2020 - Teoria ALGA

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Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
UNIDADE I – ESTUDO DAS CÔNICAS E QUÁDRICAS 
 
1) Equação da circunferência 
 
De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as 
coordenadas dos pontos da curva. 
No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos: y 
 r  P 
P (x,y)  curva  d (CP) = r C  
 
 x 
 
Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos: 
 d = 
2
c
2
c
)y(y)x(x  
 
r = 
2
c
2
c
)y(y)x(x  
 
r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. 
Solução : 
( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4 
 
2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16. 
 
 
 
 
3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9 
 
 
 
4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5. 
 
 
 
 
Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ². 
Desenvolvendo esta equação, temos: 
r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² 
r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² 
Reorganizando, teremos: 
x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² - r² = 0 
Pondo 
-2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos: 
 
x² + y² + ax + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência. 
 
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Observamos que: -2 xc = a  
2
a
x
c

 
 
-2 yc = b  
2
b
y
c

 
 
 
xc² + yc² - r² = c  cyxr
2
c
2
c
 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1. 
 
 
 
2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0. 
 
 
 
 
2) O gráfico da circunferência 
 
Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos: 
a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (1,2) e raio r = c . 
b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (1,2) 
c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. 
Faça o gráfico para visualizar melhor. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: 
a) C ( 3,3) e r = 6 
b) C(-1,-3) e r = 2 
 
2) Sendo dado o ponto P(1,1) pertencente a circunferência e o centro C(3,3), determine a equação 
reduzida e geral da circunferência. 
 
3) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: 
a) x² + y² - 4x – 8y + 19 = 0 
b) 2x² + 2y² + 4x – 8y – 8 = 0 
c) 2x² - y² = 9 
d) 4x² + 4y² + 8x – 4y – 3 = 0 
 
 
Respostas: 
1) a) (x-3)² + (y-3)² = 36 e x² + y² - 6x – 6y –18 = 0 
 b) (x+1)² + (y+3)² = 4 e x² + y² + 2x + 6y + 6 = 0 
2) (x-3)² + (y-3)² = 8 e x² + y² - 6x – 6y + 10 = 0 
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3) a) C (2,4) r = 1 b) C(-1,2) e r = 3 c) não é circunferência d) C(-1, ½ ) r= 2 
3) A circunferência definida por três pontos 
 
1) Determine a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto P(4,1). 
Solução: 
 Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância: 
 r = 22 )01()24(  
 r P r = 5 
 C  
 
 
A equação da circunferência fica então definida como ( x – 2) ² + y² = 5. 
 
 
2) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-2) e 
tem centro na reta s: y = 2x. 
Solução: 
Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos que N s 
 d(CM) = d(CN) M 
2
c
2
c
2
c
2
c
)y2()x(4)y(0)x(2   
Ficamos com 4xc – 4 yc = 16 ou xc – yc = 4. C 
 
Como C(xc ,yc ) pertence a s: y = 2x, temos que yc = 2xc . 
 
Substituindo esta equação na equação acima, vem: xc = -4 e yc = - 8. 
Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio: 
r = 10)80()42( 22  
 
A equação da circunferência é ( x + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 100 
 
 
 
 
3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1) , N(0,8) e P (0,0) . 
Situação: 
 N 
 
 
 C  
 
 M 
 P 
 
 
Exercícios: 
1) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-2) e B(2,0) pertencem a 
circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB. 
 
2) Determine a equação de um circunferência de raio igual a 3, tangente aos eixos coordenados e 
contida no 2º quadrante. 
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3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio igual a 
10 . 
 
4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e D(9,-4) 
 
 
 
Respostas: 1) (x-3)² +(y+1)² = 2 2) (x+3)² + (y-3)² = 9 
 3) x² + (y +3)² = 10 ou x² + ( y-3)² = 10 4) (x-1)²+(y-2)²=100 
 
 
4) Posições relativas: 
 
I ) Posição relativa entre ponto e circunferência: 
 
Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos: 
 
  P  P 
  
 P 
  C  C  C 
  
  
 
P   P  interior de  P  exterior de  
 
 
Exemplos: 
Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: 
a) P (5,-1) e x² + y² - 6x – 2y + 8 = 0 
b) P ( 1, -2) e x² + y² - 2x + 4y – 3 = 0 
c) P (1, -3) e x² + y² -2x + 4y – 3 = 0 
 
Conclusão: 
- Se d(CP) > r o ponto é exterior à circunferência 
- Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência 
- Se d(CP) < r o ponto é interior à circunferência. 
Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e 
gráficos . 
Considere a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 2 . 
a) Se ( x-2)² + (y-3)² < 2, teremos pontos dentro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Se ( x-2)² + (y-3)²  2, teremos pontos dentro e sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Se ( x-2)² + (y-3)² = 2, teremos pontos sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Se ( x-2)² + (y-3)² > 2, teremos pontos fora da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Se ( x-2)² + (y-3)²  2, teremos pontos fora e sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determine a posição de P em relação a  nos casos: 
a) P (4,4) e  : (x-3)² + (y-2)² - 4 = 0 
b) P (3,1) e  : x² + y² -4x – 2y + 4 = 0 
c) P (5,3) e : x² + y² - 8x = 0 
 
2) Determine k para que o ponto P(3,k) pertença ao interior da circunferência de equação x² + y² - 4x 
= 0. 
 
3) Determine k para que a equação x² + y² - 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 
 
4) Idem para x² + y² - 4x – 3y + m = 0. 
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5) Faça o gráfico que represente as relações abaixo: 
a) x² + y² < 1 b) x² + y² > 4 c) 1  x² + y²  4 
 
6) Represente graficamente as soluções do sistema: 





2yx
4yx 22
 
 
 
Respostas: 
1) a) exterior b) pertence à circunferência c) interior 
2) 33  k 
3) k < 5 
4) m < 25/4II ) Posição relativa entre reta e circunferência: 
 
Uma reta t e uma circunferência  do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
 
 Secante Tangente Exterior 
 
 P P 
 t 
 t 
 d Q d d 
  C t C   C 
 
 
 
 
d < r e t   = { P, Q} d = r e t   = { P} d > r e t   =  
 
 
Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de , C ( xc, yc ) e r, podemos estabelecer a 
posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: 
 
 
ba
cbyax
 d
22
cc


 
 
Comparando d com r, temos: 
 
d < r  t e  são secantes 
d = r  t e  são tangentes 
d > r  t e  são exteriores 
 
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Exemplos: 
1) Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência : x² + y² = 16 e verifique a posição relativa 
entre t e . 
Solução: 1º modo: centro e raio de : C ( 0, 0) e r = 4 
Distância entre C e t: 22
2
4
 
11
)4(00
 d
22



 
Como 422  , temos d < r e concluímos que t e  são secantes. 
 
2º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e  : 
S = 





16yx
04yx
22
 
Teremos duas soluções: x = 0 ou 4. 
Para x = 0 teremos y = 4 enquanto que para x = 4 termos y = 0. 
Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4). 
Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes. 
 
 
 
 
III ) Posição relativa entre duas circunferências: 
 
Duas circunferências 1 e 2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: 
 
a) EXTERIORES b) TANGENTES EXTERNAMENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) SECANTES d) UMA NO INTERIOR DA OUTRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Verifique a posição relativa das circunferências: 1 = ( x – 1 )² + ( y – 2 ) ² = 5 
2 = ( x – 3 )² + ( y – 3 )² = 10 
Se existir, determine os pontos de intersecção. 
 
 
Exercícios 
1) Determine a posição relativa entre a reta x + y – 3 = 0 e a circunferência x² + y² -2x –2y –3 = 0. 
Se existir, determine os pontos de intersecção. 
 
2) Idem para x + y = -3 e x² + y² - 4x –2y –13 = 0. 
 
3) Idem para x = y + 1 e x² + y² - 2x + 2y – 3 = 0 
 
4) Determine o valor de m para que o ponto P (-1,3) pertença a circunferência x²+y²-2x+3y + m = 0. 
 
5) Quais os pontos de intersecção entre a reta x+y+15=0 e a circunferência x² + y² - 4x -10y - 35=0. 
 
6) Calcule o comprimento da corda que a reta x + y - 3 = 0 determina na circunferência de equação 
(x+2)² + (y-1)² = 10. 
 
7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4x + 3y + k = 0 e a circunferência de 
equação x² + y² - 12x + 6y + 9 = 0 sejam secantes? 
 
8) Verifique a posição entre as circunferências e se existir, determine os pontos de intersecção. 
 
a) : ( x-1)² + y² = 1 
: ( x-1)² + (y-4)² = 1 
 
b) : ( x-1)² + y² = 1 
: ( x-2)² + y² = 4 
 
c) : ( x-2)² + (y-2)² = 4 
: x² + y² = 25 
 
d) : ( x-4)² + y² = 4 
: ( x-2)² + y² = 1 
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9) As circunferências de equações x² + y² + 2x – 4y = 0 e x² + y² - x – y = 0 cortam-se nos pontos A 
e B. Obtenha a equação da reta AB. 
 
Respostas: 
1) secantes 
2) tangentes 
3) secantes 
4) m = -21 
5)  
6) 22 
7) k > -45 e k < 15 
8) a) exteriores b) tangentes internamente 
 c) interiores não concêntricas d) secantes 
9) x – y = 0 
 
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ELIPSE 
 
 
Algumas aplicações das cônicas são: 
 As órbitas dos planetas têm a forma de elipse; 
 A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão de gases em motores a explosão; 
 A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. 
Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de 
antenas parabólicas. 
 
Neste capítulo, vamos estudar a elipse. 
 
Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e 
amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento 2
 
a . Deslizando a ponta do lápis 
pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse. 
 
