Experimento Pêndulo Físico - corrigido - Tiago Paes

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Universidade Federal da Bahia
FISD41- P03
Docente: Tiago Paes
Discentes: Lucas Matheus, Marília Alves, Sofia Sacramento, Vinícius França e
Yasmin Souza
Experimento Pêndulo Físico
RESUMO
Neste experimento uma régua com 11 furos foi utilizada para simular um pêndulo físico, de
modo que foi possível observar os fenômenos associados. Esta foi posta a uma distância de
aproximadamente 25º do eixo vertical imaginário que passa pelo centro da régua, sendo esta a
posição de equilíbrio. Utilizou-se os 11 furos nos quais foram medidos o período de 6 oscilações. A
partir das distâncias entre os furos e o centro de gravidade (ou de massa) e os seus períodos
correspondentes foi elaborado o presente relatório, com o objetivo de observar as relações existentes
entre algumas das grandezas envolvidas.
O pêndulo físico é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório, o
seu comportamento. Em todo experimento, considera-se que está a se trabalhar com pequenas
oscilações, pode ser descrito como um corpo rígido suspenso em um ponto ( P) movimento
oscilatório num plano vertical, em torno de um eixo horizontal passando por P.
O objetivo desta simulação é estudar o comportamento do pêndulo físico e determinar a
dependência entre o movimento de oscilação e o seu eixo de rotação, para isso foi utilizado
uma régua de plástico com orifícios em distâncias diferentes do centro de massa.Comprovou-se
também o valor da gravidade com sua respectiva incerteza, em seguida comparou o dado fornecido
e determinou-se o erro experimental, adotando uma margem de segurança do erro de 10%
para mais o u para menos.
A fim de um valor mais próximo do real as medidas foram realizadas mais de uma vez,
admitindo os cálculos para o desvio padrão, a incerteza instrumental dos equipamentos
utilizados, a incerteza combinada e a propagação de incertezas. Ao término do experimento
foi calculado o valor da gravidade e sua respectiva incerteza.
Palavras-Chaves: Pêndulo Físico, MMQ, Período, Comprimento, Gravidade
1.1
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A realização do experimento pode ser vista no vídeo abaixo:
https://drive.google.com/drive/folders/1qFLP5jkj8NjDFKA4b6tKALGhlNEmuNdq
Massa da Régua: 28,6 g
L : 310 mm
Furos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distância
s CM
(mm) 140 121 110 91 81 70 61 51 40 30 11
Período
10
oscilaçõe
s (s) 10,16 9,29 9,14 8,94 9,02 9,07 9,29 9,56 10,26 11,04
10,20
(6)*
Período
(s) 1,016 0,929
0,91
4 0,894 0,902 0,907 0,929 0,956 1,026 1,104 1,7
*A distância 11 foi usado 6 oscilações, logo seu período dividido por 6.
Tabela 1. Dados do experimento com pêndulo físico
2.1
1)
Gráfico 1. Período (s) x Distância ao centro de massa (mm).
A partir da análise do gráfico 1, é possível perceber que quando s → 0, a
função cresce infinitamente. Assim como quando s → L/2, que no caso está
representado pelo último ponto no gráfico, quando s = 140 mm, tendendo a 155
mm, que é a metade do comprimento da régua.
2)
Gráfico 2. Período (s) x Distância ao centro de massa (mm).
Escolhendo dois pontos (X,Y), dos furos 8 e 11, sendo os pontos 8 (X1,Y1) =
(51, 0,929) e 11 (X2,Y2) = (11, 1,7), sendo estes pontos pertencentes ao gráfico 2.
= = =α 𝐷𝑌𝐷𝑋
𝑙𝑜𝑔(1,7) − 𝑙𝑜𝑔(0,929)
𝑙𝑜𝑔(11)−𝑙𝑜𝑔(51)
0,230− (−0,319)
1,04−1,70 = − 0, 396
𝐿𝑜𝑔 𝑦 = α 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 𝐿𝑜𝑔 𝑏
𝐿𝑜𝑔𝑏 = 𝐿𝑜𝑔 𝑦 − α 𝑙𝑜𝑔𝑥
𝐿𝑜𝑔𝑏 = 𝐿𝑜𝑔(1, 7) − (− 0, 396 𝐿𝑜𝑔(11))
0,412𝐿𝑜𝑔𝑏 = 0, 230 + 
𝐿𝑜𝑔 𝑏 = 0, 642 
𝑏 = 10
0,642
= 4, 39
4.1
Logo, 𝑌 = 4, 39 𝑠
−0,396
 → 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 = 𝑏𝑥
𝑎
Conclui-se que a relação entre T e s é uma função de potência com expoente
negativo.
3)
Ponto
s
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
𝑇2.𝑠
4π²
(s².mm
)
3,65
1
2,64
8
2,39
9
1,84
4
1,67
1
1,46
0
1,33
5
1,18
2
1,06
8
0,92
7
0,80
6
𝑆²
(mm²)
1960
0
1464
1
1210
0
8281 656
1
4900 372
1
2601 160
0
900 121
Tabela 2. pontos para o gráfico em função de .𝑇
2.𝑠
4π² 𝑠²
Gráfico 3. ( s².mm) x (mm²).𝑇
2.𝑠
4π² 𝑠²
4)
Em todo experimento, considera-se que está trabalhando com pequenas oscilações.
Logo, sendo: θ <<< 1 rad senθ θ≃
Utilizando a segunda lei de Newton na forma angular temos que: +σ
2θ
σ𝑥2
𝑚𝑔 𝑆
𝐼 θ
= 0
Sendo a frequência angular ( então definida por: =ω), ω 𝑚𝑔 𝑆𝐼
E o período (T) também pode ser definido, como: T = = 2 (I)2πω π
𝐼
𝑚𝑔 𝑆
O momento de inércia (I) varia para cada S observado. Obtemos portanto seu
valor através do Teorema dos Eixos Paralelos: I= Icm + m𝑆2
O Icm da régua utilizada é dado por: Icm = 𝑚 𝐿
2
12
Portanto, na equação (I) o período é dado por:
T(s) = 2 = 2 = 2 (II)π
 𝑚 𝐿
2
12 + 𝑚 𝑆
2 
𝑚 𝑔 𝑆 π
𝐿2
12 + 𝑆
2
𝑔 𝑆 π 
𝐿2
12 𝑔 𝑆 +
𝑆
𝑔
Dividindo T por 2 e elevando os dois lados da igualdade ao quadrado,π
obtemos:
= +𝑇
2
4π2
𝐿2
12 𝑔 𝑆
𝑆
𝑔
Multiplicando cada termo por S:
= + (III)𝑇
2𝑆
4π2
𝐿2
12𝑔
𝑆2
𝑔
A = = 0,0001373
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
− 𝑛 ∑𝑖 𝑋𝑖
 
𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
2
− 𝑛 ∑𝑋𝑖2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
B = = 0,7912829
∑𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖
 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
− 𝑛 ∑𝑖 𝑋𝑖
 
2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
2
− 𝑛 ∑𝑋𝑖2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
a) Para achar a dependência do momento de inércia usaremos a equação (I):
T =2π 𝐼𝑚𝑔 𝑆
elevando a equação ao quadrado T² = 4π𝐼𝑚𝑔 𝑆
=𝑇²𝑆4 π²
𝐼
𝑚𝑔 
Substituiremos os valores na equação = a s² + b𝑇²𝑆4 π²
I = mg(A s² + B)
I = mg(0,0001373s² + 0,791289)
Essa equação relaciona o momento de inércia do pêndulo físico com a
distância s.
b) O teorema dos eixos paralelos é dado por I= Icm + m , podemos reescrever𝑆2
essa equação substituindo o Icm = 𝑚𝐿²12
I= + 12m𝑚𝐿²12 𝑆
2
I = 𝑚(𝐿²+12𝑠²)12
Agora devemos achar o momento de inércia teórico (It) e comparar com o
momento de inércia experimental (Ie) para um s qualquer.
m =28,6g
L = 310mm
S= 0,907mm
It = = 229.064,2735 28,6(310²+12 𝑥 0,907²)12
Ie = mg(0,0001373s² + 0,791289)
Ie = 28,6 x 9783,3 (0,0001373s² + 0,791289)
Ie = 221.720,5814
Erro relativo da inércia
8.1
8.2
ΔI = = 0,033121382 = 3,312% 229.064,2735 − 221.720,5814221.720,5814
c) A partir da equação (II) e utilizando os dados medidos foi elaborado o gráfico
de T versus S, mostrando a dependência que as duas grandezas têm entre si,na
medida que ambas variam. Por meio da equação (III), foi elaborado o gráfico de
versus S², a fim de que fosse possível observar a dependência que as duas
𝑇2𝑆
4π2
grandezas têm entre si, na medida que ambas variam, linearizando pelo Método dos
Mínimos Quadrados (MMQ), a fim de se encontrar a melhor reta.
A = = 0,0001373
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
− 𝑛 ∑𝑖 𝑋𝑖
 
𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
2
− 𝑛 ∑𝑋𝑖2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
B = = 0,7912829
∑𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖
 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
− 𝑛 ∑𝑖 𝑋𝑖
 
2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑌𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
∑𝑖 𝑋𝑖⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
2
− 𝑛 ∑𝑋𝑖2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
Utilizando a equação (III) é possível concluir que B = e A = .𝐿
2
12𝑔
1
𝑔
Relacionando estas equações com os resultados obtidos por MMQ de A e B,
calculou-se o valor experimental do comprimento da régua (L) e da gravidade (g),
além de suas discrepâncias em relação ao valor aferido de L=310 mm e g = 9783,3
mm/ .𝑠2
A = → g = → → g = 7283,32 mm/1𝑔
1
𝐴
1
0,0001373 𝑠
2
B = → L= → L= 262,97 mm𝐿
2
12 𝑔 12 𝑔𝐵
Dada a equação da discrepância ( :∆)
= x 100∆ 𝑋𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙− 𝑋𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜𝑋𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
|| ||
Foi possível definir a discrepância da aceleração da gravidade (g):
9.1
x 100∆ = 7283,32 − 9783,309783,30
|| ||
= 25,53 %∆
E do comprimento da régua (L):
x 100∆ = 310 − 262,97310
|| ||
= 15,17%∆
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Por meio deste experimento é possível notar nitidamente a dependência do
período em relação ao momento de inércia, que se modifica ao mudarmos a
distância do eixo de rotação até o centro de massa, sendo coerente com a fórmula
do período. Alguns problemas registrados nos valores obtidos, possivelmente estão
associados à faltade precisão dos equipamentos e erros operacionais,
configurando-se como erros sistemáticos.
Observou-se também que para deslocamentos angulares pequenos é
possível uma aproximação do ao seno e que a massa do pêndulo não interfereθ θ
no movimento oscilatório Concluiu-se que é possível calcular a gravidade local
utilizando um pêndulo físico, através da equação e com os resultados do𝑇 2
experimento, que foram apresentados na tabela 1, foi possível encontrar o valor da
gravidade (g = 7283,32 mm/ , o parâmetro gravitacional da constante adotado foi de𝑠2)
g= 9,78mm/ , e desta maneira o resultado apresentou um erro experimental de = 25,53𝑠2 ∆
%, maior que a tolerância de 10%, contudo dentro do esperado levando em consideração a
forma que o pêndulo foi construído.
REFERÊNCIAS
APOSTILA MMQ FIS122 do IF UFBA. - Dep. de Física - IF/UFBA.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jaerl Fundamentos de física volume I:
mecânica. Tradução e revisão técnica Ronaldo Sergio de Biasi, ed. Rio de Janeiro: LTC,
2008
Nussenzveig, Herch Moysès. Curso de Física Básica – vol.1. São Paulo: Bçucher, 2002. 4ª
ed. ISBN 978-85-212-0298-1.
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Índice de comentários
1.1 achei melhor a apresentação na seguinte ordem
2.1 melhor apresentar e discutir as imagens do procedimento experimental no próprio relatório.
4.1 pq não utilizou o mmq? Assim, outros valores são desconsiderados 
8.1 I=mgb+mgas²
I=mb/a+ms²
8.2 e para outro valor? provavelmente o desvio seria maior ou menor
9.1 valores distantes
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