Fundamentos de engenharia hidráulica marcio baptista

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Capítu lo 2 
A mecânica dos fluidos na Hidráulica 
Neste capitulo são apresentados, resumidamente, alguns tópicos básicos 
da Mecânica dos Fluidos necessários ao estudo da Hidráulica, tais como 
sistemas de unidades, propriedades físicas dos fluidos e conceitos de 
hidrodinâmica e hidrostática. 
2.1 Introdução 
A fundamentação teórica da Hidráulica está contida na Mecânica dos Fluidos e con-
sequentemente na Física. Assim, enquanto esta estuda o comportamento da matéria nos 
três estados (sólido, líquido e gasoso), a Mecânica dos Fluidos trata dos fluidos (líquidos 
e gases) e a Hidráulica apenas dos líquidos, mais especificamente da água. 
Entretanto, os elementos teóricos originários da Física não são suficientes per si para 
resolver todos os problemas práticos da Hidráulica, requerendo esta, quase sempre, de 
dados experimentais. Desta maneira, os fundamentos dos itens apresentados neste livro 
estão alicerçados na Física clássica e no empirismo. 
Para análise destas questões, principalmente as relacionadas com equações e proprie-
dades físicas dos fluidos, apresentam-se a seguir as unidades das grandezas normalmente 
utilizadas neste livro e o princípio da homogeneidade dimensional. 
2.1.1 Sistemas de un idades 
Para efetuar-se a medida de determinada grandeza, tal como comprimento, força, ou 
mesmo, alguma propriedade do fluido, é necessário compará-la com outra grandeza de 
mesma espécie. O padrão de medida que serve para comparação é denominado de unidade. 
Conforme a natureza da grandeza considerada, as unidades podem ser fundamentais ou 
derivadas. 
O conjunto formado pelas unidades das grandezas fundamentais e pelas unidades das 
grandezas derivadas é denominado Sistema de Unidades. No Brasil, desde 1962, adota-se 
üenerátêd by GamScanner trom íntsig.com 
s e t - ^ - a r a Hidráulica 
c* ca Tients o Sistema Internacional (SI), baseado em 7 grandezas fundamentais, básicas. 
As a c e . a:~ras das unidades são escritas em letras minúsculas, com exceção das unida-
des cê" . aças de nomes próprios, que devem iniciar-se com letras maiúsculas, conforme 
mostra o Q-aaro 2.1. 
Quadro 2.1 - Grandezas fundamentais - símbolos e unidades 
Grandezas fundamentais Símbolo Unidade Abreviatura da unidade 
Compn —eito L Metro m 
'.'assa M Quilograma kg 
Te"-po T Segundo s 
-tens dade corrente elétrica 1 Ampere A 
"en-oeratura e Kelvin K 
Quantidade de matéria n Mole mol 
~:ens aace ^minosa i Candeia cd 
Na ~ s ca. em geral, e na Hidráulica, em particular, adotam-se como grandezas fun-
ca~~e~:as a Massa M, o Comprimento Leo Tempo 7", daí a denominação de Sistema 
VLT substituição ao nome de Sistema Internacional. As unidades correspondentes 
à ~assa ao comprimento e ao tempo são o quilograma (kg), o metro (m) e o segundo 
5 ', respectivamente. 
0 ^ : r o sistema muito utilizado no Brasil é o Técnico ST, também denominado FLT, 
ce~- seme hante ao SI. Contudo, utiliza-se a força f c o m o grandeza fundamental, cuja 
ur dade é o kgf, no lugar da massa, além do comprimento e do tempo. Por outro lado, 
a ~55sa cassa a ser uma grandeza derivada, cuja unidade é denominada unidade técnica 
ce massa Jtm). A passagem de um sistema ao outro é feita pela aplicação da segunda 
le ce r .ewton (F = m.a), estabelecendo dessa maneira que: 
1utm = lkgfs2 /m 
lutm = 9,8 Ikg 
1N = 1kg-m/s2 
Ikgf = 9,8 IN 
D Quadro 2.2 contém as unidades das grandezas normalmente utilizadas na Hidráulica, 
".os sistemas internacional e técnico. 
Quadro 2.2 - Unidades utilizadas nos sistemas usuais 
Grandezas Símbolo Abreviatura das unidades 
Sistema Internacional Sistema Técnico 
Massa M kg kgf.s2/m (utm) 
Comprimento L m m 
Tempo T s s 
Força F N kgf 
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36 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
2.1.2 Princípio da h o m o g e n e i d a d e dimensionai 
0 princípio da homogeneidade dimensional é utilizado para facilitar o desenvolvi-
mento de equações e a conversão de sistemas de unidades. Através deste, é possível 
representar, por exemplo, as leis da Física pelas grandezas fundamentais dos sistemas 
internacional ou técnico. Este princípio estabelece que uma equação é dita homogênea 
dimensiona/mente, quando os seus diferentes termos apresentam o mesmo grau com 
relação às grandezas fundamentais. É importante ressaltar, entretanto, que o princípio 
da homogeneidade dimensional, embora seja uma condição geral para a validade de 
uma equação, não é suficiente. 
Por outro lado, é possível ter-se equações não homogêneas, ou seja, equações 
cujos diferentes termos não apresentam as mesmas dimensões, sendo válidas em um 
determinado sistema de unidades, para uma determinada gama de valores das grande-
zas intervenientes. Em geral, estas equações são oriundas de experiências conduzidas 
empiricamente. 
Exemplo 2.1 
Determinar a equação da distância percorrida por um corpo em queda livre, 
considerando-se que a distância percorrida d depende do peso do corpo 
P, da aceleração da gravidade g e do tempo t, ou seja: 
d = k P3gb r (2.1) 
sendo k um coeficiente adimensional, geralmente determinado experimen-
talmente e/ou por análise física. 
Solução 
Pelo princípio da homogeneidade dimensional, para que esta equação seja 
homogênea os expoentes das grandezas fundamentais envolvidas devem 
ter o mesmo grau, em ambos os membros da equação. Expressando, en-
tão, as grandezas envolvidas em termos das grandezas fundamentais MLT 
e substituindo-as em (2.1) tem-se: 
d => L 
P => ML T
2 
g => LT
2 
t => T 
M°L'V) = (M<>/.J T2») (LbT2b) (T) 
37 
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Fundamento* d» Fngenharla Hidráulica 
Relacionando os expoente de M, L, e T na equação anterior, tem se, 
respectivamente: 
0 = a => 3 = 0 
1 = a + ò => b = 7 
0 = -2â -2b + c => c = 2 
Substituindo-se os valores de a, ò e c na equação (2.1), obtém-se as 
dimensões da distância em relação às grandezas fundamentais MLT, de 
onde pode-se concluir que a distância independe de P . 
d = k Fg112 => d = k g t2 
A aplicação desse princípio permite obter o mesmo resultado, utilizando-se 
tanto as grandezas fundamentais MLT quanto FLT. 
2.2 Propriedades físicas dos fluidos 
Fluidos são substâncias no estado líquido ou gasoso que se deformam continua-
mente sob a ação de alguma força cisalhante. Este texto trata especialmente dos líquidos 
newtonianos, isto é, dos líquidos em que a taxa de deformação varia linearmente com a 
força de cisalhamento aplicada. Algumas propriedades físicas dos líquidos e em especial 
da água são apresentadas a seguir. 
Massa específica ou dens idade absoluta 
Massa específica ou densidade absoluta é a relação entre a massa do fluido e o seu 
volume. 
P = m / V ( 2 2 ) 
sendo: 
P = massa especifica ou densidade absoluta do f lu ido 
m = massa do fluido 
V = volume do fluido 
E n t r e t n T e m e T o n d S e s d n P e n d e ^ 6 03 temP«**ura (ver Quadros 2.3 e 2.4). tnxreianto, em condiçoes normais, a variação r W a nranru , -
considerada constante. N a maioria dos problemas adot , « * T * " * " C ° T « 
específica a 4°C, ou seja, p=1000 kg/m' n o s i s t e Z n l e r n f f * ™ * ^ °S V a ' ° r 0 S ^ 
y no sistema internacional ou P=102 kgf.s2/m4 no sistema 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capítulo 2 
técnico. Exceção se faz aos escoamentos transitórios, nos quais essa propriedade deve 
ser considerada como uma função da pressão que é muito variável, ou em escoamentos 
com elevadas temperaturas. Para todas as aplicações práticas deste livro, salvo indicação 
em contrário, serão adotados: p = 1000 kg/m3 = 102kgf.s2/m4. 
D e n s i d a d e re la t iva 
Densidade relativa (ô) é a relação entre a massa específica de uma substância para 
outra tomada como referência.Normalmente, para líquidos, a água a 4°C é tomada como 
padrão, o que corresponde a p( =1000 kg/m3 ou p =102 kgf nr4s2. Assim, a densidade 
relativa da água, independe do sistema de unidade, podendo ser considerada igual a 
unidade (ô =1) em grande parte dos problemas. Para todas as aplicações práticas deste 
livro, salvo indicado em contrário, será adotado 5 = 1 . 
ô = p / p o (2.3) 
Quadro 2.3 - Propriedades físicas da água - sistema internacional 
Temperatura Massa Peso Pressão de Módulo de Viscosidade Viscosidade 
Específica Específico Vapor Elasticidade Dinâmica Cinemática 
Volumétrico 
T P y p abs V K M V 
°C k g / m 3 N/m 3 Pa 107 Pa 103 kg/m.s 106 m2 /s 
0 999,9 9805 611 204 1.79 1,79 
5 • 1000,0 9806 873 206 1,52 1,52 
10 999,7 9803 1266 211 1.31 1,31 
15 999,1 9798 1707 214 1,14 1,14 
20 998,2 9789 2335 220 1,01 1,01 
25 997,1 9779 3169 222 0,89 0,90 
30 995,7 9767 4238 223 0,80 0,80 
35 994,1 9752 5621 224 0,72 0,73 
40 992,2 9737 7377 227 0,66 0,66 
45 990,2 9720 9584 229 0,60 0,61 
50 988,1 9697 12331 230 0,55 0,56 
55 985,7 9679 15745 231 0,51 0,51 
60 983,2 9658 19924 228 0,47 0,48 
65 980,6 9635 25015 226 0,44 0,44 
70 977,8 9600 31166 225 0,41 0,42 
75 974,9 9589 38563 223 0,38 0,39 
80 971,8 9557 47372 221 0,36 0,37 
85 968,6 9529 57820 217 0,34 0,35 
90 965,3 9499 70132 216 0,32 0,33 
95 961,9 9469 84552 211 0,30 0,31 
100 958,4 9438 101357 207 0,28 0,30 
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Fundamentos de Engenharia Hldraulica 
Quadro 2.4 - Propriedades físicas da água sistema técnico 
Temperatura 
Viscosidade 
Cinemática 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
55 
60 
65 
70 
75 
80 
85 
90 
95 
100 
101,9 
101,9 
101,9 
101,8 
101,8 
101,6 
101,5 
101,3 
1 0 1 , 1 
100,9 
100,7 
100,5 
100,2 
100,0 
99,7 
99,4 
99,1 
98,7 
98,4 
98,1 
97,7 
999,9 
1000,0 
999,7 
999.1 
998.2 
997,1 
995,7 
994.1 
992.2 
990,2 
988.1 
985.7 
983.2 
980,6 
977.8 
974.9 
971.8 
968,6 
965.3 
961.9 
958.4 
62 
89 
129 
174 
238 
323 
432 
573 
752 
977 
1257 
1605 
2031 
2550 
3177 
3931 
4829 
5894 
7149 
8619 
10332 
2,08 
2,10 
2,15 
2,18 
2,24 
2,26 
2.27 
2.28 
2.31 
2.33 
2.34 
2.35 
2.32 
2,30 
2,29 
2,27 
2,27 
2,21 
2,20 
2,15 
2 , 1 1 
1,83 
1,55 
1,33 
1,16 
1,03 
0,91 
0,82 
0,74 
0,67 
0,61 
0,56 
0,52 
0,48 
0,44 
0,42 
0,39 
0,36 
0,34 
0,32 
0,31 
0,29 
1,79 
1,52 
1,31 
1,14 
1,01 
0,90 
0,80 
0,73 
0,66 
0,61 
0,56 
0,51 
0,48 
0,44 
0,42 
0,39 
0,37 
0,35 
0,33 
0,31 
0,30 
Peso específico 
Peso específico é a relação entre o peso do fluido e o seu volume. 
y=W/V (2.4) 
sendo: 
/= peso específico do fluido 
W = peso do fluido 
V- volume do fluido 
Pela segunda lei de Newton W = m.g, sendo m a massa e g a aceleração da gravi-
dade. Substituindo este valor de W na equação (2.4), juntamente com a equação (2.2), 
tem-se y = p g. Conclui-se, portanto, que o peso específico depende da pressão e da 
temperatura, já que p também depende destas características. Para todas as aplicações 
práticas deste livro, salvo indicação em contrário, serão adotados' v = 9810 N/m3 = 
1000 kgf/m3 eg = 9,81 m/s2 ' ' 
Os Quadros 2.3 e 2.4 relacionam os valores do peso específico da água em diferentes 
temperaturas, entretanto, como a variação dos valores do peso específico é pequena, 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capi tão i 
em grande partedos problemas utiliza-se o valor padrão:y =9>81x103 N/m3 ouy =1000kgf/m3, 
nos sistemas de unidades internacional e técnico, respectivamente. 
Pressão 
A relação entre a força normal que age contra uma superfície plana e sua área é definida 
como pressão média (P = F/A). Quando esta área se aproxima de zero, em torno de um 
ponto, tem-se, por definição, a pressão no ponto, sendo a direção da pressão sempre 
normal à superfície. A medida dessa grandeza no sistema técnico é denominada Pascal 
(Pa), sendo 1 Pa = 1 N/m2. 
P = Um ~ 
A~*° A (2.5) 
em que: 
P : pressão num ponto 
F : esforço normal à superfície 
A : área da superfície 
Também leva o nome de Pascal a lei que estabelece que num fluido em equilíbrio a 
pressão num ponto é a mesma em todas as direções, independentemente da orientação 
da superfície em torno do ponto, ou seja: 
P = P = P (2.6) 
x y z y ' 
Pressão de v a p o r 
Pressão de vapor corresponde ao valor da pressão na qual o líquido passa da fase 
líquida para a gasosa. Na superfície de um líquido há uma troca constante de moléculas 
que escapam para a atmosfera (evaporação) e outras que penetram no líquido (con-
densação). Visto que este processo depende da atividade molecular e que esta depende 
da temperatura e da pressão, a pressão de vapor do líquido também depende destes, 
crescendo o seu valor com o aumento da pressão e da temperatura. 
Quando a pressão externa, na superfície do líquido, se iguala à pressão de vapor, 
este se evapora. Se o processo no qual isto ocorre é devido ao aumento da temperatura 
do líquido, permanecendo a pressão externa constante, o processo é denominado de 
evaporação. Caso isto se dê pela mudança da pressão local enquanto a temperatura 
permanece constante, o fenômeno é conhecido por cavitação. Este fenômeno ocorre, 
normalmente, em escoamentos sujeitos às baixas pressões, próximos à mudança de 
fase do estado líquido para o gasoso e constitui um grande problema em vertedores, 
válvulas e sucção de bombas. Valores da pressão de vapor, para a água, são mostrados 
nos Quadros 2.3 e 2.4. 
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Fundamentos de Engenharlo Hidráulico 
M ó d u l o de elasticidade volumétr ico 
O módulo de elasticidade volumétrico é a relação entre o incremento de pressão (AP) 
aplicado ao fluido e a variação relativa de volume (AV/ V), dando, portanto, a medida 
da compressibilidade do fluido através da relação: 
K = - A P V / A V (2.7) 
em que: 
K = módulo de elasticidade volumétrico do líquido 
AP = incremento de pressão 
AV= variação do volume devido a AP 
V = volume do líquido 
Em grande parte dos problemas que envolvem escoamento de líquidos, a compressi-
bilidade pode ser desprezada, uma vez que as mudanças de volume para as variações de 
pressões normalmente existentes são irrelevantes. Entretanto, no estudo de transientes 
hidráulicos o módulo de elasticidade volumétrico passa a ser importante, pois as oscilações 
das pressões são de maior monta, afetando a velocidade de propagação das perturbações 
no meio líquido. Para a água, os valores do módulo de elasticidade são mostrados nos 
Quadros 2.3 e 2.4. 
Viscosidade 
Viscosidade é a resistência do fluido à deformação, devida principalmente às forças 
de coesão intermolecular. Consequentemente, essa propriedade só é evidenciada 
com o escoamento do fluido, apresentando menor fluidez os fluidos de alta viscosidade 
e vice-versa. 
Newton estabeleceu que num escoamento unidirecional, como o representado na 
Figura 2.1, a tensão tangencial x é proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy, sendo 
o coeficiente de proporcionalidade a viscosidade dinâmica do fluido j i . Os fluidos que 
seguem esta lei são chamados de newtonianos. 
T = |Í dv/dy (Lei da Viscosidade de Newton) (2.8) 
PLACA MÓVEL 
7 
7 
dv 
dv/dy dy 
PLACA FIXA 
Figura 2.1- Diagrama de velocidade de um fluido escoando entre duas placas planas 
jnerated bv ü 
42 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
A entre a viscosidade dinâmica do fluido [x e sua massa específica p é denomi-
nada viscosidade cinemática v e é frequentemente utilizada, pois os efeitos da viscosidade 
tornam-se mais evidentes com menor inércia do fluido.O Quadro 2.3 mostra no sistema internacional de unidades os valores da viscosidade 
dinâmica e cinemática da água, a diferentes temperaturas, o mesmo acontecendo no 
Quadro 2.4 para o sistema técnico. 
2.3 Classificação dos escoamentos 
Uma classificação geral básica, que norteia o estudo da Hidráulica, diz respeito à 
pressão reinante no conduto, podendo o escoamento ser forçado ou livre. No primeiro 
caso a pressão é sempre diferente da atmosférica e portanto o conduto tem que ser 
fechado, como nas tubulações de recalque e sucção das bombas ou nas redes de abas-
tecimento de água. No escoamento livre a pressão na superfície do líquido é igual à 
atmosférica, podendo o conduto ser aberto, como nos canais fluviais, ou fechado, como 
nas redes de coleta de esgoto sanitário. 
V = | i / P (2.9) 
Piezômetro 
/ \ 
r » A 
Q 
L-»A 
Seção AA 
Conduto forçado 
Canal Seção BB 
Conduto livre 
Figura 2.2 - Escoamento forçado e livre 
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fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Adutora - conduto forçado - e canalização do ribeirão Arrudas - escoamento livre (Belo Horizonte, MG) 
Quanto à direção na trajetória das partículas, o escoamento pode ser laminar ou 
turbulento. A experiência de Osborne Reynolds, que consiste na injeção contínua de 
um corante em um ponto do escoamento, permite visualizar estes dois tipos de fluxo 
(ver Figura 2.3). No fluxo laminar o corante forma um filete bem definido, sem misturar 
com o líquido, uma vez que as várias camadas do líquido se movem sem perturbação. 
Já no escoamento turbulento, as partículas do líquido têm trajetórias irregulares, cau-
sando uma transferência da quantidade de movimento de uma parte a outra do fluido. 
Neste caso, ocorre a mistura do corante na massa líquida. Na Engenharia Hidráulica, em 
geral, os escoamentos se enquadram na categoria de turbulento. O escoamento laminar 
pode ocorrer quando o fluido é muito viscoso ou a velocidade do escoamento é muito 
pequena, como nos decantadores das estações de tratamento de água. 
Filamento de tinta 
Tubo \ Tubo 
Fluxo laminar 
Figura 2.3 - Escoamento laminar e turbulento 
Fluxo turbulento 
Com efeito, considerando as indicações de Reynolds, tem-se: 
Re = pUDh/[i ou Re = UDJv 
em que: 
Re : Número de Reynolds; 
U : Velocidade média do escoamento; 
Dh : Dimensão geométrica característica; 
p : Massa específica; 
ji : Viscosidade dinâmica; 
v : Viscosidade cinemática. 
