Exercícios de Limite e continuidade de Funções de Várias Variáveis

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1. Esboce a região onde as funções abaixo são contínuas: 
a. R.:  (x,y) Є R2|x > -1. 
b. 
 
 
. R.:  (x,y) Є R2|x2 + y2 < 5. 
c. 
 
 
 . R.:  (x,y) Є R2. 
d. . R.:  (x,y) Є R2||xy|  1. 
e. . R.:  (x,y,z) Є R3. 
f. 
 
 
. R.:  (x,y,z) Є R3|x2 + z2  1. 
 
2. Use as leis e propriedades da continuidade para calcular o limite das funções abaixo. 
a. 
 . R.: 35. 
b. 
 
 
 . R.: -8. 
c. 
 . R.: 0. 
 
3. Mostre que o limite não existe considerando (x,y)  (0,0) ao longo dos eixos coordenados. 
a. 
 
 
 . 
b. 
 
 
 . 
As respostas foram omitidas por se tratar de uma questão de demonstração. 
 
4. Calcule o limite abaixo. 
a. 
 
 
. R.: 1. 
b. 
 . R.: 0. 
c. 
 
 
. R.: 0. 
Sugestão: Faça uma substituição z = x
2
 + y
2
 e observando que z  0
+
 quando (x,y)  (0,0). 
 
5. Encontre o limite se existir. 
a. 
 
 
. R.: 0 
b. 
 
 
. R.: 0 
c. 
 
 
. R.: não existe. 
d. 
 
 
. R.: não existe. 
e. 
 
 
 R.: 8/3 
f. . R.: ln3 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO III 
Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis 
g. 
 . R.: 0. Sugestão: converta para coordenadas polares. 
6. (i) Mostre que o valor de 
 
 
 tende a 0 quando (x,y)  (0,0) ao longo de qualquer reta y = mx, ou 
ao longo de qualquer parábola y = kx2. 
(ii) Mostre que 
 
 
 não existe tomando (x,y)  (0,0) ao longo da curva y = x3. 
As respostas foram omitidas por se tratar de uma questão de demonstração. 
 
7. (i) Mostre que o valor de 
 
 
 tende a 0 quando (x,y,z)  (0,0,0) ao longo de qualquer reta x = at, 
y = bt e z = ct. 
(ii) Mostre que 
 
 
 não existe tomando (x,y,z)  (0,0,0) ao longo da curva x = t2, 
y = t, z = t. 
As respostas foram omitidas por se tratar de uma questão de demonstração. 
 
8. Calcule: 
a. 
 
 
 . R.: /2. 
b. 
 
 
 . R.: -/2. 
9. Seja 
 
 
 
 
 . Mostre que é contínua em (0,0). A resposta foi omitida por 
se tratar de uma questão de demonstração. 
 
 
10. Seja 
 
 
. É possível definir (0,0) tal que seja contínua em (0,0)? Justifique. R.: Não.