Livro Mecanica Geral - USJT 2017

Prévia do material em texto

Mecânica 
Estática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Expresse a força como um vetor cartesiano 
 
Exercício 1. Determine a intensidade da força resultante 
em A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2. A porta é mantida aberta por duas 
correntes. Se as trações em AB e em CD são FA 
= 300N e FC = 250 N, respectivamente, 
expresse cada uma dessas forças na forma de 
um vetor cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de uma Força, Formulação Escalar 
 
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, fornece uma medida da tendência dessa força 
provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. Para problemas em duas dimensões é mais 
conveniente se utilizar uma formulação escalar e para problemas em três dimensões a formulação vetorial é mais 
conveniente. 
Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior é o efeito da rotação. A tendência de rotação 
também é chamada de torque, momento de uma força ou simplesmente momento. 
 
Exemplos de Momento 
Momento em torno do eixo 
Z 
Momento em torno do eixo x Não haverá momento, uma 
vez que a linha de ação da 
força de F intercepta o ponto 
o 
 
 
 
 
 
 
 
Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convenção: 
Rotação no sentido horário – Momento negativo 
Rotação no sentido anti-horário – Momento positivo 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Determinar o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na 
figura, em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
Momento de uma força - Formulação Vetorial 
 
O momento de uma força em relação a um ponto pode ser determinado através da aplicação das regras de 
produto vetorial. 
 
A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é aplicada para sistemas em três dimensões. 
 
 
 
 
 
 
Momento resultante de um sistema de forças 
 
Princípio dos Momentos 
 
Conhecido como teorema de Varignon, o teorema estabelece que o momento de uma força em relação a um ponto 
é igual a soma dos momentos dos componentes das forças em relação ao mesmo ponto. 
 
 
Exemplo 1. O poste mostrado está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade 
do momento criado por essa força em relação ao suporte no ponto A. 
 
 
Exemplo 2. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
Exemplo 3. Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Determine o momento da força de 200N em relação ao ponto A. 
 
2. Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada em relação ao ponto A. 
 
3. Dois homens exercem forças F= 80 lb e P= 50 lb sobre as cordas. Determine o momento de 
cada força em relação a A. Em qual sentido o poste tenderá a girar? Horário ou anti-horário? 
 
 
(MA)C =-768 lb.ft (sentido horário) 
(MA)B = 636 lb. Ft (sentido anti-horário) 
Como, em módulo (MA)C > (MA)B, o poste tende a girar no sentido horário. 
 
4. Se o homem em B exerce uma força P 30 lb sobre sua corda, determine a intensidade da força 
F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire, ou seja, para que o 
momento resultante em relação a A devido às duas forças, seja zero. 
F = 39,8 lb 
 
5. Determine o ângulo  (0 ≤  ≤ 1800) da força F 
de modo que ela produza um momento máximo 
e um momento mínimo em relação ao ponto A. 
Além disso, quais são as intensidades desses 
momentos máximo e mínimo? 
 
max = 26,6
0 
min = 117
0 
Mmax= 40,2 kN.m 
Mmin = 0 
 
 
 
 
 
 
6. Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando 
um jogador de futebol americano é atingido na 
proteção de rosto de seu capacete. Determine o 
momento da força P em relação ao ponto A. 
Qual seria a intensidade da força do pescoço F 
de modo que ela forneça o momento 
neutralizante em relação a A? 
 
MA= 15,4 N.m (horário) 
F = 118,6 N 
 
 
 
 
 
 
 
7. Dois garotos empurram o portão 
mostrado na figura abaixo. Se FB = 
150 N, determine a intensidade da 
força FA que o garoto em A precisa 
exercer para impedir que o portão 
gire. Despreze a espessura do 
portão. 
 
FA = 144,3 N 
 
 
 
 
 
8. As pinças são usadas para prender 
as extremidades do tubo de 
perfuração P. Se um torque 
(momento) MP=1200 N.m é 
necessário em P para girar o tubo, 
determine a força que precisa ser 
aplicada no cabo da pinça F. 
Considere =30o. 
 
 
 
 
 
 
9. A fim de erguer o poste de iluminação a partir da 
posição mostrada. A força F no cabo deve criar um 
momento de 2250 N.m no sentido anti-horário em 
relação ao ponto A. Determine a intensidade de F 
que precisa ser aplicada ao cabo. 
 