(2 .10) 
44 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Para os escoamentos livres, adota-se o raio hidráulico /?,. como dimensão geométrica 
característica, e para os escoamentos em condutos forçados o diâmetro D, como será 
visto oportunamente. O Quadro 2.5 apresenta os números de Reynolds correspondentes 
aos regimes de escoamento verificados na experiência citada, conforme os escoamentos 
se deem em escoamentos livres ou forçados. 
Quadro 2.5 - Regime de escoamento e o número de Reynolds 
Regime Condutos Livres Condutos Forçados 
Re = U Rh /v Re = U D/v 
Laminar Re < 500 Re < 2000 
Transição 500 < Re < 1000 2000 < Re < 4000 
Turbulento Re > 1000 Re > 4000 
Quanto à variação no tempo os escoamentos se classificam em permanentes e tran-
sitórios. No regime permanente não há variação das características de escoamento com 
o tempo; assim, a velocidade v e também outras propriedades como massa específica 
p, pressão p etc. serão expressas matematicamente como sendo: 
dv/dt = 0, dp/dt = 0, dp/dt = 0 
De maneira similar, tem-se nos escoamentos transitórios: 
dv/dt * 0, dpíd1 * 0, dp/dt * 0 
Os escoamentos transitórios podem ainda ser subdivididos de acordo com a taxa de 
variação da velocidade e da pressão. Se estas variam lentamente, como no escoamento 
em uma tubulação abastecida por um reservatório de nível variável, a mudança é lenta 
e a compressibilidade do líquido não é importante. Entretanto, quando a mudança é 
brusca, como nos casos de fechamento rápido de válvulas em condutos forçados, on-
das de pressão são geradas e transmitidas com a velocidade de propagação do som e 
causam uma variação acentuada de pressão, sendo a compressibilidade, nestes casos, 
fator importante no fenômeno, chamado de transiente hidráulico ou golpe de aríete. 
Caracter ís t icas h idrául icas Caracter ís t icas h idráu l icas 
cons tan tes no t empo var iáveis no tempo 
Fluxo pe rmanen te Fluxo t ransiente 
Figura 2.4 - Escoamento permanente e transitório 
Com relação à trajetória os escoamentos podem também ser classificados em unifor-
me e variado. No escoamento uniforme o vetor velocidade é constante em módulo, direção 
45 
Generáíèd by üambcanner trom intsig.com 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
e sentido, em todos os pontos, para qualquer instante, isto quer dizer, matematicamente, 
que dv/ds = 0, sendo v o vetor velocidade e s o deslocamento. Exemplos de escoamento 
uniforme são encontrados nos condutos de seção constante de grande extensão, como 
adutoras e canais prismáticos em que a altura da lâmina d 'água é invariável. No 
escoamento variado dvíds * 0. Condutos com vários diâmetros ou canais com declividades 
variáveis, como o mostrado na figura a seguir, são exemplos de escoamento variado. 
Figura 2.5 - Escoamento variado 
Tem-se ainda os escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, 
conforme o número de dimensões envolvidas no fenômeno. No primeiro t ipo são des-
prezíveis as variações das grandezas na direção transversal ao escoamento, tendo em 
vista as variações dessas mesmas grandezas ao longo do escoamento. Os escoamentos 
em condutos forçados são considerados unidimensionais, uma vez que as grandezas, 
do tipo velocidade, pressão e propriedades físicas, são expressas em termos de valores 
médios constantes para a seção transversal. No escoamento bidimensional admite-se 
que as variações das grandezas podem ser expressas em função de duas coordenadas, 
ou seja, as variações da velocidade, da pressão e demais grandezas podem ser descritas 
num plano paralelo ao do escoamento. O tridimensional é o mais geral, sendo que suas 
características variam nas três dimensões e por isso mesmo sua análise exige métodos 
matemáticos mais complexos. 
Escoamento unidimensional 
Figura 2.6 - Escoamentos unidimensional e bidimensional 
Quanto à velocidade angular das partículas que compõem o f luido, os escoamentos 
podem ser rotacionais e irrotacionais. No escoamento irrotacional a velocidade angular 
é tida como zero e no rotacional a velocidade angular é diferente de zero. 
46 
Escoamento bidimensional 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidrâulli .11 ( flpituk» l 
Curso d'água natural: escoamento variado tridimensional (Rio Verde, MG) 
2.4 Equações fundamentais do escoamento 
Os escoamentos, em sua grande maioria, podem ser considerados unidimensionais e 
em regime permanente, simplificando muito as equações de fluxo normalmente utilizadas 
(continuidade, quantidade de movimento e Bernoulli). Pequenos ajustes nestas equações 
podem ser introduzidos para contemplar situações em que o escoamento está caracteri-
zado também em duas ou três dimensões. Para atender a estas situações o escoamento 
é representado por suas características médias (velocidade média, densidade média etc.) 
e os efeitos das variações que ocorrem numa seção transversal são corrigidos através 
de coeficientes. 
2.4.1 Equação da cont inu idade 
A equação da continuidade é decorrente da lei de conservação de massa. Esta lei da 
física estabelece que a massa não pode ser criada ou destruída (massa que entra no tubo 
= massa que sai do tubo). Aplicando esse conceito entre duas seções "1" e "2" de um 
conduto, tem-se: 
47 
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Fundamentosde Engenharia Hidráulica 
Pi A , U = p, A2 U, 
Considerando que a hidráulica trata praticamente, dfl condução de /KJUÔ, fluido 
este, praticamenteincompress!\e ci massa específica pode mm »< <hm<I«'m<!.> u. 
no regime permanente, a equação da continuidade, aplicada «MU um ii«-< ho < 
seções onde não haja entrada oi. saída de agua assume a sua lomi. i m-n\ ',impl'-, 
A,U,=A2U=Q u u > 
em que: 
A : área da seção transversal do escoamento, em m , 
U : velocidade media do escoamento em m/s 
Q : vazão em m :/s. 
2.4.2 Equação da q u a n t i d a d e de m o v i m e n t o 
A equação da quantidade de movimento, algumas vezes denominada equação de 
momentum, é deduzida a partir da segunda lei de Newton, aplicada ao conceito de 
quantidade de movimento (m~), ou seja: 
R = d(mv)/dt 
Aplicando este conceito ao caso de escoamento de líquidos, tem-se: 
r = pQ® 2 ü 2 - p 7 ü 7 ; ( 2 1 2 ) 
em que: 
R : Resultante das forças externas atuantes no sistema; 
p : Massa específica do líquido; 
Q: Vazão escoada; 
Vetor que representa a velocidade media do escoamento, na seção 
considerada; 
(3: Coeficiente da quantidade de movimento, ou de Boussinesq. 
É importante aqui ressaltar a diferença entre as forças internas das externas. As 
primeiras são devidas às interações no interior da massa considerada, sendo a resultante 
destas nula, pois a cada ação resulta em uma reação (primeira lei de Newton). Já as forças 
externas agem sobre a superncie fechada, entre estas distinguem-se as forças devido a 
pressão e ao peso. 
O coeficiente da quantidade ce movimento p leva em conta a variação que existe 
entre a velocidade das partículas do escoamento v e a velocidade média U considerada 
48 
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A MecAnica dos Fluidos na Hdráu' ca | Capitulo 2 
numa dada seção transversal ao escoamento, de área A (ver Figura 2.7), em termos de 
quantidade de movimento: 
j VcM 
P = 1 J Ã (2.13) 
Figura 2.7 - Variação de velocidade 
Nos escoamentos em condutos forçados turbulentos, o coeficiente (3 frequente-
mente é superior a 1,1, e nos escoamentos laminares é 1,33. Em escoamentos livres este 
coeficiente varia de 1,02 a 1,12, entretanto, na maioria das aplicações práticas, pode-se 
adotar p =1,0 tanto para escoamentos forçados quanto livres. 
2.4.3 Equação de energia - Bernoulli 
A equação de Bernoulli é um caso particular da primeira lei da Termodinâmica. Esta 
lei estabelece que a mudança de energia interna de um sistema é iguala soma da energia 
adicionada ao fluido com o trabalho realizado pelo fluido. Uma forma geral de expressar 
esta lei para o caso de um escoamento entre duas seções de um fluido incompressível 
em regime permanente é a seguinte: 
2 , 4 + « X j - ^ 4 + a ^ ) = H , + i A (2.14) 
De fato, o lado esquerdo da equação (2.14) corresponde ao gasto médio de energia 
para o fluido ser transportado da seção 1 à seção 2, enquanto o lado direito representa o 
trabalho realizado por uma máquina desde o sistema ao exterior somada à perda de energia 
mecânica. Cada parcela da equação (2.14) representa um tipo de energia do elemento fluido 
de peso unitário, cuja unidade pode ser escrita como N.m/N de fluido ou simplesmente 
m. Assim, estas parcelas têm dimensão linear e são denominadas de carga, conforme 
descrito a seguir: 
49 
Generated by CamScanner trom intsig.com 
Fundamentos do Engenharia Hidráulica 
Z : energia ou carga de posição; 
P/y : energia ou carga de pressão; 
aU2 /2g : energia ou carga de velocidade, também denominada de 
taquicarga; 
Hr : energia aplicada ou retirada por alguma máquina; 
Ah : perda de energia mecânica ou perda de carga. 
O fator a, também denominado coeficiente da energia cinética ou de Coriolis, 
visa corrigir o cálculo da parcela relativa à energia cinética, tendo em vista a adoçao 
da velocidade média do fluxo, no lugar da média das energias cinéticas das partículas. 
Este coeficiente, dado pela expressão (2.15), no caso de condutos forçados, é igual a 
2,0 no escoamento laminar e varia de 1,0 a 1,10 para escoamentos turbulentos. Nos 
escoamentos livres a varia de 1,03 a 1,36. 
\v3dA 
(2 .15) 
U3A 
Em geral, adota-se a = 1,0, a não ser em trabalhos que exijam muita precisão ou 
onde existam razões fortes para supor variações significativas das velocidades nas seções. 
O efeito de uma máquina no sistema, representado na equação (2.14) pela parcela 
H deve levar em conta o tipo de máquina. No caso de turbina, que utiliza a energia 
do sistema, o sinal de deve ser positivo, mas no caso de bomba que cede energia ao 
sistema, o sinal deve ser negativo. 
A experiência tem demonstrado que, no caso de escoamento dos fluidos reais, uma 
parte da energia mecânica é despendida em forma de calor e em mudança de energia 
interna, por causa das resistências ao escoamento (viscosidade, turbulências, atrito etc.). 
Na Hidráulica, esta parte da energia é considerada perdida porque não contribui mais 
para o movimento do fluido e por isso é chamada de perda de carga (Ah). 
Para os objetivos práticos da Hidráulica, a equação de energia aplicada a duas seções de 
um escoamento permanente onde não existe máquina, é denominada equação de Bernoulli 
para os fluidos reais, normalmente escrita da seguinte forma para os condutos forçados: 
Z, + P /y +a ,U//2g = Z2 + PJy +a:U//2g +Ah (2 .16) 
Na equação de Bernoulli, a soma das parcelas (Z + P/y) é denominada energia 
potencial e aU2/2y de energia cinética; sabe-se pela Física que é possível transformar a 
energia cinética em potencial e vice-versa. 
Determinar a perda de carga numa obra hidráulica executada é simples, pois os ter-
mos da expressão (2.16) são facilmente medidos. Entretanto, prever essa perda de energia 
tem sido um desafio para várias gerações de cientistas. Uma das maiores contribuições 
teóricas para a explicação desse fenômeno ocorreu em 1904 quando Ludwig Prandtl 
desenvolveu a teoria da Camada Limite. Segundo essa teoria, o líquido em escoamento 
adere à superfície sólida do conduto e consequentemente a velocidade varia desde um 
50 
Gènerated by (JamScanner trom intsig.com 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capítu lo 2 
valor zero jun to à superfície sólida, até um valor no qual as condições de contorno não são 
mais sentidas. Essa região é denominada camada limite. Prandtl mostrou que somente 
dentro da camada limite os efeitos da viscosidade são importantes e que fora dela os 
f luidos podem ser considerados não viscosos. Nos tubos ou canais os escoamentos são 
influenciados pelas superfícies de fronteira e por tanto pela camada limite. Esta teoria 
serviu para explicar por que as leis da Física, quando aplicadas ao escoamento dos fluidos, 
apresentavam bons resultados somente fora da camada limite. Para generalização destas 
leis, a Hidráulica passou a se valer de coeficientes e do empir ismo. O capítulo seguinte 
apresenta algumas maneiras de se prever a perda de carga para condutos forçados de 
seção constante. 
Como as parcelas dessa equação têm dimensão linear, estas podem ser representadas 
graf icamente, com relação a um sistema de referência datum. A Figura 2.8 mostra esta 
representação tanto para o caso de conduto forçado quanto para o de conduto livre. 
Neste úl t imo caso, a parcela correspondente à carga de pressão P/y pode ser substituída 
pela lâmina d ' águay , quando as pressões seguem uma distribuição hidrostática (P=yh). 
A soma (Z + P/y), correspondente à energia potencial, determina a linha piezométrica. 
Esta linha representa o nível que o líquido atingiria, caso em cada pon to da tubulação 
fosse instalado um piezômetro. 
Se fosse acrescentado à energia potencial a parcela aU 2 /2g , correspondente à energia 
cinética, ter-se-ia a linha de energia, simbolizando a energia hidráulica total possuída 
pelo l íquido. O abaixamento entre dois pontos da linhade energia corresponde à perda 
de carga entre esses dois pontos. 
Caso seja adotado para P o valor correspondente à pressão efetiva, 
Z+ P/y corresponde à linha piezométrica efetiva (L.P.E.) 
Z + P/y + aü2/2g à linha de carga efetiva (L.C.E.) 
Z + P/y + a U 2 / 2 g + Ah ao plano de carga efet ivo (P.C.E.) 
Não é mu i to usual, mas pode-se adotar para Po valor da pressão absoluta e neste 
caso tem-se a l inha piezométr ica absoluta (L.P.A.), a l inha de carga absoluta (L.C.A.), e 
o p lano de carga absoluto (P.C.A.). 
Nos escoamentos livres, a carga de pressão P/y no f u n d o do condu to corresponde 
à p ro fund idade ] / , con fo rme pode ser visto na Figura 2.8 (b). Neste caso, a equação de 
Bernoul l i apresenta-se da seguinte fo rma : 
Z, + y, +a,U,2/2g = Z2 + y2+a2U22/2g +A h (2.17) 
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Fundamentos dr I nyrnhnrln llldrAullcn 
(a) Conduto forçado 
P.C.E. 
(b) Conduto livre 
Figura 2.8 - Representação gráfica da equação de Bernoulli 
52 
Genèratea by GamScanner trom intsig.com 
A Mecânica dos Flu-dos na Hidráulica | / 
Exemplo 2.2 
A tubulação 1 de 1500 mm de diâmetro se bifurca em duas outras de 900 
mm e 1200 mm de diâmetro, formando ângulos de 30° e 45° com o eixo da 
tubulação 1. Desprezando as perdas de carga, determinar as componentes 
da força necessária para manter fixa essa bifurcação, sabendo-se que a 
pressão logo a montante da bifurcação é de 500 kPa e que as tubulações 
2 e 3 transportam 4,00 m3/s e 5,00 m3/s de água, respectivamente. 
A equação da quantidade de movimento aplicada ao volume de controle 
compreendido entre as seções 1, 2 e 3, para (3=7, permite determinar as 
componentes Fx e F. da força: 
direção x, segundo o eixo da tubulação 1: 
F, - PjA, + P A2 COS 30o + P3A3 COS 45o = pQ,U, - pQ2U2 cos 30' - pQ3U3 cos 45' 
(2.18) 
direção y, perpendicular ao eixo da tubulação 1, no plano horizontal: 
Fy - P2A sen30o + P3A3 sen45° = p02U2 sen30° - pQ3U3 sen45'-
D = 1500 mm 
- © 
© 
Solução 
(2.19) 
em que: 
T C D j _ = K - l 5 2 = 1 7 7 m ! 
A A 
7cDj_ = n • 0,9 = 0 Q4m2 
~ A A 4 4 
53 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
A, = — i = W m 2 
3 4 4 
U Ql = ^£2. - 5 08m/s 
A ' . 7 7 
U 2 ^ = í ° ° = 6 , 2 5 m , S 
2 A, 0.64 
U3=9L = í°° = 4,42m/S 
3 A3 1,13 
As pressões P2 e P3 podem ser calculadas pela equação de Bernoulli, des 
prezando as perdas de carga, como mostrado a seguir. 
A + Í £ = J 1 + ü í = - 0 L + < 1 
pg 2g pg 2g pg 2g 
P2 = P, + p(U?-Uí)/2 = 500000+1000(5.08: -6,25')/2= 493372Pa 
P3 = P, + p(U? -Uj)/2 = 500000+1000(5,082 -4,422)I2 = 503135Pa 
Substituindo os valores obtidos para A,, Ay Ay U,, U? Ur P2e P3 nas ex-
pressões (2.18) e (2.19) obtém-se: 
F =217967N 
F = -247268 N 
F= 329623 N 
Fx =217967 N 
F=329623 N 
2.5 Equação fundamental da Hidrostática 
A Hidrostática estuda o fluido em repouso, principalmente nos aspectos ligados aos 
esforços. Não havendo movimento do fluido, a resultante das forças tem origem nos 
esforços de compressão somente, uma vez que as tensões de cisalhamento provocariam 
a deformação no fluido, ou seja, o escoamento. Assim, a Hidrostática pode ser entendida 
como um caso particular da Hidrodinâmica em que a velocidade é nula Com efeito, 
a equação fundamental da Hidrostática, também denominada Lei de Stevin pode ser 
obtida da equação (2.16) fazendo U = 0 e Ah = 0, já que não há movimento! ou seja: 
54 
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A Mecàrvça dos Ru.dos na Hidráu >ca | Capitulo 2 
Zj + — = Z2 + ^-
y y 
( 2 . 2 0 ) 
•'.P,-P2=yh 
Pa (atmosfera) 
Figura 2.9 - Variação da pressão com a profundidade 
Portanto, a variação da pressão entre dois pontos (P, - P2) no interior de uma mas-
sa fluida em repouso é igual ao peso da coluna de base unitária desse fluido entre os 
pontos considerados (y/7). 
Pode-se ainda deduzir pela Lei de Stevin que num fluido em repouso a pressão é 
constante no mesmo plano horizontal, enquanto na direção vertical, a pressão diminui 
com a elevação a uma taxa igual a yh, sendo h a alteração da elevação. 
Através da equação (2.20) é possível se conhecer a pressão no ponto 1 a partir de 
uma referência (pressão no ponto 2), do peso específico do fluido e da diferença de nível 
entre os pontos 1 e 2. Adota-se, normalmente, duas escalas como referência, uma que 
utiliza a pressão atmosférica local e a outra, o zero absoluto ou o vácuo total (ver Figura 
2.10). A pressão obtida a partir da pressão atmosférica é denominada de pressão efetiva 
ou manométrica e na outra escala de pressão absoluta. A passagem de uma escala para 
a outra se obtém através da expressão: 
D absoluta — D efetrva , D 
1 ~ I c 
absoluta 
atm 
(2.21) 
.•a ra > 
ifí -g 
a ® 
Pressão atmosférica normal 
Pressão atmosférica local 
Pa = 1 atmosfera 
Pa/ti Ho = 760 mmHg 
Pa = 101 KPa 
Pa/ t i a = 10 m.c.a. 
8 
-O 
(0 
o 
cn 
£ 
CL 
Leitura 
local 
do 
barómetro 
Depressão] 
Sucção | Pressão efetiva negativa 
Vácuo ) 
í 1 
Pressão absoluta 
Zero absoluto (vácuo absoluto) 
Figura 2.10 - Escalas para medida da pressão 
55 
Gèrierated by (JamScanner trom IntsTg.com 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Assim, o valor da pressão atmosférica na escala efetiva é zero (P £= ^ n q u a n t o n a 
escala absoluta, embora dependa da coluna de ar acima a supe ' â S0, 
normalmente, o valor da pressão atmosfénca ao nível do mar ( P ^ ' - 1 0 1 kPa) como 
padrão, também denominada atmosfera normal. A maneira mais usua e expressar a 
pressão é na escala efetiva. Desta maneira, neste texto, quan o na no açao nao estiver 
explícito, por uma questão de facilidade, admite-se tratar de pressão e etiva, ao passo 
que nas pressões na escala absoluta serão destacadas {Pabs). 
