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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 3100 – MECÂNICA I – RECUPERAÇÃO – 02 de fevereiro de 2016 Duração da Prova: 110 minutos • Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos, como calculadoras, "tablets" e celulares. • Após o início da distribuição do enunciado da prova, é proibido sair da sala antes das 08:30. • A partir do momento em que a prova for encerrada, não é permitido ao aluno escrever mais nada na folha de respostas, havendo possibilidade de anulação da respectiva prova se isto ocorrer. Questão 1 (3,0 pontos) A figura mostra o corte transversal de um reservatório no qual um líquido de densidade ρ é mantido. O nível do líquido é ajustado por meio de um mecanismo formado pelas placas homogêneas AB e BC, ambas de massa m e comprimento L, unidas por uma articulação ideal em B. Em A existe uma articulação ideal fixa ao reservatório. Em C há um rolete que pode deslizar sem atrito no interior da guia vertical. Na situação mostrada, o sistema é mantido em equilíbrio por meio da aplicação de uma força externa F (desconhecida). Considere que a largura (dimensão perpendicular ao plano da folha) é unitária e que θ = π/3 radianos. Nessas condições, pedem-se: (a) o módulo R, a direção e o sentido da resultante das forças de pressão do líquido sobre a placa AB, bem como a distância entre seu ponto de aplicação na seção transversal e o ponto B; (b) os diagramas de corpo livre das placas AB e BC; (c) em função dos parâmetros fornecidos e de R, obter as componentes das reações vinculares em A, em C e a força externa F. Questão 2 (3,5 pontos) Um rotor é formado por um eixo de comprimento 4L e por um cilindro de raio R e comprimento 2L. O rotor tem velocidade angular Rω constante em relação ao suporte. O suporte, por sua vez, tem velocidade angular Sω constante em relação a um referencial fixo. Usando o suporte como referencial móvel, e, para o instante correspondente à posição ilustrada na figura, em que ( ) OzCP //− , determine (use o sistema kjiO rrr solidário ao suporte): (a) O vetor rotação relativa relω r , o vetor rotação de arrastamento arrω r e o vetor rotação absoluta absω r do rotor. (b) O vetor aceleração angular absoluta absα r do rotor. (c) A aceleração relativa relPa , r , a aceleração de arrastamento arrPa , r e a aceleração de Coriolis CorPa , r do ponto P. (d) A relação entre Rω e Sω para que a velocidade absoluta absPv , r do ponto P seja mínima em módulo. Nessa condição, localize o eixo helicoidal instantâneo. Questão 3 (3,5 pontos) O sistema mostrado na figura é composto por uma barra vertical AB, de massa desprezível, articulada a uma barra BC, de massa m e comprimento L. A extremidade C da barra BC encontra-se inicialmente suportada por um fio ideal. O sistema está dentro de um elevador, que sobe com velocidade constante jVV r r = . Em um dado instante t0, o fio se rompe. Sabendo que em um instante posterior, t1 > t0, a barra terá vetor de rotação k r & r θω −= e formará um ângulo θ em relação à horizontal, pede-se: (a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1, (b) A aceleração angular αr da barra no instante t1, (c) O trabalho total das forças externas sobre a barra entre t0 e t1, em função de V , θ e θ& . eixo O k r fixo x y z Suporte LL2 L2 A L BRω Sω P C i r jr k r O GABARITO Questão 1 (3,0 pontos) A figura mostra o corte transversal de um reservatório no qual um líquido de densidade ρ é mantido. O nível do líquido é ajustado por meio de um mecanismo formado pelas placas homogêneas AB e BC, ambas de massa m e comprimento L, unidas por uma articulação ideal em B. Em A existe uma articulação ideal fixa ao reservatório. Em C há um rolete que pode deslizar sem atrito no interior da guia vertical. Na situação mostrada, o sistema é mantido em equilíbrio por meio da aplicação de uma força externa F (desconhecida). Considere que a largura (dimensão perpendicular ao plano da folha) é unitária e que θ = π/3 radianos. Nessas condições, pedem-se: (a) o módulo R, a direção e o sentido da resultante das forças de pressão do líquido sobre a placa AB, bem como a distância entre seu ponto de aplicação na seção transversal e o ponto B; (b) os diagramas de corpo livre das placas AB e BC; (c) em função dos parâmetros fornecidos e de R, obter