F = 953,9N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.A região do pé está sujeita à contração de dois 
músculos. Determine o momento de cada força em 
relação ao ponto de contato A no chão. 
 
MA1= 14,74 N.m (horário) 
MA2 = 17, 46 N.m ( horário) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. A barra no mecanismo de controle de 
potência de um jato comercial está 
sujeita a uma força de 80 N. Determine 
o momento dessa força em relação ao 
mancal em A. 
 
MA= 7,71 N.m ( Anti-horário) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. O cabo de reboque exerce uma 
força P = 4 kN na extremidade da 
Lança do guindaste de 20 m de 
comprimento. Se  = 30o, 
determine o posicionamento x do 
gancho em A para que essa força crie 
um momento máximo em relação ao 
ponto O. Qual é esse momento? 
Momento máximo, OB  BA 
(Mo)max = 80,0 kN.m (horário) 
 = 33,6o 
 
 
 
 
13. O carrinho de mão e seu conteúdo 
possuem centro de massa em G. Se F = 100 N 
e o momento resultante produzido pela força F 
e o peso em relação ao eixo A é zero determine 
a massa do carrinho e de seu conteúdo. 
 
 
M = 59,3 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Determine os momentos produzidos por F1 e por F2 em relação ao ponto O. Expresse os 
resultados como vetores cartesianos. 
 
Momento de F1: Mo = (110i - 50j + 90k) lb.ft 
Momento de F2: Mo = (90i - 130j - 60k) lb.ft 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Determine o momento resultante produzida 
pelas forças FB e FC em relação ao ponto O. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
Mo = (-720i +720j) N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Determine o momento produzido por cada força 
em relação ao ponto O localizado na broca da 
furadeira. Expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
 
FA: (MR)O = (-18i + 9j - 3k) N.m 
FB: (MR)O = (18i + 7,5j + 30k) N.m 
 
 
 
 
 
 
 
17. Uma força �⃗� = (6𝑖 ̂ − 2𝑗̂ + 1𝑘)𝑘𝑁 produz um momento 𝑀0 = (4𝑖 ̂ + 5𝑗̂ − 14𝑘)𝑘𝑁 . 𝑚 em relação a origem 
das coordenadas, o ponto O. Se a força age emum ponto tendo uma coordenada x de x =1m, 
determine as coordenadas y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. O encanamento está sujeito à força de 80N. 
Determine o momento dessa força em relação ao 
ponto A. 
 
MA = (-5,39i +13,1j – 11,4k) N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento em Relação a um Eixo Específico 
 
Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção sobre o eixo 
que se deseja a partir do produto escalar. 
 
A solução contempla duas etapas, um produto vetorial seguido de um produto escalar. 
 
Exemplo 1. Determine o momento MA B produzido pela força F, que tende a girar o tubo em relação 
ao eixo AB. 
 
 
 
Exemplo 2. Determine a intensidade do momento da força F em relação segmento OA do 
encanamento. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Determine o momento produzido pela força F em relação à diagonal OD do bloco retangular. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
2. A ferramenta é usada para fechar válvulas de gás que são difíceis de acessar. Se a força F é 
aplicada no cabo, determine a componente do momento criada em relação ao eixo z da válvula. 
 
 
3. Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
 
4. O atrito na luva A pode fornecer um momento de resistência máxima de 125 N.m em relação ao 
eixo x. Determine a maior intensidade da força F que pode ser aplicada no braço de modo que ele não 
gire. 
 
 
5. Se um torque de 10N. m é necessário para afrouxar o parafuso em A, determine a força P que 
precisa ser aplicada perpendicularmente ao cabo da chave de boca articulável. 
 
P = 42,28 N 
 
 
6. A tubulação é fixa na parede pelas duas dobradiças. Se a força de atrito da abraçadeiras pode 
resistir a um momento máximo de 225 N. m, determine o maior peso do vaso que pode ser suportado 
pela tubulação sem permitir que ela gire em relação ao eixo OA. 
 
 
 
W = 284,2 N 
 
 
7. A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao eixo x. 
 
M x = −80 N. m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de um binário 
 
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por uma 
distância d. 
O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido. 
 