 
 
 
1) Definição: 
 
 
A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos 
fixos desse plano, F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a distância 21FF ). 
 
 P  
 
 
 F1  F2 
 
 
 
 
 
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a 
ou 
 
|PF1 | + | PF2 | = 2 a 
 
dá-se o nome de ELIPSE. 
 
Observação: a distância 2a é o tamanho do fio que se usou para construir a elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Elementos da elipse: B2 
  
 a a 
 b 
 A1 F1 c c  F2 A2 
 a a 
 b 
 
 B1 
 
 F1 e F2 são ditos FOCOS; 
 d( F1 , F2 ) = distância focal; 
 C = centro 
 A1 , A2 , B1 e B2 = vértices 
 | A1 A2 | = 2 a ( eixo maior) 
 | B1 B2 | = 2 b ( eixo menor) 
 a = semi eixo maior 
 b = semi eixo menor 
 
Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c² 
 
Excentricidade: e = 
a
c
 ( 0 < e < 1 ) 
 
 
 
 
 
3) Equação da Elipse de centro na origem do sistema: 
1º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos x. 
 
 
 B2 P ( x,y) 
 
 
 
 A1 F1(-c,0) F2(c,0) A2 
 b 
 
 B1 a 
 
 
Usando a definição, temos: 
d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a 
 
ou, em coordenadas: 
2ayc)(xyc)(x 2222  
Isolando um dos radicais, temos: 
2222 yc)(x2ayc)(x  
 
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e elevando ao quadrado, temos: 
x² + 2cx + c² + y² = 4a² - 4
 
a 
222222 yc2cxxc2cxyx  
Isolando o radical e tornando a elevar ao quadrado ficamos com: 
4a 4cx4ac2cxyx 2222  
a cxac2cxyx 2222  
Elevando novamente ao quadrado: 
a² [ x² - 2cx + c² + y² ] = a
4
 – 2a²cx + c²x² 
 
a²x² - 2a²cx + a² c² + a²y² = a
4
 – 2 a²cx + c²x² 
 
(a² - c²)x² + a² y² = a² ( a² - c²) 
 
Dividindo por a² ( a² - c²) fica 
1
ca
y
a
x
22
2
2
2


 
 
Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² 
Logo, substituindo esta relação teremos: 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
 que é a equação reduzida da elipse. 
 
 
 
2º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos y. 
 
 b 
 A2 
 (0,c) 
 a F2 
 
 
 B1 0 B2 
 
 F1 
 (0,-c) 
 A1 
 
 
Com um procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida 
1
a
y
b
x
2
2
2
2
 
 
Observação: 
Tendo em vista que a² = b² + c², segue que 
a² > b² e daí a > b 
Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde “a” é a 
medida do semi-eixo maior. 
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Exemplos: 
1) Dadas as elipses 3 
a) b)2 
 -2 2 
 -3 3 
 
 -3 
 -2 
as equações em cada caso são: 
 
a) 1
2
y
3
x
2
2
2
2
 ou 1
4
y
9
x
22
 b) 1
3
y
2
x
2
2
2
2
 ou 1
9
y
4
x
22
 
 
 
2) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal sendo 10 cm e a 
distância focal 6 cm. 
 
Solução: 
Se o eixo maior = 10, temos que 2a = 10 logo, a = 5. 
E se a distância focal = 6, temos que 2c = 6, logo, c = 3 
Assim, a equação fica: 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
 com a= 5, c = 3 e b = ???? 
Como achar b? 
Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 
Logo, a equação da elipse fica 
 
 1
16
y
25
x
ou 1
4
y
5
x
22
2
2
2
2
 
 
 
3) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos, a excentricidade e o gráfico da 
elipse de equação x² + 4y ² = 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Idem para a equação 9x² + 25 y² = 225. 
 
 
 
 
 
 
 
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Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
5) Idem para a equação 4x² + y² = 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Idem para a equação x² + y² - 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0) e a medida do eixo maior é 8. 
Determine sua equação. 
 
 
 
 
A excentricidade 
A excentricidade de uma elipse de eixo maior 2a e distância 2c é o número tal que e = 
a
c
. 
Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eixo maior, porém com distância focais cada 
vez menores: 
 
 
 a a a 
  c1   c2   c3  
 F1 F2 F1 F2 F1 F2 
 
 
e1 = 
a
c
1
 e2 = 
a
c
2
 e3 = 
a
c
3
 
 
Conforme os focos vão se aproximando, a excentricidade da elipse vai diminuindo ( e1 > e2 > e3 ). Veja 
que quando a excentricidade é menor, a elipse fica mais arredondada.(Se e = 0, temos circunferência). 
Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da 
Terra, são elipses, porém muito próximas de circunferências, pois têm excentricidade próximas de 
zero: a primeira tem excentricidade e = 0,016, enquanto a segunda tem excentricidade e = 0,054. 
 
4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. 
Considere a elipse de centro C ( xc , yc ) e seja P (x, y) um ponto qualquer da mesma. 
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  P (x,y) 
 F1 F2 
 yc A1   A2 
 C 
 
 
 
 xc 
 
A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eixo maior sobre o eixo dos x dada por 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 
passa agora, quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C( xc , yc ), para equação 
 
1
b
)y-(y
a
)x-(x
2
2
c
2
2
c  
 
 
 
 
2º CASO: o eixo maior é paralelos ao eixo dos y. 
 
 A2 
 F2 
 
 
 yc C 
 
 
 F1 
 A1 
 
 xc 
 
De forma análoga, temos: 
 
1
a
)y-(y
b
)x-(x
2
2
c
2
2
c  
 
 
Exemplo: 
1) Determine a equação da elipse de centro C(2,-1) e tangente aos eixos coordenados, sendo os eixos 
de simetria paralelos aos eixos x e y. 
 
2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse 4x² + 9y² - 16x – 18y – 11 = 0. 
 
Exercícios: 
1) Dê a equação e a excentricidade da elipse nos casos seguintes: 
a) O eixo menor mede 8 e os focos são F1 (-6,0) e F2 (6,0). 
b) Um foco é F1 (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(2,0). 
16 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
c) O eixo maior mede 14 e os focos são F1 (0,-5) e F2 (0,5). 
 
2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse em cada caso: 
a) 25x² + 16y² + 50x + 64y – 311 = 0 
b) 4x² + 9y² - 24x + 18y + 9 = 0 
c) 16x² + y² + 64x – 4y + 52 = 0 
d) 4x² + 9y² - 8x – 36y + 4 = 0 
 
3) Determine a equação da elipse em cada caso: 
a) eixo maior = 10, focos (-4,0) e (4,0) 
b) centro ( 0,0), um foco em F1 =( ¾ , 0) e um vértice em A1 = (1,0) 
c) eixo menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F1 = (0, 5 ). 
d) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade ¾. 
e) Eixo maior mede 10 e focos em F1 (2,-1) e F2 = (2,5). 
 
4) Determine o centro, os vértices A1 e A2 , os focos F1 e F2 , e a excentricidade das elipses dadas: 
a) 1
9
3)(y
16
2)(x 22




 b) 1
100
y
36
x
22
 
c) 9x² + 25y² - 25 = 0 d) 9x² + 5y² = 45 
 
Respostas: 
1) a) 1
16
y
52
x 22
 , e  0,83 b) 1
20
y
4
x
22
 , e  0,89 
c) 1
49
y
24
x
22
 , e  0,71 
2) a) C(-1,-2) , F1 (-1,1) e F2 (-1,-5), eixo maior = 10, eixo menor = 8 
b) C(3,-1), F1 ( 1,53  ) e F2 ( 1,53  ), eixo maior = 6, eixo menor = 4 
c) C(-2,2), F1 ( 152 ,2  ) e F2 ( 152 ,2  ), eixo maior = 8, eixo menor = 2 
d) C(1,2), F1 ( 2 ,51 ) e F2 ( 2 ,51 ), eixo maior = 6, eixo menor = 4 
 
3) a) 9x² + 25y² = 225 
 b) 7x² + 16y² = 7 
 c) 9x² + 4y² - 36 = 0 
 d) 7x² + 16y² - 28x – 128y + 172 = 0 
 e) 25x² + 16y² - 100x – 64y – 236 = 0 
4) a) C(2,-3), A1 (-2,-3), A2 (6, -3), F( 2 7 , -3), e = 4
7 
b) C(0,0), A(0,  10), F ( 0, 8) , e =
5
4
 
c) C(0,0), A ( 
3
5
, 0 ) , F (
3
4
, 0) , e =
5
4
 
d) C(0,0), A ( 0,  3) , F ( 0,  2) , e = 
3
2
 
17 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
HIPÉRBOLE 
 
1) Definição: 
 
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor 
absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. 
 
Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d (F1, F2 ) = 2c. 
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
 
 | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a ou | PF1| - | PF2 | = 2a 
 
 dá-se o nome de hipérbole. 
 
 
 
  P 
 
 
   
 F1 F2 
 
 
 
 
 
Na verdade, | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a significa que d (P, F1) - d (P, F2) =  2 a 
 
Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será – 2a . 
 
 
 
 
 P3  P1 
 
 F1 A1 A2 F2 
 C 
 
 P4  P2 
 
 2 a 
 
 2c 
 
 
A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. 
Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P2 , P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em 
relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em 
relação à origem. 
Ainda pela simetria, conclui-se que 
d (A1 , F1) = d (A2 , F2) 
e da própria definição vem 
18 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
d (A1 , A2) = 2a 
2) Elementos: 
 
 B1 
 
 c 
 b 
 F1 A1 a A2 F2 
 
 
 
 B2 
 2 a 
 
 2c 
 
Focos: F1 e F2 
Distância focal: 2 c entre os focos 
Centro: ponto médio do segmento F1F2 
Vértices: A1 e A2 
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a 
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b 
 
O valor de b é definido através da relação: 
c² = a² + b² 
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo no desenho. 
 