2.5.1 Med idas de pressão 
A manometria trata das medidas de pressão e para tanto, utiliza dispositivos 
denominados manómetros. Alguns desses dispositivos, como os citados logo a seguir, 
se fundamentam na Lei de Stevin (P = y h), utilizando a coluna do líquido como meio 
indireto para a determinação da pressão. 
O piezômetro é o mais simples desses manómetros, sendo constituído por um tubo 
transparente colocado na posição vertical, conectado ao sistema, para medir a altura h 
de líquido (ver Figura 2.11 -a). 
O manómetro em "U" tem esse nome devido à forma do tubo de medida de pressão 
em "U" (ver Figura 2.11 -b). Essa forma possibilita tomada de pressão negativa (abaixo 
da pressão atmosférica ou vácuo parcial), além da positiva, obtida em medidor do tipo 
piezômetro. 
O manómetro diferencial difere dos anteriores por não possuir uma das extremida-
des em contato com a atmosfera, ou seja, tem as duas extremidades ligadas nos dois 
sistemas, nos quais deseja-se medir a diferença de pressão. 
Nesses tipos de manómetros, mencionados anteriormente, quando se deseja medir 
pressões muito elevadas, utiliza-se outro líquido, diferente daquele do sistema, chamado 
líquido manométrico, inerte e imiscível com a substância no interior do sistema, porém 
de peso específico elevado, como por exemplo o mercúrio, cujo peso específico é 13,6 
vezes o da água (ver Figura 2.11-c). O mesmo recurso é utilizado para pequenas pres-
sões, contudo adotando-se líquidos de peso específico baixo (Ex.: óleo). Para pequenas 
pressões emprega-se, também, o recurso de inclinar o medidor (ver Figura 2.11 -d), para 
melhorar a precisão da medida. 
Convém também citar o manómetro metálico tipo Bourdon, muito utilizado nos 
processos industriais, porem, com outro princípio de funcionamento Este aparelho 
é constituído por um tubo chato, curvo e selado em uma das extremidades, sendo a 
outra extremidade conectada ao sistema para se medir a pressão. Estando este sistema 
pressurizado,ha uma alteraçao na curvatura deste tubo. Esta deformação é proporcional 
à pressão do sistema que é transmitida por um ponteiro solidário ao tubo curvo a um 
mostrador, conforme apresentado na Figura 2.11-e. Este t ipo de aparelho requer uma 
calibraçao prévia para a sua utilização. 
56 
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A Md' . I l lM i|>r Illflil'i lio Hl<lr4!llM I ( rtplliilo 2 
pressão P 
Pp = 8h 
(a) Piezômetro 
pressão P 
P p = - 8 h 
(b) Manómetro em "U" 
JJ 
0 
• dh • 0,yt 
((.) MmiOmolio dlfniniiclfll 
pressão P 
P p = tfh = 8 L seno 
(d) Manómetro inclinado 
Figura 2.11 - Manómetros 
(o) Muriômolro do Bourdon 
Exemplo 2.3 
O manómetro de tubo em "U", contendo mercúrio, indicou os valores constan-
tes da figura abaixo quando conectado a um conduto forçado contendo água. 
Determinar a pressão do sistema. Caso seja utilizada a própria água no lugar do 
mercúrio, determinar a altura de água correspondente h. 
Dados: 
y = 9 , 8 1 x103 N/m3 
y = 1,33 x105 N/m3 
'm ' 
y = 0 , 5 0 m 
h = 1,00 m 
pressão P 
Í « I 
On 
57 
Generated by CamScanner trom intsig.com 
»>S> \ MM >» 
so lução 
v W V o n t t l v v vi.» interface entre os dois líquidos, será tomado como 
, u v r u - . v „ . n ,,s nu, dos dois lados do manometro. 
\sn \\ oo a ov iua^o de Stovin. obtém se. 
(2.22) 
•- • {{ v'-« N j»'\ 1.00 n>'9.81 xlO> N/m3x 0,50 m 
;$ \ v v \ " ' v P a 
i: .. v.> V.»piopn.» .kj im no lugar do mercúrio, a nova altura h pode ser 
o(Mio.< I* .1 v K t m de y . por y, na equação (2.22), ou seja: 
r Y (h y) 
,ys \ vv \ M' °*s> V ^ \ (h - 0,50m) 
%\ " ' ? '>(> v 
t \ e m p o -x -J 
\ ;>Wa 00 o v o mosttaoa ia ' oura a seguir, é um instrumento utilizado 
4 wa ;v \a aoomiond i tos 'orçados, pela medida da diferença de pressão 
o vo i -V m \ . v oo montante e usante da placa. Determinar a equação que 
iv to ov; -a i v- \a.ao C \ n conduto vertical em função dos diâmetros 
o o "os" a^ios v oi a da a tura h medida no manómetro e dos pesos 
omx\ vO> o. ao, a oN o oo iqi do nanométrico ( y j , assumindo as perdas 
oo ca toa ont e as >oçoos \ e / nulas. 
D 
R a ca do O n t i oi o 
A 
Tubulação •. V ^ r . * Manómetro diferencial 
m 
Generated by (Jambcanner trom intsig.com 
S8 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Solução 
Neste problema é importante distinguir a parte onde há escoamento, como 
na tubulação, na qual é possível utilizar as equações da continuidade, de 
Bernoulli e da quantidade de movimento, daquela em que o líquido per-
manece estático, como no manómetro, onde se utiliza o fundamento da 
Hidrostática. 
Assim, aplicando a equação de Bernoulli entre 1 e 2, com o datum pas-
sando por 1, tem-se: 
. P, U? . P2 U\ .» 
2 h 1- —— — Z p + —i - f Ah 
y 2g Y 2g 
(2.23) 
UÍ_Ui=Pi_P__ 
2g 2g Y Y y 
em que 
0 4Q 
A TID' 
u 2 = Q - = ^ 
2 A, Ttd2 
(2.24) 
A diferença de carga piezométrica ( P / y - PJy) pode ser determinada atra-
vés da leitura no manómetro, aplicando a Lei de Stevin, como demonstrado 
a seguir: 
P,+yx = P2+ymh+yz 
P,-P2=y„h+yz-yx 
P,-P2 =y(z-x)+ymh 
h+z=x+y 
(ver figura anterior) 
z-x = y-h 
Ge 
P,-P2=y(y-h)+ymh 
fj—!í=:y-h + ^ h 
Y V 
í - í ^ h t ^ — V + y 
Y Y 
59 
nerátèd by Gambcanner trom intsig.com 
Fundamento* do (ngonhrtilA fiUliAulK.» 
O termo entre p a r í n t , ^ da equa t fo .n te -- * d° 
m a n ó m e t r o que UMLM o l lq. ,DO v , v - v : - ^ P « O d ° 
liquido transportado, de peso espov i t ^T Portanto, « s e t e oeconstante 
para essa situação 
h*mhfa-V 
y 
p -p 
-i—•- = h*+y 
y 
C : s ) 
Levando (2.24) e (2 25) em C :3 ) obte v><? 
/6Q- 760 ^ 7 
2g n2d" ix :D4 
= h*+y-\ 
i6Q*( 1 n 
2gn*{d* D4) 
n2 2gh n • v -
7 6 
7 7 
yd4 D" 
o - 7 1 
7 2 g h ' u {*-'* 
= / / 
A equação anterior permite esti nar a v&rào escoaca, tendo em vista o 
diferencial de pressão causado pe a -o òca ce oi * cic Entretanto, devido à 
perda de carga aqui negligenc ada, a varão ea e normalmente, inferior 
ao valor obtido pela equação teo Co ac esentacia. 
6 0 
A Mu. Mlifl <!«»•• i luttí'no HftJrAullcd 1i .ipitiilo 2 
2.5.2 Forças exercidas sobre superfícies planas submersos 
A fim de se projetarem estruturas constituídas por superfícies planas imersas num 
liquido em repouso, é necessário se conhecer <\ força result«inte da ação do fluido sobre 
a superfície, bem como o seu ponto do aplicação Isto tom grande aplicação no cálculo 
de comportas planas, válvulas, paredes e lajes do reservatórios 
A força resultante da ação do fluido, também denominada de empuxo, pode ser 
calculada pela integração das forças devido á pressão distribuída sobre «i superfície plana 
mergulhada no líquido, qual seja: 
F = yh A (2.26) 
F = força resultante ou empuxo 
y = peso específico do líquido 
ho = distância vertical da superfície livre ao centro do gravidade da 
área A (ver Figura 2.12) 
A = área da superfície plana 
Portanto, a força resultante devida à pressão hidrostática em qualquer superfície 
plana submersa é igual ao produto da área da superfície pela pressão que atua no centro 
de gravidade (C.G.). 
— - A 
... F 
L, 
Figura 2.12 - Esforço em uma superfície plana imersa 
>v 
y0 
Scçflo A-A 
A posição da força resultante "F" pode ser determinada pela expressão (2.27), por 
onde se constata que o centro de empuxo (C.E.) está sempre localizado abaixo do centro 
de gravidade (C.G.) da superfície plana, já quey„ >y„. 
y . - y . + M ( 2 ' 2 7 ) 
61 
Generated by üamScanner trom intsig.com 
fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Comportas retangulares (Canal de la Durance, França) 
yp = distância da linha de ação da força resultante à superfície livre, 
segundo o plano da superfície 
lQ = momento de inércia da superfície plana em relação ao eixo que 
passa pelo seu centro de gravidade (ver Quadro 2.6) 
yo = distância do centro de gravidade da superfície plana à superfície 
livre, segundo o plano da superfície. 
Quadro 2.6 - Momentos de inércia de algumas f iguras impor tantes 
Forma Figura I, 
Triangular 
Retangular 
Circular 
X 
62 
A Mi>c Anu ,i dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Exemplo 2.5 
Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma lâmina d'água 
máxima de 9,0 m. Considerando a seção transversal mostrada na figura a 
seguir, pede-se determinar: 
a) O esforço exercido pela água armazenada por unidade de largura 
da barragem. 
b) A localização do esforço calculado no item anterior. 
Solução 
a) Utilizando a equação (2.26) para se determinar o esforço em 1,0 m 
da barragem, tem-se: 
F = yh0A 
y =7 000kgf/m3 
K - 9 i - 4 - 5 m 
A B = sen 40° ~14,0m 
A = ÃB-l,0 = 14,0m2 
F = 1000-4,5-14,0 = 63000kgf ou F = 618030N 
b) Pela equação (2.27) 
L 
yP = Yo + 
h- 4 , 5 = 7,Om O — 
y° sen 40" 0,64 
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I i indamento* de Engenharia Hidraulica 
O retângulo, de base igual a 1,0 m e altura de 14,0 m, tem para o m 
de inércia (IJ a expressão seguinte, mostrada no Qu 
= ^1,0-14,0' __ 228,7m* 
0 12 12 
228,7 n -p 
y =7,0 + 9,3m 
Yp 7,0-14,0 
2.1 Estabelecer a expressão matemática da relação entre o tempo percorrido (f) 
em queda livre de um corpo no vácuo, sujeito à gravidade (g), a uma altura {h), 
utilizando o princípio da homogeneidade dimensional. 
2.2 Utilizando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação 
matemática que existe entre a energia fornecida por uma bomba (P), o peso espe-
cífico do fluido (y), a vazão (Q) e a altura de carga fornecida pela bomba {Hm). 
2.3 Um bocal convergente de 100 mm x 50 mm é colocado num sistema para 
assegurar uma velocidade de 5,0 m/s na extremidade menor do bocal. Calcular a 
velocidade, a montantedo bocal e a vazão escoada. 
2.4 Calcular a força requerida para segurar um esguicho de mangueira de incêndio 
que tem 63 mm de diâmetro na entrada e 19 mm na saída, quando este está des-
pejando 4,0 l/s de água para atmosfera. Considerar desprezível a perda de carga 
no bocal. 
2.5 Um canal retangular com_5,0 m de largura transporta uma vazão de 10 mVs 
ao longo de 1 km de extensão. O canal tem início na cota 903 0 onde a lâmina 
dágua é de 1,0 m. Supondo que na seção final do canal a cota seja 890 O m e a 
velocidade média 3.0 m/s, pede-se calcular a perda de carga total entre o início e 
o término do canal. 
64 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidr-i ,i ca | Cap tulO 2 
2.6 Por um canal retangular de 2,0 m de largura, posicionado a 20 m do nível de 
referência escoam 3,0 m3/s de água a uma profundidade de 1,8 m. Calcular a energia 
hidráulica total na superfície da água em relação ao nível de referência. 
2.7 Uma tubulação de 500 mm de diâmetro, assentada com uma inclinação de 1 % 
ao longo de 1 km do seu comprimento, transporta 250 l/s. Sabendo-se que a pressão 
ao longo da tubulação é constante, determinar a perda de carga neste trecho. 
2.8 Um tanque contém 0,50 m de água e 1,20 m de óleo cuja densidade relativa 
é 0,80. Calcular a pressão no fundo do tanque e num ponto do líquido situado 
na interface entre os dois líquidos. Expressar os resultados nos sistemas técnico e 
internacional. 
2.9 Uma vazão de 75 l/s está escoando numa curva de 90°, diâmetro de 300 mm, 
posicionada num plano horizontal, onde a carga de pressão é 40 m. Determine o 
valor e a direção da força que atua neste ponto da instalação. 
2.10 Uma redução com 1,5 m de diâmetro a montante e 1,0 m a jusante, assen-
tada no plano horizontal, apresentou 400 kPa de pressão na seção de montante 
quando transportava 1,8 m3/s de água. Desprezando-se a perda de carga, calcule 
a força horizontal que esta peça deve provocar no bloco para a sua ancoragem. 
65 
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Capítulo 3 
Escoamento em condutos forçados simples 
Este capitulo trata, essencialmente, de problemas relacionados aos con-
dutos forçados simples em regime permanente uniforme. Para tanto, são 
apresentados os métodos usuais para o cálculo da perda de carga e suas 
aplicações. Analisa-se, também, a influência do perfil das tubulações em 
relação às linhas de carga do escoamento. Finalmente, os problemas ligados 
à cavitação e aos escoamentos não permanentes são discutidos. 
3.1 Perda de carga 
O líquido ao escoar transforma parte de sua energia em calor. Essa energia não é 
mais recuperada na forma de energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se 
perda de carga. Para efeito de estudo, a perda de carga, denotada por Ah, é classificada em 
perda de carga contínua Ah' e perda de carga localizada Ah", sendo a primeira conside-
rada ao longo da tubulação e a outra, devido à presença de conexões, aparelhos etc., 
em pontos particulares do conduto, conforme pode ser visto na Figura 3.1. 
Figura 3.1 - Representação da perda de carga num tubo de seção constante 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
3.1.1 Perda de carga contínua 
A perda de carga contínua se deve, principalmente, ao atrito interno entre partículas 
escoando em diferentes velocidades. As causas dessas variações de velocidades são a 
viscosidade do líquido v e a rugosidade da tubulação e. A razão entre a perda de carga 
contínua Ah' e o comprimento do conduto L representa o gradiente ou a inclinação da 
linha de carga e é denominado por perda de carga unitária J: 
i 
Na Figura 3.1, entre os pontos 2 e 3 do conduto, onde não há nenhuma perda de 
carga localizada, a linha piezométrica é paralela à linha de carga, já que a seção do tubo 
é constante e consequentemente a carga de velocidade também o é. Assim, o abaixa-
mento da linha piezométrica representa também a perda de carga contínua, como pode 
ser demonstrado, aplicando a equação de Bernoulli entre as seções 2 e 3 consideradas: 
Z,+ PJ y + U22/2g =Z,+ P3/ y + U//2g +A h'23 
visto que 
U2= U3 => Ah'23 = (Z2+ PJ y) - (Z3+ PJ y) 
A análise dimensional pode ser utilizada para se obter uma relação entre a perda 
de carga contínua, parâmetros geométricos do escoamento no conduto e propriedades 
relevantes do fluido, resultando na equação Universal de perda de carga, que para con-
dutos de seção circular apresenta-se como: 
A/ j '= — — < 3 - 2 > 
D 2g 
Considerando as equações (3.1), (3.2) e a equação da continuidade, obtém-se a 
seguinte equação para a perda de carga unitária: 
J = ^ L 9 Í 
n '9 D5 (3.3) 
sendo: 
J = perda de carga unitária em m/m; 
U = velocidade média do escoamento em m/s; 
D = diâmetro do conduto em m; 
68 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
L = comprimento do conduto em m; 
0 = vazão em m3/s; 
g = aceleração da gravidade em m/s2; 
f= coeficiente de perda de carga. 
0 coeficiente de perda de carga fé um adimensional que depende basicamente 
do regime de escoamento. No escoamento laminar (Re < 2000), este coeficiente pode 
ser obtido através da equação racional de Hagen-Poiseuille (mostrada a seguir), em 
comparação com a formulação Universal para perda de carga (3.2). O resultado disso é 
a expressão (3.4), onde pode-se notar que f depende do número de Reynolds {Re = UDN) 
e portanto da viscosidade cinemática do fluido v, da velocidade média U e do diâmetro 
da tubulação D. 
j = 32 (Equação de Hagen-Poiseuille) 
gD2 
f - Ç í 
" Re (3-4) 
No escoamento turbulento (Re > 4000) o coeficiente de perda de carga f, quando 
avaliado experimentalmente, tem demonstrado também depender da viscosidade cine-
mática do fluido v, da velocidade média U, do diâmetro da tubulação D e para a maioria 
das situações da rugosidade interna da parede do tubo e. 
Blasius, em 1913, propôs a fórmula empírica (3.5) para avaliar este coeficiente em 
tubos lisos: 
, 0,316 
i - s p r e s 
Nikuradse, em 1932, por meio de várias experiências realizadas em tubos, com 
rugosidade obtida artificialmente através de grãos de areia, obteve para tubos lisos: 
1 ReJf 
—f= = 2log 
•Jf 2,51 (3.6) 
e para tubos rugosos na zona de completa turbulência: 
- l r = 2log3,7-
•Jf e (3.7) 
Mais tarde, em 1939, Colebrook e White, com base em considerações teóricas e 
empíricas, desenvolveram uma expressão para a faixa de transição (tubos hidraulicamente 
lisos e rugosos) em tubos comerciais: 
Í f = ~ 2 l 0 9 ( ^ J + ^ j f > ( 3 8 ) 
A expressão anterior, combinada com a equação (3.2) permite o cálculo da veloci-
dade no escoamento: 
2,51 v 
U = -2j2gD • J. log( + —'•?=) 
v y * 3,7D DpgDJ (3 9) 
69 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
A expressão de Colebrook-White, embora, inicialmente, estabelecida somente para 
a faixa de transição, apresenta bons resultados nas outras faixas, pois a expressão (3.8) 
é a composição das equações (3.6) e (3.7) para tubos lisos e rugosos, respectivamente, 
e por isso é a expressão mais recomendada para a determinação de f em escoamentos 
turbulentos. Contudo, devido à dificuldade do cálculo de f que se encontra na forma 
implícita na expressão (3.8), o engenheiro americano Moody, em 1944, criou um diagrama 
fundamentado nas expressões (3.4) e (3.8), para os regimes laminar e turbulento, res-
pectivamente, que durante muitos anos foi de grande utilidade. Atualmente, entretanto, 
devido aos recursos disponíveis em termos de calculadora, ficou muito mais fácil o uso 
das expressões matemáticas em que o valor de f aparece explícito. As equações (3.10) 
e (3.11), mostradas a seguir, são exemplos de expressões desse tipo, sendo a primeira 
delas desenvolvida por Swamee e Jain e a outrapor Barr. As equações (3.10) e (3.11), 
quando resguardadas as limitações de validade, diferem em menos de 1 % dos valores 
de f dados pela equação (3.8). 
/ = 1,325 
Un(e/3,7D + 5,74/Re°-9)12 
válida para 5x103 < Re < 108 e 10 6 < e/D < 10 2 
(3.10) 
' m-2log(°!D+VL) 
Jf y 3,7 Re0 89' 
(3.11) 
válida para Re > 105 
O Quadro 3.1 contém valores extremos e usual para as alturas médias das asperezas 
ou rugosidades internas de tubos comerciais. 