Formulação Matemática 
 
O momento de binário em relação ao ponto O, é dado por: 
 
E como 
 
Tem-se: 
 
Isso indica que o momento de binário é um vetor livre, ou seja, pode agir em qualquer ponto, já que M depende 
apenas do vetor posição r, direcionado entre as forças e não dos vetores posição rA e rB, direcionados do ponto O 
até as forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrado na figura. O segmento 
AB está direcionado 30o abaixo do plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário resultante que age sobre a viga 
seja 1,5 kN.m, no sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. O rodízio está sujeito aos dois binários. Determine as forças F que os rolamentos exercem sobre o 
eixo de modo que o momento de binário resultante sobre o rodízio seja zero. 
 
 
2. Determine a intensidade necessária da força �⃗� se o momento de binário resultante na estrutura for 
de 200 lb.ft horário. 
 
 
3. Determine o momento de binário resultante 
que age sobre a viga. Resolva o problema de duas 
maneiras: 
a) Some os momentos em relação ao ponto O 
b) Some os momentos em relação ao ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se a intensidade do momento de binário que age sobre a tubulação é de 50 N.m, determine a 
intensidade das forças de binário aplicadas em cada chave. 
Considere o sistema abaixo: 
 
 
 
5. Determine o momento binário resultante dos dois binários que agem sobre o encanamento. A 
distância de A a B é d = 400 mm. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
6. Determine a distância d entre A e B tal que o momento de binário resultante tenha intensidade de 
MR = 20 N.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Massa (CM), centro de gravidade (CG) e 
centroide de um corpo. 
 
Exemplo 1. Localize o centroide (𝑥,̅ 𝑦) da área composta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Determine as coordenadas do centro de massa do suporte, feito de uma chapa metálica 
de espessura constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Localize o centroide 𝑦 da área da seção transversal da viga de concreto. 
 
 
2. Localize o centroide 𝑦 da área da seção transversal do canal. 
 
 
 
 
4. Localize o centroide (𝑥,̅ 𝑦) da área composta. 
 
�̅� = 𝟕𝟓, 𝟎 𝒎𝒎 
𝒚 = 𝟓𝟎, 𝟖 𝒎𝒎 
 
5. Localize o centroide (𝑥,̅ 𝑦) da área composta. 
 
 
 
 
6. Localize o centroide (𝑥,̅ 𝑦,̅ �̅�). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio do corpo rígido 
 
Equações de equilíbrio da estática - sistema bidimensional 
 
 
Reações de apoio para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças 
bidimensionais. 
 
Como regra geral, temos: 
 
 Se corpo em uma determinada direção, então, uma força é desenvolvida no corpo, nessa 
direção. 
 Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo. 
 
Alguns exemplos de apoios. 
 
1) Rolete ou Apoio Móvel. Apresenta apenas uma incógnita. A reação é uma força que atua 
perpendicularmente à superfície do ponto de contato. 
 
2) Articulação ou Pino. Apresenta duas incógnitas. As reações são os dois componentes da força 
resultante e atuam paralela e perpendicular à superfície do ponto de contato. 
 
3) Apoio fixo ou engastamento. Apresenta três incógnitas. As reações são os dois componentes da força 
resultante que atuam nas direções paralela e perpendicular à superfície do ponto de contato. 
 
 
 
 
Diagrama de Corpo Livre – Analogia Prática/Teórica 
 
 
 
Tipos de 
conexão 
Reação Número de incógnitas 
 
 
Cabo 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
para fora do membro, na direção conhecida do 
cabo. 
 
 
Rolete 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
perpendicular à superfície. No ponto de 
contato. 
 
 
Rolete ou pino confinado em ranhura lisa 
 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
perpendicular a ranhura. 
 
 
Apoio oscilante 
 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
perpendicular à superfície. No ponto de 
contato. 
 
 
 
Superfície de contato lisa 
 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
perpendicular à superfície. No ponto de 
contato. 
 
Membro conectado por pino a um anel 
sobre haste lisa 
Uma incógnita. A reação é uma força que age 
perpendicular à barra. 
 
Pino liso ou dobradiça. 
Duas incógnitas.As reações são duas 
componentes da força 
 
Membro fixo conectado ao colar em haste 
fixa 
Duas incógnitas. As reações são o momento 
de binário e a força que age 
perpendicularmente à barra 
 
 
 
 
Apoio fixo ou engaste 
Três incógnitas. As reações são o momento de 
binário e as duas componentes de força. 
 
