gabarito casa 10 decimogabarito

Prévia do material em texto

MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
Exercício 1
Uma praga em um laranjal faz com que a perda da safra seja de 60% das laranjas. Um agrônomo afirma 
que encontrou um tratamento que reduz as perdas. Os agricultores propõem um teste que consiste em 
examinar uma amostra de 25 laranjas tratadas com o método elaborado pelo agrônomo. 
(a) (0 , 5) Formule esse problema como um teste de hipóteses. 
Seja p a proporção de perda da safra em um laranjal.
Hipóteses:
H: p=0,60
A: p<0,60
(b) (0 , 5) Qual é o significado do erro do tipo I e do tipo II para o problema? 
Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira, ou seja, afirmar que a proporção de perda da safra é menor 
que 60%, quando na verdade essa proporção é igual a 60%, ou seja, admitir que o tratamento 
encontrado pelo agrônomo foi eficaz quando, na verdade, não foi.
Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa, ou seja, afirmar que a proporção de perda da safra é igual a 
60%, quando na verdade essa proporção é menor que 60%, ou seja, admitir que o tratamento 
encontrado pelo agrônomo não foi eficaz quando, na verdade foi. 
(c) (1 , 0) Se 10 das 25 laranjas tratadas apresentaram a praga, com base no nível descritivo (valor P), 
qual é a conclusão dos agricultores ao nível de significância de 7%?
Seja “X” o número de laranjas tratadas que apresentam a praga dentre as 25 da amostra. Sob H temos que 
X~b(25; p=0,6) . O nível descritivo é dado por
P=PX≤10p=0,6=PX=0+PX=1+⋯+PX=10
Utilizando a saída do Minitab
Binomial with n = 25 and p = 0,6
 x P( X = x ) x P( X = x )
 
 0 0,000000
 1 0,000000
 2 0,000000
 3 0,000001
 4 0,000007
 5 0,000045
 6 0,000227
 7 0,000925
 8 0,003121
 9 0,008843
10 0,021222
11 0,043410
12 0,075967
13 0,113950
Página 1 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
14 0,146507
15 0,161158
16 0,151086
17 0,119980
18 0,079986
19 0,044203
20 0,019891
21 0,007104
22 0,001937
23 0,000379
24 0,000047
25 0,000003
Então,
P=PX≤10p=0,6=0,0344<0,07. Portanto, rejeitamos H, ou seja, há evidência suficiente para afirmar 
que a proporção de perda da safra do laranjal é menor que 60%, ao nível de significância 7%. Então, o 
tratamento proposto pelo agrônomo foi eficaz.
Exercício 2
Um levantamento de opinião mostrou que nos últimos meses a proporção p de habitantes de certo país 
que desaprovam a política de economia de energia do governo federal é igual a 80%. O presidente do país 
introduz uma série de mudanças na política de economia de energia e seus assessores garantem que essa 
proporção diminuiu. Para isso, 50 pessoas são entrevistadas depois da introdução das mudanças.
(a) (0 , 5) Formule esse problema como um teste de hipóteses. 
Seja p a proporção de habitantes que desaprovam a política de economia de energia após as mudanças.
Hipóteses:
H: p=0,80
A: p<0,80
(b) (0 , 5) Qual é o significado do erro do tipo I e do tipo II para o problema? 
Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira, ou seja, afirmar que a proporção de habitantes que 
desaprova a política econômica de energia após as mudanças é menor que 80%, quando na 
verdade essa proporção é igual a 80%, ou seja, admitir que as mudanças na política econômica 
de energia foram eficazes quando, na verdade, não foram.
Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa, ou seja, afirmar que a proporção de habitantes que 
desaprova a política econômica de energia é igual a 80%, quando na verdade essa proporção é 
menor que 80%, ou seja, admitir que as mudanças na política econômica de energia não foram 
eficazes quando, na verdade foram. 
(c) (1 , 0) Se 32 das 50 pessoas entrevistadas desaprovam a política de economia de energia do governo 
federal, qual é a conclusão baseada no nível descritivo? (adote α=5%)
Página 2 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
Seja “X” o número de habitantes que desaprovam a política econômica de energia do governo após as 
mudanças entre as 50 pessoas entrevistadas. Sob H temos que X~b(50;p=0,80) . O nível descritivo é 
dado por
P=PX≤32p=0,8=PX=0+PX=1+⋯+PX=32
Utilizando a saída do Minitab
Binomial with n = 50 and p = 0,8
 x P( X = x ) x P( X = x )
 
