Mecânica I - Poli - P3 - 2017 - reoferecimento

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
PME 3100 – MECÂNICA 1 – Terceira Prova – 05 de julho de 2017 - Duração da Prova: 110 minutos 
(não é permitido o uso de celulares, tablets, calculadoras e dispositivos similares) 
 
1ª Questão (3,5 pontos). Um carretel de massa 
M , centro B e raios R (externo) e r (interno) 
está articulado a uma barra AB de massa m e 
comprimento RL 2= , conforme indicado na 
figura. Mediante a aplicação de uma força F 
(constante) a um cabo inextensível e de massa 
desprezível enrolado ao carretel, faz-se com 
que este role sem deslizar sobre um plano 
horizontal, arrastando consigo a barra AB . A polia de centro D tem massa desprezível e o coeficiente de 
atrito entre as superfícies da barra AB e a do plano horizontal é µ . C é o ponto de contato do carretel 
com o plano horizontal. O momento de inércia do carretel em relação ao eixo Bz é dado: JJ Bz = . Pede-
se: 
(a) desenhar os diagramas de corpo livre do carretel e da barra; 
(b) determinar o momento de inércia do carretel em relação ao eixo Cz ; 
(c) expressar as acelerações do baricentro da barra e do baricentro do carretel em função da aceleração 
angular do carretel; 
(d) escrever as equações dos teoremas do movimento do baricentro (TMB) e do momento da quantidade 
de movimento (TMQM ou TQMA, se se utilizar a terminologia ‘Teorema da Quantidade de 
Movimento Angular) para o carretel e para a barra. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Os diagramas de corpo livre do carretel e da barra são apresentados nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 (1 ponto) 
 
 
 
 
 
O momento de inércia do carretel em relação ao eixo Cz é: 
 
22 MRJMRJJ BzCz +=+= (½ ponto) 
 
O sistema carretel+barra está sujeito aos seguintes vínculos cinemáticos: 
 
BG aa = (1) 
RaB ω&= (2) (½ ponto) 
 
As equações que governam o movimento do disco são: 
 
AH 
A 
B 
BH 
BV 
AV 
mg 
Ga 
G 
F
r
 
C 
B 
Mg 
BH 
BV 
CV 
CH 
ω&
r
 
Ba
r
 
α A C 
D 
F
r
 
R 
r 
L 
g
r
 
( )M ( )m 
B 
i
r
 
jr 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
PME 3100 – MECÂNICA 1 – Terceira Prova – 05 de julho de 2017 - Duração da Prova: 110 minutos 
(não é permitido o uso de celulares, tablets, calculadoras e dispositivos similares) 
 
BCB MaHHF =−− (3) 
0=−− MgVV BC (4) ( ) ( ) rHrRFMRJ B++−=+− ω&2 (5) (½ ponto) 
 
Notando que a força de atrito no contato barra/plano horizontal é 
 
AA VH µ= , (½ ponto) 
 
as equações que governam o movimento da barra, são: 
 
GAB maVH =− µ (6) 
0=−+ mgVV AB (7) 
( ) 0330
2
3
2
3
22
=−++⇒=+−−−= BABAAG VHV
RVRVRHRVM BB µµ (8) (½ ponto) 
 
As incógnitas do sistema de equações algébricas (1) a (8) são: 
 
ω&,,,,,,, BGCCBBA aaVHVHV 
 
Substituindo-se (1) e (2) nas equações (3) a (8) chega-se ao seguinte sistema determinado de equações 
lineares: 
 
( ) ( )




















+
−
=




















⋅




















+−
−−
+−
−
−
0
0
000331
000110
0001
0000
010010
01001
2
mg
rRF
Mg
F
V
H
V
V
H
mR
MRJr
Mr
C
C
A
B
B
ωµ
µ
&
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PME 3100 – MECÂNICA 1 – Terceira Prova – 05 de julho de 2017 - Duração da Prova: 110 minutos 
(não é permitido o uso de celulares, tablets, calculadoras e dispositivos similares) 
 
2ª Questão (3,5 pontos). Um disco de massa m , raio r e 
centro G , rola sem deslizar sobre um plano inclinado, 
sendo I o ponto de contato. O disco é tracionado por um 
cabo inextensível, de massa desprezível, ligado por meio 
de uma polia a um bloco de massa m . No instante 
inicial, o sistema está em repouso e 0=h . Sabendo que a 
polia de centro C tem massa desprezível, pede-se, para o 
instante ilustrado na figura: 
(a) a energia cinética do sistema; 
(b) a velocidade Bv e a aceleração Ba do bloco em função de h ; 
(c) a tração T no cabo e as componentes normal e tangencial da força de contato no disco. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para um instante arbitrário, a energia cinética do sistema é dada por: 
222222
2
22
2
1
4
3
2
1
22
1
2
1
2
1
BBBIz mvmrmvmr
mr
mvJT +=+








+=+= ωωω
 (1) 
Considerando que o disco rola sem escorregar e que o cabo é inextensível, os movimentos do bloco B e 
do baricentro G do disco estão vinculados por: 
 
BG vrv == ω (2) 
 
Substituindo-se (2) em (1), resulta: 
 
