
≤ 100− 90√
63
)
= P (−3, 15 ≤ Z ≤ 1, 26)
= P (Z ≤ 1, 26)− P (Z ≤ −3, 15)
= P (Z ≤ 1, 26)− P (Z ≥ 3, 15)
= P (Z ≤ 1, 26)− (1− P (Z ≤ 3, 15))
= A(1, 26)− (1− A(3, 15))
= 0, 8962− (1− 0, 9992) = 0, 8952.
(b) no ma´ximo 75 donas de casa que fazem suas compras no supermercado PEGPAG.
Soluc¸a˜o.
P (Y ≤ 75) = P
(
Y − 90√
63
≤ 75− 90√
63
)
= P (Z ≤ −1, 89)
= P (Z ≥ 1, 89) = 1− P (Z ≤ 1, 89)
= 1− A(1, 89) = 1− 0, 9706 = 0, 0294.
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(c) Mais do que 54 compradoras do supermercado PEGPAG.
Soluc¸a˜o.
P (Y > 54) = P (Y ≥ 55) = P
(
Y − 90√
63
≥ 55− 90√
63
)
= P (Z ≥ −4, 41) = P (Z ≤ 4, 41)
= A(4, 41) = 1.
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