Quadro 3.1 - Valores das rugosidades internas de tubos 
(Continua) 
Características da tubulação 
1. Tubos de aço, juntas soldadas, interior contínuo 
Grandes incrustações ou tuberculizações 
Tuberculização geral de 1 a 3 mm 
Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume 
Leve enferrujamento 
Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 
Revestimento com argamassa de cimento obtida por 
centrifugação 
Tubo revestido de esmalte 
2. Tubos de concreto 
Superfície obtida por centrifugação 
Superfície interna bastante lisa, executada com for-
mas metálicas 
3.Tubos de cimento amianto 
Rugosidade e (mm) 
Mínima Usual Máxima 
2,4 7,0 12,2 
0,9 1,5 2,4 
0,3 0,6 0,9 
0,15 0,2 0,3 
0,06 0,1 0,15 
0,05 0,1 0,15 
0,01 0,06 0,3 
0,15 0,3 0,5 
0,06 0,1 0,18 
- 0,015 0,025 
70 
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Escoamento em condutos (orçados simples | Capitulo 3 
(Conclusão) 
Características da tubulação Rugosidade e (mm) 
Mínima Usual Máxima 
4. Ferro galvanizado, fundido revestido 0,06 0,15 0,3 
Ferro fundido, não revestido, novo 0,25 0,5 1,0 
Ferro fundido com corrosão 1,0 1,5 3,0 
Ferro fundido com depósito 1,0 2,0 4,0 
5.Latão, cobre, chumbo 0,04 0,007 0,010 
6.Tubos de plástico - PVC 0,0015 0,06 -
Fonte - Adaptado de Lencastre, 1996. 
Até aqui, a ênfase foi dada ao método racional, utilizando a fórmula Universal, com 
coeficiente de perda de carga /"obtido por meio da equação de Colebrook-White. Entre-
tanto, para sistemas mais complexos, do tipo rede de condutos, torna-se praticamente 
inviável o seu cálculo através deste método, sem o uso de computador. Por essa razão, 
as fórmulas práticas estabelecidas por pesquisadores em laboratórios ainda são muito 
utilizadas, embora sejam mais restritas do que o método anterior, pois só podem ser 
empregadas dentro das condições limites estabelecidas nas suas experiências. Algumas 
destas formulas apresentam coeficientes de perda de carga empíricos que devem ser 
escolhidos com muito critério para não gerar grandes erros. As fórmulas empíricas para 
a perda de carga contínua unitária mais utilizadas entre os projetistas de tubulação são 
apresentadas a seguir. O significado dos termos e as unidades aqui empregados são os 
mesmos já apresentados para equação (3.3). 
Fórmula de Hazen-Wil l iams 
10,64 Q1,ei 
~ C1,85 04.87 (3 1 2 ) 
Essa fórmula tem sido largamente empregada, sendo aplicável a condutos de seção 
circular com diâmetro superior a 50 mm, conduzindo água somente. C é um coeficiente 
de perda de carga que depende da natureza e das condições do material empregado nas 
paredes dos tubos, bem como da água transportada. O Quadro 3.2 mostra os valores 
de C normalmente encontrados na prática. 
Quadro 3.2 - Coeficiente de perda de carga C da fórmula de Hazen-Williams 
(Continua) 
Material C 
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 
Aço galvanizado 125 
Aço rebitado novo 110 
Aço rebitado em uso 85 
Aço soldado novo 130 
Aço soldado em uso 90 
Aço soldado com revestimento especial 130 
Chumbo 130 
Cimento amianto 140 
Cobre 130 
71 
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fundamento» de Engenharia Hidráulica 
(Conclusão) 
Material C 
Concreto com acabamento comum 120 
Ferro fundido novo 130 
Ferro fundido de 15 a 20 anos de uso 100 
Ferro fundido usado 90 
Ferro fundido revestido de cimento 130 
Latão 130 
Manilha cerâmica vidrada 110 
Plástico 140 
Tijolos bem executados 100 
Vidro 140 
Fonte - Adaptado de Azevedo Netto. Alvarez. 1988 
Fórmula de Flamant 
A fórmula de Flamant foi originalmente testada para tubos de parede lisa de uma 
maneira geral; postenormente mostrou ajustar-se bem aos tubos de plástico de pequenos 
d ámetros, como os empregados em instalações hidráulicas prediais de água fria. 
Q1.7S 
J = 0,000824 
D (3.13) 
Fórmula de Scobey 
/ 
~ 245D4 9 (314) 
Essa fórmula é ,nd,cada para o cálculo de perda de carga em redes de irrigação por 
aspersão e gotejamentoi que utihzam tubos leves. Os valores do coeficiente de perda de 
carga K da fórmula de Scobey estào indicados no Quadro 3 3 
Quadro 3.3 - Coeficiente de perda de carga K da fórmnl , ^ S c o b 
Material j~ 
K 
Plástico e cimento amianto 
0,32 
Alumínio com engates rápidos a cada 6m Q 
Aço galvanizado com engates rápidos a cada 6m n / 1 c 
Fonte - Adaptado de Gomes, 1994 ~ — 
72 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao 
As fórmulas apresentadas a seguir são recomendadas pela norma brasileira, para 
projetos de instalações hidráulicas prediais, nos seguintes casos: 
• tubos de aço galvanizado e ferro fundido, conduzindo água fria: 
nl88 J = °'002021~m (3.15) 
• tubos de cobre ou plástico, conduzindo água fria: 
J = 0 . 0 0 0 5 5 9 ° ^ ( 3 1 6 ) 
D 
• tubos de cobre ou latão, conduzindo água quente: 
J = 0,000692^-1 (317) 
D 
Não há fórmula específica para tubos de aço galvanizado, conduzindo água quente; 
entretanto, a fórmula (3.15) tem sido empregada nesses casos, pois apresenta resultados 
a favor da segurança. 
As equações de perda de carga unitária vistas anteriormente demonstram certa 
similaridade, diferindo, basicamente, no fator que multiplica a relação entre a vazão e 
o diâmetro e os expoentes destes. Desta maneira, para representar genericamente uma 
equação de perda de carga unitária, será utilizada neste livro a expressão: 
; = B — (3.18) 
Dm 
em que p, n e m são parâmetros próprios da equação utilizada, isto é, no caso da for-
mulação Universal (equação 3.3) estes parâmetros assumem os seguintes valores: 
8f 
[3 = —r- / n = 2 • m = 5 
71 g 
para a equação (3.12) de Hazen-Williams, P = W.64C , n = 7,85 e m =4,87, assim 
por diante. 
73 
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Fundamento* de Engenharia Hidráulica 
Exemplo 3.1 
Uma adutora fornece a vazão de 150 l/s, através de uma tubulação de aço 
soldado, revestida com esmalte, diâmetro de 400 mm e 2 km de exten-
são. Determinar a perda de carga na tubulação, por meio da equação de 
Hazen-Williams, e comparar com a fórmula universal de perda de carga. 
Solução 
Pela equação de Hazen-Williams com C =130 (ver Quadro 3.2, para tubos 
de aço com revestimento especial), tem-se: 
j = - 7064 0 ,7 5 ' e s j - 0 0Q34 mim =» Ah'=JL = 0,0034 x 2000 =6,8 m 
130 0.4Cf'B7 
Para a utilização da fórmula universal é necessário conhecer, inicialmente, o 
regime de escoamento, dado pelo número de Reynolds (Re = UDN), tendo 
sido adotada a temperatura de 20°C para a determinação da viscosidade 
cinemática da água (v = 1,01x106 m2/s) e 
A kD' Ti 0,40 
, R e = ^ = H l i M o = 4 7 x l0s 
v 7 , 0 7 x 7 0 " ° 
Corno o número de Reynolds é superior a 4000, o escoamento é turbu-
lento. Neste caso, o coeficiente de perda de carga f depende também da 
rugosidade das paredes do tubo. Este valor pode ser obt ido no Quadro 
3.1, para tubos de aço revestido de esmalte, ou seja: 
emh =0,01 mm e « „ = 0,06 mm = 0,3 mm 
2 , 5 x 1 0 e / C U t o = 15x1 O* 210^ = 7,5x10* 
Utilizando as equações (3.10) ou (3.11), com Re - 4 7VINS Q 
e/D anteriormente mencionados, obtém-se f =0014 f n m t 
f =0,019. wln ' ' = 0,015 e 
, 8f Q? 8xf 0,152 
J = — — = Z77TZ-,--^rzr = 0,18l55f ti g D k 9,81 0,40 
74 
Generãted by GamScanner trom intslg.comEscoamento em condutos forçados s mp!es | Capitulo 3 
- u ' u u ^ 4 Jmédn = 0i00272 = 0,00345 
Ah'=•"•=> &h'mln = 5,08m Ah'médl0 = S,44m Ah^=6.90m 
Nota-Se, neste caso, que a perda de carga calculada pela fórmula de Hazen-
-Williams (A/V = 6,8 m) apresentou um resultado dentro da faixa verificada 
pela fórmula universal (5,08 m<Ah'<690m) 
3.1 .2 Perda de carga com distr ibuição de água ao longo do percurso 
As tubulações destinadas à distribuição de água são dotadas de várias derivações e, 
por isso, é possível, na maioria dos casos, considerar a vazão distribuída uniformemente 
ao longo do conduto, também chamada vazão de distribuição em marcha q. Para o 
cálculo da perda de carga contínua neste tipo de escoamento, considere a tubulação 
mostrada na figura a seguir, onde: 
0 
Qj 
Q 
M = vazão de montante 
= vazão de jusante 
= vazão de distribuição em marcha (q = (Q.„-Q)/ L) 
K " 
i 
Linha Piezométrica 
Q M 
Ah' 
Q. 
: d x : 
Figura 3.2 - Perda de carga em conduto com distribuição em marcha 
Assim, 
Qm=Q,+ Vl 
Num trecho elementar dx. distante x da extremidade, a vazão pode ser considerada 
constante. Sendo 0 essa vazão tem-se, consequentemente: 
Q = Qj + qx ( 3 - 1 9 ) 
Levando (3.19) em (3.18) e (3.1), obtém-se a perda de carga no trecho dx e por 
integração, em todo o percurso L, como demostrado a seguir. 
75 
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v j* | Q ' ü \ 
Vi f ÍO • qxFdx 
D í 
. ^ m (Q:;'-Q7r 
" • in ' 1)D'\ 0K, - Q / J 
Oiui u1o U v a a va.ão o consumida no percurso, a vazão de u>a -te e n a (Q Cs 
t > :o^ 
=s \h' & W & 
( f H W 
Ah'= JL 
n + 1 ks 2\) 
Tendo o n vista a equação (3.21) e os valores usuais de n (n S ias v mulas de 
perda de ^arqa para condutos forçados em regime turbulento, cc< \ u se o,.e a perda 
de cai oa é r+ 4 (aproximadamente 1/3) da perda de carga que se cb te-n com a vazão 
constante distribuição. 
Nas edes de disti ibuição dos sistemas públicos de abastecimento de aoi.a e ^ o t a n t o 
poi uma questão de facilidade somente, calcula-se essa perda de ca oa e.e maneira 
apro\ mada utilizando se as formulas de perda de carga vistas v tem > 1 i com 
uma vazão fictícia (Q,) dada pela expressão: 
3 f Q 
^ ' 2 
(3 
O ' ' 
A/>'= P p L ( 3 : 3 ) 
Quando as denvaçòes são espaçadas de maneira regular como tos ss te^as de 
irrigação por aspersão, a perda de carga pode ser calculada, cons dera íoo ti hulaçào 
formada por vários trechos interligados, onde as vazões são diferentes em cada t reJ io 
porem constantes ao longo de um dado trecho. 
Assim, supondo o sistema dotado de N derivações, espaçadas o.e „ na d stânc a s 
conforme mostrado na Figura 3.3, obtém-se para a perda de carga e n cada t e o o o 
seguinte: 
Linha Piezométnca 
\h 
1 2 3 
i ; ! t T T . 
.s ' s • S 
Figura 3 ; Peida de carga em conduto com N derivações 
76 
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Escoamento em condutos forçados simp es | Capitulo 3 
Trecho 1: A » , - p ( M 0 / w " 
' Dm 
Trecho 2: « w - w / w 
2 I D „ 
Penúltimo trecho: 
Últ imo trecho: 
Ah '= A W , + A t f í + . . . . + A h V , + ^ ' , = Í [ * l X ° ! N ] ' 
x«l LJ 
^ D m J N n S 
Utilizando a expressão (3.18) e substituindo s por /./A/ na expressão anterior, 
tem-se: 
Fazendo 
/Vn 
A h'=JLR 
(3.24) 
(3.25) 
O quadro a seguir apresenta os valores do termo R na expressão anterior, em função 
do número de derivações. 
Quadro 3.4 - Fator de redução R da expressão (3.25) 
Número de Hazen-Wil l iams Scobey Universal 
derivações N n = 1,85 n = 1.9 n = 2,0 
1 1,00 1,00 1,00 
2 0,64 0,63 0,63 
4 0,49 0,48 0,47 
6 0,44 0,43 0,42 
8 0,42 0,41 0,40 
10 0,40 0,40 0,39 
(Continua) 
77 
y CamScanner írom intsig.com 
Fundamento» iln lnu*nl t«t la Hl<li*iillca 
(Conclusão) 
N ú m e r o de 
der ivações N 
Hazen-Wi l l iams Scobey 
n = 1,9 
Un ive rsa l 
20 
30 
40 
50-99 
>100 
n a 1,85 
0,38 
0,37 
0,36 
0,36 
0,35 
0,37 
0,36 
0,36 
0,36 
0,35 
n = 2,0 
0,36 
0,35 
0,35 
0,34 
0,34 
Fonte Adaptado de Gomes, 1994. 
3.1.3 Perda de carga localizada 
Adicionalmente às perdas de carga contínuas que ocorrem ao longo das tubulações, 
têm-se perturbações localizadas, denominadas perdas de carga localizadas, causadas 
por singularidades do tipo curva, junção, válvula, medidor etc. que também provocam 
dissipação de energia. Algumas vezes, como acontece nas instalações hidráulicas pre-
diais, a perda de carga localizada é mais importante do que a perda de carga continua, 
devido ao grande número de conexões e aparelhos, relativamente ao compr imento de 
tubulação. Entretanto, no caso de tubulações muito longas, com vários quilômetros de 
extensão, como nas adutoras, a perda de carga localizada pode ser desprezada. 
Experiências mostram que a perda de carga localizada Ah" para uma determinada 
peça pode ser calculada pela expressão geral: 
A h"= KU?/2g (3.26) 
Sendo U a velocidade média de uma seção tomada como referência e K um coeficiente 
que depende da geometria da singularidade e do número de Reynolds. Os valores de K 
normalmente são obtidos experimentalmente, mostrando-se praticamente constantes 
(citado por Miller, 1984) para uma mesma peça e número de Reynolds acima de 500000. 
Borda (1733-1799) determinou teoricamente o coeficiente K para o caso de um 
alargamento brusco de tubulação, conforme mostrado na Figura 3.4. 
- T r i 
L.C 
U , ? / 2 g 
L P 
SL 
2 
Figura 3.4 - A largamento brusco de tubulação 
78 
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Escoane-ts er condutos foiçados arroles | Cap t Jo 3 
Equação de Bernoulli: H + : ^ L = Ül ^ 
Y 2g y 2 g * 
(3.27) 
Fazendo 
K = a-—y 
A- (3.28) 
Tem-se 
(3.29) 
A expressão 3 29 mostra aue a perda de carga localizada no alargamento brusco 
de uma tubu ação é proporciona! a U '2g. ta como proposto na expressão geral (3.26), 
para perda de carga oca zada 
Vê-se ainda peia expressão >3.27) que quando a area da seção transversal A, é 
muito menor que a area A. A . « A . , como na passagem de uma tubulação para um 
reservatório, o coeficiente de perda de carga aprox ma-se da unidade (K=1). Quando a 
concordância entre a tubu ação é feita por meio de uma transição arredondada ou uma 
curva o valor de K reduz acentuadamente. 
Os Quadros 3.5 a 3.9 contêm va ores exper mentais dos coeficientes de perda de car-
ga oca zada K de a g u n s : pos de válvulas O Quadro 3.10 mostra valores aproximados 
do coeficiente de peroa de carga das peças norma mente empregadas nas instalações 
hidráulicas. 
Quadro 3.5 - Valores do coeficiente K para válvula de gaveta 
Válvula de gaveta 
1—fe M O 01 02 0.3 04 05 06 0.7 08 OS 10 
M -
* * K c 1S3 445 17* 812 4 02 2.06 095 0 39 0 09 0 
Fonte - IDELCIK. 1969 
Quadro 3.6 - Valores do coeficiente K para válvula borboleta 
Válvula borboleta 
K O® K K 6° K 
5 0 2 4 20 1.54 40 10.8 65 256 
10 0.52 25 2.51 50 32.6 70 751 
15 0.90 30 3.91 60 118 90 * 
Fonte - IDELCIK. 1969 
Quadro 3.7 - Valores do coeficiente K para válvula esférica 
Válvula esférica 
K K K »>• K 
5 0.05 20 1.84 35 1 1 2 50 95.3 
10 0.31 25 3 45 40 20.7 55 275 
15 0 88 30 6.15 45 41.0 67 * 
Fonte - IDELCIK. 1969 
79 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Q u a d r o 3.8 - Valores do m p f i r i p n t e K para vá l vu la de re te ç~ 
Válvula de retenção 
5 
o° 
15 
20 
2 5 
K 
90 
6 2 
42 
I Io K 0
o K 0
o 
6 0 
30 30 4 5 
9 . 5 
0 o 
6 0 
35 2 0 5 0 
6 . 6 6 5 
4 0 14 55 
4 . 6 7 0 
K 
3 . 2 
2 . 3 
1 .7 
Fonte - IDELCIK, 1969. 
do ~ ° f i r i » n t P de pe rda de carga local izada K 
v^uaaro 3 . y - va iores aprux i r 
Peçar iduua uu 
K Peça 
K 
Ampliação gradual 0,30* Medidor Venturi 
2,50* 
Comporta aberta 1,00 Pequena derivação 
0,03 
Controlador de vazão 2,50 Redução gradual 
0,15* 
Cotovelo ou joelho de 45° 0,40 Saída de canalização 1,00 
Cotovelo ou joelho de 90° 0,90 Tê de passagem direta 0,60 
Crivo 0,75 Tê de saída bilateral 1,80 
Curva de 22,5° 0,10 Tê de saída de lado 1,30 
Curva de 45° 0,20 Válvula borboleta aberta 0,30 
Curva de 90° 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,00 
Entrada de Borda 1,00 Válvula de gaveta aberta 0,20 
Entrada normal 0,50 Válvula de pé 1.75 
Junção 0,40 Válvula de retenção 2,50 
Válvula globo aberta 10,00 
•Re la t ivo à ma io r ve loc idade " R e l a t i v o à velocidade na tubu lação 
Fonte - A d a p t a d o de Azevedo Net to ; Alvarez, 1988 
O p e r a ç ã o d e v á l v u l a d e g a v e t a - F o t o : C o p a s a 
8 0 
i «*n\ «xuHtutui ltw<,«dm tlftt|il#9 | (' 
Válvula esférica semifechada e «ibert.i 
Para o cálculo da perda de carga localizada utiliza se, alem da expressão geral, outro 
processo denominado Método dos Comprimentos \ 'irtuais l ste processo consisto, para 
efeito de cálculo somente, na substituição das singularidades presentes, geradoras das 
perdas de carga localizadas, por um tubo de diâmetro, rugosidade o comprimento tal 
que proporciona a mesma perda de carga original das singularidades A soma dos com-
primentos equivalentes L das peças de um determinado trecho de tubulação, a< resc ida 
do comprimento real desta é chamada de comprimento virtual L . que multiplicado 
pela perda de carga unitária J proporciona a perda de carga total na tubulação A/r O'. 
comprimentos equivalentes (Lt) correspondentes às peças mais frequentes f i a s instalações 
hidráulicas são mostrados no Quadro 3.10 para tubos rugosos, tais como, tubos de aço-
-carbono, galvanizado ou não, e no Quadro 3 11 para tubos lisos, tais como, plástico, 
cobre ou ligas de cobre. 
