Geometria analitica capitulo 3

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Geometria Analítica 
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20
 
CAPÍTULO 3 
Produto de vetores e suas aplicações 
 
 
 
1 - Projeção de um Vetor sobre outro 
 
Dados 2 vetores w
�
, v
�
 e sendo u
�
o versor do vetor v
�
, isto é: u
�
 = 
v
v
�
�
, o vetor projeção de 
w
�
 sobre v
�
 é o vetor: 
 
 
 
2 - Produto Vetorial 
 
Dados 2 vetores u
�
e v
�
 do 3ℝ , o produto vetorial de u
�
por v
�
 (indica-se por u
�
x v
�
) é um 
vetor que possui as seguintes características: 
 
 a) direção de u
�
x v
�
: perpendicular ao plano definido por u
�
e v
�
 
 
 b) sentido de u
�
x v
�
: dado pela regra da mão direita 
 
 c) módulo de u
�
x v
�
: | u
�
x v
�
| = u 
�
 ⋅ v 
�
 ⋅ senθ, onde θ é o ângulo entre u� e v� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
�
 = (w
�
⋅u
� ). u� 
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Para os vetores unitários dos eixos coordenados: i
�
, j
�
 e k
�
, temos: 
 | i
�
x i
�
| = | i
�
|⋅| i
�
|⋅ sen 0º = 1 ⋅ 1⋅ 0 = 0, de modo que i
�
x i
�
= 0
�
 
 | j
�
x j
�
| = | j
�
|⋅| j
�
|⋅ sen 0º = 1 ⋅ 1⋅ 0 = 0, de modo que j
�
x j
�
= 0
�
 
 |k
�
xk
�
| = |k
�
|⋅|k
�
|⋅ sen 0º = 1 ⋅ 1⋅ 0 = 0, de modo que k
�
xk
�
= 0
�
 
 | i
�
x j
�
| = | i
�
|⋅| j
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que i
�
x j
�
= k
�
 
 | i
�
x k
�
| = | i
�
|⋅|k
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que i
�
xk
�
= − j
�
 
 | j
�
x i
�
| = | j
�
|⋅| i
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que j
�
x i
�
= −k
�
 
 | j
�
xk
�
| = | j
�
|⋅|k
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que j
�
xk
�
= i
�
 
 |k
�
x i
�
| = |k
�
|⋅| i
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que k
�
x i
�
= j
�
 
 |k
�
x j
�
| = |k
�
|⋅| j
�
|⋅ sen 90º = 1 ⋅ 1⋅ 1 = 1, de modo que k
�
x j
�
= − i
�
 
 
 
2.1 - Expressão Analítica do Produto Vetorial 
 
Dados 2 vetores u
�
= (u1, u2, u3) e v
�
 = (v1, v2, v3) do 
3
ℝ a expressão analítica do produto 
vetorial de u
�
por v
�
 é: 
 u
�
x v
�
 = 
321
321
vvv
uuu
k j i 
���
 
 
O produto vetorial não é comutativo: u
�
x v
�
 ≠ v
�
 x u
�
 (A rigor : u
�
x v
�
 = − v
�
 x u
�
) 
 
2.2 - Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial 
 
a) Área do Paralelogramo em que 2 lados adjacentes são os vetores u
�
e v
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S = u 
�
 h e h = v 
�
 . senθ 
 Portanto S = u 
�
 . v 
�
 . senθ, ou seja, S = | u� x v� | 
 
 
 
 
 
 
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b) Área do Triângulo em que 2 de seus lados são os vetores u
�
e v
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = 
2
1 u 
�
 h e h = v 
�
 .sen θ 
 Portanto S = 
2
1 u 
�
 . v 
�
 .sen θ, ou seja, S = 
2
1 | u
�
x v
�
| 
 
 
3 - Produto Misto 
 
Dados 3 vetores u
�
, v
�
 e w
�
 do 3ℝ , o produto misto entre u
�
, v
�
 e w
�
 (indica-se por 
[u
�
, v
�
,w
�
]) é um número real dado por : u
�
⋅ ( v
�
x w
�
) 
Assim: 
 
 [u
�
, v
�
, w
�
] = u
�
⋅ ( v
�
x w
�
) 
 
 
O valor do produto misto de 3 vetores não se altera quando submetemos os vetores a uma 
permutação circular (figura abaixo). Assim: 
 
 
[u
�
, v
�
,w
�
] = [ v
�
,w
�
,u
�
] = [w
�
,u
�
, v
�
] . 
 
