Relatório Pêndulo Físico UFBA

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Física 
Departamento de Física Geral 
FIS 122 – Física Geral e Experimental II-E / Laboratório 
Turma Teórica/Prática: T06/P12 
 
 
 
 
 
 
Pêndulo Físico 
 
 
 
 
 
 
 
Moema Daniele 
Isabelly Ribeiro 
 
2017 
Introdução 
Esse relatório tem como objetivo analisar o comportamento de um pêndulo 
físico, no qual o objeto oscilatório utilizado foi uma barra de alumínio de comprimento 
l = (40,0 ± 0,05) cm, com a finalidade de obter a relação entre o período (T) e a distância 
(s) do eixo de oscilação ao centro de massa. Estas grandezas foram medidas e 
estruturadas através de gráficos que permitiram analisar o comportamento dinâmico de 
um corpo suspenso, onde o período é mínimo. 
Quando um sistema em situação de equilíbrio estável é afastado levemente dessa 
posição e liberado, executa-se um movimento periódico ou oscilatório em torno da 
posição de equilíbrio. A esse movimento onde não existem forças dissipativas, ou seja, 
uma espécie de energia não é transformada em outra, dá-se o nome de Movimento 
Harmônico Simples (MHS). 
O pêndulo físico constitui-se de um corpo rígido qualquer de massa m, onde esse 
é posto a oscilar em um plano vertical e suspenso por um eixo horizontal, em redor do 
qual o corpo pode girar. 
Podemos demonstrar o período do pêndulo físico para menores amplitudes 
como: 𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑠
 , onde: 
- I é a inércia do corpo que está oscilando 
- g é a gravidade local 
- m é a sua massa 
- s é a distância entre o eixo de oscilação e o centro de massa do objeto. 
Procedimento Experimental 
 Material Utilizado 
 Haste com furos 
 Raio de roda de bicicleta 
 Cronômetro 
 Régua 
 Garras 
 
 Procedimento 
Foi utilizada uma haste de acrílico com furos, cujo objetivo era variar a distância 
do eixo de oscilação ao centro de massa da haste. Utilizou-se também o raio da roda de 
bicicleta como eixo de oscilação do sistema. 
Com o objetivo de reduzir os erros de medida, coletou-se o período (T) para 10 
oscilações, tomando a média para a realização dos cálculos. Para cada medida, registrou-
se a distância (s) do furo que contém o eixo de oscilação até o centro de massa da haste. 
Tendo registrado o período para cada oscilação e a distância até o centro de 
massa da haste, calculou-se o valor da frequência da oscilação através de ƒ =
1
𝑇
 . 
Tratamento de Dados 
A tabela 1 abaixo contém as medidas coletadas durante o experimento. 
Tabela 1 Dados do experimento 
L (cm) = 40,0 ±0,05 m (g) = 127,8 ±0,1 𝐼𝑐𝑚 (g.cm²) = 17.040 
s (cm) ƒ (Hz) T (s) 
19,0 0,935 1,07 
17,0 0,943 1,06 
15,0 1,000 1,00 
13,0 1,030 0,97 
11,0 1,020 0,98 
9,0 1,020 0,98 
7,0 0,960 1,04 
5,0 0,860 1,16 
3,0 0,690 1,44 
2,0 0,620 1,61 
1,0 0,610 1,65 
 
Na primeira parte do tratamento de dados, construiu-se o gráfico do período T 
em função da distância s. 
 
Foi observado que o gráfico tem um valor mínimo e que ele cresce quando s→ 0 
e s→ 𝐿/2. 
Na segunda parte do experimento, traçou-se, em escala logarítmica, os dados 
para os quatro menores valores de s, que corresponde, aproximadamente, ao limite em 
que s→ 0. 
 
Como foi utilizado os 4 menores valores de s, a expressão 
𝑇2
4𝜋2
=
𝐿2
12𝑔𝑠
+
𝑠
𝑔
 se 
reduz a 
𝑇2
4𝜋2
=
𝐿2
12𝑔𝑠
 . Arrumando a equação, tem-se 𝑇 =
2𝜋𝐿
√12𝑔
 𝑠
−1
2⁄ . 
Linearizando: 𝑙𝑜𝑔(𝑇) = b − 
1
2
log(𝑠) 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 5 10 15 20
P
er
ío
d
o
 (
s)
Distância (cm)
Distância(cm) x Período(s)
5; 1,16
3; 1,44
2; 1,611; 1,65
1
10
1 10
P
er
ío
d
o
 (
s)
Distância (cm)
Distância (cm) x Período (s)
Onde 𝑏 = log (
2𝜋𝐿
√12𝑔
) = 𝑙𝑜𝑔 (
2𝜋40
√12𝑥978,33
) = 0,365. 
Ou seja, espera-se para esta relação uma dependência em uma lei de potência, 
com um coeficiente linear próximo a 0,365 e um coeficiente angular próximo a -0,5. 
Utilizando o método dos mínimos quadrados, obteve-se: 
a = 
nƩxiyi – ƩxiƩyi 
nƩ(xi²) – (Ʃxi)²
 b = Ʃ(xi
2)Ʃyi – ƩxiyiƩxi 
nƩ(xi²) – (Ʃxi)²
 
a = 
0,732−0,956
3,227−2,182
 ≅ −0,22 b = 
0,522−0,270
3,227−2,182
 ≅ 0,24 
Dessa forma, a equação pode ser escrita como 𝑇 =
100,24
𝑠0,22
 . 
Comparando o valor esperado com o valor obtido através da discrepância 
relativa, obtêm-se: 
∆𝑎= |
−0,22−(−0,5)
(−0,5)
| 𝑥 100% = 56% ∆𝑏= |
0,24−0,365
0,365
| 𝑥 100% ≅ 34,25% 
O erro aceitável deve estar em torno de 10%, isso mostra que possíveis erros 
experimentais podem ter interferido na coleta de dados. 
Na terceira parte do tratamento de dados, construiu-se o gráfico do valor de 
𝑇²𝑠
4𝜋²
 em função de 𝑠2. 
 