Quadro 3.10 - Compr imen to equivalente {L ) para tubo rugoso (m) 
Diâmetro Joel ti ti Joelho ' " 'v . i < niv.> I<> '.M l<• ' l«- «»i» I ntt.»il.» l V.»K iv '• •' • Vitlv Kry Mii() 
90° 45° 90° 45 pus Mkl . i *atda Nornat muda canal c r tMu i * l w i d m globo unvotn Anuulo 
Nominal direta Inteial tut.it | ,0 N M |a atwito aboliu «Imito 
^ pç ç? f t õ i 1 5 
15 1/2- 0.5 0,2 0.3 0.2 0.1 0.7 0.8 0 2 0 4 0 4 3.8 1.1 1.0 4.8 0.1 2,0 
20 3/4" 0.7 0.3 0.5 0.3 0.1 1.0 1.3 0 2 0.5 0 5 5 0 1.6 2.4 «V I I 1 3.0 
25 1" 0.9 0.4 0.7 0 4 0.2 1.4 1.7 0,3 0,7 0,7 7.» 2.1 3.2 8,2 0.2 4 0 
32 1 1/4" 1.2 0,5 0.8 0,5 0.2 1.7 2.1 0 4 0 9 OU 100 2.7 4 0 11,3 0,2 5.0 
40 1 1/2" 1.4 0.7 1.0 0.6 0,3 2.1 2.5 o.s 1.0 1.0 11.6 3.2 4.8 13 4 0 t <i / 
50 2m 1.9 0.9 1.4 0.8 0.3 2.7 3.3 0.7 1.5 1.5 140 4.2 0.4 17.4 0.4 8,9 
65 2 1/2" 2,4 1,1 1.7 1.0 0 4 34 •1.2 0.8 1.8 1 9 170 5.2 8.1 •n 0 0.4 100 
80 3" 2.8 1.3 2.0 1.2 0.5 4.1 5.0 1.1 2.2 2.2 20 0 6.3 9.7 20 0 0.5 t t o 
100 4- 3.8 1.7 2.7 0.7 5.5 8,7 1.6 3.2 3 2 23.0 8 4 17 tl 14.0 0 / 17.0 
125 5* 4.7 2,2 0.8 6,9 8 3 2.0 4 0 4 0 30.0 10 4 10 1 4!l 0 o u 21.0 
150 6* 5.6 2.6 4.0 1.0 8.2 100 2.5 5 0 5,0 38 0 t a s 18,3 51 0 1.1 20 0 
Fonte - A d a p t a d o da Norma Brasileira de Instalações Prediais de Agua Fn.i NBR 5626/98 
81 
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Fundamento* da I nganharla Hidráulica 
Quadro 3.11 
Diâmetro 
Nominal 
Joftlho 
90° 
Joolho 
45° 
Curva Curva jo 90" 
90° 45" pae. 
dirotn 
To 9 t f 
snliln 
Intoral 
Ti- 0( f 
«ald« 
bilnt 
Entrada t nlnnt<iSaht« VrtK |<«> 
Nornal Bordu omwl «» oitvo 
VAIv A*t) | 
•ptoivinton ukitio , 
Nivo i»r»• aborto , 
mm pol (? Cr (? <P> 11- t ê n Ô A 
15 1/2" 1.1 0.4 0,4 0,2 0.7 2.3 2.3 0.3 0.9 0.8 8.1 a .5 3,8 11,1 
20 3/4" 1,2 0.5 0.5 0.3 0.8 2.4 2.4 0,4 1.0 0.9 9.5 2.7 4 t 11.4 
25 1" 1.5 0.7 0.6 0.4 0.9 3.1 3.1 0.5 1.2 1.3 13.3 3,8 5.8 15 0 
32 1 1/4" 2.0 1.0 0.7 0.5 1.5 4.6 4.6 0.6 i a 1.4 15.5 4.9 7.4 o 
40 1 1/2" 3.2 1.0 1.2 0.6 2.2 7.3 7.3 1.0 2.3 3,2 18,3 8 8 9.1 35,8 
50 2" 3,4 1.3 1.3 0,7 2.3 7.6 7.6 1.5 2.8 3.3 23.7 7.1 10.8 37,0 
65 2 1/2" 3.7 1.7 1.4 0.8 2.4 7.8 7.8 1.6 3.3 3.5 28.0 8,2 12,5 0 
80 3" 3.9 1.8 1.5 0.9 2.5 8.0 8.0 2.0 3.7 3.7 28,8 9.3 14,2 40.0 
100 4" 4.3 1.9 1.6 1.0 2,6 8.3 8.3 2.2 4.0 3.9 28.8 10.4 10,0 42,3 
125 5" 4.9 2.4 1.9 1.1 3.3 10,0 10.0 2.5 5.0 4.9 27.4 17,5 10.2 50.9 
150 6" 5.4 2.6 2.1 1.2 3.8 11,1 11.1 2.8 5.6 5.5 43.4 13.9 21.4 88,7 
"»t l Rey 
UavoU Altuuki 
aboitn 
. 1 Ò 
0 . 1 
0.2 
o.i 
0 4 
0.7 
oa 
oo 
oo 
1.0 
1.1 
1.2 
5o 
e.i 
1.4 
10,t. 
17.0 
1ê.6 
100 
20.0 
22.1 
25,a 
Fonte - Adaptado da Norma Brasileira de Instalações Prediais de Agua Frui NUR 5t>.*6/W 
Exemplo 3.2 
Uma tubulação de PVC, com 200 m de compr imento o 100 mm de dul 
metro, transporta para um reservatório a vazão de 12,0 l/s. No conduto 
há algumas conexões e aparelhos que estão mostrados na f igura a seguir, 
pede-se calcular: 
a) a perda de carga contínua; 
b) a soma das perdas de carga locais e sua percentagem em relação à 
perda de carga contínua; 
c) a perda de carga total. 
82 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
Solução 
a) Perda de carga contínua 
Utilizando as equações da continuidade e de Flamant, com D=0,10 m e 
Q=0,012 m3/s, obtém-se: 
U = 1 ,53 m/s e J = 0,0202 m/m 
A perda de carga contínua será, para L = 200,0 m: 
A/)'= 0,0202 x 200,0 
Ah'= 4,04 m 
b) Perda de carga localizada 
U2/2g=1,532l(2x9,81) = 0,12 m 
A partir do Quadro 3.9 obtém-se: 
Entrada de Borda K=1,0 
Curva de 90° (R/D=1 Vi) K=0,4 
Joelho de 45° K=0,4 
Registro de gaveta (aberto) K4-0,2 
Saída de canalização Ks =1,0 
Para a soma tem-se: 
1K=K7+2K2+2K3+2K4+K5 
1K=1,0 + 2x0,4+2x0,4+2x0,2+1,0 
Z K= 4,0 
logo 
A h"= ZKU2/2g = 4,0x0,12 
Ah"= 0,48 m 
Comparando a soma das perdas de carga locais (Ah"= 0,48m), com a 
perda de carga contínua (Ah'= 4,04 m), conclui-se que, neste caso, aquela 
representa 12% desta. 
GenêraêTO^uãmScãnnêr trom intsic^õm 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
c) Perda de carga total 
Ah = Ah' + Ah" 
Ah = 4,04 + 0,48 = 4,52 m 
Exemplo 3.3 
Resolver o problema anterior pelo método dos comprimentos equivalentes. 
Solução 
O Quadro 3.11, para tubos lisos e diâmetro de 100 mm, obtém-se: 
Entrada de Borda 1x4,7 = 4,7 m 
Curva de 90° (R/D=1 Vi) 2x1,6 = 3,2 m 
Joelho de 45° 2x1,9 = 3,8 m 
Registro de gaveta (aberto) 2x1,0 = 2,0 m 
Saída de canalização 1x3.9 - 3.9 m 
1L= 17,6 m 
e 
Como Lv =L + I.Le => Lv = 200 + 17,6 = 217,6m 
No item (a), do exemplo anterior, foi determinado que 
J = 0,0202 m/m 
.-.Ah = 0,0202 x 217,6 
Ah = 4,40 m 
A diferença entre este valor e o obtido pela expressão geral (ver exemplo 
anterior) é de 3%, aproximadamente. 
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84 J 
Escoamento em condutos foiçados simples | Capitulo 3 
3.2 Velocidades recomendadas 
Muitos problemas em tubulações estão associados às velocidades dos escoamentos 
dos iquidos nos condutos. A deposição de sedimentos na parede do tubo, por exemplo, 
ocorre a ve ocidades inferiores a 0,60 m/s. Esta desposição pode provocar incrustações de 
partículasna P^ede do tubo, reduzindo sua seção de escoamento e consequentemente 
a sua capacidade de vazao. Neste caso, uma limpeza periódica da tubulação, através de 
escoamentos a altas velocidades, pode aumentar a vida útil do conduto. 
Outro problema relacionado à velocidade baixa é a retenção de ar na tubulação que 
provoca um efeito semelhante ao do aumento das perdas de carga, reduzindo a eficiência 
do escoamento. A velocidade média de escoamento, recomendada para a remoção do 
ar, está compreendida entre 0,60 e 0,90 m/s, dependendo da inclinação da tubulação. 
Por outro lado, ao se adotarem velocidades muito elevadas, pode haver um aumento 
considerávelna perda de carga, o que se conclui a partir das fórmulas apresentadas no 
item anterior. Além disso, as velocidades altas podem também causar os fenômenos da 
cavitação e golpe de aríete (ver itens 3.5 e 3.6), provocando ruídos, vibrações e choques 
que danificam rapidamente as instalações. As velocidades máximas usuais são: 
Para sistemas de abastecimento de água: 
U=0,60+l,5D ou U=3,5 m/s 
Onde D é o diâmetro dado em m e U a velocidade média em m/s. 
Para instalações hidráulicas prediais, segundo a norma brasileira NBR-
5626/82: 
(7=3,0 m/s 
3.3 Pré-dimensionamento de canalizações 
A velocidade de escoamento constitui um elemento importante para o pré-dimen-
sionamento das tubulações. Com base nos limites máximos de velocidade, apresentados 
no item anterior, e na equação da continuidade é possível estabelecer a capacidade 
de vazão máxima das tubulações, como os apresentados nos Quadros 3.12 e 3. 
pré-dimensionamento realizado a partir do critério de vazão máxima permite a esco ha 
do menor diâmetro possível e, consequentemente, o mais econômico. Vale ressaltar, 
entretanto, que o dimensionamento só estará completo após a verificaçao das pressões 
disponíveis. 
85 
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-
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Quadro 3.12 - Capacidade máxima para pré-d imensionamento de sistemas de 
abastecimento de água, ut i l izando tubos de PVC 
DN DE (mm) D (mm) Umáx (m/s) Qmáx (l/s) 
U1
 
o »
 
60 54,6 0,68 1.6 
75* 85 77,2 0,72 3,4 
* o o 110 100,0 0,75 5.9 
100 118 108,4 0,76 7.0 
150 170 156,4 0,83 16,0 
200 222 204,2 0,91 29,7 
250 274 252,0 0,98 48,8 
300 326 299,8 1.05 74,1 
400 429 394,6 1.19 145,8 
500 532 489,4 1,33 251,0 
Referência - Tubos Tigre da linha PBA PVC 12 assinalados com (*) e Tubos Tigre da linha Vinilfer DEFoFo 1 MPa 
Quadro 3.13 - Capacidade máxima para pré-dimensionamento de sistemas de 
DN DE (mm) D (mm) Umáx (m/s) Qmáx (l/s) 
150 170 159,6 0,84 16,8 
200 222 211,2 0,92 32,1 
250 274 263,0 0,99 54,0 
300 326 314,6 1,07 83,3 
350 378 366,2 1.15 121,0 
400 429 416,4 1.22 166,8 
450 480 466,6 1.30 222,3 
500 532 518,0 1,38 290,2 
600 635 619,6 1.53 461,1 
700 738 721,2 1,68 687,0 
800 842 823,8 1,84 978,4 
900 945 925,4 1,99 1337,2 
1000 1048 1027,0 2,14 1773,2 
1200 1255 1231,2 2.45 2913,0 
1400 1462 1435,4 2,75 4455,1 
1500 1565 1537,0 2.91 5390,9 
1600 1668 1638,6 3,06 6448,5 
1800 1875 1842,8 3,36 8972,8 
2000 2082 2047,0 3,50 11406,2 
Referência - Tubos PAM dass K7 - JGS 
86 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
3.4 Traçado dos condutos 
Devido principalmente à topografia dos terrenos, os condutos podem estar total-
mente abaixo, coincidentes ou acima, em alguns pontos, da linha piezométrica, como 
mostra a Figura 3.5. 
Figura 3.5 - Traçado dos condutos 
Se a tubulação está totalmente abaixo da linha piezométrica (traçado 1), a pressão 
reinante na tubulação, correspondente ao segmento MM', é superior à pressão atmos-
férica em todo o seu perfil, e portanto trata-se de um conduto forçado, cujo dimen-
sionamento pode ser realizado por uma das fórmulas de perda de carga vistas no item 
3.1. Embora esta situação garanta o escoamento contínuo, um cuidado especial deve 
ser dado aos pontos altos da canalização, onde há uma tendência de acumulação de ar, 
proveniente, normalmente, do ar dissolvido na água e do processo de enchimento da 
linha, que, se não for retirado, pode causar a interrupção do fluxo. Nestes pontos altos 
devem ser instalados equipamentos para a remoção de ar, denominados de ventosas. 
Esse aparelho permite também a admissão de ar, necessário ao processo de esvaziamento 
da tubulação, impossibilitando o colapso de tubos de paredes finas. 
As ventosas (ver Figura 3.6) são aparelhos dotados de flutuadores que acompanham 
o nível da água. Assim, quando o nível da água desce o niple de descarga se abre, per-
mitindo a passagem de ar; se o nível da água sobe, o flutuador também sobe, vedando 
o niple de descarga. Num dimensionamento preliminar, adota-se para diâmetro da ven-
tosa dv valor igual ou superior a 1/8 do diâmetro da tubulação (dv > D/8). As tubulações 
devem ser assentadas com inclinações diferentes de zero (superior a 0,5%), para que o 
ar se concentre nos pontos altos e possa ser removido pelas ventosas, quando instaladas. 
Descarga 
Nip le d e 
D e s c a r g a 
T a m p a 
C o r p o 
F l u t u a d o r 
Figura 3.6 - Ventosa 
87 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Cuidados especiais também devem ser dados nos pontos baixos das tubulações, onde 
devem ser instaladas descargas, com registros para seu controle, destinadas ao esva-
ziamento da tubulação na época de manutenção. Os diâmetros dessas descaigas ficam 
condicionados ao tempo requerido para esvaziamento do trecho da linha. Entretanto, 
utiliza-se como regra prática diâmetro superior a 1/6 do diâmetro da tubulação (dd > D/6). 
Por uma questão de segurança, nos projetos de adutoras normalmente adota-se 
um traçado de tubulação totalmente abaixo da linha piezométrica, ou coincidente com 
esta. Neste último caso, o conduto tem escoamento livre e é denominado de conduto 
livre ou canal (traçado 2). O dimensionamento deste será visto no Capítulo 7 deste livro. 
Quando o conduto corta a linha piezométrica (traçado 3), o trecho da tubulação 
situado acima da linha piezométrica, fica sujeito a pressões inferiores à atmosférica, o 
que pode ocasionar a contaminação da água, caso haja um rompimento neste local. 
Nesta situação, a melhor solução é a construção de uma caixa de transição no ponto 
mais alto da tubulação, de maneira a alterar a posição da linha piezométrica, ficando 
a tubulação totalmente abaixo desta e, portanto, sujeita a pressões positivas somente, 
como no traçado 1. 
No traçado 4, o conduto, além de cortar a linha piezométrica, corta também o plano 
de carga estático. Neste caso, a água não atinge naturalmente o trecho situado acima 
do nível de água no reservatório R1 e o escoamento só é possível após o enchimento da 
tubulação. Este é o caso de funcionamento de sifão, estrutura hidráulica a ser estudada 
em capítulo posterior. 
No traçado 5, o conduto corta a linha piezométrica absoluta, sendo, portanto, impossível 
o escoamento por gravidade. Nesta situação, o fluxo só é possível se no início da tubulação 
for instalada uma bomba para impulsionar o líquido até o ponto mais alto da tubulação. 
Tubulação com ventosa dupla 
88 
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Escoamento om condutos forçados simples | Capitulo 3 
Exemplo 3.4 ~ — ~ 
Dois reservatórios deverão ser interligados por uma tubulação de ferro 
fundido (C = 130), com um ponto alto em C. Desprezando as perdas de 
carga localizadas, pede-se determinar: 
a) O menor diâmetro comercial para a tubulação BD capaz de conduzir 
vazão de 70 l/s, sob a condição de carga de pressão na tubulação superior 
ou igual a 2,0 m. 
A perda de caiga adicional dada por uma válvula de controle de va-
^ão, a ser instalada próximo ao ponto D, para regular a vazão em 70,0 
l/s, exatamente. 
80.0 
B 
PCE 
7 0 , 0 
C 
Ah, 
Ah-
L1 = 2500m 60,0 
R 2 
So lução 
A situação, que conduz ao menor diâmetro, é aquela em que toda a energia 
disponível é utilizada para vencer as resistências, ou seja, fazer o desnível 
entre os reservatórios igual à perda de carga contínua: 
Ah =20,0 m => J = Ah/L = 20,0/4000 = 0,005 m/m. 
Assim, a perda de carga no trecho BC é: 
Ah, = 0.005x2500= 12.5 m 
Aplicando a equação de Bernoulli entre A e C (desprezando o termo Uc2/2g), 
para verificar a menor pressão, obtém-se: 
ZA=Zc +Pc/y+Ah, (3-30> 
80,0 = 70,0 + PJy + 12,5 => P^y =-2,5 m 
Como o valor calculado para a carga de pressão em C é inferiorao estabe-
lecido no problema, a solução para isso é elevar a linha piezométrica, dando 
uma inclinação menor nesta linha entre A e C e a partir daí uma inclinação 
89 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
maior, até chegar no ponto E. Este objetivo é alcançado, reduzindo a perda 
de carga, através da mudança do diâmetro, como demonstrado a seguir: 
A nova perda de carga Ah, entre A e C, calculada pela equação (3.30), 
deve proporcionar o valor P<Vy = 2,0 m. 
80,0 = 70,0 + 2,0 +Ah, =» Ah =8,0 m 
Utilizando a equação (3.12), tem-se: 
o n 10,64 0,070185 
= 730lBS D*'87 ^ °> = 0,303 m 
D/adotado) = 350 mm => PJy = 6,0 m 
A determinação do diâmetro do trecho CD é realizado através da aplicação 
da equação de Bernoulli entre A e E. Portanto: 
80,0 = 60,0 + A/?, A/r, 
A perda de carga Ah, deve ser recalculada, já que o diâmetro adotado (D, 
= 0,35m ) é diferente do calculado (D, = 0,30 m). 
" ó o " r » 2 s m " 3 , 9 6 m " 
- o , . * » » 
O diâmetro comercial mais próximo do calculado é D, = 0,25 m. 
b) Já que o diâmetro indicado (D2 = 0,25 m) é superior ao calculado 
(D2=0,24m), a perda de carga contínua é inferior a 16,04 m e portanto a 
capacidade da tubulação é superior a 70,0 l/s. Para controlar essa vazão 
deve ser instalada no ponto D uma válvula parcialmente fechada para 
provocar uma perda de carga complementar, como apresentada na figura 
e calculada a seguir: 
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90 
Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
em que 
A h2 = perda de carga ao longo do trecho 2, 
Ah = perda de carga localizada na válvula parcialmente fechada 
7 tzn* 10& 0,070 a5 . 
l M J Ç ~ Õ 2 5 T J r " A/l =3,80/77 
3.5 Separação da coluna líquida e cavitação 
A separação da coluna líquida é a obstrução do escoamento causado por bolhas. 