 
 
 
 
 
3.1 - Expressão Analítica do Produto Misto 
 
Dados 3 vetores u
�
= (u1, u2, u3) , v
�
 = (v1, v2, v3) e w
�
 = (w1, w2, w3) do 
3
ℝ , a expressão 
analítica do produto misto entre u
�
, v
�
 e w
�
 é: 
 
 [u
�
, v
�
, w
�
] = 
321
321
321
www
vvv
uuu
 
 
 
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3.2 - Condição para Coplanaridade de 3 Vetores do R3 
 
Consideremos 3 vetores coplanares u
�
, v
�
 e w
�
 do 3ℝ . Como v
�
x w
�
 é perpendicular ao 
plano que contém v
�
 e w
�
, necessariamente v
�
x w
�
 também é perpendicular a u
�
 (pois u
�
 é um vetor 
do plano). Portanto: 
 
u
�
⋅ ( v
�
x w
�
) = 0. 
 
Assim 3 vetores do 3ℝ são coplanares , se e somente se o seu produto misto for nulo. 
 
 
3.3 - Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 
 
a) Volume do Paralelepípedo em que 3 arestas concorrentes em um vértice são os vetores u
�
, v
�
 e 
w
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo S a área do paralelogramo da base, temos que o volume V = S ⋅ h. Todavia, 
S = | v
�
x w
�
| e h = u 
�
 |cos α| (onde α é o ângulo entre v
�
x w
�
 e u
�
), de modo que 
V = | v
�
x w
�
|. u 
�
 .|cos α| , ou seja: 
 
 V = )w x v(u 
���
⋅ = ]w,v,u[ 
���
 
 
 
b) Volume do Tetraedro em que 3 arestas concorrentes em um vértice são os vetores u
�
, v
�
 e w
�
. 
 
 A diagonal que liga as extremidades dos vetores v
�
 e w
�
 e a diagonal correspondente na outra 
base definem um plano que decompõe o paralelepípedo do item anterior em 2 prismas triangulares 
de mesmo volume (mesma altura e bases congruentes). Além disso, cada um desses prismas 
triangulares pode ser decomposto em 3 pirâmides triangulares (tetraedros) de mesmo volume, 
totalizando 6 tetraedros de mesmo volume. Portanto, o volume de cada um desses tetraedros é a 
sexta parte do volume do paralelepípedo : 
 
 V = 
6
1
⋅ )w x v(u 
���
⋅ = 
6
1
⋅ ]w,v,u[ 
���
 
 
 
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4. Atividades 
Exercício 1 
Determine o vetor projeção do vetor w
�
 = (−4, 3) sobre o vetor v
�
 = (2, −1) 
 
Exercício 2 
Determine o vetor projeção de w
�
 = (2, − 5, 1) sobre v
�
 = (2, 3, 6) 
 
Exercício 3 
Dados os vetores a
�
 = (3, −1, 2) e b
�
 = (2, 0, 0), determine o vetor v
�
, tal que: 
 





=
=⋅
−=⋅
11v
2b v
2a v
�
��
��
 
 
 
Exercício 4 
Dados os vetores u
�
= (2, 3, − 1) e v
�
 = (− 1, 4, 2), calcule: 
a) u
�
x v
�
 
 
b) v
�
 x u
�
 
 
Exercício 5 
Dados os vetores u
�
= (2, − 1, 3) e v
�
 = (1, 0, − 2), calcule: 
a) o módulo do produto vetorial u
�
x v
�
 
 
b) o seno do ângulo formado por u
�
e v
�
 
 
c) um vetor unitário que seja perpendicular a u
�
 e a v
�
 
 
Exercício 6 
Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores u
�
= (−1, 0, 5) e v
�
= ( 2, −1, 3) 
 
Exercício 7 
Os pontos A (1, 2, −4), B (2, 1, 3) e C (0, 4, −2) são vértices consecutivos de um paralelogramo 
 ABCD. Determine: 
a) o vértice D 
 
b) a área do paralelogramo 
 
 
Exercício 8 
Qual a área do triângulo cujos vértices são os pontos A (1, 1, 3), B (2, 0, −4) e C (3, 5, 1)? 
 