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250 300 350 400
T²
s
s²
s² (cm²) x T²s (s².cm) 
Multiplicando a expressão 
𝑇2
4𝜋2
=
𝐿2
12𝑔𝑠
+
𝑠
𝑔
 por s, obtém-se: 
𝑇2𝑠
4𝜋²
=
𝐿²
12𝑔
+
𝑠²
𝑔
 . 
Arrumando essa expressão, obtém-se : 𝑇2𝑠 =
𝜋²𝐿²
3𝑔
+
4𝜋²
𝑔
𝑠2 que já se encontra 
linearizada. O coeficiente angular é 𝑐 =
4𝜋²
𝑔
 e o coeficiente linear é 𝑑 =
𝜋²𝐿²
3𝑔
. 
𝑐 =
4𝜋²
𝑔
=
4𝜋²
978,33
= 0,040 𝑑 =
𝜋²𝐿²
3𝑔
=
𝜋²40²
3𝑥978,33
= 5,380 
Ou seja, espera-se uma relação linear entre as grandezas período e distância, com 
um coeficiente angular c próximo a 0,040 e um coeficiente linear d próximo a 5,380. 
Utilizando o método dos mínimos quadrados, obteve-se: 
𝑐 =
235535,66−154371,41
3490894−1779556
≅ 0,047 𝑑 = 36724427,03−28564051,56
3490894−1779556
≅ 4,768 
Assim, chega-se à 𝑇2𝑠 = 0,047𝑠2 + 4,768. (1) 
Comparando o valor esperado com o valor obtido através da discrepância 
relativa, obtêm-se: 
∆𝑐= |
0,047−0,040
0,040
| 𝑥 100% = 17,5% ∆𝑑= |
4,768−5,380
5,380
| 𝑥 100% ≅ 11,38% 
Possíveis erros na coleta dos dados podem ter causado essa variação em torno 
do que se esperava. 
Para determinar a dependência existente entre o momento de inércia do pêndulo 
físico e a distância do eixo até o centro de massa, utiliza-se a relação: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
2𝜋
√
𝑚𝑔𝑠
𝐼
= 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑠
 , arrumando essa equação, têm-se: 
𝐼 =
𝑇²𝑠𝑚𝑔
4𝜋²
 (2) 
Substituindo a equação (1) em (2), têm-se: 𝐼𝑒 = 
(0,047𝑠2+4,768)𝑚𝑔
4𝜋²
 
Utilizando o teorema do Eixo paralelo que é dado por 𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑠² e, como 
𝐼𝑐𝑚 =
𝑚𝑙²
12
, têm-se 𝐼𝑡 =
𝑚(𝑙2+12𝑠²)
12
. 
Tomando s=19cm, l=40 cm, m=127,8g e g=978,33 cm/s, têm-se: 
𝐼𝑡 =
127,8(40²+12𝑥19²)
12
= 63175,8 (g.cm²) 
 𝐼𝑒 = 
(0,047𝑥192+4,768)127,8𝑥978,33
4𝜋²
=68836,08 (g.cm²) 
Calculando a discrepância relativa: 
∆𝐼= |
68836,08−63175,8
63175,8
| 𝑥 100% = 8,96% 
Como a discrepância é menor que 10%, entende-se que o pêndulo obedece ao 
Teorema dos eixos paralelos. 
O raio de giração K é a distância do eixo a um ponto em que seu momento de 
inércia com relação ao eixo é igual ao do corpo que constitui o pêndulo físico. Fazendo 
as substituições, encontra-se: 
𝐾 = √
𝐼
𝑚
= √
(0,047𝑥𝑠2+4,768)𝑔
4𝜋2
= √
(0,047𝑥192+4,768)978,33
4𝜋2
 
Conclusão 
Através da análise feita, tornou-se possível determinar a relação existente entre 
o período e a distância do eixo de oscilação até o centro de massa do pêndulo físico. Foi 
verificado que o valor de s que determina significativamente o valordesse período. Os 
valores encontrados para o momento de inércia do pêndulo mostram a efetividade do 
modelo físico. Podemos dizer que a diferença entre os valores experimentais e teóricos 
são consequências de algumas aproximações que foram feitas durante a resolução 
algébrica e, também, alguns erros experimentais que podem ter ocorrido durante a coleta 
de dados. Assim, temos uma confirmação experimental do modelo físico. 
Referências 
Halliday, D.; Resnick, R.; Walker,J, “Fundamentos de Física, vol 2” , LTC, 2009. 
Nussenzveig, Herch Moyses, “Curso de Física Básica, vol 2”, Edgard Blucher, 2002.