 
Exemplo 1. Desenhe o diagrama de corpo livre e determine as componentes horizontal e vertical da 
reação sobre a viga, causada pelo pino em B e o apoio oscilante em A, como mostra a figura. 
Despreze o peso da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. O membro mostrado na figura está conectado por um pino em A e apoia-se em um 
suporte liso em B. Desenhe o diagrama de corpo livre e determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Desenhe o diagrama de corpo livre e determine as reações de apoio sobre o membro na figura. O 
colar em A é fixo no membro e pode deslizar verticalmente ao longo da barra vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Desenhe o diagrama de corpo livre da viga que suporta a 
carga de 80 kg e é sustentada por um pino em A e um cabo 
que contorna a polia em D e determine a tração na corda e 
as componentes horizontal e vertical da direção no apoio A 
da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. a) Desenhe o diagrama de corpo livre da lança de 
guindaste AB, que possui peso de 3,25 kN e um centro de 
gravidade em G. O apoio é sustentado por um pino em A e 
um cabo em BC. A carga de 6,25 kN é suspensa por um 
cabo preso em B. b) Determine as componentes horizontal 
e vertical da reação em A e a tração no cabo BC sobre a 
lança 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. a) Desenhe o diagrama de corpo livre 
do membro ABC que é sustentado por um 
anel liso em A, um rolete em B e uma 
ligação curta em CD. b) Determine as 
reações normais em A e B e a força na 
ligação CD agindo sobre o membro. 
 
 
 
 
 
4. A lança do guindaste articulado tem um 
peso de 625 N e centro de gravidade em 
G. Se ele suporta uma carga de 3000 N, 
determine a força que age no pino A e a 
força no cilindro hidráulico BC quando a 
lança está na posição mostrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A massa de 700 kg é suspensa por um gancho que 
se move ao longo de um trilho de d = 1,7 m até 
d=3,5m. Determine a força ao longo da cantoneira 
conectada por um pino BC (ligação curta) e a 
intensidade da força no pino A como uma função da 
posição d. Represente graficamente esses resultados 
de FBC e FA (eixo vertical) em função de d (eixo 
horizontal). 
 
 
 
 
 
6. A tábua de madeira apoiada entre as 
construções deflete ligeiramente quando suporta 
o garoto de 50 kg. Essa flexão causa uma 
distribuição triangular da carga em suas 
extremidades, tendo intensidades máximas de 
wA e wB. Determine wA e wB, cada um medido 
em N/m, quando o garoto se posiciona a 3m de 
uma das extremidades, como mostrado. 
Despreze a massa da tábua. 
 
 
 
 
7. Determine as componentes horizontal e vertical 
da reação no pino A e a reação do colar liso B sobre 
a barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. O cabo do guincho de um caminhão 
reboque está sujeito a uma força T=6 kN 
quando o cabo está direcionado em  = 
60o. Determine as intensidades da força 
total de atrito do freio F para o conjunto de 
rodas traseiras B e as forças normais totais 
em ambas as rodas dianteiras A e ambas 
as rodas traseiras B para o equilíbrio. O 
caminhão tem uma massa total de 4 Mg e 
centro de massa em G. 
 
9. A viga horizontal é sustentada por molas em 
suas extremidades. Se a rigidez da mola em A é 
kA = 5 kN/m, determine a rigidez necessária da 
mola em B para que, se a viga for carregada 
com os 800 N, ela permanece na horizontal. As 
molas são originalmente construídas de modo 
que a viga esteja na horizontal quando 
descarregada. 
 
 
 
 
 
 
 
10. Se a mola BC esta descarregada com =0o e 
a alavanca excêntrica atinge sua posição de 
equilíbrio quando  = 15o, determine a força F 
aplicada perpendicularmente ao segmento AD e 
as componentes horizontal e vertical da reação 
no pino A. A mola BC permanece na posição 
horizontal em todo o tempo devido ao rolete em 
C. 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. 
 
 
 
2. 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
FB = 20,98 kN 
Ax= 16,04 kN 
Ay = 9,83 kN 
 
5. 
 