Excentricidade: e = 
a
c
 com c > a e e > 1 . 
 
 
3) Equação da hipérbole com centro C ( 0,0)na origem do sistema: 
 
1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: 
 
| d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a 
 
2a |0)(yc)(x0)(yc) -(x| 2222  
 
Com o mesmo procedimento da equação da elipse, chegamos a equação: 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
 que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e 
eixo real sobre o eixo dos x. 
 
2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y: 
 
1
b
x
a
y
2
2
2
2
 que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e 
eixo real sobre o eixo dos y. 
19 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Exemplos: 
1) A hipérbole da figura a seguir tem equação reduzida ............ 
 
 
 
 2 
 
 
 -3 3 
 
 
 
-2 
 
 
 
1
2
y
3
x
2
2
2
2
 ou 1
4
y
9
x
22
 
 
 
2) No exemplo anterior, determine os vértices A1 e A2 e os focos F1 e F2 . 
Basta fazermos y = 0, encontrando na equação 3. ou x 1
9
x 2
 Logo, A1 (3,0) e A2 (-3,0) . 
Para encontrarmos os focos, precisamos encontrar a distância focal, ou seja, o valor de c. 
Como c² = a² + b², temos c² = 9 + 4 = 13 
Assim, c = 13 
Logo, F1 ( 13 , 0) e F2 (- 13 , 0). 
 
 
4) Equação da hipérbole com centro C ( xc , yc ) fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: 
 
 1
b
)y-(y
a
)x-(x
2
2
c
2
2
c  
 
 
2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y: 
 
 1
b
)x-(x
a
)y-(y
2
2
c
2
2
c  
 
 
 
5) Hipérbole Equilátera: 
 
Os semi eixos real e imaginário são iguais: 
 
Logo, a = b 
20 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Exemplos: 
Em cada caso ( 1 até 5) , determine: 
- a equação reduzida; 
- a medida dos semi-eixos; 
- um esboço do gráfico; 
- os vértices; 
- os focos; 
- a excentricidade. 
 
1) 9x² - 7y² - 63 = 0 
 
Solução: 9x² - 7y² - 63 = 0 ou 1
9
y
7
x
ou 
63
63
63
7y
63
9x
2222
 
a² = 7 logo, a = 7 
b² = 9 logo, b = 3 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértices: A1 (- 7 ,0) e A2 ( 7 , 0) 
 
Focos: precisamos do valor de c: 
c² = a² + b² 
c = 4 
Logo, os focos são F1 (-4,0) e F2 (4, 0) 
 
Excentricidade: e = c/a = 4 / 7 
 
 
 
 
2) x² - 4y² + 16 = 0 
 
 
3) x² - y² = 4 
 
 
4) 16x² - 25y² - 1600 = 0 
 
 
 
5) x² - y² = 1 
 
21 
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Exercícios: 
6) Determine a equação de uma hipérbole de Focos (-5, 0) e (5,0) e a medida do eixo real é igual a 
6. 
 
7) Sendo dados os vértices A1 ( 5,5) e A2 (5, -1), e a excentricidade e = 2, determine a, b e c, 
grafique a hipérbole e determine sua equação. 
 
8) Ídem ao exercícios 7, sendo dados os focos F1 (3,4) e F2 (3, -2), e a excentricidade e = 2. 
 
9) Sendo F1 ( -1,-5) e F2 (5, -5), determine a equação da hipérbole equilátera. Faça também um 
esboço do gráfico. 
 
10) Determine a equação da hipérbole de vértices A1 ( 1,-2) e A2 (5, -2), sabendo que F(6,-2) é um de 
seus focos. 
 
11) Determine o centro, um esboço do gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles 
de equação: 
a) 9x² - 4y² - 18x – 16y – 43 = 0 
b) 9x² - 4y² - 54x + 8y +113 = 0 
c) 4x² - y² - 32x + 4y + 24 = 0 
d) x² - 4y² + 6x + 24y – 31 = 0 
 
Respostas: 
6) 1
16
y
9
x
22
 
7) a=3, b= 3 3 e c = 6, 1
27
5)-(x
9
2)-(y 22
 
 
8) 4x² - 12y² - 24x + 24y + 51 = 0 
 
9) 2x² - 2y² - 8x – 20y – 51 = 0 
 
10) 5x² - 4y² - 30x - 16y + 9 = 0 
 
11) a)C(1,-2) , A1 (-1,-2), A2 (3, -2) , F ( 1 13 , -2) , e = 2
13 
b) C(3,1) , A1 (3,-2), A2 (3, 4) , F (3, 1 13 ) , e = 3
13 
c) C(4,2) , A1 (1,2), A2 (7, 2) , F ( 534  , 2) , e = 5 
 
d) C(-3,3) , A1 (-5,3), A2 (-1,3) , F ( 53  , 3) , e = 2
5 
22 
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PARÁBOLA: 
 
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e d. 
 
 
 
 
 F F 
 = _ _ =  P 
  
 = _ _ = V 
d 
 A P’ 
 
 
 
 
Elementos: 
F = ponto fixo ( FOCO) 
d = diretriz ( reta) 
eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz 
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. 
 
Por definição, temos que 
 
d(PF) = d(PP’) 
 
 
1) Equação da Parábola de Vértice na origem do sistema: 
 
1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: 
 
 
 
  F  P 
2
p 
 
2
p x 
 d 
 P’ 
 
 
Da definição de parábola, temos que: 
d(PF) = d(PP’) 
 
Como, F ( 0, 
2
p ) e P’( x, -
2
p ) temos: 
| (x - 0, y -
2
p )| = | (x - x, y +
2
p )| 
ou 
23 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
2222 )
2
p
(yx)(x)
2
p
(y0)(x  
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos: 
(x - 0)² + ( y -
2
p )² = ( x – x ) ² + ( y + 
2
p )² . 
ou 
 
x² + y² - py + 
4
2p = y² + py + 
4
2p 
 
ou, simplesmente: 
 
x² = 2 py 
 
 
Esta equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da 
parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y. 
 
Da análise desta equação conclui-se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo (pois é igual a x²>0), 
os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p > 0 a parábola tem concavidade 
voltada para cima e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
Este número real p  0 é conhecido como parâmetro da parábola. 
 
 
 
2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: 
 y 
 
 P’   P(x,y) 
 
 
 A V  F(
2
p , 0) x 
 
2
p 
2
p 
 
 
 
 d 
 
Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(
2
p ,0), obteremos de forma análoga ao 1º caso a 
equação reduzida: 
 
 
y² = 2 px 
 
 
24 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Conforme o sinal de p termos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e , se p < 0 
a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. 
 
Exemplos: 
1) Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas x² = 8y e y² = -2x. 
Construir o gráfico: 
Solução: 
a) x² = 8y 
A equação é da forma x² = 2py, logo: 
2p = 8 p = 4 
2
p = 2 
Portanto, foco : F ( 0, 2) 
Diretriz = y = -2 y 
 
 F 2 
 
 
 x 
 0 4 
 
 diretriz 
 -2 
 
 
b) y² = -2x 
A equação é da forma y² = 2px, logo: 
2p = -2 p = -1 
2
p = -
2
1 
Portanto, foco: F = (-
2
1 , 0) d: x = ½ 
diretriz: x = 
2
1  2 
 
 F  
 -2 
 
 -2 
 
 
 
 
 
3) Determine a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 
a) vértice ( 0,0) e foco ( 1,0) ; 
b) vértice ( 0,0) e diretriz y = 3; 
c) vértice (0,0), passa pelo ponto P (-2,5) e concavidade voltada para cima. 
d) Vértice ( 0,0) e foco ( 0, -3) ; 
e) Foco ( 2,0) e diretriz x + 2 = 0. 
 
 
3) Translação de eixos: 
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k) arbitrário. 
25 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Usando um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a 
mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, podemos obter este novo sistema pela 
translação de eixos. y y’ 
 
 
  P 
 y’ 
 x’ 
 O’ 
 y x’ 
 k 
 
 x 
 
 h 
 x 
 
 
Podemos observar que x = x’+ h e y = y’+ k 
 
Logo, teremos: x’= x – h e y’= y – k 
 
Estas são as fórmulas de translação. 
 
