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Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
em que a11, a12, a13, ... , a1n (não todos nulos) são
números reais, que recebem o nome de coeficientes
das incógnitas; x1, x2, x3, ..., xn, são as incógnitas;
e b1 é um número real chamado termo independente
(quando “b = 0”, a equação recebe o nome de
 linear homogênea).
11 1 12 2 13 3 1 1 ... n na x a x a x a x b+ + + + =
Solução de uma equação linear
Uma seqüência de números reais (r1, r2, r3, ..., rn) é
solução da equação linear 
Se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato
implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
1 2 311 12 13 1 1 ... n na x x a a bxa x+ + + + =
1 2 311 12 13 1 1 ... n na r r a a bra r+ + + + =
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais
ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução 
de todas as equações do sistema.
Sistema linear
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
a x a x a x a x c
+ + + + = + + + + =
+ + + + =
+ + + + =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
Matrizes associadas a um 
sistema linear
Matriz Incompleta: é a matriz A formada pelos
coeficientes das incógnitas do sistema
2 3 0
4 7
2 4
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− + + =
⇒
2 3 1
4 1 1
2 1 1
A
−  
=   − 
Matriz Completa: é a matriz B que se obtém
acrescentando à matriz incompleta uma última
coluna formada pelos termos independentes das
equações do sistema. 
Matrizes associadas a um 
sistema linear
2 3 0
4 7
2 4
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− + + =
⇒
2 3 1 0
4 1 1 7
2 1 1 4
B
−  
=   − 
Classificação de um sistema 
quanto ao número de soluções
• SPD: sistema possível e determinado
 (solução única)
• SPI: sistema possível e indeterminado
 
 (infinitas soluções)
• SI: sistema impossível 
 (não tem solução)
⇓
⇓
⇓
• SPD: sistema possível e determinado
 (solução única)
• SPI: sistema possível e indeterminado
 
 (infinitas soluções)
• SI: sistema impossível 
 (não tem solução)
⇓
Sistema normal
Um sistema  é normal quando tem o mesmo
número de equações (m) e de incógnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada ao
sistema é diferente de zero.
Se e , então o sistema édet no m .0 r alm n A= ≠
Todo sistema normal tem uma única solução dada
por:
em que i ∈ {1, 2, 3, ..., n}, D = detA é o
Determinante da matriz incompleta associada ao
sistema, e Dxi é o determinante   obtido pela
substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela
coluna formada pelos termos independentes.
Regra de Cramer
ix
i
D
x
D
=
Exemplo:
A fim de encontrar a solução do sistema através da
Regra de Cramer, calculemos: D, Dx1, Dx2, Dx3.
Regra de Cramer
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
Regra de Cramer
⇒
1 1 2
1 2 3
3 7 4
A
  
= − −  − 
1 1 2
det 1 2 3 52
3 7 4
D A= = − − =
−
VERIFIQUE!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
Regra de Cramer
⇒
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
B
  
= − −  − 
1
8 1 2
1 2 3 156
10 7 4
xD = − =
−
VERIFIQUE!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
Regra de Cramer
⇒
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
B
  
= − −  − 
2
1 8 2
1 1 3 52
3 10 4
xD = − = VERIFIQUE!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
Regra de Cramer
⇒
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
B
  