 0 0,000000
 1 0,000000
 2 0,000000
 3 0,000000
 4 0,000000
 5 0,000000
 6 0,000000
 7 0,000000
 8 0,000000
 9 0,000000
10 0,000000
11 0,000000
12 0,000000
13 0,000000
14 0,000000
15 0,000000
16 0,000000
17 0,000000
18 0,000000
19 0,000000
20 0,000000
21 0,000000
22 0,000000
23 0,000000
24 0,000000
25 0,000002
26 0,000006
27 0,000022
28 0,000072
29 0,000218
30 0,000612
31 0,001579
32 0,003750
33 0,008181
34 0,016362
35 0,029919
36 0,049864
37 0,075470
38 0,103275
39 0,127108
40 0,139819
41 0,136409
42 0,116922
43 0,087012
44 0,055371
45 0,029531
Página 3 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
46 0,012840
47 0,004371
48 0,001093
49 0,000178
50 0,000014
Então, 
P=PX≤32p=0,8=0,006 3<0,05 . Portanto, rejeitamos H, ou seja, há evidência suficiente para afirmar 
que a proporção de habitantes que não aprova a política de economia de energia depois das mudanças 
políticas é menor que 80%, ao nível de significância 5%.
Exercício 3
Uma agência governamental está encarregada de fiscalizar a contaminação de um certo produto 
alimentício, através da análise de uma amostra dos pacotes desse produto. Uma porcentagem de 
contaminação de 7% é considerada tolerável. Se a porcentagem de contaminação for maior que este valor 
o produtor deverá ser autuado. Seja p a proporção de contaminação do produto.
(a) (0 , 5) Defina as hipóteses estatísticas adequadas ao problema. 
Seja p a proporção de contaminação do produto
Hipóteses:
H: p=0,07
A: p>0,07
(b) (0 , 5) Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II para o problema? 
Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira, ou seja, afirmar que a proporção de contaminação do 
produto é maior que 7%, quando na verdade essa proporção é igual a 7%, ou seja, autuar o 
produtor quando, na verdade a porcentagem de contaminação é tolerável.
Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa, ou seja, afirmar que a proporção de contaminação do 
produto é igual a 7%, quando na verdade essa proporção é maior a 7%, ou seja, não autuar o 
produtor quando, na verdade deveria ser autuado. 
(c) (1 , 0) Suponha que 20 pacotes foram examinados, dos quais 2 estavam contaminados. Qual é a 
estimativa pontual de p ? Utilizando o nível descritivo, qual será a decisão da agência ao nível de 
significância de 5%?
Seja “X” o número de pacotes contaminados dentre os 20 pacotes que foram examinados.
Uma estimativa do p é p=xn=220=0,1
Sob a hipótese nula temos que X~b(20 ; 0,07) . Então o nível descritivo é dado por,
 P=PX≥2p=0,07=1-PX≤2=1-[PX=0+PX=1+PX=2]
Binomial with n = 20 and p = 0,07
Página 4 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
 x P( X = x ) x P( X = x )
 