A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. Por 
exemplo, seja a parábola de equação 
x’² = 4y’ no novo sistema. 
Se tivermos h = 3 e k = 2, isto é, O’( 3,2) e sabendo que x’= x – h e y’ = y – k, temos 
 
x’= x – 3 e y’= y – 2 
Logo, a equação da parábola em relação ao sistema xOy é: 
(x-3)² = 4 (y-2) 
 
ou 
x² - 6x + 9 = 4y – 8 
 
ou 
x² - 6x – 4y + 17 = 0 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Equação da Parábola de Vértice fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: 
 y 
26 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 y’ 
 
  P 
y’ 
 y 
 O’ = V x’ 
 k x’ 
 x 
 
 h 
 
 x 
Seja P(x,y) um ponto qualquer desta parábola. 
Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é: 
x’² = 2py’ 
mas 
x’= x – h e y’= y – k, logo: 
 
( x – h )² = 2 p ( y – k ) 
 
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 
 
 
2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: 
 
De modo análogo ao caso anterior, teremos: 
 
( y – k )² = 2 p ( x – h ) 
 
 
Observamos que se V(h,k) = (0,0) voltamos a ter o caso inicial de vértice na origem. 
Exemplos: 
1) Determine a equação da parábola de vértice V(3,-1) sabendo que y-1=0 é a equação de sua 
diretriz. 
Solução: 
Vejamos o gráfico para facilitar 
 y 
 
 1 y = 1 diretriz 
2
p 
 3 x 
 
 -1 V 
 
 
 
A equação da parábola é da forma : ( x-h)² = 2p(y-k) 
Mas 
h=3 k= - 1 e p/2 = -2 , p = -4 
substituindo na equação , vem: 
(x-3)² = 2 . (-4) ( y+1) 
ou 
27 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
x² - 6x + 9 = -8y – 8 
ou melhor: 
 
x² - 6x + 8y + 17 = 0 
 
 
2) Determine a equação da parábola de vértice V(4,1) e equação de diretriz x + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a equação da parábola de foco em F(1,2), sendo x=5 a equação da diretriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine o vértice, o foco, a equação da reta diretriz e o gráfico de cada uma das parábolas: 
a) x² + 4x + 8y + 12 = 0 
b) y² - 12x – 12 = 0 
c) y² + 2y – 16x – 31 = 0 
d) x² - 2x – 20y – 39 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Equação da parábola na forma explícita: 
 
Sabemos que a equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma 
padrão : 
(x-h)² = 2p(y-k) 
 
28 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Por exemplo, para V(2,-1) e p = 1/8, teríamos: 
 
(x-2)² = ¼ (y+1) 
 
Como o objetivo é escrever a forma explícita, vamos explicitar y na equação: 
x² - 4x + 4 = ¼ y + ¼ 
ou 
4x² - 16x + 16 = y + 1 
 
de onde vem: 
y = 4x² - 16x + 15 
 
que é a forma explícita mais conhecida por nós, ou seja, está na forma: y = ax² + bx + c. 
 
 
Reciprocamente, dada uma equação na forma explícita, podemos sempre conduzi-la à forma padrão. 
Assim, se a equação é : 
y= 4x² - 16x + 15 temos: 
 
4x² - 16x = y – 15 
4 ( x² - 4x ) = y – 15 
Completando quadrados: 
4 ( x² - 4x + 4 ) = y – 15 + 16 
4(x-2)² = y + 1 
( x – 2 )² = ¼ (y+1) 
 
Logo, o vértice é V ( 2, -1) e 
2p = ¼ portanto p = 1/8 . 
 
 
OBS.: Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é 
 
x = ay² + by + c, correspondente a forma padrão ( y – k )² = 2p(x - h) 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0,1), (1,0) e (3,0) conforme a figura: 
 
 
 1 
 
 
 1 3 
 
Exercícios: 
1) Em cada caso estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: 
a) vértice V(0,0) e diretriz d: y = -2 
b) vértice V(0,0) e foco F(0,-3) 
c) foco F(0,-1) e diretriz d: y – 1 = 0 
d) vértice V(-2,3) e foco F(-2,1) 
e) vértice V(0,0), eixo y = 0 e passa por (4,5). 
f) Foco F(6,4) e diretriz y = -2 
g) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e a parábola, passa pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C (3,1). 
 
29 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
 
2) Em cada caso, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo 
da parábola de equação dada. Esboce o gráfico: 
a) x² = -12 y 
b) y² = -3x 
c) y² + 4y + 16x – 44 = 0 
d) 6y = x² - 8x + 14 
e) y² - 16x + 12y + 49 = 0 
 
 
Respostas: 
1) a) x² = 8y 
b) x² = - 12y 
c) x² = - 4y 
d) x² + 4x + 8y – 20 = 0 
e) 5x² - 16y = 0 
f) (x-6)² = 12 (y-1) 
g) y = x
3
4
x
3
1 2  
2) a) V(0,0), F(0,-3) , y = 3 e x =0 
b) V(0,0), F(- ¾ , 0), x = ¾ e y =0 
c) V(3,-2), F(-1,-2), x=7 e y =-2 
d) V(4, -1/3 ), F(4, 7/6), 6y + 11 = 0 e x-4=0 
e) V(
16
13
,-6), F(
16
77
,-6), x =
16
51
 e y = -6 
 
30 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Aplique seus conhecimentos e descubra as equações das cônicas e retas das embalagens representadas 
em seu corte transversal longitudinal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
Atividade avaliativa 
 
1) Reduzir as equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico, utilizando 
software. 
 
a) x2 + y2+ z2 = 25 
b) 2x2 + 4y2 + z2 -16 = 0 
c) x2 - 4y2 + 2z2 = 8 
d) z2 – 4x2 – 4y2 = 4 
e) x2 + z2 - 4y = 0 
f) x2 + y2 + 4z = 0 
g) 4x2 - y2 = z 
h) z2 = x2 + z2 
i) z = x2 + y2 
j) x2 + y2 = 9 
k) y2 = 4z 
l) x2 - 4y2 = 16 
m) 4y2+ z2 – 4x = 0 
n) - x2 + 4y2 + z2 = 0 
o) 16x2 + 9y2 - z2 = 144 
p) 16x2 - y2 - z2 = 144 
q) 2y2+ 3z2 - x2 = 0 
r) 4x2 + 9y2 = 36z 
s) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36 
t) 36x2 + 9y2 - 4z2 = 36 
u) 36x2 - 9y2 - 4z2 = 36 
32 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
c) UNIDADE II – VETORES 
 
1. O Plano Cartesiano R²: 
 
Representamos por R² o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou 
seja: 
 
R² = {(x, y) / x R e y R } 
 
 Por exemplo, são elementos de R² os pares ( 2, 4) , ( -1, 5), (1/2 , 0 ), )2,2(  , etc. 
Cada elemento do R² pode ser associado a um ponto de um plano no qual fixamos um 
sistema de coordenadas conforme indicado a seguir. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
Marque no plano acima, os pontos A (4,3), B ( -2,2), C ( -4, -2), D( 3, -3) , E(0, 2) e F( -3,0) . 
 
 
 
1.1. Operações com pares ordenados: 
 
a) Igualdade: dizemos que os pares ordenados ( x1, y1 ) e ( x2, y2 ) são iguais se e 
somente se x1= x2 e y1 = y2 . 
 
Exemplo: ( x + 1 , y – 1 ) = ( 0,1 )  x + 1 = 0 e y – 1 = 1  x = -1 e y = 2. 
 
 
 
b) Adição: chamamos soma de pares ( x1, y1 ) e ( x2, y2 ) ao par ( x1 + x2 , y1 + y2 ) e 
indicamos por 
( x1, y1 ) + ( x2, y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 
 
Exemplo: ( 3,1) + ( 2, -4) = ( 3 + 2, 1 – 4 ) = ( 5, -3) 
 
 
 
c) Multiplicação por escalar ( ou númeroreal): chamamos produto do número real k pelo 
par (x,y) ao par ( kx, ky) e indicamos por: k ( x,y) = ( kx, ky). 
 
Exemplo: 9 (5, -3) = ( 9. 5, 9 . (-3)) = ( 45, -27) 
 
33 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
d) Propriedades: 
Sejam A = ( x1 , y1 ), B = ( x2 , y2 ) e C = ( x3 , y3 ) três elementos quaisquer de R² e 
sejam k e m dois números reais quaisquer. Podemos constatar as seguintes propriedades 
das operações com pares ordenados: 
- Associativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 
- Comutativa: A + B = B + A 
- Elementos neutro da adição: é o par O = (0,0), onde A + O = O + A = A 
- Oposto de A: é o par –A = ( - x1 , - y1 ) , onde A + (-A) = O 
- k ( A+ B ) = kA + kB 
- k ( mA) = (km)A 
- 1. A = A 
 
Exercícios: 
 
1) Dar as coordenadas dos pontos indicados na figura: 
 
2) Dar o quadrante onde está cada ponto do exercício anterior. 
 
 
3) Se xy < 0, em quais quadrantes pode estar situado o ponto P (x,y) ? 
 
 
4) Dados A = ( -3, -1), B = (0,5 ) e C = (-1, 4 ), determine: 
 a) A + B + C b) 2A – B + 3C c) 4 ( A + 2B) – 3 (C – B) 
 
 
5) Dados A = (3,7), B = ( -1, 2) e C = (11,4), determine os números x e y que tornam 
verdadeira a igualdade xA + yB = C. 
 
 
 
6) Determine x e y em cada equação: 
a) x (3,-1) + y(7,5) = ( 4,6) 
b) x ( 1,-2) + y ( -2, 0) = 2 (x, y) – 3 (y, -x) 
 
34 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
 
2. O espaço R³: 
 
Representamos por R³ o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais, ou 
seja: 
R³ = {(x, y, z) / x R , y R e z R } 
 
 Por exemplo, são elementos de R³ os ternos ( 2, 4, -1) , ( -2, 1, 5), (1/2 , 0, 0 ), 
)2 ,0 ,2(  , etc. 
 
2.1 Operações no espaço R³: 
Podemos definir as mesmas operações vistas no plano R²: 
- Igualdade: ( x1 , y1, z1 ) = ( x2 , y2, z2 )  x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 . 
- Adição: ( x1, y1 , z1 ) + ( x2, y2 , z2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ). 
- Multiplicação por número real: k ( x, y, z ) = ( kx, ky, kz) 
- Elemento neutro da adição é O = (0,0,0). 
- Elemento oposto é ( -x, -y, -z). 
 
2.2 Representação geométrica: z 
Cada elemento do R³ pode ser associado P3 P 
a um ponto no espaço no qual fixamos um sistema y 
de coordenadas conforme indicado ao lado. 
 
 P2 
 O 
 
 P1 
 x 
 
Precisamos agora considerar três eixos coordenados, dois a dois perpendiculares, 
orientados conforme a figura. P1, P2 e P3 são as projeções dos eixos x, y e z 
respectivamente. 
Assim, temos : 
xP = OP1 = abscissa de P eixo x = eixo das abscissas 
yP = OP2 = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadas 
zP = OP3 = cota de P eixo z = eixo das cotas 
 
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal 
 
O = (0, 0, 0 ) é a origem do sistema cartesiano. 
 