Essas bolhas são formadas pelos gases dissolvidos na água, que se desprendem do 
líquido quando a pressão é reduzida à pressão de vapor. As bolhas tendem a aumentar 
de tamanho com a liberação dos gases, tornando a vazão intermitente, podendo, até 
mesmo, interrompê-la, se a bolha ocupar toda a seção do tubo. A Figura 3.7 mostra 
um tubo ascendente de mesmo diâmetro onde é possível ocorrer a separação da coluna 
líquida. Com a ajuda da equação de Bernoulli é possível calcular a pressão na seção 2 e 
compará-la com a pressão de vapor e assim prever se haverá ou não a separação da coluna. 
91 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Z+ — + — = Z,+ — + ^-+Ah z'+ y 2g 2 7 2g 
Considerando que para uma dada vazão a velocidade é a mesma (U,=ü2) 
ao longo deste tubo, tem-se: 
Ah (3-31) 
Y y 
A equação (3.31) permite concluir que a pressão na seção 2 é inferior a pressão em 
1, jé que (Z2>Z) e (Ah>0). Se a pressão (P) é igual ou inferior à pressão de vapor, deve 
haver separação da coluna líquida. 
A Figura 3.8 mostra um tubo Venturi com uma região de baixa pressão (seção 2) 
onde as bolhas são formadas como no mecanismo de separação da coluna líquida e 
carreadas pelo escoamento para uma região de alta pressão (seção 3). Neste local as 
bolhas podem implodir pela ação da pressão externa. O colapso das bolhas produz 
choque entre partículas fluidas que provoca flutuação na pressão e danifica a parede 
do conduto, reduzindo, assim, a capacidade de escoamento. 
~y U32/2g 
• "A 
Região de \ — ' 
baixa pressão Região de 
alta pressão 
Figura 3.8 - Fenômeno da cavitação num tubo Venturi 
Este fenômeno é conhecido por cavitação, pois no processo há formação de cavas ou 
bolhas no líquido. A cavitação pode também ocorrer em regiões sujeitas a redemoinhos e 
turbulências que geram alta velocidade de rotação e, consequentemente, provocam a queda 
de pressão, como nos vertedores de barragens. As válvulas estão também muito sujeitas 
a este tipo de problema, pois normalmente são usadas para provocar queda de pressão. 
Outros exemplos de peças e aparelhos sujeitos à cavitação são os orifícios, reduções bruscas, 
curvas e bombas. O Capítulo 6 tratará do problema específico de cavitação nas bombas. 
Os efeitos da cavitação podem ser percebidos através do barulho provocado pelas 
implosões das bolhas. Dependendo do aparelho considerado e particularmente do seu 
tamanho, pode parecer desde um leve som estalado, ou um barulho superior a 1 0 0 d b , 
como acontece em válvulas de pequeno e grande porte, respectivamente. Outro efeito 
perceptível é a vibração causada pelas implosões das cavidades e pelo choque das ondas 
geradas. Ainda devido a este fenômeno, podem ocorrer problemas nos acoplamentos 
e nas ancoragens, além de fadiga e falha estrutural. 
92 
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Escoamento em condutos forçados s t r r p « | Capitulo 3 
Uma das maneiras de se combater a cavitaçáo consiste em dividir a queda de pressão 
em estágios. Nos casos das válvulas e placas de orifícios estas podem ser colocadas em 
série. Quando a cavitaçáo é inevitável, deve-se especificar um material para o aparelho 
mais resistente à erosão provocada pela cavitaçáo. Outra maneira de se combater a 
cavitaçáo é injetando ar dentro da região das bolhas para reduzir o módulo de elastici-
dade volumétrico do líquido e amortecer o colapso da cavidade. 
Exemplo 3.5 
Verificar na adutora que interliga o reservatório R, ao R2, cujo perfil é 
mostrado na figura a seguir, se existe a possibilidade de separação da 
coluna líquida, quando esta transporta 280 l/s, conhecendo-se as seguintes 
características da adutora: 
comprimentos: L, = 2000 m, Lcp = 200 m, LD! = 200 m, LEB = 2500 m; 
diâmetro: 600 mm; 
coeficiente de perda de carga da fórmula Universal: 0,015. 
A separação da coluna líquida ocorre quando a pressão reinante no interior 
da tubulação é igual ou inferior à pressão de vapor da água. Por esta razão, 
será verificada a pressão em D, pois, neste ponto, a adutora está sujeita 
à menor pressão. As equações da continuidade e de Bernoulli permitem 
calcular o valor da pressão em D, como demonstrado a seguir: 
D 
3 , 0 m 
7 . 0 m 
B 
Solução 
93 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
0 = 3,0 + ^ + ^ ^ ( 1 + ^^-2200) 
y 2g 0,60 
— = -5,80m 
y 
Nota-se que o valor da energia cinética é insignificante (U-/2g=0,05m) e 
poderia ter sido desprezada, sem afetar a análise do problema. 
Considerando a temperatura da água no interior do conduto em 20° C, 
pode-se obter, por meio dos Quadros 2.3 e 2.4, as seguintes características 
da água: 
y = 998kgf /m3 
Cr = 2335Pa 
Considerando, ainda, as condições do nível do mar para a pressão 
atmosférica, tem-se: 
= lOIOOOPa 
Finalmente, a pressão absoluta em D pode ser obtida: 
PD = -5,80 • 998 = -5788kgf / m2 = -56784Pa 
Pt = Po +Pat = -56784+101000= 44216Pa 
Como a pressão em D (P*> = 44216Pa) é superior à pressão de vapor 
(Pvapor — 2335Pa), conclui-se que não deve haver separação da coluna 
líquida. 
3.6 Introdução aos transientes hidráulicos 
O termo transiente refere-se a alguma situação em que o escoamento varia com 
o tempo, devendo ser analisado segundo a taxa de mudança de velocidade. Se esta 
mudança ê lenta, a compressibilidade não afeta significativamente o escoamento e o 
movimento do fluido pode ser considerado como um corpo sólido, neste caso seu estudo 
é conhecido como osolaqao de massa. Um simples exemplo é o estabelecimento do 
escoamento após a abertura de uma válvula em um tubo em "U" 
9 4 
I 
Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
Entretanto, qua-oo ocorre uma mudança rápida na velocidade de escoamento, uma 
c ca dc pressão e cr ada e percorre a tubulação à velocidade do som. O choque violento 
cas onaas de pressão sobre as paredes do conduto com o som deste, semelhante ao 
\a .c ceL- ariete. fez com que o transiente hidráulico em condutos forçados, con-
duz -CO agua *osse também conhecido por golpe de ariete. A magnitude do golpe de 
a ete Cc.e-dcr principalmente, do tempo em que é realizada a alteração da velocidade, 
da compnessib dade do liquido e da elasticidade do tubo. 
"" >e *er u m a l (^e,a escala do problema, suponha o caso do fechamento instan-
tâneo ce uma válvula que controla o escoamento em um tubo de aço. cuja velocidade da 
enda de pressão e. aproximadamente. 1300 m/s; neste caso, uma variação na velocidade 
ce ri b causa uma sobrecarga de pressão da ordem de 130 m. 
Ex ste uma séne ce situações, em instalações hidráulicas, sujeitas a este fenômeno, 
como por exemplo: 
• 'echamento ou abertura de válvulas; 
• partida ou parada de bombas; 
• operação de válvulas (retenção, redutoras de pressão e de alívio); 
• ruptura de tubulação; 
• admissão ou expulsão de ar; 
• mudança na demanda de potência de turbinas hidráulicas. 
As soluções possíveis dentro da Engenharia para esse problema incluem o aumento 
do tempo de abertura e/ou fechamento das válvulas de controle, aumento da espessura 
da tubulação, redução da velocidade de escoamento, maior controle na operação das 
tubu ações, redução da velocidade da onda pela mudança do tipo de tubo ou pela in-
jeção de ar. uso de dispositivos de proteção contra o golpe de aríete (válvulas de alívio, 
tanques de amortecimento, câmaras de ar etc.). 
O estudo dos escoamentos transitórios é bem mais complexo que o do escoamento 
permanente, uma vez que o envolvimento da variável "tempo" requer a utilização de 
equações diferenciais, cuja solução só pode ser realizada através de métodos numéricos 
ou gráficos. É intenção, neste capitulo, apenas apresentar a problemática dos escoamen-
tos transito' os. uma \ez que a sua análise completa é muito extensa, necessitando um 
estudo avançado, merecedor de alguns capítulos para tratá-lo adequadamente. 
95 
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Fundamentos de Engenharia Hidraulica 
Problemas 
3.1 Uma tubulação de 400 mm de diâmetro e 2000 m de comprimento parte de um 
reservatório de água cujo N.A. está na cota 90. A velocidade média no tubo é de 1,0 m/s; 
a carga de pressão e a cota no final da tubulação são 30 m e 50 m, respectivamente. 
a) Calcular a perda de carga provocada pelo escoamento nessa tubulação; 
b) Determinar a altura da linha piezométrica a 800 m da extremidade da tubulação. 
3.2 Uma tubulação de PVC, de 1100 m de comprimento e 100 mm de diâmetro 
interliga os reservatórios R, e R2. Os níveis de água dos reservatórios R, e R estão 
nas cotas 620,0 e 600,0, respectivamente. Considerando desprezível as perdas de 
carga localizadas e a temperatura da água 20° C, calcular a vazão escoada. 
Obs.: Resolver o problema através da fórmula universal para perda de carga. 
3.3 Uma tubulação horizontal com 200 mm de diâmetro, 100 m de extensão, está 
ligada de um lado ao reservatório R com 15,0 m de lâmina d'água, e do outro a 
um bocal de 50 mm de diâmetro na extremidade, conforme mostrado na figura a 
seguir. Este bocal foi testado em laboratório e apresentou um coeficiente de perda 
de carga de 0,10, quando referenciado à seção de maior velocidade. Calcular as 
velocidades na tubulação e na saída do bocal. 
NA cte 
15 0 m 
Registro do 
gaveta 
M 
Registro 
globo 
Entrada 
do borda 
f = 002 Bocal 
3.4 Determinar a altura "h" no reservatório, para que este abasteça simultanea-
mente aos três chuveiros mostrados na figura a seguir utilizando tubos de PVC nas 
seguintes condições: 
- vazão de cada chuveiro: 0,20 l/s 
- diâmetro dos trechos 6-5 e 5-4: 21,6 mm 
- diâmetro dos trechos 5-3, 4-2 e 4-1: 17 mm 
- pressão dinâmica mínima no chuveiro: 0,2 kgf/cm2; 
-X-
f 
5 ,0 m 
1.0 m 
v datum 
Registro de gaveta 
Registro de pressão 
Cotovelo 90° 
Tê 
P V C 
0,3 m 
4 + 
L 
1,5 m 
A 
2,0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m 
Obs.: utilizar a equação de Fair-Whipple-Hsiao para cálculo de perda de carga. 
96 
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r 
Escoamento em condutos (orçados simples | Capitulo 3 
3.5 Uma linha lateral de um sistema de irrigação possui 10 aspersores, separados de 
12 m um do outro, sendo o primeiro localizado a 12 m da linha principal. Os aspersores 
deverão trabalhar, cada um, com uma vazão de 1,22 mTh e pressões compreendidas 
entre os valores de 2,0 kgf/cm e 2,4 kgf/cm''. Sabendo-se que a linha lateral é em 
PVC e tem declividade ascendente de 1 %, determinar o diâmetro desta tubulação. 
3.6 O reservatório R, al imenta dois pontos distintos B e C. Determinar 
a vazão do trecho AB, sendo o coeficiente de perda de carga da fór-
mula de Universal igual a 0,016 e a vazão na derivação B igual a 50 l/s. 
Obs.: Desprezar as perdas de carga localizadas. 
^ 3.7 Para um conduto de ferro fundido novo (C=120) de comprimento igual a 1000 m, 
diâmetro de 250 mm, com distribuição uniforme ao longo do percurso, pede-se 
calcular a perda de carga contínua. 
a) Caso a vazão afluente seja 50 l/s e a efluente nula; 
b) Caso a vazão afluente seja 50 l/s e a efluente 10 l/s. 
3.8 A tubulação AD, de 300 mm de diâmetro e coeficiente de perda de carga da 
fórmula de Hazen-Williams igual a 110, é destinada a conduzir água do reservatório 
R. para o reservatório R „ bem como atender aos moradores localizados ao longo do 
trecho BC que consomem 0,05 l/s.m. Sabendo-se que no ponto B a cota do terreno 
é 108,0 e a pressão 1,3 kgf/cm2, pede-se calcular a vazão nos trechos AB e CD e a 
cota piezométrica em D, considerando as perdas de carga localizadas desprezíveis. 
1 3 0 . 0 0 
XJ 3.9 Uma linha de PVC, destinada à distribuição em marcha de água ao longo do 
percurso de 1500 m de extensão, possui 200 mm de diâmetro e está ligada aos reser-
vatórios R, e R2, cujos níveis de água estão nas cotas 90,0 e 86,0, respectivamente. 
O ponto mais baixo dessa linha está na cota 70,0. 
a) Determinar a vazão de distribuição em marcha quando o reservatório R2 não 
recebe e nem cede água. 
97 
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Fundamentos dc Engenharia Hidráulica 
b) Quando o consumo no percurso é de 80 l/s, pede-se determinar o valor e a 
posição da cota piezométrica mínima. 
3.10 Uma tubulação de comprimento L e diâmetro D e alimentada nas suas extre-
midades por dois reservatórios R, e R2de N.A. situados nas cotas> Z, e Z respec-
tivamente. Há uma derivação no ponto C. distante L, de R, e L2 de Ca cular a 
vazão máxima que pode sair no ponto, de tal maneira que a pressão na tu u ação 
seja igual ou superior a zero. 
NActe . * P.C.E. 
3.11 A tubulação ABC, em PVC, de 200 mm de diâmetro e 1600 m de extensão, 
é alimentada por um reservatório que tem o nível de água na cota 80,0. No meio 
da tubulação está localizado o ponto mais alto, ponto B, de cota 75,0 onde está 
instalado um piezômetro. A extremidade C descarrega livremente na atmosfera na 
cota 40, onde existe um controlador de vazão. Determinar a vazão escoada, e a 
seção de abertura do controlador de vazão, quando a pressão em B é nula. 
3.12 Uma tubulação, composta por dois trechos, interliga dois reservatórios, cuja 
diferença de nível é 2,8 m. O primeiro trecho, que liga o reservatório R, ao ponto 
"A " tem 258 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. O outro trecho tem 150 m 
de extensão e 150 mm de diâmetro e faz a ligação do ponto " A " ao reservatório 
R2de cota mais baixa. Ambos os trechos são formados por tubos de ferro fundido 
usado (C=100). Uma derivação deverá ser instalada no ponto " A " , situado 2,0 m 
abaixo da cota do nível de água do reservatório R,. Determinar a vazão escoada 
nesta derivação para que a pressão no ponto A seja igual à pressão atmosférica. 
9 8 
Capítulo 4 
Escoamento em sistemas de condutos forçados 
Este capítulo trata de problemas hidráulicos em sistemas dec o ^ d j t o s 
forçados, com escoamentos em regime permanente. São anaítsados. ini-
cialmente. os casos em que a vazão é constante ao longo das tubulações, 
englobando os casos de condutos em série, em paralelo e dos condutos 
interligando vários reservatórios. Finalmente, são estudados alguns casos 
de variação contínua de vazão ao longo dos condutos, enfatizando o caso 
das redes de distribuição de água. 
4.1 Condutos equivalentes 
Um conduto é equivalente a outro(s) quando transporta a mesma vazão sob a 
mesma perda de carga Este conceito é utilizado para simplificar os cálculos h draul cos 
de tubulações interligadas, cujas características dos condutos são diferentes, quer pelo 
coeficiente de perda de carga p, quer pelo seu diâmetro D, tal como são os condutos em 
série e em paralelo, que, devido a esse conceito, podem ser transformados, para efeito 
de cálculo, em condutos simples, cuja maneira de calcular já e conhecida. 
4.1.1 Condutos em série 
Quando uma tubulação é formada por trechos de características distintas colocados 
na mesma linha e ligados pelas extremidades, de tal maneira a conduzir a mesma vazão 
é considerada constituída por condutos em série. A Figura 4.1 ilustra o caso de uma 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
tubulação formada pelos trechos 1, 2 e 3 colocados em série e a substituição destes, 
para efeito de cálculo, por outro equivalente. 
o 
Figura 4.1 - Condutos em série 
Sejam Ah v Ah , e Ah3as perdas de carga nos trechos 1, 2 e 3, assim: 
0 n 
= (4.1) 
d; 
ç 
D] 
Q 
D 
* h 2 = p X i ; (4.2) 
= (43) 
Para a substituição desses três condutos por outro equivalente, com diâmetro DE, 
coeficiente de perda de carga poe comprimento Le é necessário que a perda de carga 
no conduto equivalente Ahe seja: 
A/7e = Ah, +Ah2+ Ah3 (4.4) 
Sendo 
0 " 
&he = P e — L e ( 4 5 ) 
Substituindo em (4.4) as equações (4.1), (4.2), (4.3) e (4.5) obtém-se a expressão (4.6): 
p^ = p,£, ( p2L2 | p3L3 
Dm Dm Dm ( 4 6 ) 
Como são três as variáveis envolvidas (pe , D e e L ) em (4.6), normalmente, adotam-
-se valores convenientes de Pe e De e calcula-se Le de tal forma a atender à expressão. 
Linha piezométrica 
Conduto equivalente 
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100 
Escoamento em sistemas de condutos forçados | Capitulo 4 
4.1.2 Condutos em paralelo 
Os condutos em paralelo são aqueles cujas extremidades de montante estão reunidas 
num mesmo ponto, o mesmo acontecendo com as extremidades de jusante em outro 
ponto, conforme mostra a Figura 4.2. Assim, a vazão é dividida entre as tubulações em 
paralelo e depois reunida novamente a jusante. 
Figura 4.2 - Condutos em paralelo 
Entretanto, nota-se na Figura 4.2 que os condutos em paralelo estão sujeitos à mesma 
perda de carga, uma vez que as diferenças entre as cotas piezométricas de montante 
(ponto A) e jusante (ponto B) dos três condutos em paralelo são as mesmas. Portanto, 
para substituir esses condutos por outro equivalente é necessário que: 
A he = Ah, = Ah2 = Ah3 (4.7) 
0e=0,+02+Q3 (4.8) 
Sendo Ah e 0 a perda de carga e a vazão no conduto equivalente e Ah,, Ah2, 
Ah e 0Q2, Q as perdas de carga e as vazões nos condutos em paralelo 1, 2 e 3, 
respectivamente. 
As equações de perda de carga (A/) = p ^ L ) obtidas em cada conduto, permitem 
Ah.D explicitar os valores das vazões q = 
l P U 
" que levados na equação (4.8) resulta: 
Í _ Q L 
I P o U 
1/n 
DT 
M ) 
1/n { 
+ D? 
1/n 
, P 2^ -2 y 
D 
1/n 
(4.9) 
101 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Embora não tenhamos mencionado nas demonstrações anteriores, as perdas de 
carga localizadas podem ser consideradas tanto nas tubulações em série quanto em 
paralelo, desde que os comprimentos apresentados (Ly Lr LJ representem a soma dos 
comprimentos dos tubos mais os comprimentos equivalentes das peças, conexões etc 
Exemplo 4.1 
Uma adutora interliga dois reservatórios cuja diferença de nível é 15,0 m. Esta 
adutora é composta por dois trechos ligados em série, sendo o primeiro de 
1000 m de extensão e diâmetro 400 mm e o outro 800 m de comprimento 
e 300 mm de diâmetro, ambos os trechos com o coeficiente de perda de 
carga da fórmula Universal igual a 0,020. Desconsiderando as perdas de 
carga localizadas, pede-se: 
a) determinar a vazão escoada; 
b) calcular a nova vazão se for instalada, paralelamente ao trecho 2, 
uma tubulação com 900 m de comprimento, 250 mm de diâmetro e 
com o mesmo coeficiente de perda de carga (f = 0,020). 
a) A aplicação da equação de Bfernoulli, entre as superfícies dos reservató-
rios, permite concluir que a perda de carga total corresponde ao desnível 
de 15,0 m, que, por sua vez, é a soma das perdas de carga nos trechos 1 
e 2, já que esses estão em série. 