 
6. 
WA= 1,41 kN/m 
WB = 1,11 kN/m 
7. 
AY = 3750 N 
AX= 4125 N 
NB = 4125 N 
 
8. 
F= 5,20 kN 
NA= 17,3 kN 
NB=24,9 kN 
9. 
 
 
10. 
F = 50,6 N 
AX= 108 N 
AY = 48,8 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas distribuídas 
 
A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no 
sistema e em muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas 
forças atuando sobre o sistema. 
 
A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga. 
 
A localização da linha de ação da força resultante em relação ao eixo x pode ser 
determinada pela equação de momentos da força resultante e da distribuição de forças em 
relação ao ponto O. 
 
A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide da área definida pelo 
diagrama de carregamento. 
 
 
 
 
 
Exemplo de carregamento distribuído. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Os tijolos sobre a viga e os apoios na sua base criam o carregamento distribuído 
mostrado na segunda figura. Determine a intensidade W e a dimensão d do apoio direito necessário 
para que a força e o momento de binário exultantes em relação ao ponto A do s istema sejam nulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Determine a reações devido ao carregamento distribuído 
 
 
3. Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a força no cabo BC. 
Despreze a espessura do membro. 
 
 
 
 
 
 
 
7. A prateleira simétrica está sujeita a 
uma carga uniforme de 4 kPa. O apoio é 
fornecido por um parafuso (ou pino) 
localizado em cada extremidade A e A’ e 
por cantoneiras simétricas apoiadas 
contra a parede uniforme em ambos os 
lados B e B’. Determine a força aplicada 
por cada parafuso na parede e a força 
normal em B para o equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
8. A estrutura é sustentada pelo membro AB, que está 
apoiado sobre o piso liso. Quando carregada, a 
distribuição de pressão sobre AB é linear, como mostra a 
figura. Determine o comprimento d do membro AB e a 
intensidade W para este caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Para o carregamento 
distribuído. Determine: 
a) O módulo e a localização da 
força resultante equivalente. 
b) As reações nos suportes. 
 
 
 
 
 
 
10. Determine a reações devido ao carregamento distribuído 
 
11. A barraAB repousa sobre o solo, que exerce um carregamento distribuído de baixo para cima. 
Determine os valores de A e B correspondentes para que ocorra equilíbrio. 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
1. 
 
 
2. 
a) 
 
 
3. 
 
 
 
4. 
 
 
5. 
 
b) 
 
6. 
a) 
 
 
b) 
 
 
7. 
 
8. 
 
9. 
 
10. 
 
 
11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise estrutural - Treliças 
 
 
Definição 
 
Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, 
cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob a forma geométrica triangular, através de pinos, 
soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir a 
esforços normais apenas. 
A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencer a um único 
plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindaste s, 
torres, etc. 
A treliça mostrada na Figura a seguir é um exemplo típico de treliça de telhado. 
Como esse peso atua no mesmo plano da treliça, as análises das forças desenvolvidas nos membros 
da treliça serão bidimensionais. 
 
 
 
 
No caso de uma ponte, o peso no tabuleiro é primeiro transmitido para as longarinas e para as vigas 
de piso e, finalmente, para os nós das duas treliças laterais. Assim como no telhado, as forças na 
ponte de treliça também são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
Para projetar os membros e as conexões de uma treliça, é necessário primeiro determinar a força 
desenvolvida em cada membro quando a treliça está sujeita a um determinado carregamento. Para 
isso, faremos duas hipóteses importantes: 
 
 Todas as cargas são aplicadas nos nós. 
 Os membros são unidos por pinos lisos. 
 
 
Devido a esses dois pressupostos, cada membro de treliça agirá 
como um membro de duas forças e, portanto, a força atuando em 
cada extremidade do membro será direcionada ao longo do eixo do 
membro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça simples 
Se os três membros são conectados por pinos em suas 
extremidades, eles formam uma treliça triangular que será 
rígida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns 
membros de uma treliça, podemos analisar a treliça 
usando o método das seções. Este método se baseia no 
princípio de que se uma treliça está em equilíbrio, então 
qualquer segmento dela também está em equilíbrio. Por 
exemplo, considere os dois membros de treliça mostrados 
no lado esquerdo dessa Figura: 
Claramente pode-se ver que membros sob tração estão 
sujeitos a forças de tração internas e que membros sob 
compressão estão sujeitos a forças de compressão 
internas (ao cortar e manter o equilíbrio) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças: 
• Método dos Nós ou Método de Cremona 
• Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior frequência) 
 