Exemplo: P3 C P = ( 2, 5, 3 ) 
 A = ( 2, 5, 0)  plano xy 
 P B = 
 B P C = 
 P2 P1 = 
 P2 = 
 P1 A P3 = 
 
 
35 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
 
Atividade avaliativa: 
 
Representar no plano “ r três” as dimensões de uma caixa e determine: 
a) todas as coordenadas da caixa; 
b) as coordenadas do centro do sólido; 
c) o volume da caixa. 
 
Exercícios: 
1) Dados u = (1, 2, 3), v = ( 1, 0, 1) e w = ( -1, 2, -2), calcule: 
a) u + v b) 2v – w c) 2u – v + 3w d) 3 ( 2w – u) – 2 ( 3v + w) 
 
2) Represente os pontos acima encontrados num sistema cartesiano ortogonal. 
 
3. Vetores no Plano R²: 
 
No paralelogramo ABCD abaixo, os segmentos orientados AD e BC apresentam em 
comum: 
 - O comprimento ( módulo): | AD | = | BC | 
 D C - A direção: estão em retas paralelas. 
 - O sentido ( das flechas) 
 
 
 A B 
Por isto, dizemos que BC e AD representam um mesmo vetor v

: AD é o vetor 
v

 aplicado em A e BC é o vetor v

 aplicado em B. 
Um número real não negativo ( denominado módulo), uma direção e um sentido 
são os três elementos que caracterizam o que denominamos vetor, ente que é 
representado geometricamente através de segmentos orientados. 
 
 
Na figura indicamos três segmentos orientados u

 
representantes de um mesmo vetor u

. u

 
Podemos observar que todos os três tem mesma direção 
e sentido e a projeção na direção do eixo x tem medida 
algébrica -3 enquanto a projeção na direção do eixo y 
tem medida 2. Podemos assim associar o vetor u

 ao u

 
par ( -3, 2 ) do R². Logo, u

 = ( -3, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral , um vetor v

 do plano cartesiano pode ser associado a um par ordenado ( a, 
b) do R², onde a e b são, nesta ordem, as medidas algébricas das projeções de v

 nas 
direções dos eixos x e y. 
36 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 y 
 
 
 
 v

 b b 
 v

 
 a 
 
 x a 
 
 
 
 3.1. Cálculo das componentes: 
 
Podemos calcular as componentes de um vetor v

 a partir das coordenadas das 
extremidades de um segmento orientado que o representa. 
 Se v

 = AB , A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ), então v

 = ( x2 – x1 , y2 – y1 ) 
 v

 = AB = B – A 
onde B – A é a diferença entre os pares ordenados. 
 
Exemplo: Seja A = ( 1, -1) e B = ( 5, 1 ), determine o vetor v

 = AB . 
 
v

 = AB = B – A = ( 5 – 1, 1 – (-1)) = ( 4, 2 ) 
 
Represente graficamente AB e v

: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
- Medida de um vetor: é o seu comprimento ou módulo e é indicado por | AB |. Ex.| AB | 
= 5 u.c. 
 
A B 
 
 Unidade 
- Vetor Nulo: é um vetor cuja extremidade coincide com a origem e tem comprimento 
zero. Pode ser chamado de vetor zero e é indicado por O . 
- Vetor Oposto: dado um vetor v

 = AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica 
por - AB ou por -v

 . 
- Vetor Unitário: um vetor v

 é unitário se | v

 | = 1. 
37 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
- Vetores Colineares: dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Em 
outras palavras, são colineares se tiverem representantes u

 e v

 pertencentes a uma 
mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 v

 
 u

 u

 v

 
 
 
 
 
- Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são ditos coplanares se possuem 
representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano. 
 
 
 v

 D F 
 
 C w

 
 
 B 
 u

 
 A E 
 
Observação: Dois vetores quaisquer, não colineares são sempre coplanares no R². 
 
3.2. Operações com vetores: 
 
Adição : Dados dois vetores u

 e v

 , a soma u

 + v

 corresponde a soma dos pares 
ordenados associados a u

 e v

. 
 
 
 u

 = (x1 , y1 ) e v

 = ( x2 , y2 )  u

 + v

 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 
 
Representação geométrica: 
 
 
 
 u

+ v

 
 
 u

 
 v

 
 
Exercícios: 
1) Dados u

 = ( 3, 1) e v

 = ( 2,5), determine u

 + v

. 
2) Dados u

 = (-2, 5) e v

 = (-4, 3), determine u

 + v

. 
3) Dados u

 = (-4,-5) e v

 = (2, -3), determine u

 + v

. 
 
Propriedades da adição: 
- Comutativa: u

 + v

 = v

 + u

 
- Associativa: (u

 + v

 ) + w

 = u

 + (v

 + w

 ) 
- Existe vetor nulo O tal que v

 + O = O + v

 = v

 
- Existe vetor oposto– v

 tal que v

 + ( -v

) = -v

 + v

 = O 
38 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
Subtração : Dados dois vetores u

 e v

 , a diferença d = u

 - v

 corresponde ao vetor u

 
+ (-v

) . 
 
Representação geométrica: 
 
 
 
 u

 
 
 u

- v

 
 -v

 
 
 
Exercícios: 
1) Dados u

 = ( 3, 1) e v

 = ( 2,5), determine u

 - v

. 
2) Dados u

 = (-2, 5) e v

 = (-4, 3), determine 2u

 -3 v

. 
3) Dados u

 = (-4,-5) e v

 = (2, -3), determine u

 - v

. 
 
 
Multiplicação por número real : Dado um vetor u

  0 e um número real k  0 , chama-se 
produto de número real k pelo vetor u

 o vetor p = k u

 , tal que: 
Módulo: | p | = | k u

 | = | k | | u

 | 
Direção: a mesma de u

. 
Sentido: o mesmo de u

 se k > 0, e contrário ao de u

 se k < 0. 
 
 
Propriedades da multiplicação por número real 
Se e v

 são vetores quaisquer e a e b são números reais, temos: 
- Associativa: a ( b v

 ) = ( a b ) v

 
- Distributiva: ( a + b) v

 = a v

 + b v

 
- Distributiva: a ( u

 + v

 ) = a u

 + a v

 
- 1 . v

 = v

 
 
Exemplos Dados A = ( 11, -7), B = ( 0, 3 ) e C = (-1, 1), calcule 2 AB + 5 BC – CA . 
 
AB = 
BC = 
CA = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dar o par ordenado associado ao vetor v

 em cada caso: 
39 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
a) b) c) 
 5 
 3 2 
 
 2 
 4 -4 
 1 6 
 
 
d) e) f) 
 4 5 
 4 
 2 
 2 
2 5 1 
1 5 3 7 
 
 
2) Dados A = ( -2, 3 ), B = ( 2, 0), C = ( 0, -5) e D = ( -4, -2), verifique se os vetores AB e DC 
são iguais e que os vetores AD e CB são opostos. 
 
3) Dados A = (2,1) , B = (5,-1) e C (-4,0), calcule e represente o vetor soma dos vetores AB 
e AC. 
 
4) Se v

 = AB, A = (3,2) e v

 =(5,8), então qual é o ponto B? 
 
5) Os vetores u

 = (3,4), v

 = (2a , 7) e w

 = (1, 3b) satisfazem à equação 2u

 – v

 + 3 w

 = 
O. Calcule a e b. 
 
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores u

 e v

 é de 60º, determine o ângulo formado 
pelos vetores: 
a) u

 e v

 b) –u

 e v

 c) –u

 e –v

 d) 2u

 e 3v

 
 
7) Dados os pontos A = (3,7 ) e B = ( 11, -1), determine o ponto médio de AB. 
→→ 
8) Obter os pontos que dividem o segmento de extremidades A (2,4) e B (14,13) em três 
partes iguais. 
9) Prolonga-se o segmento AB, A (1,2) e B(5,4), no sentido de A para B, até o ponto P tal 
que o comprimento de AP é o triplo de AB. Determine o ponto P. 
 
10) O Baricentro G de um triângulo ABC é o ponto de interseção das medianas do triângulo. 
Medianas = segmentos que vão de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado 
oposto ao vértice. E ainda, para calcularmos o Baricentro G basta usarmos a fórmula G 
= 
3
CBA  . 
Usando a fórmula acima, encontre o baricentro do triângulo ABC em cada caso e faça a 
representação gráfica: 
a) A (0,0), B ( 9,0) e C ( 0,6) b) A (-1,-2), B (0,-4) e C(1,6) 
 
Marque a resposta correta, justificando: 
11) Da igualdade ( xy – 1 , x – y ) = ( 3,0), podemos concluir que 
40 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
a) x = 3 e y = 0 b) x = y = 1 c) x = y =  2 d) x = 1 e y = 0 e) x = 2 
e y = -2 
 
12) Um retângulo de centro na origem do sistema cartesiano apresenta os lados paralelos 
aos eixos coordenados e um vértice é A = ( -5, 3). Os outros vértices são: 
a) ( 5, 3) , (5,0 ) e ( -5, 0) b) ( 3,5 ) , ( 5, -3) e ( -3,-5) c) ( -5, 3) , ( 3, 5 ) e ( -3, -5 
) 
d) ( 5, 3 ) , ( 5, -3) e ( -5, -3) e) n.r.a. 
 
