Atividade 02 Gabarito Livro Calculo II unopar

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(Adaptado de STEWART, 2014, p.375) Uma empresa de tecnologia produz, 
dentre outros itens, calculadoras de diversos tipos, como as científicas e as 
gráficas, empregadas nas mais variadas atividades. Esta empresa, após 
diversas pesquisas, preparou uma linha de montagem para fabricar um novo 
modelo de calculadora gráfica. Sabe-se que a taxa de produção dessas 
calculadoras, após t semanas, é dada por 
𝑟(𝑡) = 5000 (1 −
100
(𝑡 + 10)2
) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠/𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo. 
No entanto, a produção inicial é baixa devido aos trabalhadores ainda não 
estarem familiarizados com as novas técnicas de produção. 
Com base nestas informações, qual a quantidade de calculadoras produzidas no 
período compreendido entre o começo da quarta semana até o fim da quinta 
semana? 
 
Fonte: STEWART, J. Cálculo – volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
 
Conforme o enunciado deste problema, a empresa está fabricando um novo 
modelo de calculadora e a taxa de produção deste produto é caracterizada por 
𝑟(𝑡) = 5000 (1 −
100
(𝑡 + 10)2
) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠/𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 
Por se tratar da taxa de produção, esta função indica a variação da produção 
durante as semanas. Como o nosso objetivo é calcular a quantidade de 
calculadoras produzidas ao longo de um certo período, podemos aplicar a 
integração no cálculo desta quantidade. 
Queremos determinar a quantidade de calculadoras produzidas no período 
compreendido entre o começo da quarta semana até o fim da quinta semana, ou 
seja, entre 𝑡 = 4 e 𝑡 = 5. Logo, este total será dado por: 
𝑇 = ∫ 𝑟(𝑡)
5
4
𝑑𝑡 
Pela propriedade distributiva segue que 
𝑟(𝑡) = 5000 (1 −
100
(𝑡 + 10)2
) = 5000 −
500000
(𝑡 + 10)2
 
Logo, 
𝑇 = ∫ 𝑟(𝑡)
5
4
𝑑𝑡 = ∫ [5000 −
500000
(𝑡 + 10)2
]
5
4
𝑑𝑡 = ∫ 5000
5
4
𝑑𝑡 − ∫
500000
(𝑡 + 10)2
5
4
𝑑𝑡
= 5000 ∫ 𝑑𝑡
5
4
− 500000 ∫
1
(𝑡 + 10)2
5
4
𝑑𝑡 (𝐴) 
Da expressão (𝐴) temos que a primeira integral é imediata, já que 
∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 
Porém, para o cálculo da segunda integral de (𝐴) precisaremos considerar a 
técnica da substituição. Ao considerar 𝑢 = 𝑡 + 10 teremos que 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡. Logo, 
∫
1
(𝑡 + 10)2
𝑑𝑡 = ∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = [
𝑢−1
−1
] + 𝐾 = −
1
𝑡 + 10
+ 𝐾 
Assim, de (𝐴) segue que 
𝑇 = 5000[𝑡]4
5 − 500000 [−
1
𝑡 + 10
]
4
5
𝑑𝑡 = 5000 + 500000 (−
1
210
) =
55000
21
≈ 2619.05 
Portanto, entre o começo da quarta semana até o fim da quinta semana foram 
produzidas 2619 calculadoras.