•'•Ah= Ah,+Ah} 
em que 
^ = P , | z , 
4/fe = P 
merated by ü 
102 
y CamScanner trom intsig.com 
Escoamento em sistemas de condutos forçados | Capitulo 4 
n n 8f 8.0,020 e 
P' = P>2 = — = - T - 7 ^ 7 = 0,00165 
ti g ti .9,81 
Q, = Q2 = Q 
15,0 = 0,00165Q2(1^ + J®°-) 
0,405 O,305 
Q = 0,146 m3/s 
b) Estando o novo trecho (trecho 3) paralelo ao trecho 2, pode-se aplicar a 
equação (4.9) para determinar um trecho equivalente a estes, assim: 
/ D m V"> 
< Pe^ -e / 
f D2 
\ ' / n 
I P 2Í2 
+ Dl 
I P A J 
lPe*»J 
f / 2 
o ,3o ; 
^ p . s o o j 
\1'2 
+ 
0,25 
1/2 
tP .900) 
Adotando-se, por facilidade de cálculo D = 0,40 m e p,, = p, tem-se: 
5 \ , / 2 f r\ \ " 2 f n n / r 5 V ' 2 
0 , 2 5 = > / . . = 732/ m O,4Q-
l P 4 J (3. SOO 
+ 
[ p . 9 0 0 j 
Este artifício de cálculo conduz à simplificação mostrada na figura a seguir: 
PCE 
1 5 , O m 
°' = "OOmr 
15,0 = 0,00165-^^(1000+1321) 
0 = 0,200 m3!s 
103 
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fundamentos de Engenharia Hidráulica 
4.2 Condutos inter l igando reservatórios 
Quando dois reservatórios são interligados por uma tubulação e se deseja saber a 
vazão que escoa nessa tubulação, basta conhecer o desnível de água entre os reservató-
rios, o diâmetro, o comprimento e o coeficiente de perda de carga da tubulação e utilizar 
uma equação de perda de carga, como visto no capítulo anterior. Entretanto, quando 
os condutos interligam três ou mais reservatórios, não é possível saber a priori o sentido 
de escoamento em todos os trechos da tubulação. É evidente que o reservatório mais 
elevado fornece água ao sistema, enquanto o mais baixo recebe água deste, entretanto, 
os reservatórios intermediários poderão tanto receber como fornecer água ao sistema, 
dependendo das cotas piezométricas das interligações. A Figura 4.3 mostra a interligação 
entre três reservatórios, cuja solução analítica é apresentada a seguir. 
datum 
Figura 4.3 - Condutos interligando reservatórios 
4.2.1 Problema dos três reservatórios 
Para se determinar a vazão nos condutos que interligam três reservatórios, da 
maneira mostrada na Figura 4.3, é necessário conhecer as cotas dos niveis de água nos 
reservatórios <Z„ Z, e Z3), bem como os diâmetros <D„ D, e D,), os comprimentos (L„ L 
e L3) e os coeficientes de perda de carga ((1, p e (5). 
Considere que Z, > Z}>Z3, assim pode-se concluir que os sentidos de escoamento nos 
trechos 1 e 3 sao de B para E e de E para G, respectivamente. Já no trecho 2 o sentido 
de escoamento tanto pode ser de E para D como de D para E, dependendo somente da 
cota piezométrica em E, como demonstrado a seguir: 
se Zí * PA <Z2 0 reservatório R3 é alimentado pelos outros dois reserva-
tórios 
'•Q, + Q2 = Q3 
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Escoamento em sistemas de condutos forçados | Capítulo 4 
se Z. + P/y >o reservatório R1 alimenta os outrosdois reservatórios 
= Q, + Oj 
se Zf + PJy = Z, o reservatório R2 não recebe e nem cede água 
-<Q, = Q3 e Q, = 0 
A forma mais simples de se determinar o sentido de fluxo no trecho DE é fazendo 
a hipótese de q u e Z ^ P J y é igual a Z2, ou seja, Q2= 0 e calculando 0, e Q? através de 
uma equação de perda de carga: 
Q. = D,
m 
Y Z ; - Z J 
J / n 
o 3 = 
Dl 
P , l 3 
(Z2-Z3) 
1/n 
Se os valores encontrados para Q; e Q, forem iguais, a hipótese está correta e o 
problema está resolvido. Do contrário, se Q, > 0, é porque Q, = Q, + Q e o sentido 
de fluxo é de E para D. A solução do problema está condicionada à determinação das 
variáveis Q,, Qy Q^eP/yóo sistema de equações a seguir: 
Trecho BE: Z,-(Z[+Pe/y)= 
Trecho DE: (ZE +PE ly)-Z2 = M k . 
Trecho EG : (ZE + PE /y ) - Z3 = ^ 
U3 
(4.10) 
(4.11) 
(4.12) 
(4.13) 
Se 0. < 0} é porque Q, + Q, = Q-e o sentido de escoamento é de D para E. Logo 
o sistema de equações para a solução do problema é o seguinte: 
Trecho BE: z,-(ZE +PE/y) = 
Trecho DE : Z, ~(ZE + PE / y ) = 
Trecho EG: (ZE +PE /y)-Z3 = 
<?, + <?,= 0 3 
m'L-
D? 
P : Q % 
D™ 
P : 0 ^ 
(4.14) 
(4.15) 
(4.16) 
(4.17) 
105 
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FundrtmfMot de Engenharia Hidráulica 
Esta forma analítica de se resolver o problema dos três reservatórios foi proposta 
por Belanger. 
a 4.2 .2 M é t o d o do b a l a n ç o das v a z õ e s 
O problema anterior pode também ser resolvido por processo iterativo denominado 
método do balanço das vazões ou método de Cornish, de aplicação mais ampla, pois 
não há limitação quanto ao número de reservatórios interligados. Este processo tem 
início com a estimativa da cota piezométrica da junção ZE + PJy e a partir daí as vazões 
são calculadas para cada trecho, pelas equações (4.18) a (4.21) e testadas na equação 
da continuidade (4.22). O "sinal" indicado nas equações seguintes deverá ser positivo, 
caso a diferença entre as piezométricas no trecho seja positiva, indicando que o fluxo 
está na direção da junção, e negativo em caso contrário, ou seja, caso a vazão escoada 
no trecho em questão esteja saindo da junção. 
P C E 
- - c 
R 3 - -
D 
z2 
Q 4 
z 3 
R4 
datum 
.1. 
Figura 4.4 - Condutos interligados a vários reservatórios 
Z,-(Zl+PE/y) = (sinal)^L, 
D, 
(4.18) 
Z2-(ZE+PE/y) = sinal)p>2 ^ L2 
2 
Z3-(Z£+Pc/y) = (sinal)fi39LL3 
D3 
Z4-(ZE+PC/ y) = (sinal) p j 9±. it 
U A 
Z Q - i f = o 
M 
(4.19) 
(4.20) 
(4.21) 
(4.22) 
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106 
Escoamento em sistemas de condutos (orçados | Capitulo 4 
N - número de trechos que convergem para o nó "E" . 
Se o valor estimado da cota piezométrica Zf + PJy não gerar as vazões que atendam 
a equação da continuidade (4.22), uma correção AZ0 deve ser dada na cota piezométrica, 
como demonstrado a seguir. 
Seja (4.23) a equação que representa a perda de carga num trecho genérico I e a 
equação (4.24) a que dá a vazão correspondente neste trecho para uma piezométrica 
estimada Z^PJy . 
Z,-(ZC+Pel Y; = (Sinal)p, 0- L, 
• • • Q , = 
[Z,-(Z!+PF/y)l 
sinaHVhi/D" 
1/n 
(4.23) 
(4.24) 
Supondo que a equação (4.22) não seja atendida pelas vazões Q , obtidas em 
(4.24), uma correção AZC deve ser introduzida na carga piezométrica do entroncamento, 
produzindo, assim, novas vazões Q. , representadas pela equação (4.25). 
Qi _ \ lZ,-(Zt +Pt /'(+SZ3)] 
1/n 
(4.25) 
sindl(?>tL)/D; 
Levando a equação (4.25) em (4.22) obtém-se: 
f\lZ,-(ZF+Pf/v) + &Zj\" = 0 
w l sinaKWJ/Dr J 
Desenvolvendo a equação anterior pelo binômio de Newton e desprezando os 
termos onde AZ0 é elevado a expoentes superiores à unidade obtém-se: 
±(Z,-Z,-PF h<)'"r > AZJZ, - Zf - Pç/y 
h sinal[p,Ll/D,m]"n ' m sinal•nlp,L,/D,m]"" 
Í Q , - q £ = ^ Í Q J M l o 
1.1 n 1-1 
107 
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Fundamentos do Engenharia Hidráulica 
N 
X a -Qe (4.26) 
M 
em que: 
AZ(, : incremento a ser dado à carga piezométrica do entroncamento 
n : expoente de Q na fórmula de perda de carga 
0 : vazão que chega (+) ou sai (-) no nó do entroncamento 
Ahl perda de carga nas tubulações ligadas ao nó do entroncamento 
As correções AZ devem ser repetidas até que a equação (4.22) seja atendida. 
Exemplo 4.2 
Determinar as vazões do sistema mostrado na figura, desprezando as perdas 
de carga localizadas. 
Este problema pode ser resolvido por duas maneiras diferentes. A primeira delas 
usa o método analítico de Belanger. Neste método, inicialmente atribui-
-se para a piezométrica do entroncamento valor igual à piezométrica do 
reservatório intermediário, ou seja, na elevação 90,00, para se determinar 
o sentido de escoamento. 
=> AhAD = 10m 
100,00 
Trecho L(m) D(mm) f 
AD 300 400 0,030 
DB 300 400 0,030 
DC 900 500 0,020 
' Coeficiente de perda de carga da 
fórmula Universal 
Solução 
8-0,030 Q j 
TI 2 . 9,81 .0,40 
j300 = 72.62QJ => QM = 0,37m3 Is 
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108 
Exoamento em sistemas de condutos forçados | Capitulo 4 
àhDC = 7 Om 
i n 8-0,020 Q2 
7T2.9,81 0,50s 47,59Qdc Qoc = 0,46m / s 
Como QAD < QNC existe uma vazão adicional contribuindo para o trecho DC 
que é proveniente de BD, levando a concluir que neste trecho, o escoamento 
se faz de B para D. Conhecidos os sentidos de escoamento nas tubulações, 
um sistema de equações formado pelas equações de perda de carga em 
cada trecho, juntamente com a da continuidade no nó D, permite encontrar 
a solução do problema, como apresentado a seguir: 
100,00 - Piez. D = 72,62 Q .r2 
90,00 - Piez. D = 72,62 Q 2 
DB 
Piez. D - 80,00 = 47,59 QJ 
DC 
Qad + QDB = Q x 
A solução desse sistema de 4 equações e 4 incógnitas é a seguinte: 
Piez. D = 89,63 m, QAD= 0,38 m3/s, QDB= 0,07 m3/s e QDC = 0,45 m3/s. 
A outra maneira de se resolver este problema é pelo método iterativo de 
Cornish, cuja piezométrica do entroncamento é estimada inicialmente e 
corrigida sucessivamente. Assim, partindo da piezométrica igual a 95,00 
para o nó D, tem-se: 
Piez.D A h A D A h D B A hoc QAD Qdb Qoc AZ 
m m m m m3/s m
3/s m3/s m 
95,00 5,00 -5,00 -15,00 0,26 -0,26 -0,56 -7,92 
87,08 12,92 2,92 -7,08 0,42 0,20 -0,39 2,95 
90,03 9,97 -0,03 -10,03 0,37 -0,02 -0,46 -0,29 
89,74 10,26 0,26 -9,74 0,38 0,06 -0,45 -0,06 
89,68 10,32 0,32 -9,68 0,38 0,07 -0,45 0,00 
s 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Cálculo dos valores de A Z 
Pela equação (4.26) tem-se: 
„ 0,26-0,26-0.56 _ 7 Q7 
^ = 2 0,26 0.26 0.56 " 
5,00+ 5,00 15,00 
„ 0,37-0,02-0,46 _ „ ,Q 
^ = 2 0.37 0,02 + 0.46 
9,9/ + 0,03 + 10,03 
0,42+0,20-0,39 
^ " ~Õ,42 0,20+ 0,39 - ^ 
12,92 + 2,92 7.08 
„ 0,38 + 0,06 - 0.45 
^ - 2 0,38 + 0,06 + 0,45 16 
10.26 + 0.26 + 9,74 
Pelo método de Cornish obtém-se resultado bem próximo ao anterior, ou 
seja: 
Piez. D = 89,68 m, Q = 0,38 m3/s, QnR= 0,07 m3/s e QDC= 0,45 m3/s. 
Exemplo 4.3 
Determinar as vazões do sistema mostrado na figura, desprezando as perdas 
de carga localizadas. 
9 0 , 0 0 
6 5 , 0 0 
Trecho L(m) D(mm) c « 
AB 4000 500 120 
CB 4000 300 100 
BD 1000 400 120 
ED 1000 200 100 
DF 4000 300 100 
<•) Coeficiente de perda de carga 
da fórmula de Hazen-Williams 
Solução 
Para a solução deste problema é necessário fazer uma estimativa para as 
piezométricas nos nós B e D e por aproximações sucessivas corrigi-las pelo 
método de Cornish. As piezométricas estimadas, inicialmente, foram 85 00 
e 75,00, respectivamente para os nós B e D e em seguida são corrigidas 
alternadamente. Vale lembrar que a perda de carga e a vazão têm o mesmo 
sinal, que por convenção é positivo para as vazões que entram no nó e 
negativopara as vazões que saem. 
110 
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Escoamento em sistemas de condutos to«..idcn I Capitulo 4 
Trecho AB Trecho BC Trecho BD 
Piez.B Ah Q Q/Ah Ah Q Q/Ah Ah Q Q/Ah AZ 
—— ü] m /s m /s .m m m 3 /s m3 /s .m m mVs mVs.m m 
85,00 5.00 0,146 0.03 -5,00 -0,032 0.01 -10,00 -0,249 0,02 -4,14 
80,86 9,14 0,202 0,02 -0.86 -0.012 0,01 -0,57 -0,053 0,09 1.95 
82,81 7.19 0,177 0,02 -2.81 -0.023 0.01 -1.62 -0.093 0.06 1.24 
84,06 5,94 0,160 0,03 -4.06 -0,028 0,01 -1,73 -0.097 0,06 0,72 
84.78 5,22 0,149 0,03 -4,78 -0,031 0.01 -1.87 -0,101 0,05 0,36 
85,14 4,86 0,143 0.03 -5.14 -0.032 0.01 -1,93 -0,102 0,05 0.18 
85.33 4,67 0.140 0,03 -5.33 -0,033 0.01 -1,96 -0,103 0,05 0,09 
85,42 4,58 0.139 0.03 -5.42 -0.033 0.01 -1,97 -0.103 0.05 0,05 
85,47 4,53 0,138 0,03 -5,47 -0.033 0.01 -1.97 -0.104 0.05 0.03 
85.50 4.50 0.138 0,03 -5,50 -0,033 0.01 -1.98 -0.104 0.05 0.01 
85.51 4,49 0,137 0,03 -5,51 -0,033 0,01 -1,98 -0.104 0.05 0.01 
1 
Trecho BD Trecho DE Trecho DF 
Piez.B A h * Q Q/Ah Ah Q Q/Ah Ah Q Q/Ah AZ 
m m m 3 /s m 3 / s .m m m 3 /s m3 /s.m m m3 /s mVs.m m 
75,00 5,86 0,19 0,03 -5,00 -0,023 0,00 -10,00 -0.046 0.00 5.29 
80,29 2.52 0,12 0.05 -10,29 -0,034 0,00 -15.29 -0,058 0,00 0.90 
81,19 2,86 0,13 0,04 -11,19 -0,036 0,00 -16,19 -0,060 0.00 1,13 
82,33 2.45 0,12 0,05 -12,33 -0.038 0,00 -17.33 -0,062 0,00 0.58 
82.91 2,23 0.11 0,05 -12,91 -0,038 0,00 -17,91 -0,063 0.00 0.30 
83,21 2,11 0.11 0,05 -13,21 -0.039 0,00 -18,21 -0,064 0,00 0.16 
83,37 2,05 0,11 0,05 -13,37 -0,039 0,00 -18,37 -0.064 0,00 0,08 
83,45 2.02 0,10 0,05 -13,45 -0,039 0,00 -18,45 -0.064 0.00 0.04 
83,50 2,00 0,10 0,05 -13,50 -0,039 0,00 -18.50 -0,064 0.00 0.02 
83.52 1,99 0,10 0,05 -13,52 -0,039 0.00 -18,52 -0,064 0.00 0.01 
83.53 1.98 0,10 0,05 -13,53 -0,039 0.00 -18,53 -0,064 0.00 0.01 
'O cálculo da perda de carga neste trecho é feito com base na diferença de piezomêtncas dos nós B e D. que no caso da 
primeira iteração é igual a: 80,86 - 75,00 = 5,86 m. 
O i i i l c s t o I V L G 
S ISTEMA DE BIBLIOTECAS 
111 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
4.3 Rede de distribuição de água 
As redes de distribuição de água se caracterizam pela distribuição da água ao longo 
dos condutos, como nos sistemas de abastecimento de água e e irrigaçao. ara e eito 
de cálculo, as redes de distribuição são classificadas, conforme a disposição dos condutos, 
em ramificadas e malhadas. . . 
A rede ramificada mostrada na Figura 4.5 é típica de sistemas de abastecimento 
de água pequenos e caracteriza-se pela ligação de vários tubos com um principal. Um 
dos inconvenientes deste traçado é a dependência dos outros condutos em relação ao 
principal, pois qualquer interrupção acidental neste paralisa todo o abastecimento de 
água a jusante do local onde ocorreu o acidente. Além disso, nas extremidades das redes, 
como não há escoamento, a tendência ao depósito de sedimentos é muito grande. Nas 
redes malhadas, do tipo apresentado no esquema da Figura 4.6, estes inconvenientes 
são reduzidos, pois um acidente na rede não causa prejuízos relevantes na área afetada, 
já que a água pode encontrar outros caminhos e a sua circulação no sistema ocorre 
sempre que houver consumo de água na rede. 
R 
I [ 
C O N D U T O PRINCIPAL 
Figura 4.5 - Esquema em planta de uma rede ramificada 
R 
D 
Figura 4.6 - Esquema em planta de uma rede malhada 
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112 
Escoamento em s-slemas de condutos forçados | Capitulo 4 
4.3.1 Cálculo das redes ramificadas 
Para o cálculo das redes ramificadas admite-se que as vazões sejam uniformemente 
distribuídas ao longo das canalizações, também denominadas vazão de distribuição em 
marcha, assim tem-se: 
em que 
q. = vazão de distribuição em marcha 
L = comprimento total da rede em metros 
Q = vazão total que abastece a rede 
A fim de organizar a sequência dos cálculos das redes ramificadas é comum 
o emprego de planilhas do tipo apresentado a seguir. 
Trecho Vazão Cota Cota do Pressão 
Piezométrica Terreno Disponível 
L Q j Q o Q m O
 D
 
U Ah J M J M J M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
Onde as colunas numeradas de 1 a 15 correspondem: 
1- Numeração do trecho, que se faz de jusante para montante; 
2- Comprimento do trecho L, medido na planta, em m; 
3- Vazão de jusante QJ, em l/s; 
4- Vazão distribuída no trecho: QD = qm . L , em l/s; 
5- Vazão de montante QM, em l/s; 
6- Vazão fictícia: QF = (QM+QJ)/2, em l/s; 
7- Diâmetro escolhido com base no critério de velocidade máxima no trecho 
(ver Quadro 3.13), em mm; 
8- Velocidade média de escoamento calculada pela equação U = 4Q/ttD2 
onde Q é a vazão de montante em m-7s e D o diâmetro escolhido em m; 
9- Perda de carga total Ah. em m, considerando os valores (de L em m, 
QF em m3/s e D em m) do trecho; 
10- Cota piezométrica de jusante, em m; 
11- Cota piezométrica de montante [11] = [10] + [ 9], em m, 
12- Cota do terreno de jusante, obtida na planta topográfica, em m; 
13- Cota do terreno de montante, em m; 
14- Pressão disponível de jusante [14] = [10]-[12], em mca, 
15- Pressão disponível de montante [15] = [11 ] - M 3], em mca. 