= − −  − 
3
1 1 8
1 2 1 104
3 7 10
xD = − − =
−
VERIFIQUE!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
Temos: 
1
156xD =
52D =
2
52xD = 3 104xD =
Assim: 
1
1
1
156 3
52
xDx
D
x
=
= =
2
2
2
52 1
52
xDx
D
x
=
= =
3
3
3
104 2
52
xDx
D
x
=
= =
Logo, a solução do sistema é a terna : ( )3,1,2
Regra de Cramer
Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n
incógnitas, ele pode ser:
a) SPD
b) SPI
c) SI
Discussão de um sistema linear
a) possível e determinado, se D = det A ≠ 0; 
 caso em que a solução é única.
Exemplo:
3
2 0
3 2 6
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
− + =
b) possível e indeterminado, se D = det A = 0. 
Um sistema possível e indeterminado apresenta 
infinitas soluções.
Discussão de um sistema linear
c) impossível, se D = det A = 0. 
Um sistema impossível não tem solução alguma.
Distinguiremos os casos SPI e SI, analisando se há 
ou não incompatibilidade das equações do sistema.
 Exemplo:
Temos: 
 D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0. 
 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo
infinitas soluções. 
Discussão de um sistema linear
3 2 1
2 2
4 3 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + + = −
− + + = −
VERIFIQUE!
Exemplo: 
Como D = 0 mas existe e um Dxi ≠ 0 (no caso,
Dx ≠ 0 ,  o sistema é impossível e não apresenta 
solução . 
Discussão de um sistema linear
2 1
2 3 4
3 3 2 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − = + − =
VERIFIQUE!
Sistemas Equivalentes 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o
mesmo conjunto solução. Por exemplo, os sistemas
Verifique que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz
ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: 
S1 ~ S2.
1 2
3 3
e
2 3 8 2 5
x y x y
S S
x y x y
+ = + = 
= = 
+ = + = 
Sistemas Equivalentes 
Propriedades:
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos 
 outro sistema equivalente.
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por 
 um número k (k ∈ IR*), obtemos um sistema equivalente 
 ao anterior. 
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto 
 de outra equação desse mesmo sistema por um número 
 k (k ∈ IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Resolução de Sistemas 
Lineares por Escalonamento 
A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e
resolver sistemas lineares em que o número de
equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). 
Quando m e n são maiores que três, torna-se muito
trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a
técnica do escalonamento, que facilita a discussão e
resolução de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, 
vamos usar as três Operações Elementares sobre
linhas.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo
menos um coeficiente não-nulo em cada equação,
está escalonado se o número de coeficientes nulos
antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de
equação para equação.
Sistemas escalonados 
Para escalonar um sistema adotamos 
o seguinte procedimento:
a)Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o 
coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
b)Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, 
anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das 
demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até 
que o sistema se torne escalonado. 
Sistemas escalonados 
Sistemasescalonados 
Exemplo:
3 20
2 15
4 5 41
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − = −
− + − = −
Temos: 3 1 1 20
2 1 1 15
4 1 5 41
  
− − −  − − − 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 3 1 3
3 2 3
2 3 4 3
7 5 sistema escalonado
3 1 1 20 3 1 1 20
2 1 1 15 0 5 5 85
4 1 5 41 4 1 5 41
3 1 1 20 3 1 1 20
0 5 5 85 0 5 5 85
0 7 11 43 0 0 90 810
L L L L L L
L L L
= + − = +
= + −
      
− − −      − − − − − −   
            − −   
: :
: :
Do sistema escalonado, temos:
1) 0 0 90 810 90 810
810 9
90
x y z z
z z
+ + = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
3 1 1 20
0 5 5 85
0 0 90 810
     
( )2) 0 5 95 85 5 5x y z y+ + = ⇒ + 45 85
5 40
40 8
5
y
y y
=
⇒ =
⇒ = ⇒ =
3 1 1 20
0 5 5 85
0 0 90 810
     
8 93) 3 20 3 20
3 3
3 1
3
x y z x
x
x x
+ + = ⇒ + + =
⇒ =
⇒ = ⇒ =
Logo, a solução do sistema é: V = (1,8, 9). 
Um sistema é homogêneo quando todos os termos
independentes das equações são nulos:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema
homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de
solução trivial. 
Sistemas homogêneos
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + = + + + = + + + =
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
⋯
Quando existem, as demais soluções são chamadas
não-triviais.
Existem sistemas homogêneos que admitem apenas a
solução trivial. 
Sistemas homogêneos
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + = + + + = + + + =
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
⋯
Uma companhia de navegação tem três tipos de
recipientes, A, B e C, que carrega cargas em
containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos
recipientes são dadas pela matriz:
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada
categoria, A, B e C, se a companhia deve transportar 
42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?
Exemplo de Aplicação 
Tipo do Recipiente  I  II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3
Solução (Aplicação)
Tipo do Recipiente   I   II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3
Vem o Sistema: 
Temos: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 5 2 42
3 2 2 27
2 3 3 33
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + = + + =
Solução (Aplicação)
Solucionando o sistema
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 5 2 42
3 2 2 27
2 3 3 33
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + = + + =
1 2 33, 4 e 5x x x= = =
Logo, serão necessários 3 unidades do recipiente I, 4 
unidades do recipiente II e 5 unidades do recipiente 
III.
obteremos: 
VERIFIQUE!
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	Slide 18
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	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34