as componentes das reações vinculares em A, em C e a força externa F. Solução: (a) Resultante das forças de pressão do líquido sobre a placa ⇒⋅ ⋅= 1sen 2 1 LgLR θρ 2 4 3 gLR ρ= (aplicada perpendicularmente à placa AB, a 3 2L de distância de B) (b) (c) Utilizando o DCL acima, escrevem-se as equações de equilíbrio para as duas placas: Placa AB 0sen0 =++−⇒=∑ θRHHF ABx 0cos0 =++−−⇒=∑ θRVmgVF ABy 0cos 23 cossen0 =+−⋅+⋅⇒=∑ θθθ mgLRLVLHLM BBA 0 2 3 =++−⇒ RHH AB (1) 0 2 1 =++−−⇒ RVmgV AB (2) 0 432 1 2 3 =+−+⇒ mgRVH BB (3) De (3) e (6) obtém-se: 36 23 RmgH B +− = e 3 RVB = , substituindo: Em (4): ⇒ 36 23 RmgHC +− = Placa BC 00 =−⇒=∑ CBx HHF 00 =−−⇒=∑ FmgVF By 0sencoscos 2 0 =⋅+⋅−⇒=∑ BBC HLVL mgLM θθθ CB HH =⇒ (4) 0=−−⇒ FmgVB (5) 0 2 3 2 1 4 =+−⇒ BB HV mg (6) Em (2): ⇒=++−−⇒ 0 23 RVmgR A 6 R mgVA −= Em (5): ⇒=−−⇒ 0 3 FmgR 3 R mgF +−= Em (1): ⇒=++−⇒ 0 2 3 36 23 RHRmg A 36 73 RmgH A −− = F CH mg mg R BV BV BH BH AH AV 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 Questão 2 (3,5 pontos) Um rotor é formado por um eixo de comprimento 4L e por um cilindro de raio R e comprimento 2L. O rotor tem velocidade angular Rω constante em relação ao suporte. O suporte, por sua vez, tem velocidade angular Sω constante em relação a um referencial fixo. Usando o suporte como referencial móvel, e, para o instante correspondente à posição ilustrada na figura, em que ( ) OzCP //− , determine (use o sistema kjiO rrr solidário ao suporte): (a) O vetor rotação relativa relω r , o vetor rotação de arrastamento arrω r e o vetor rotação absoluta absω r do rotor. (b) O vetor aceleração angular absoluta absα r do rotor. (c) A aceleração relativa relPa , r , a aceleração de arrastamento arrPa , r e a aceleração de Coriolis CorPa , r do ponto P. (d) A relação entre Rω e Sω para que a velocidade absoluta absPv , r do ponto P seja mínima em módulo. Nessa condição, localize o eixo helicoidal instantâneo. Solução a) iRrel rr ωω = kSarr rr ωω = ⇒+= arrrelabs ωωω rrr ki SRabs rrr ωωω += b) ⇒∧++=∧++= ik RSrelarrarrrelabs rrrrrrrrr ωωωωααα 00 jRSabs rr ωωα = c) ( ) ( )[ ] ( )⇒∧∧++=−∧∧+−∧+= kRiiCPCPaa RRrelrelrelrelCrelP rrrrrrrrrr ωωωωα 00,, kRa RrelP rr 2, ω−= ( ) ( )[ ] ( )[ ] ⇒+∧∧++=−∧∧+−∧+= kRiLkkOPOPaa SSarrarrarrarrOarrP rrrrrrrrrrr ωωωωα 00,, iLa SarrP rr 2, ω−= ( )⇒−∧=∧= jRkva RSrelParrCorP rrrrr ωωω 22 ,, iRa RSCorP rr ωω2, = d) ( ) ( ) ( ) ( ) jRLvjRjLkRiLkiOPvv RSabsPRSSRabsOabsP rrrrrrrrrrrr ωωωωωωω −=⇒−=+∧++=−∧+= ,, 0 RLv RSabsP ωω −=⇒ , r , que pode ser anulado, resultando em 0 ,, rr =mínabsPv . ⇒=− 0RL RS ωω L R R S = ω ω Como 0 ,, rr =mínabsPv nessa condição, o ponto P pertence ao eixo helicoidal instantâneo. Como 0 rr =Ov , o eixo helicoidal instantâneo é a reta que contem o segmento PO , ou seja, ( )kRiLOE rr +=− λ eixo O k r fixo x y z Suporte LL2 L2A L BRω Sω P C i r jr k r O 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Questão 3 (3,5 pontos) O sistema mostrado na figura é composto por uma barra vertical AB, de massa desprezível, articulada a uma barra BC, de massa m e comprimento L. A extremidade C da barra BC encontra-se inicialmente suportada por um fio ideal. O sistema está dentro de um elevador, que sobe com velocidade constante jVV r r = . Em um dado instante t0, o fio se rompe. Sabendo que em um instante posterior, t1 > t0, a barra terá vetor de rotação k r & r θω −= e formará um ângulo θ em relação à horizontal, pede-se: (a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1, (b) A aceleração angular αr da barra no instante t1, (c) O trabalho total das forças externas sobre a barra entre t0 e t1, em função de V , θ e θ& . Solução: (a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1: (b) Teorema da quantidade de movimento angular, polo B [ ]{ }( ) ( ) BBB MaBGmIdt d rr =∧−+ω , em que 0 rr =Ba ⇒ Bz MkJ B rr =α ⇒ θα cos 23 2 L mgmL −= ⇒ θα cos 2 3 L g −= ⇒ k L g rr θα cos 2 3 −= (c) 01 EEW −= 2 2 0 mVE = Tomando-se o centro de massa G, ( )BGVV BG −∧+= ωrrr ⇒ −∧−= jsenLiLkjVVG rrr & rr θθθ 2 cos 2 ⇒ jLVisenLVG r & r & r −+−= θθθθ cos 22 { } [ ]{ }ωω GtG ImVE 2 1 2 2 1 += ⇒ 2 2 2 2 222 2 2 1 122 1 cos 4 cos 42 θθθθθθθ &&&& mLLLVVsenLmE + +−+= ⇒ 2 22 1 62 cos 2 θθθ & & mLLmVmVE +−= ⇒ 2 cos 6 2 2 θθθ LmVmLW & & −= mg BX BY0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5
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