113 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Exemplo 4.4 
Dimensionar a rede de distribuição cujo esquema é mostrado a seguir e 
calcular as pressões disponíveis nos nós, consideran o. 
• a vazão de distribuição em marcha igual a 0,0025 l/s.m, 
• o trecho R-5 virgem; 
• um consumo concentrado no nó 1 de 4,0 l/s, 
• o diâmetro mínimo para essa rede igual a 50 mm, 
• o coeficiente de perda de carga da fórmula de Hazen-Williams C=100; 
• cota do nível de água do reservatório igual a 500 m. 
Solução 
Trecho L Vazão l/s D u Ah 
m Q, Qo mm m/s m 
1-3 200 4,00 0,50 4,50 4,25 100 0,57 1,29 
2-3 100 0,00 0,25 0,25 0,13 50 0,13 0,03 
3-5 300 4,75 0,75 5,50 5,13 100 0,70 2,74 
4-5 160 0,00 0,40 0,40 0,20 50 0,20 0,11 
5-R 300 5,90 0,00 5,90 5,90 100 0,75 3,55 
Trecho Cota Pziométrica Cota do Terreno Pressão Disponível 
J M J M J M 
1-3 492,42 493,71 410,00 430,00 82,42 63,71 
2-3 493,68 493,71 420,00 430,00 73,68 63,71 
3-5 493,71 496,45 430,00 450,00 63,71 46,45 
4-5 496,34 496,45 460,00 450,00 36,34 46,45 
5-R 496,45 500,00 450,00 500,00 46,45 _ o o o _ 
114 
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Escoamento em sistemas de condutos forçados | Capitulo 4 
4.3.2 Cálculo das redes malhadas 
Nas redes malhadas admite-se que as vazões que saem da tubulação estejam con-
centradas nos nós, considerados centros de consumo das áreas atendidas pela rede de 
distribuição de água. Logo, a vazão entre dois nós consecutivos da rede é uniforme, o 
que facilita sua análise. Antes de proceder à determinação das pressões na rede malhada, é 
necessário determinar a vazão em cada trecho da rede, fase essa denominada de equi-
líbrio do anel, cujo cálculo se fundamenta em dois princípios: 
1) No princípio da continuidade, ou seja, a soma das vazões que afluem ao nó é 
igual à soma das vazões que dele saem. Para exemplificar, considere o nó A, junção dos 
trechos 1, 2 e 5, mostrado na Figura 4.7. Considere, também, as vazões que entram no 
nó positivas e as que saem negativas; assim a aplicação desse princípio estabelece que: 
V 
qa 
I Q = 0 
Qi —* — Q 2 
1 
Q5 
(4.27) 
:.QrQ2-Q5-qa = 0 
2) No princípio da conservação da energia, ou seja, a soma das perdas de carga nos 
condutos que formam o anel é zero. Para tanto, atribui-se à perda de carga o mesmo 
sentido da vazão e convenciona-se o sentido horário como positivo e o outro sentido 
negativo, como exemplificado na rede malhada ABCD, mostrada a seguir, cujo anel é 
formado pelos trechos 2, 3, 4 e 5. 
R 
Q i / 
q a 
Q2 
q d / Q4 
Figura 4.7 - Rede malhada 
qb 
- > A —>Ah2 B 
Qs Ah5 
A O 
i 
A h 3 
D —» Ah 4 C 
Q3 
V 
I A h = 0 
.'.Ah2 + Ah, - Ah4 - Ahs = 0 
(4.28) 
115 
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- om raHa trpcho do anel é obtida pelas equações (4.27) e 
A determinaçao das vazões em cada rec ^ ^ ^ 
(4.28) e mais as equações de perda de carga 9 l terativos. O método de cálculo 
lineares cuia solução só é possível através dG p ioc 
manuat mais utilizado para resolver este problema denomina-se *a/anço de energ,a. 
t a m b é m conhecido por mé todo de Hardy-Cross. 
A metodologia utilizada no método de Hardy-Cross, a p r e s e n t a d a n o f uxo rama da 
Figura 4.8, parte de uma estimativa para as vazões nos trechos do anel, de modo a 
atender à equação (4.27) e com base nesses valores é calculada a perda de carga corres-
pondente para verificar a equação (4.28). Se esta é atendida, a estimativa está correta 
e as vazões nos trechos determinadas. Caso isso não ocorra, a vazao estimada deve ser 
corrigida de AQ , cujo fundamento matemático é apresentado a seguir. 
PARA CADA ANEL 
Figura 4.8 - Fluxograma para equilíbrio do anel 
Seja Ah a perda de carga num trecho genérico, representada pela expressão: 
O" 
' D 
116 
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em que P, Dei são conhecidos. Assim, pode-se escrever: 
Ah = r Qn sendo r = B — 
Dm 
Seja Q0 as vazões estimadas nos trechos, na iteração .0 , e que atenda ao 
primeiro princípio: 
em cada nó. 
Se o anel estiver equilibrado, pelo segundo princípio, tem-se: 
Z A / > 0 = X R T ? S = O 
Caso isso não se verifique, ao valor Q0 deve-se adicionar um valor AQ0 
para a devida correção, assim: 
Q, = Q 0 +AQ 0 
Para que a nova vazão Qr atenda ao segundo princípio é necessário que: 
^Mi = ^r(Qo + AQo)" = 0 
Desenvolvendo o termo entre parênteses da equação anterior, por meio 
do binômio de Newton e desprezando os termos onde AQ0 é elevado a 
expoentes superiores à unidade tem-se: 
2 / í Q S + n C 6 " ' A Q , + . . . ; = o 
£ r Q " 0 = - n £ r Q Z - ' A Q 0 
(4.29) 
A Q „ = -
nJ^Ah0/O„ 
Exemplo 4.5 
Na rede de distribuição, cujo esquema é apresentado a seguir, determinar 
os diâmetros, equilibrar as vazões nos trechos do anel e calcular as pressões 
disponíveis nos nós da rede, sabendo-se que o nível de água no reservatório 
está na cota 100,00. As tubulações a serem utilizadas são de ferro fundido, 
com coeficiente de perda de carga da fórmula de Hazen-Williams igual a 
100 e seus diâmetros de 50, 75, 100 e 150 mm. 
117 
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Solução 
A solução deste problema compõe-se de duas partes. A primeira, denomi-
nada equilíbrio do anel, na qual são determinadas as vazões nos trechos 
da malha pelo método de Hardy-Cross. Na outra parte, as pressões são 
calculadas seguindo a mesma metodologia utilizada para as redes ramifi-
cadas, já que os valores das vazões e os seus sentidos são conhecidos após 
a primeira parte, como mostrado a seguir: 
• Equilíbrio do anel 
O quadro a seguir apresenta os resultados do equilíbrio do anel pelo método 
de Hardy-Cross. As vazões iniciais Q0 atribuídas aos trechos das tubulações 
estão mostradas na figura seguinte e atendem ao princípio da continuidade 
em cada nó (equação 4.27). 
Trecho L D Q0 Ah0 Ah0/Q0 Q, Ah, A h / Q , Q2 Ah2 Ah2/Q2 
m m m l/s m l/s m i/s m 
1-2 100 100 4,0 0,58 0,15 4,52 0,72 0,16 4,65 0,76 0,16 
2-3 70 50 -1.0 -0,91 0,91 -0,48 -0,23 0,48 -0,35 -0,13 0,37 
3-1 74 75 -3,0 -1,02 0,34 -2,48 -0,72 0,29 -2.35 -0,65 0,28 
I -1.35 1.40 -0,23 0,93 -0,02 0,81 
AQo = 0,52 AQ, = 0,13 ii O < 0,01 
118 
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Observações: 
1- Os diâmetros foram escolhidos com base nos dados do Quadro 3.13, 
para pré-dimensionamento de condutos de rede de distribuição de água. 
2- A norma brasileira para redes de distribuição de água (NBR 12218/94), 
no caso de equilíbrio de anéis, tolera um resíduo de vazão e carga piezo-
métrica de 0,1 l/s e 0,5kPa, respectivamente. 
• Determinação das pressões disponíveis: 
Trecho D 
m m 
Ah2 
m 
Cota Piezométr ica Cota do Terreno Pressão Disponível Trecho D 
m m 
Ah2 
m M J M J M J 
R-1 150 0,23 100,00 99,77 95,00 80,00 5,00 19,77 
1-2 100 0,76 99,77 99,01 80,00 65,00 19,77 34,01* 
1-3 75 0,65 99,77 99,12 80,00 70,00 19,77 29,12 
3-2 50 0,13 99,12 98,99 70,00 65,00 29,12 33,99* 
*A diferença ent re esses dois valores se deve ao residuo deixado no equilíbrio do anel (XAh = 0,02 m). 
Exemplo 4.6 
Determinar a vazão que passa em cada trecho do anel da rede de distribui-
ção esquematizada a seguir, considerando o coeficiente de perda de carga 
da fórmula universal f = 0,025. 
q = 3 .0 l /s 
119 
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Solução 
A h / Q , Q2 Ah2 Ah2/Q2 
l/s m 
0,08 4,07 0,34 0,08 
0,62 1,07 0,68 0,64 
0,34 -3,01 -1,03 0,34 
1,04 -0,01 1,06 
AQ0 = 0,04 AQ, = 0.03 AQ 2 =0 ,00 
3-1 130 75 3,00 1,02 0,34 3,03* 1,04 0,34 3,01 1,03 0,34 
3-4 100 50 -1,00 -0,66 0,66 -0,93 -0,57 0,61 -0,92 -0,56 0,61 
4-1 100 100 -5,00 -0,52 0,10 -4,93 -0,50 0,10 -4,92 -0,50 0,10 
1 = -0,16 0,10 -0.30 1.05 -0,03 1,05 
Anel Trecho L D Qn Ah„ Ah0/Q0 Q, 
Ah, 
m mm l/s m l/s m 
1-2 100 100 4,0 0,33 0,08 4,04 0,34 
I 2-3 90 50 1.0 0,60 0,60 1,04 0,64 
3-1 130 75 -3,00 -1,02 0,34 -3,03* -1,04 
1 = -0,09 1,02 -0,06 
AQ0 = 0 . 0 7 A Q , = 0 0 1 A Q : ~ ° ' 0 1 
*No trecho comum aos dois anéis, a correção do valor da vazão fica afetada 
do valor de AQ dos dois anéis, assim: 
trecho 3-1: AO = AQ(ANELI) - AQ(ANELI0 
trecho 1-3: AO = - AQ(ANEU) 
Portanto, as vazões que escoam no anel da rede de distribuição são: Q1 2 
= 4,07 l/s, Q2.3 = 1,07 l/s, Q13 = 3,01 l/s, Q4.3 = 0,92 l/s e Q M = 4,92 l/s. 
O método de Cornish visto no item 4.2 também pode ser utilizado no caso 
de rede de condutos, onde as vazões podem ser consideradas concentradas 
nos nós, principalmente para análise das condições de escoamento em 
sistemas de tubulações com algumas piezométricas fixas, tal como os nós 
que representam os reservatórios. O exemplo a seguir ilustra o emprego 
deste método. 
Exemplo 4.7 
A rede de condutos mostrada no esquema e na tabela da figura a seguir 
está ligada a três reservatórios localizados nos nós A, C e F, cujos níveis de 
água estão nas cotas 70,00, 40,00 e 30,00, respectivamente. Analisar as 
condições de escoamento dessa rede, tendo em vista as características dos 
condutos apresentadas na figura. 
120 
Bcoamcnto cm sistemas de condutos forçados | Capitulo 4 
A B r Trecho C o m p ' Diâmetro C 
' u m mm 
A B 1 0 0 0 2 0 0 1 2 0 
B C 5 0 0 2 0 0 1 2 0 
A D 5 0 0 2 5 0 1 2 0 
BE 5 0 0 1 5 0 1 2 0 
D E 1 0 0 0 2 0 0 1 2 0 
EC 1 0 0 0 1 5 0 1 2 0 
D F 1 5 0 0 1 5 0 1 2 0 
FE 5 0 0 2 0 0 1 2 0 
S o l u ç ã o 
A solução deste problema pelo método de Cornish requer uma estimativa 
preliminar das piezométricas nos nós B, D e E, já que nos outros nós estas são 
conhecidas (Piez.A=70,0m, Piez.C=40,0m, Piez.F=30,0m). Os valores assumidos 
neste caso (Piez.B=55,0m, Piez.D=50,0m, Piez.E=45,0m) são escolhidos entre 
os valores máximos e mínimos das piezométricas conhecidas. As vazões que 
escoam nos trechos são calculadas a partir da equação de Hazen-Williams, 
sendo a perda de carga igual à diferença entre as piezométricas de montante 
e jusante e as demais variáveis da equação são dadas no problema. Posterior-
mente à determinação das vazões, as piezométricas são corrigidas através da 
equação (4.26). 
Piez. B 
m 
Trecho BA Trecho BC Trecho BE 
Ah 
m 
Q 
m3 /s 
Q/Ah 
mVs.mAh 
m nvs 
Q/Ah 
m3 /s.m 
a h 
m 
O 
m3 /s 
Q/Ah 
m3 /s.m 
A Z 
m 
55,00 15,00 0,050 0,003 15,00 -0,073 0,005 10,00 -0,027 0,003 -8,49 
46,51 23,49 0,064 0,003 6,51 -0.046 0,007 3,69 -0,016 0,004 0,18 
46,69 23,31 0,064 0,003 6,69 -0,047 0,007 40,3 -0,017 0,004 -0,05 
46,64 
Piez. D 
m 
Trecho DA Trecho DE Trecho DF 
A h 
m 
Q 
m3 /s 
Q / A / J 
m J /s .m 
Ah 
m 
Q 
m3s 
Q / A / I 
m3 /s.m 
A / l 
m 
Q 
m3 /s 
Q / A / I 
m3 /s.m 
A Z 
m 
50,00 
63,37 
62,90 
62,87 
20,00 0,153 
6,63 0,084 
7,10 0,087 
0,008 
0,013 
0,012 
5,00 -0,028 
20,54 -0,059 
20,24 -0,059 
0,006 
0,003 
0,003 
20,00 -0,022 
33,37 -0,029 
32,90 -0,029 
0,001 13,37 
0,001 -0,47 
0,001 -0,04 
Piez. E 
m 
Trecho EB Trecho EC Trecho ED Trecho EF 
Ah Q Q/Ah Ah 
m m3 /s m3 /s .m m 
Q Q/Ah A / ) 
m3s m3 /s .m m 
Q Q/Ah Ah 
m3 /s m3 /s.m m 
Q Q/Ah AZ 
m3 /s m3 /s.m m 
45,00 
42,82 
42,66 
42,64 
1,51 0,010 0,007 5,00 -0,013 0,003 18,37 0,056 0,003 15,00-0,073 0,005 -2,18 
3,87 0,016 0,004 2,82 -0,010 0,003 20,08 0,059 0,003 12,82 -0,067 0,005 -0,16 
3,98 0,017 0,004 2,66 -0,009 0,003 20,20 0,059 0,003 12,66-0,066 0,005 -0,02 
121 
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Problemas 
4.1 Dois reservatórios R, e R possuem seus níveis de água constantes e nas cotas 75 
e 60 respectivamente. Uma adutora, composta por dois trechos em série, interliga 
esses dois reservatórios. Tendo em vista as características da adutora, apresentadas 
a seguir, pede-se determinar a vazão escoada. 
Trecho 1: D,= 400 mm, L,=1000 m, coeficiente de perda de carga C,=110 
Trecho 2: D2= 300 mm, L2= 500 m, coeficiente de perda de carga C2= 90 
4.2 Os condutos mostrados na figura seguinte são destinados a conduzir água do 
reservatório R, para o R2 que tem seus níveis de água mantidos constantes nas cotas 
82,0 e 70,0, respectivamente. Desprezando as perdas de carga localizadas, pede-
-se calcular a vazão nos condutos e a pressão no ponto C, que está localizado na 
cota 68,00. 
4.3 Uma tubulação de 200 mm de diâmetro, 4000 m de comprimento e coeficiente 
de perda de carga da fórmula Universal (f) igual a 0,020 conduz água entre dois 
reservatórios cuja diferença de nível é 40 m. 
a) Considerando somente a perda de carga contínua e desprezando a par-
cela da energia cinética, determinar a vazão entre os dois reservatórios. 
b) Desejando-se aumentar em 20 l/s a vazão transportada, optou-se pela colocação 
de um trecho de tubulação, com as mesmas características da anterior, em paralelo 
com a existente. Determinar a extensão desse trecho. 
4.4 Uma medição de vazão no trecho BC, na rede de condutos apresentada a se-
guir, mostrou que o sentido de fluxo neste trecho é de B para C e que vale 40 l/s. 
Determinar as vazões dos trechos AC, AB, CD e DE e os comprimentos dos trechos 
BE e CD, sabendo-se que a cota piezométrica medida em B vale 78,00. 
82,00 
Trecho L(m) D(mm) f ^ 
AC 1500 200 0,016 
BC 1000 100 0.022 
CD 900 300 0,020 
C D (•) Coeficiente de perda de carga da 
fórmula Universal 
90,00 
Trecho L(m) D(mm) C ( , > 
AB 1000 300 130 
AC 1200 300 100 
BC 200 250 100 
BE - 250 130 
CD - 300 100 
(*) Coeficiente de perda de carga 
da fórmula de Hazen-Williams 
122 
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Escoamento em sistemas de condutos forçados | Cap tulo J 
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4.5 A tubulação ABCD, mostrada na figura a seguir, é destinada a atender aos con-
sumidores localizados entre BC, bem como a abastecer o reservatório de jusante. 
Supondo que dois terços da vazão seja distribuída nas duas tubulações em paralelo 
de BC e o outro terço abasteça o reservatório de jusante, pede-se calcular as vazões 
de distribuição em marcha, supondo toda a tubulação composta por tubos de 100 
mm de diâmetro, com coeficiente de perda de carga "f"ôa fórmula de Universal 
igual a 0,02. 
4.7 Fazer o pré-dimensionamento da rede do trecho RABCD, com base em critérios 
econômicos, supondo a utilização de tubos de PVC com diâmetros de 100, 150, 
200 e 250 mm. Determinar o valor da pressão no ponto D. 
4.6 Determinar as vazões nas 
L3 = A500m 
tubulações do sistema de distribuição na figura a seguir. 
40 l/s 
Trecho L(m) D (mm) f ^ ^ 
A1B 5000 300 0 .020 
A2B 5000 300 0.030 
BC 3000 200 0.020 
BD 4000 300 0.020 
••) Coeficiente de perda de carga da 
fórmula Universal 
Fundamento» do Engenharia Hidráulica 
4.8 A rede de distribuição, apresentada a seguir, deve abastecer um condomínio 
assentado num mesmo nível, cujo consumo máximo é de 8,33 l/s. 
a) Fazer o pré-dimensionamento da rede, supondo o aproveitamento dos tubos de 
PVC disponíveis (D = 50, 75, 100 e 150 mm) 
b) Calcular o nível mínimo de água no reservatório, para que a pressão mínima 
nesta rede seja de 15,0 mca, utilizando a fórmula de Hazen-Williams para perda de 
carga. 
R 
D L = 900m 
TRECHO VIRGEM 
L = 1100m 
L = 500m 
L = 700m 
L = 520m 
L = 630m 
L = 500m 
L = 1 0 0 0 m 
L = 490m L = 550m 
L = 640m 
4.9 Equilibrar as vazões do anel mostrado na figura a seguir e determinar as pressões 
disponíveis nos nós, utilizando tubos de diâmetro de 50, 75, 100 e 150 mm, com 
coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,020. 
L = 90 Om CT = 480,0 CT = 476,0 
J 
A L = 800m B 
= 500,0 
= 512,0 
L = 400m L = 
D L = 800m c 
Q = 3.0 l/s — — 
Q = 4.0 l/s 
CT = 470.0 
CT : cota do terreno 
Q = 2.0 l/s 
CT = 466,0 
4.10 Determinar as pressões na rede de distribuição de água mostrada na figura a 
seguir, supondo-a formada por tubos de PVC. 
4 9 0 4 8 0 4 7 0 4 6 0 4 5 0 4 4 0 4 3 0 
q = 20 l/s 
Dados: = 500 m LAB = 600 m Lac = 300 m Lco = 600 m LDA=300 m LBE= 500 m 
124 
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