( ) 22222
4
5
2
1
4
3
ωωω mrrmmrT =+=
 (1 ponto) 
 
Para o sistema considerado, as únicas forças que realizam trabalho não nulo são o peso do bloco e a 
componente do peso do disco paralela ao plano inclinado. Assim, entre os instantes inicial e o indicado na 
firgura, o Teorema da Energia Cinética fornece: 
 
( )
r
gh
mghmghmrTtT
α
ωαω
sin15
5
2
sin
4
5)0()( 22 −=⇒−==−
 (3) (½ ponto) 
 
Derivando-se a expressão 
 
2
2 sin
5
4
r
ghgh α
ω
−
=
 
 
resulta: 
 
r
r
gh
r
g ωααωω 22
sin1
5
4sin1
5
42 −=−= &&
 
 
Logo, tem-se: 
h 
G 
C 
B 
α 
g
r
 
I 
 
 
 
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(não é permitido o uso de celulares, tablets, calculadoras e dispositivos similares) 
 
g
r





 −
=
α
ω
sin1
5
2
&
 (4) (½ ponto) 
 
Considerando o vínculo cinemático (2), a velocidade do bloco é dada por 
 
( ) ( ) jghjr
r
ghjrvB
rrrr
α
α
ω sin15
5
2sin15
5
2
−−=
−
−=−=
 (5) 
 
e a sua aceleração é dada por: 
 
( ) ( ) jgjrjr
dt
d
a B
rr
&
rr
αωω sin1
5
2
−−=−=−= (6) (½ ponto)
 
Na figura abaixo apresenta-se o diagrama de corpo livre do disco: 
 
 
 
 
 
 (½ ponto) 
 
 
 
 
Aplicando-se ao disco o Teorema do Momento da Quantidade de Movimento, tem-se: 
 
ωωω &&&
22
2
mrHrHmrrHJ Gz =⇒⋅=⇒⋅= (7) 
 
Substituindo-se (4) em (7), tem-se: 
 
( )mgH αsin1
5
1
−= (8) 
 
Aplicando-se o Teorema do Movimento do Baricentro ao disco, resulta: 
 
GG mamgHTmamgHT ++=⇒=−− αθ sinsin (9) 
 
Substituindo-se em (8) e (6) em (9), resulta: 
 
( )mgT αsin23
5
1
+= (10) (½ ponto) 
 
 
 
 
G 
I 
T 
mg 
N H 
Ga
r
 
ω& 
 
 
 
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PME 3100 – MECÂNICA 1 – Terceira Prova – 05 de julho de 2017 - Duração da Prova: 110 minutos 
(não é permitido o uso de celulares, tablets, calculadoras e dispositivos similares) 
 
3ª Questão (3,0 pontos). Um pequeno anel de massa 
m move-se sem atrito sobre um arame cuja forma é 
definida pela equação vetorial 
( ) ( ) jaiarOP rrr θθθ cos1sin −+−==−
 
No instante 0=t o anel parte com velocidade 
( ) ivv rr 00 = da posição mais elevadada curva, ou seja, 
( )ayax 2, == pi , correspondente a piθ = . Pede-se: 
(a) desenhar o diagrama de corpo livre do anel em uma posição genérica piθpi 2<< , indicando as 
componentes tangencial e normal da sua aceleração; 
(b) utilizando o diagrama de corpo livre do item (a) escrever as equações do movimento do anel 
projetadas nas direções normal e tangencial; 
(c) determinar a velocidade do anel no instante em instante em que se encontrar na posição correspondente a 
23piθ = . 
 
RESOLUÇÃO 
 
Na figura ao lado apresenta-se o diagrama de corpo livre do anel, para uma posição 
genérica piθpi 2<< . 
 
 
(1 ponto) 
 
As equações diferenciais do movimento do anel, projetadas nas direções tangente e normal à trajetória, 
para uma posição genérica piθpi 2<< indicada no diagrama anterior, são: 
 
• Direção τr : ( )( ) ( )( )tmatmg t θθα =cos 
 
( )( ) ( )( )tgtat θαθ cos=∴ (1) 
• Direção nr : ( )( ) ( )( ) ( )( )tmatNtmg n θθθα =−sin 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )( )tR
tv
mtmgtN
θ
θθαθ
2
sin −=∴
 (2) (1 ponto) 
onde os parâmetros geométricos ( )θα e ( )θR dependem tão somente da forma do arame ao qual o anel 
está vinculado, ou seja: 
( ) ( )
( )
( )
θ
θ
θ
θ
θτθα
d
rd
d
rd
jj r
r
rrr
⋅−=⋅−=cos
 e ( ) ( ) ( )
2
2
23
θ
θ
θ
θ
θθ
d
rd
d
rd
d
rd
R rr
r
∧
=
 
Aplicando-se o Teorema da Energia Cinética entre as posições piθ = e 23piθ = , tem-se: 
 
mgamvmgamvmgamv +=





−+=+ 2220 2
1
2
3
cos1
2
12
2
1 pi
 
gavv 220 +=⇒ (3) (1 ponto) 
iv
r
0 
x 
y 
api 
a2 
i
r
 
jr 
O 
g
r
 
m 
P 
mg 
N 
ta 
na 
α