Métodos dos Nós ou Método de Cremona 
 
Ao usar o método dos nós, sempre comece em um nó que tenha pelo menos uma força 
conhecida e, no máximo, duas forças desconhecidas. Desse modo, a aplicação de ∑ 𝐹𝑥 = 0 e ∑ 𝐹𝑦 = 0 
produz duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as duas incógnitas. Ao aplicar essas 
equações, o sentido correto de uma força de membro desconhecida pode ser determinado. 
O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito pode, em muitos casos, ser 
determinado ‘por observação’. Em casos mais complexos, o sentido de uma força do membro 
incógnito pode ser assumido. 
Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada, use sua intensidade e sentido corretos no 
diagrama de corpo livre do nó subsequente. 
 
Procedimentos para análise 
 
Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo pelo menos uma força conhecida e no máximo 
duas forças desconhecidas. (Se esse nó estiver em um dos suportes, então pode ser necessário 
primeiro calcular as reações externas no suporte.) 
 
Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo livre possam ser facilmente 
decompostas em suas componentes x e y e, depois, aplique as duas equações de equilíbrio de força 
de ∑ 𝐹𝑥 = 0 e ∑ 𝐹𝑦 = 0. Resolva para as duas forças de membro desconhecidas. 
 
Exemplo resolvido 
Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. Considere P1= 4 kN e P2 = 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Determine a força em cada membro da treliça 
mostrada na figura e indique se os membros estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Determine a maior carga P que pode ser aplicada na treliça de modo que nenhum dos 
membros esteja sujeito a uma força que excede 2 kN em tração ou 1,5 kN em compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Determine a força em cada membro da treliça. Indique se os membros estão sob tração o 
compressão. 
 
2. Determine a força em cada membro da treliça e diga se os membros estão sob tração ou 
compressão. Faça P1 = P2 = 4 kN. 
 
3. Remova a força de 500 lb e, então, determine a maior força P que pode ser aplicada à treliça de 
modo que nenhum dos membros esteja sujeito a uma força maior que 800 lb em tração ou 600 lb em 
compressão. 
 
4. Determine o maior peso P2 que pode ser aplicado à treliça de modo que a força em qualquer 
membro não exceda 500 lb (T) e 350 lb (C). Considere P1 = 0 
 
5. Determine a maior força P que pode ser aplicada à treliça de modo que nenhum dos membros 
esteja sujeito a uma força maior que 2,5 kN em tração ou 2 kN em compressão. 
 
 
6. A treliça é fabricada usando membros que têm um peso de 10 lb/ft. Remova as forças externas da 
treliça e determine a força em cada membro devido ao peso dos membros. Indique se os membros 
estão sob tração ou compressão. Considere que a força total que atua sobre um nó é a soma da 
metade do peso de todos os membros conectados ao nó. 
 
7. A treliça é fabricada usando-se membros uniformes que têm uma massa de 5 kg/m. Remova as 
forças externas da treliça e determine a força em cada membro devido ao peso da treliça. Indique se 
os membros estão sob tração ou compressão. Considere que a força total que atua sobre um nó é a 
soma da metade do peso de todos os membros conectados ao nó. 
 
8. Um painel está sujeito a uma carga de vento que exerce foças horizontais de 300 lb nos nós B e C 
de uma das treliças de apoio laterais. Determine a força em cada membro da treliça e indique se os 
membros estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Ritter ou método das seções 
 
O método das seções é utilizado para se determinar as forças atuantes dentro de um elemento da treliça.Esse 
método baseia-se no princípio de que se um corpo está em equilíbrio, qualquer parte dele também está. O método 
consiste em seccionar o elemento que se deseja analisar na treliça e aplicar as equações de equilíbrio na região 
seccionada. 
 
Exemplo do uso do método das seções. 
 
 
 
 
 
 
 
O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em muitos casos, ser determinado 
‘por observação’. Em casos mais complicados, o sentido de uma força de membro desconhecida pode 
ser assumido. 
 