Exercício 9 
Dados u
�
= (2, 1, 0), v
�
 = (− 1, 3, 2) e w
�
 = (− 1, 2, 1), determineo produto misto [u
�
, v
�
,w
�
] 
a) pela definição u
�
⋅ ( v
�
x w
�
) 
b) pelo determinante 
 
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Exercício 10 
Verifique se os vetores u
�
= (2, 1, 8), v
�
 = (− 1, − 3, − 7) e w
�
 = (1, 4, 1) são coplanares. 
 
Exercício 11 
Determine o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u
�
= (1, 0, − 2), v
�
 = (− 1, 1, 0) e 
w
�
 = (2, 3, − 1) 
 
Exercício 12 
Determine o volume do paralelepípedo de arestas 
→ 
AB , 
→ 
AC e 
→ 
AD , sendo A (0, 0, 4), B (2, 1, 8), 
→ 
BC = (10, 10, 1) e 
→ 
DA = (2, 5, 3) 
 
Exercício 13 
Ache a área do triângulo com vértices em ( )2, 3, 1− , ( )1, 2, 3 e ( )3, 1, 2− . 
 
Exercício 14 
Determine os ângulos do triângulo com vértices em ( )2,1,3A , ( )−1,0, 1B e ( )−1, 2, 1C 
 
Exercício 15 
Dados os vetores = − +
�� ���� ��� ���
1 2 3
2u e e e , = −
� ��� ���
1 2
v e e , = − + +
�� ��� ��� ���
1 2 3
2 2w e e e , determine: 
 
a) ×
�� �
w v b) × −
� �� ���
( )v w u c) ( ) ( )× ⋅ ×�� � �� �u v u v d) ( )× ⋅�� � ��u v w e) + ×�� � �� ���( ).( )u v u w 
 
Exercício 16 
Determine a área do quadrilátero cujos vértices são ( )−1, 2,3 , ( )−4, 3, 1 , ( )−5,7, 3 e ( )2,2,1 . 
 
 
Exercício 17 
Se × = =
�� � ��
3 3; 3u v u e 60º é o ângulo entre 
�� �
u e v , determine 
�
v . 
 
 
Exercício 18 
Mostrar que se 
�� �
u e v são vetores tal que, +
�� �
u v é ortogonal a −
�� �
u v , então =
�� �
u v . 
 
 
Exercício 19 
Mostrar que, se 
��
u é ortogonal a 
�� �
w e v , então 
��
u é também ortogonal a +
�� �
w v . 
 
 
Exercício 20 
Para que valores de m os pontos ( ),1,2A m , ( )−2, 2,3B , ( )−5, 1, 1C e ( )−3, 2,2D são coplanares. 
 
 
 
 
 
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5. Gabarito 
1) 
22 11( , )
5 5
− 
2) 
10 15 30( , , )
49 49 49
− − − 
3) (1,3, 1) (1, 1, 3)v ou= − − −
�
 
4) 
a. (10, 3, 11)− − b. ( 10,3, 11)− − 
5) 
a. 3 6 b. 0,878 c. 6 7 6 6( , , )
9 18 18
w =
��
 
6) 195 .A u a=▱ 
7) 
a. ( 1,5, 9)D = − − b. 346 .A u a=▱ 
8) 6 30 .A u a=△ 
9) 
a. – 3 b. – 3 
10) Não 
11) 9 .Vol u a= 
12) 142 .Vol u a= 
13) 7 3 .A u a=△ 
14) 
10 2 6 2
cos ; cos ; cos ;
93 28 42
 arc B arc C arc= = = 
15) 
a. (2, 2, 1)− b. ( 1, 1,0)− − c. 3 d. 1 
16) 89 .A u a=▱ 
17) 2 
18) Mostrar 
19) Mostrar 
20) 4m =