13) Dado o vetor u

 = ( -3, 1), uma representação geométrica do vetor –2u

 é: 
a) b) c) d) 
 6 
 
 6 2 
 2 
 -2 -6 -2 
 6 
14) Das representações geométricas seguintes, a que não corresponde ao vetor u

= (2,1) é: 
a) 
 b) c) d) 
 
 3 
 1 1 
 2 2 
 -2 
2 
 -1 
 1 3 
 
15) Dados A (1,0) , B (0,4) e C ( 0,0 ), o vetor AB + 2 BC é igual a: 
a) ( -1, -4) b) ( 4, 1) c) ( -1, 1 ) d) ( -4, -4 ) e) (–1, 0 ) 
 
16) Dados os vetores u

 = (3, -1), v

 = ( 4, 2 ) e w

 = (-4, 3), os números x e y que verificam 
a equação xu

 + yv

 = w

 são respectivamente: 
a) 2 e 5/2 b) 2 e –5/2 c) –2 e ¼ d) –2 e ½ e) n.r.a. 
 
Gabarito exercícios páginas 7 e 8 
1) a) v = ( 4, 3 ) 
b) v = ( -4, 2) 
c) v = ( 5, 3) 
d) v = ( 3, -2) 
 e) v = ( -4, 3) 
 f) v = ( -4, -3) 
 
2) AB e DC são iguais e AD e CB são opostos. 
3) AB = ( 3, -2) AC = ( -6, -1) AB + AC = (-3, -3) 
4) B = ( 8, 10) 
5) a = 9/2 e b = - 1/9 
6) a) 60º b) - 120º c) 60º d) 60º 
7) M = (7, 3) 
8) P1 = ( 6, 7 ) e P2 = ( 10,10) 
9) P = ( 13, 8) 
41 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
10) a) G = ( 3,2) b) G = ( 0,0) 
11) c 
12) d 
13) b 
14) d 
15) a 
16) d 
 
4. Vetores no Espaço R³: 
 
Há uma correspondência entre o R³ e o conjunto dos vetores do espaço. A cada terno 
ordenado (a, b, c) do R³ associamos o vetor OP onde P = ( a, b, c), e escrevemos: OP = P 
– O = ( a, b, c ) 
 
Dados A = ( x1 , y1 , z1 ) e B = ( x2 , y2 , z2 ) , ao vetor AB associamos o terno 
ordenado (x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ) e escrevemos AB = B – A = (x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ) 
 z2 
 
 C B 
 P z1 A 
 b y y1 y2 y 
 x1 
 a x2 
 x x 
 
Esta correspondência é tal que à soma de dois vetores corresponde a soma dos 
ternos associados aos vetores e o produto de um número real por um vetor corresponde o 
produto do mesmo número real pelo terno associado ao vetor. Isto significa que operar com 
os vetores é o mesmo que operar com os ternos associados. 
Exemplo: Sendo A = ( 1, 2, -5), B = ( 4, -3, 0) e C = ( 6, 4, 1 ) temos os vetores, 
representados por: 
 
AB = B – A = 
 
BC = C – B = 
 
AC = C – A = 
 
AB + BC = 
 
 
Ponto Médio e Baricentro: 
 
Para obter o ponto médio M de um segmento AB e o baricentro G de um triângulo ABC, 
utilizamos as fórmulas: 
 
42 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
3
CBA
G e 
2
BA
M



 . 
 
 
Exercícios: 
1) Dados u

 = ( -1, 2, -3), v

 = (-1, 0, 1 ) e w

 = ( 1, -2, -2), calcule e represente 
graficamente: 
a) u

 + v

 b) 2v

 – w

 c) 2u

 – v

 + 3 w

 d) 3( 2 w

 -u

) – 2 ( 3v

 + 
w

) 
 
2) Dados u

 = ( 1, 2, 4), v

 = ( 2, 1, 0) e w

 = ( 1, 0, 0 ), calcule os números a, b e c 
tais que au

 + bv

 + c w

 = ( 4 , 6, 8 ). 
 
3) Dados os pontos A = ( 1, 2, -1), B = ( 3, 3, 4 ) e C = ( 5, 2, 0) determine os vetores: 
a) AB + 2 BC = b) 3 AC – 2 BA = 
 
4) Dados A ( 2, 4, 0) e B = ( -1, 3, 2 ) obter o ponto C tal que AC = 3 AB. 
 
5) Obter o ponto simétrico ( que está do outro lado, tipo espelho ) do ponto P = ( 2, 1, 0) em 
relação ao ponto M = ( 0, 1, 2 ). 
 
DESAFIO: 
6) Determine os vértices de um triângulo sendo conhecidos o baricentro G = ( 4, 1/3, 2), e 
os pontos médios de dois lados, M = (3, 1, ½ ) e N = ( 0,-1, 2). 
 
Gabarito 
 
1) a) ( -2, 2, -2), b) ( -3, 2, 4 ) ; c) ( 2, -2, -13) ; d) ( 13, -14, -5) 
 
2) a = 2 b = 2 c = -2; 3) a) ( 6, -1, -3) b) ( 16, 2, 13); 4) C = ( -7, 1, 6 ) 
 
5) ( -2, 1, 4 ) 6) (12,3,2); (6,-1,5); ( -6,-1,-1) 
 
 
 
 
 
5. Decomposição de um Vetor no Plano: 
 
Dados dois vetores v

1 e v

2 não colineares, qualquer vetor v

 ( coplanar com v

1 e v

2 ) 
pode ser decomposto segundo as direções de v

1 e v

2 . O problema consiste em determinar 
dois vetores cujas direções sejam as de v

1 e v

2 e cuja soma seja v

. Em outras palavras, 
iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que: v

 = a1 v

1 + a2 v

2 . 
 
 
 
Exemplo: 
1) Dados os vetores v

1 e v

2 não colineares e v

 ( arbitrário), a figura mostra como é 
possível formar um paralelogramo em que os lados são determinados pelos vetores a1 v

1 
e a2 v

2 e, portanto, a soma deles é o vetor v

, que corresponde à diagonal desse 
paralelogramo: 
43 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 v

1 a1 v

1 
 
 v

2 
 v

 v

 
 v

1 
 
 v

2 a2 v

2 
 
Quando o vetor v

 estiver representado por v

 = a1 v

1 + a2 v

2 dizemos que v

 é 
combinação linear de v

1 e v

2 . O par de vetores v

1 e v

2 , não colineares, é chamado 
base no plano. Aliás, qualquer conjunto { v

1 , v

2 } de vetores não colineares constitui 
uma base no plano. Os números a1 e a2 da representação são chamados componentes ou 
coordenadas de v

 em relação à base { v

1 , v

2 }. 
 
É bom esclarecer que, embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a 
pensamos como conjunto ordenado. O vetor a1 v

1 é chamado projeção de v

 sobre v

1 
segundo a direção de v

2 . Do mesmo modo, a2 v

2 é a projeção de v

 sobre v

2 segundo a 
direção de v

1. 
 
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. 
 
Uma base { e1, e2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, 
isto é , e1  e2 e | e1 | = | e2 | = 1. 
 
Na figura, consideramos uma base ortonormal { e1, e2 } no plano xOy e um vetor v

 com 
componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, v

 = 3e1 + 2e2 . 
 
 y 
 
 
 2e2 
 
 v

 
 e2 3 e1 
 e1 
 x 
 
 
No caso de uma base ortonormal como esta, os vetores 3e1 e 2e2 são projeções 
ortogonais de v

 na direção de e1 e e2 , respectivamente. 
 
 
 
 
Existem naturalmente infinitas bases ortogonais, porém uma delas é particularmente 
importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos 
orientados com origem em O e extremidades nos pontos ( 1,0) e ( 0,1). Estes vetores são 
simbolizados com i

 e j

 e a base { i

, j

} é chamada canônica. 
 y 
 
44 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
 j

 
 x 
 i

 
Em nosso estudo, trataremos somente da base canônica ( a não ser que seja feita alguma 
outra referência). 
 
 
Dado um vetor v

 = x i

 + y j

 , no qual x e y são as componentes de v

 em relação à base { 
i

, j

 }, o vetor x i

 é a projeção ortogonal de v

 na direção de i

 e y j

 é a projeção 
ortogonal de v

 na direção de j

. Como a projeção sempre será ortogonal, diremos somente 
projeção. 
 
 y 
 
 y j

 
 v

 
 
 x 
 x i

 
 
 
Observação: 
Expressão analítica de um vetor no plano R²: 
 
A cada vetor podemos associar um par ordenado, ou seja, v

 = ( x, y), onde x é a 
abscissa e y é a ordenada. Por exemplo, em vez de escrever v

 = 3 i

 – 5 j

, pode-se 
escrever v

 = ( 3, -5). Assim também: 
- i

 + j

 = ( -1, 1) 
 3 j

 = ( 0, 3) 
-10 i

 = ( -10, 0) 
e particularmente, i

 = ( 1,0), j

 = ( 0,1). 
 
Exercícios: 
1) Determine o vetor w

 na igualdade 3 w

 + 2u

 = ½ v

 + w, sendo dados u

= (3,-1) e v

= -
2 i

+ 4 j

. 
 
2) Encontrar os números a1 e a2 tais que w

 = a1 u

 + a2 v

 , sendo u

 = i

 + 2 j

 , v

 = ( 
4, -2) e w

 = ( -1,8). 
 
3) Dados os pontos A ( -1,2), B(3,-1) e C (-2,4), determine D ( x,y), de modo que CD = ½ 
AB. 
 