Procedimentos para análise - Diagrama de corpo livre 
 Decida sobre como ‘cortar’ ou seccionar a treliça através dos membros onde as forças devem 
ser determinadas. 
 Antes de isolar a seção apropriada, pode ser necessário primeiro determinar as reações de 
apoio da treliça. 
 Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça seccionada que possui o menor 
número de forças agindo. 
 Use um dos dois métodos descritos anteriormente para estabelecer o sentido das forças de 
membro desconhecidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo resolvido 
Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique se os membros estão sob 
compressão ou tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Determine a força nos membros GE, GC e BC da treliça mostrada na figura. Indique se 
os membros estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Determine a força nos membros LK, KC e CD da treliça Pratt. Indique se os membros 
estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. A treliça de ponte Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros 
HI, HB e BC e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 
 
2. Determine a força nos membros HI, FI e EF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
3. Determine a força nos membros CD, CF e FG da treliça Warren. Indique se os membros estão sob 
tração ou compressão. 
 
4. Determine a força nos membros ED, EH e GH da treliça e indique se os membros estão sob tração 
ou compressão. 
 
5. Determine a força nos membros BG, BC e HG da treliça e indique se os membros estão sob tração 
ou compressão. 
 
6. Determine a força nos membros JE e GF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. 
 
7. Determine a força nos membros CD e GF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. 
 
8. Determine a força nos membros KJ, KC e BC da treliça Howe e indique se os membros estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
 
Respostas: 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido: Rotação em torno de 
um eixo fixo 
 
1. Um disco com um raio de 0,15 m gira com uma velocidade angular inicial de 2 rad/s e tem uma 
aceleração angular constante de 1 rad/s2. Determine as intensidades da velocidade e da aceleração 
de um ponto na borda do disco quando t =2s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma corda está enrolada em torno de uma roda que está inicialmente 
em repouso quando θ=00. Se uma força é aplicada à corda, e fornece a 
ela uma aceleração a(t) = (4t2)m/s2, onde t é dado em segundos, 
determine como uma função de tempo: 
a) a velocidade angular da roda; 
b) a posição angular da linha OP em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O volante gira com uma velocidade angular 𝜔 = (4𝜃1 2⁄ )𝑟𝑎𝑑 /𝑠, 
onde θ está em radianos. Determine o tempo que ele leva para 
alcançar uma velocidade angular ω=150 rad/s. Sabe-se que 
quando t=0 tem-se θ=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. O balde é içado pela corda que se enrola em torno do tambor. Se 
o deslocamento angular da roda é 𝜃(𝑡) = 0,5𝑡3 + 15𝑡)𝑟𝑎𝑑 , onde t é 
dado em segundos, determine a velocidade e a aceleração do balde 
quando t = 3s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma roda tem uma aceleração angular 𝛼(𝜃) = (0,5𝜃)𝑟𝑎𝑑 /𝑠2, onde θ é dado em radianos. Determine 
os módulos da velocidade e da aceleração de um ponto P localizado em sua borda após a roda ter 
completado 2 rotações. A roda tem raio de 0,2m e parte do repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Por um curto período de tempo, o motor gira a engrenagem A com 
uma aceleração angular constante 𝛼𝐴 = 4,5
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
, partindo do repouso. 
Determine a velocidade do cilindro (C) e a distância que ele percorre 
em 3s. A corda está enrolada em torno da polia D que está 
rigidamente ligada à engrenagem B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Logo após o ventilador ter sido ligado, o motor fornece às 
pás uma aceleração angular 𝛼 = (20 ∙ 𝑒−0,6∙𝑡)𝑟𝑎𝑑 /𝑠2, onde t é 
dado em segundos. Determine a velocidade da ponta P de 
uma das pás quando t=3s. Quantas revoluções a pá realizou 
em 3s? Quando t=0, a pá está em repouso. 
 
 
 
 
 
 
2. O gancho está preso a uma corda que está enrolada em 
torno do tambor. Se ele se desloca do repouso com uma 
aceleração de 6 m/s2, determine a aceleração angular do 
tambor e sua velocidade angular após o tambor ter 
completado 10 revoluções. Quantas revoluções mais o tambor 
realizará após ele ter completado as 10 primeiras e o gancho 
continuar a se deslocar para baixo por 4 segundos? 
 