 0 0,234239
 1 0,352618
 2 0,252141
 3 0,113870
 4 0,0364265 0,008774
 6 0,001651
 7 0,000249
 8 0,000030
 9 0,000003
10 0,000000
11 0,000000
12 0,000000
13 0,000000
14 0,000000
15 0,000000
16 0,000000
17 0,000000
18 0,000000
19 0,000000
20 0,000000
P=PX≥2p=0,07=1-0,8390=0,1610>0.05. Portanto, não rejeitamos a hipótese H e podemos afirmar 
que, ao nível de significância de 5%, não há evidência para concluir que a proporção da contaminação do 
produto é maior que 7%, ou seja, o produtor não será autuado.
(d) (1 , 0) Suponha que 200 pacotes foram examinados, dos quais 20 estavam contaminados. Qual é a 
estimativa pontual de p ? Utilizando o nível descritivo, qual será a decisão da agência ao nível de 
significância de 5%? (Use a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal)
Seja “X” o número de pacotes contaminados dentre os 200 pacotes que foram examinados.
Uma estimativa do p é p=xn=20200=0,1
Sob a hipótese nula temos que X~b(200; 0,07), como o tamanho da amostra é grande, podemos usar a 
aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal. Para tal efeito determinamos
EX=200×0,07=14
VarX=200×0,07×(1-0,07)=13,02
Assim, X tem distribuição aproximadamente normal de média 14 e variância 13,02.
Logo,
P=PX≥20p=0,07≈PX≥20=PZ≥20-1413,02=PZ≥1,6628=1-A1,6628=1-0,9518=0,0482
 
O nível descritivo é P=0,0482<0,05. Assim, concluímos que há evidência para rejeitar a hipótese nula, 
ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidência para afirmar que a proporção de contaminação do 
produto é maior que 7%.
Página 5 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
(e) (0 , 5) Compare os resultados dos itens (c) e (d). Explique. 
Apesar das probabilidades estimadas p do produto estar contaminado serem iguais nos itens (c) e (d), as 
conclusões dos testes com as amostras observadas são diferentes: H não é rejeitada em (c) e é rejeitada 
em (d). A diferença nos dois testes é o tamanho da amostra. A diferença 0,1-0,07=0,03 é significante para 
n=200, mas não para n=20. 
Exercício 4
Segundo estudos realizados a proporção de machos numa determinada espécie é p = 0,4, em seu habitat. 
Um biólogo acredita que, alterando-se as condições ambientais, essa proporção aumentará. Para testar 
sua hipótese ele submete uma subpopulação desta espécie a condições ambientais modificadas, e após um 
tempo razoável seleciona uma amostra aleatória de 150 animais. 
(a) (0 , 5) Especifique as hipóteses nula e alternativa. 
Seja p a proporção de machos numa determinada espécie alterando-se as condições ambientais.
Hipóteses:
H: p=0,4
A: p>0,4
(b) (1 , 0) Interprete os erros dos tipos I e II. 
Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira, ou seja, afirmar que a proporção de machos numa 
determinada espécie em condições ambientais modificadas é maior que 40%, quando na 
verdade essa proporção é igual a 40%, ou seja, admitir que a proporção de machos aumentou 
quando as condições ambientais foram modificadas quando na verdade não aumentou.
 
Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa, ou seja, afirmar que a proporção de machos numa 
determinada espécie é igual a 40% ao modificar seu habitat, quando na verdade essa proporção 
é maior a 7%, ou seja, admitir que a proporção de machos não aumentou quando as condições 
ambientais foram modificadas quando na verdade aumentou.
(c) (1.0) Calcule o nível descritivo (valor P ) aproximado considerando que na amostra foram observados 
75 machos. Com base no valor P , qual será a conclusão do biólogo ao nível de significância de 5%? 
O nível descritivo é 
P=PX≥xobsp=0,4=P(X≥75|p=0,4) . Sob H temos, X~b(150,0,4), como o tamanho de amostra é 
grande podemos usar a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal, determinamos 
então
EX=150×0,4=60
VarX=150×0,4×(1-0,4)=36
Página 6 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
Logo
P≅PZ≥75-6036=PZ≥2,5=1-PZ≤2,5=1-A2,5=0,0062
O nível descritivo é P=0,0062<0,05. Portanto, ao nível de significância de 5%, há evidência para 
rejeitar a hipótese nula, ou seja, há evidência para concluir que a proporção de machos aumenta 
quando as condições ambientais são alteradas.
Página 7 de 7
http://www.ime.usp.br/~mae
	MAE116 – Noções de Estatística
	Grupo B - 2º semestre de 2010 - GABARITO
	Gabarito 10 – Teste de Hipóteses II – C A S A
	Exercício 1