 
Expressão analítica de um vetor no espaço R³: 
45 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
Todo estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de 
forma análoga. No plano, qualquer conjunto { v

1, v

2 } de dois vetores, não colineares, é 
uma base e, portanto, todo vetor v deste plano é combinação linear dos vetores da base, 
isto é, sempre existem os números a1 e a2 reais tais que v

 = a1 v

1 + a2 v

2. 
No espaço, qualquer conjunto { v

1, v

2 , v

3 } de três vetores não coplanares é uma 
base e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor v

 do espaço é combinação linear 
dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais a1 , a2 e a3 tais que v

 = a1 v

1 
+ a2 v

2 + a3 v

3 . 
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, 
ortogonais. Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais 
existentes, escolheremos para nosso estudo a base canônica representada por { i

, j

, k

 }. 
A reta com a direção do vetor i

 é o eixo x, a reta com a direção do vetor j

 é o eixo dos y e 
a reta com a direção do vetor k

 é o eixo dos z. As setas indicam o sentido positivo de cada 
eixo. Estes eixos são chamados eixos coordenados. 
 z 
 
 
 
 
 k

 
 
 j

 y 
 i

 
 
 
 x 
Para completar, consideramos um vetor v

 = x i

 + y j

 + z k

, onde x, y e z são as 
componentes de v

 na base canônica { i

, j

, k

). Da mesma forma como fizemos no plano, 
este vetor v

 é igual ao vetor OP com , O (0,0,0) e P ( x, y, z). O vetor v corresponde à 
diagonal do paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores x i

 , y j

 e z k

. E 
para simplificar, escrevemos v

 = ( x, y, z) , que é a expressão analítica de v

. 
 
 z 
 
 
 zk

 
 
 k

 
 v

 
 j

 y j

 y 
 i

 
 x i

 
 
 
46 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Em vez de escrever v

 = 2 i

 – 3 j

 + k

, pode-se escrever v

 = ( 2, -3, 1). Assim também, 
i

 – j

 = ( 1, -1, 0 ) 
2 j

 – k

 = ( 0, 2, -1 ) 
4 k

 = ( 0, 0, 4 ) 
e em particular, i

 = ( 1, 0, 0) , j

 = ( 0, 1, 0 ) e k

 = ( 0, 0, 1). 
 
Exemplos: 
1) Escreva na forma analítica os vetores: ) 2 1,- (5, w e 0) 3, 2, ( v 1),- 0, (1, u 

. 
2) Agora escreva na forma de ternos ordenados: 
 i2 j- k5 w e i2-k2 v ,ki3j2 u

 . 
 
Exercícios: 
1) Determine a extremidade do segmento que representa o vetor v

 = 2 i

 – 5 j

, sabendo 
que sua origem é o ponto A ( -1, 3). 
 
2) Dados os vetores u

 = ( 3, -1) e v

 = ( -1, 2), determine o vetor w

 tal que 4 (u

 – v

) + 
1/3 w

 = 2u

 – w

. 
 
3) Dados os vetores u

 = ( 2, -4) , v

 = ( -5, 1) e w

 = ( -12, 6), determine a1 e a2 tal que 
w

 = a1u

+a2 v

.4) Dados os pontos A ( 2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determine o ponto P tal que AP = PB. 
 
5) Determine o vetor v

 sabendo que 3 i

 + 7 j

 + k

 + 2v

 = ( 6, 10, 4) – v

. 
 
Respostas: 
1) ( 1, -2) 
2) w

 = ( -15/2, 15/2) 
3) a1 = -1 e a2 = 2 
4) P = ( 3, 1, - ½ ) 
5) v

 = ( 1, 1, 1) 
 
REFERÊNCIAS: 
 
- ANTON, Howard & RORRES, Chris, Álgebra Linear com Aplicações, 8ª ed. , Porto 
Alegre, Bookman, 2001. 
 
 
- STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
 
 
- STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books, 1987. 
 
 
 UNIDADE III - PRODUTO ESCALAR, VETORIAL E MISTO 
47 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
1) Definição: 
Chamamos produto escalar ( ou produto interno usual) de dois vetores u

 = ( x1 , y1 ) e v

 = ( 
x2 , y2 ) do R² ao número real x1 x2 + y1 y2 . Indicamos este número pelo símbolo u

  v

 
ou < u

 , v

 > , cuja leitura é “u escalar v ”. 
 
u

 = ( x1 , y1 ) e v

 = ( x2 , y2 )  u

  v

 = x1 x2 + y1 y2 
 
 
Exemplos: 
1) Sendo u

 = ( 5, 3) , v

 = ( 2, 4 ) e w

 = ( -6, 1), temos: 
u

 v

 = 5 . 2 + 3 . 4 = 22 
v

  w = 2 ( -6) + 4 . 1 = - 8 
u

 u

 = 5 . 5 + 3 . 3 = 34 
 
2) Se u

 = 3 i

 – 5 j

 e v

 = 4 i

 + 2 j

 então < u

, v

 > = 3 . 4 + ( -5 . 2 ) = 12 – 10 = 2 
 
 
 
O produto escalar possui as seguintes propriedades: 
1) u

  u

  0 e u

  u

 = 0  u

 = 0 
2) u

  v

 = v

  u

 
3) u

  ( k v

) = k ( u

  v

 ) 
4) u

  ( v

 + w

 ) = u

  v

 + u

  w

 
 onde u

 , v

 e w

 são vetores e k é número real. 
 
Exemplo: 
Mostre as propriedades 2, 3 e 4 usando um exemplo numérico. 
 
 
 
 
 
2) Módulo de um vetor: 
 
Dado o vetor u

 = ( x, y) do R², podemos mostrar que o seu módulo ( comprimento) é dado 
por: 
 
| u

 | = 
22 yx  
 P 
 
 u

 y 
 
 0 x 
 
 
 
O módulo pode ser expresso usando o produto escalar. De fato, notamos que 
48 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
u u

 = ( x, y )  ( x , y ) = x . x + y . y = x² + y² = ( | u

 | ) ² 
 
logo | u

 | = uu

 
 
Observação: o módulo de u

 é também chamado norma de u

 e indicado por | u

 | ou || u

 
||. 
 
Exemplo: u

 = ( -6, 8)  | u

 | = 101006436 8 6)- ( 22  . 
 
 
3) Vetor Unitário: 
Um vetor que possui módulo igual a 1 é chamado vetor unitário. 
 
v

 é unitário  | v

 | = 1 
 
 
Observações: 
1) Dado um vetor não nulo v

, o vetor v

’= 
|v|
v


 é um vetor unitário de mesma direção e 
sentido de v

, denominado versor de v

. 
 
 Exemplo: O versor de v

 = ( 3, -4 ) é o vetor v

’= 




 






5
4
,
5
3
5
)4 ,3(
43
)4 ,3(
|v|
v
22


. 
 
 
 
2) A distância d entre os pontos A ( x1 , y1 ) e B ( x2 , y2 ) é assim definida: 
d = | AB | = | B – A | 
d = 
2
12
2
12
)y(y)x(x  
 
 
 Exemplo: 
Sabendo que A ( -1, 2 ) e B ( 1, -1 ) , calcule a distância entre estes pontos. 
 
 
 
 
 
 
4) Produto escalar no espaço R³: 
 
O produto escalar no espaço R³ é idêntico ao no R². Assim, sejam dois vetores u

= ( 
x1 , y1 , z1) e v

 = ( x2 , y2 , z2 ) do R³. O produto escalar de u

 por v é o número real x1 x2 + 
y1 y2 + z1 z2 e indicamos este número pelo símbolo u

  v

 ou < u

 , v

 > , cuja leitura é “u 
escalar v ”. 
 
u

 = ( x1 , y1 ,z1) e v

 = ( x2 , y2 , z2)  u

  v

 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 
 
49 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
Exemplo: Dados os vetores u

 = ( 4,  , -1) e v

 = ( , 2, 3 ) e os pontos A (4, -1, 2 ) e B ( 3, 
2, -1), determine o valor de  tal que u

  (v

 + BA ) = 5. 
 
 
 
 
 
O produto escalar no R³ possui as mesmas propriedades do R²: 
1) u

  u

  0 e u

  u

 = 0  u

 = 0 
2) u

  v

 = v

  u

 
3) u

  ( k v

) = k ( u

  v

 ) 
4) u

  ( v

 + w

 ) = u

  v

 + u

  w

 
 onde u

 , v

 e w

 são vetores e k é número real. 
 
5) Módulo de um vetor no R³ : 
 
Dado o vetor u

= ( x, y, z ) do R³, podemos mostrar que o seu módulo ( comprimento) é 
dado por: 
 
| u

 | = 
222 zyx  z 
 
 
 u

 
 y 
 
 
 x 
 
Observação: 
A distância d entre os pontos A ( x1 , y1 , z1 ) e B ( x2 , y2 , z2 ) é assim definida: 
d = | AB | = | B – A | 
d = 
2
12
2
12
2
12
)z(z)y(y)x(x  
 
Exemplos: 
1) Sabendo que a distância entre os pontos A ( -1, 2, 3 ) e B ( 1, -1, m ) é 7, calcule m. 
 
 
 
2) Determine  para que o vetor v

 = 






4
1
,
2
1
α, seja unitário. 
 
 
3) Prove que | u

 + v

 | ² = | u

 | ² + 2 u

  v

 + | v

 | ² 
 
 
4) Prove que | u

 - v

 | ² = | u

 | ² - 2 u

  v

 + | v

 | ² 
 
50 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
5) Prove que u

  u

 = | u

 | ². ( PROPRIEDADE) 
 
6) Ângulo entre dois vetores: 
 
Vamos aqui mostrar que o produto escalar de dois vetores está relacionado com o 
ângulo formado por eles. Lembremos que o ângulo  entre dois vetores não nulos u

 e v

 
varia desde 0º até 180 º. u

 u

 
 
 u

 
  v

  v

  v

 
 
0 <  < 90º  = 90º 90º <  < 180º 
 
 
  
 u

 v

 u

 v

 
 
 = 0º  = 180º 
 
 u

 e v

 são paralelos, de mesmo sentido u

 e v

 são paralelos, de 
sentidos opostos 
 
 
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC indicado na figura, temos: 
 C ( | u

 – v

 | )² = (| u

 |)² + (| v

 |)² - 2 | u

 | | v

 | cos  
 isto é : 
 ( u

 – v

 )  ( u

 - v

 ) = u

 u

 + v

  v

 - 2 |u

| | v

 | 
cos  
 u

 – v

 isto é: 
 u

 u

u

 – 2 ( u

v

) + v

v

 = u

u

 + v

v

- 2 | u

| | v

| 
cos  
ou seja: 
  - 2 ( u

  v

 ) = - 2 | u

 | | v

 | cos  
 A B Portanto: 
 v

 ( u

  v

 ) = | u

 | | v

 | cos  
 
Logo, o produto escalar de dois vetores u

 e v

 é o produto dos seus módulos pelo cosseno 
do ângulo formado entre eles. 
 