 
 
 
 
 
 
3. O pêndulo de torção (roda) sofre oscilações no plano horizontal de tal 
maneira que o ângulo de rotação, medido a partir de uma posição de 
equilíbrio, é dado por 𝜃 = (0,5 ∙ sin 3𝑡) 𝑟𝑎𝑑, onde t é dado em segundos. 
Determine a velocidade tangencial máxima do ponto A localizado na 
periferia da roda enquanto o pêndulo está oscilando. Qual é a aceleração 
do ponto A em termos de t? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A operação de marcha à ré em uma 
transmissão automotiva é mostrada. Se o 
motor gira o eixo A em 𝜔𝐴 = 40
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, determine 
a velocidade angular do eixo de transmissão 
𝜔𝐵 . O raio de cada engrenagem está listado 
na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A engrenagem A no eixo de transmissão do motor de 
popa tem um raio rA = 12,5 mm e está engrenada ao 
pinhão B no eixo de hélice que tem um raio rB= 30 mm. 
Determine a velocidade angular da hélice em t=1,5 s, se 
o eixo de transmissão gira com uma aceleração angular 
𝛼 = (400𝑡3)𝑟𝑎𝑑 /𝑠2, onde t é dado em segundos. A hélice 
está originalmente em repouso e a estrutura do motor 
não se desloca. 
 
 
 
 
 
6. Para o motor de popa do problema anterior,determine o módulo da velocidade e a aceleração do 
ponto P localizado na ponta da hélice no instante t= 0,75 s. 
 
7. Quando apenas duas engrenagens estão 
acopladas, a engrenagem motriz A e a engrenagem 
movida B sempre girarão em sentidos opostos. A fim 
de fazer com que elas girem no mesmo sentido, uma 
engrenagem intermediária C é usada. No caso 
mostrado, determine a velocidade angular da 
engrenagem B quanto t = 5 s, se a engrenagem A 
parte do repouso e tem uma aceleração angular 
𝛼𝐴 = (3𝑡 + 2) 𝑟𝑎𝑑 /𝑠
2, onde t é dadp em segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos exercícios: 
 
1. vp=48,7 ft/s N = 8,54 rev 
2.  =10,0 rad/s2 ω=35,4 rad/s N=35,3 rev 
3. vA=300ft/s 
aA=[(-9sen3t)ut+ (4,5cos
23t)un]ft/s
2 
4. ωB=89,6 rad/s 
5. ωB=211 rad/s 
6. vp=2,42 ft/s ap=34,4 ft/s
2 
7. ωB=31,7 rad/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido: Movimento relativo –
velocidade (método vetorial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. 
 
 = 4 rad/s vB = 5,2 m/s 
2. 
 
AB = 12 rad/s vB = 6,24 m/s 
3. 
 
AB = 20 rad/s vB = 0,6 m/s 
 
 
4. 
 
 
 
5. 
 
 = 3,11 rad/s v0 = 0,2 m/s 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
VA = 0,75 m/s  
8. 
 
 
Vc = 1,04 m/s
Cinemática do corpo rígido: Movimento relativo-
aceleração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. 
 
 
2. 
 
3. 
 
 
66,5 m/s2 
4. 
 
 
5. 
 
 
3,95 m/s2 
 
6. 
 
 
 
 
165 m/s2 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica do corpo rígido: Translação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
aG=16,35 m/s
2 
 
 
 
 
 
 
 
t=17,5 s 
t=11,3 s 
 
 
a = 1,028 m/s2 
NB=1,055kN 
NA=3,76 kN 
 
F=117,1kN 
 
NB = 7050 N NA= 22950 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica do corpo rígido: Rotação em torno de 
um eixo fixo e movimento plano geral 
 
Rotação em torno de um eixo fixo 
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano geral 
 
Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Rotação em torno de um eixo fixo 
 
𝝎 = 𝟐𝟎, 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 
 
 
t=6,71s 
 
 
 
P= 39,6N 
NA=NB=325N 
 
 
 
 
 
 
𝜶 = 𝟏𝟒, 𝟕 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
𝒂𝑮 = 𝟒, 𝟗𝟎 𝒎/𝒔
𝟐 
 
 
 
TB=1,21 kN 
 
 
 
 
 
FA=219N 
 
 
FCB=193 N 
t= 3,11s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano geral 
 
 
𝜶 = 𝟓, 𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
 
 
 
𝜃 = 46,90 
 
 
 
 
 
 
𝜶 = 𝟏, 𝟏𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
 
 
𝜶 = 𝟕𝟑, 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
T=0,296s 
 
 
𝜶 = 𝟏𝟑, 𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
FCmax = 65,4 N