Observe que: 
1º) u

  v

 > 0  cos  > 0  0º   < 90º 
 O produto escalar é positivo quando o ângulo é agudo ( ou nulo). 
 
2º) u

  v

 < 0  cos  < 0  90º <  < 180º 
 O produto escalar é negativo quando o ângulo é obtuso ( ou raso). 
 
3º) u

  v

 = 0  cos  = 0   = 90º 
 O produto escalar é nulo quando o ângulo é reto. 
 
 
51 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Para determinar o ângulo  , sendo dados u

 = ( x1 , y1 ) e v

 = ( x2 , y2 ), partimos da 
fórmula: 
 
|v| |u|
vu
θ cos 


 
 
 
Exemplos: 
1) Determine o ângulo entre os vetores u

 = ( 1, 1, 4) e v

 = ( -1, 2, 2 ). 
R.: 45º 
 
 
 
2) Sabendo que o vetor v

 = ( 2, 1, -1) forma um ângulo de 60º com o vetor AB determinado 
pelos pontos A (3, 1, -2) e B (4, 0, m), calculem. 
R.: m = - 4 
 
 
 
 
 
3) Determine os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A (3, -1, 3 ), B ( 2, -1, 2) e C ( 1, 
0, 2). 
R.: 30º, 120º e 30º. 
 
 
 
 
4) Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B ( 2, 1 –1) e C ( 2, 2, -2) é um triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
7) Paralelismo e Ortogonalidade: 
 
Condição de Paralelismo: 
 Quando dois vetores u

 e v

 do R² são paralelos, suas representações geométricas 
por segmentos orientados a partir da origem O, ficam sobre uma mesma reta. 
 
 Y y 
 v

 
 u

 u

 
 u

 
 u

 x 
 v

 
 v

 v

 
 x 
 
52 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Neste caso, se v

 não é nulo , podemos concluir que u

 é “múltiplo” de v

, ou seja, 
u

 = k v

, onde k = 
|v|
|u|


 . Assim, dado um vetor não nulo v

, todo vetor u

 paralelo a v

 é 
um “múltiplo” de v

 , isto é, u

 = k v

 , onde k é número real. 
 
Sendo u

 = (x1 , y1 ) e v

 = (x2 , y2 ) temos 
u

 = k v

  (x1 , y1 ) = k (x2 , y2 )  





21
21
kyy
kxx
 
Se x2 . y2  0, decorre que k = 
2
1
x
x
 e k = 
2
1
y
y
 , logo 
 
2
1
x
x
 = 
2
1
y
y
 
 
E concluímos que a condição de paralelismo dos vetores u

 e v

 é que eles apresentem 
componentes proporcionais. 
O mesmo vale para vetores no R³, ou seja, 
2
1
x
x
 = 
2
1
y
y
 = 
2
1
z
z
 . Assim, verificamos que as 
três componentes também devem ser proporcionais. 
 
Exemplo: 
 Dado v

 = ( 3, 5 ) , são paralelos a v

 os seguintes vetores: 
u

1 = ( 6, 10) 
u

2 = ( 15, 25 ) 
u

3 = ( -9, -15) 
u

4 = ( 1, 5/3 ) 
 
 
 
Condição de Ortogonalidade: 
De acordo com a terceira observação da página anterior, vimos que dois vetores são 
ortogonais ( ou perpendiculares ) se e somente se o produto escalar deles é nulo, isto é, 
se: 
 
u

  v

 = 0 
 
Esta condição de Ortogonalidade vale tanto para vetores em R² como em R³. 
 
Exemplo: 
Seja u

 = ( -2, 3, -2) e v

 = ( -1, 2 , 4 ) . Mostre que u

 e v

 são ortogonais. 
 
u

  v

 = -2 ( -1) + 3 . 2 + ( -2) . 4 = 2 + 6 – 8 = 0 
 
Logo, u

 e v

 são ortogonais. 
 
 
53 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
6) Interpretação Geométrica do Produto Escalar: 
 
Na figura abaixo, A’ B’ é a medida algébrica da projeção do vetor v

 sobre a direção do vetor 
u

. Em símbolos: A’ B’ = vproj
u

 . B 
 
 v

 
 
 A  
 A’ B’ 
 u

 
 
Do triângulo retângulo AB’B 
A’B’= | v

 | cos  
Como 
|v| |u|
vu
θ cos 


 temos: 
A’B’= | v

 | 
|v| |u|
vu



 
Simplificando, vem: 
 
vproj
u

 = 
|u|
vu



 ou |u|vu

 vproj
u

 
 
 
 
9) O vetor projeção: 
O assunto é muito útil em física. F

 representa uma força aplicada a um bloco. Nosso 
objetivo é decompor F

 sobre outro vetor ou sobre os eixos cartesianos x e y. 
 
 F

2 F

 
 
 o F

1 
 
Determinar o vetor v

1 , projeção do vetor v

 sobre o vetor u

  0. 
 
 
 v

2 v

 
 // u

 
 v

1 
 u

 
Dedução: Sendo v

1 paralelo a u

, então v

1 = k u

. (1) 
Mas v

 = v

1 + v

2 (2) 
Substituindo (1) em (2) temos v

 = k u

 + v

2 
Multiplicando escalarmente por u

 
u

  v

 = k u

  u

 + u

  v

2 ou u

  v

 = k | u

 |² + 0  k = 
2|u|
 v.u 
 
54 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
Substituindo (3) em (1): v

1 = 
2|u|
 v.u 
 u

 
Assim, o vetor projeção de v

 na direção de u

 ( ou sobre u

) é dado pela fórmula 
 
Vetor proj u v

 = 
2|u|
 v.u 
 u

 
 
 
Exemplo: 
Dados os vetores u

 = i

 – j

 e v

 = 2 i

 – j

 + 2 k

, calcule o vetor projeção de v

 sobre 
u

. 
Exercícios: 
1. Dados u

 = ( 4, 7, 3 ) , v

 = ( 2, 2, 1 ) e w

 = ( 0, -5, 2 ), calcule: 
a) u

 v

 b) v

w

 c) (u

 + v

) w

 d) u

( v

 – 2 w

) 
e) proj u
 v

 f) vetor proj u
 v

 
 
 
2. Dados u

 = ( 4, 0, 3) e v

 = ( 0, 1, -1 ), determine: 
a) | u

 + v

 | b) | 3 v

 – u

 | 
 
 
3. Determine o versor de u

 = ( -5, 10, -10). 
 
 
4. Dados os vetores u

 = ( 1, a, -2a-1), v

 = (a, a-1, 1) e w

 = ( a, -1, 1), determine “a” 
de modo que u

  v

 = ( u

 + v

)  w

. 
 
5. Dados os pontos A ( 1, 2, 3 ) , B (-6, -2, 3) e C ( 1, 2, 1), determine o versor do vetor 3 BA 
– 2 BC. 
 
6. Calcule o perímetro do triângulo ABC de vértices A(1, 1, 0), B( 0, 1, 1) e C (1, 1, 1). 
 
7. Obtenha um ponto P no eixo das abscissas e equidistante dos pontos A ( 1, 0, 1) e B (-
1, 2, 0). 
 
8. Associe cada item ( I a V ) a uma das afirmações ( A a C ) : 
I. u

 = ( 4, 0, 6) e v

 = (3, 1, -2) 
II. u

 = ( 2, 1, -1) e v

 = ( -4, -2, 2 ) A) u

 e v

 são paralelos 
III. u

 = ( 12, 8, 0) e v

 = ( 8, 6, 0) B) u

 e v

 são ortogonais 
IV. u

 = (-1, 0, 3 ) e v

 = (-3, 0, 1) C) u

 e v

 não são paralelos nem 
V. u

 = ( 1, 1, -1) e v

 = ( 1, -2, -1) ortogonais. 
 
9. Calcule o ângulo formado pelos vetores u

 = ( 4, 1, 1) e v

 = ( 2, -1, 2 ). 
 
10. Determine a e b de modo que os vetores u

 = ( 4, 2, -8) e v

 = ( 10, a, b ) sejam paralelos. 
 
11. Sabe-se que os vetores ( k, -1, 0) e ( 2, -1, 2) formam um ângulo de 45º. Qual é o valor 
de k? 
55 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
12. Mostre que os pontos A(0,3,2), B(-1,1,2), C(1,0,1) e D(2,2,1) são os vértices de um 
retângulo. 
 
13. Calcule y para que o quadrilátero de vértices A ( 0,0), B ( 5, 1 ), C ( 7, 3) e D ( 3, y) 
possua as diagonais AC e BD perpendiculares. 
 
14. O triângulo de vértices A ( 6, -4), B ( 11,2) e C ( 1,1) é retângulo? Justifique. 
 
15. Dado o triângulo de vértices A( 0,2) , B ( 3 , 5) e C (0,6), calcule a medida do ângulo 
interno A. 
 
16. Determine o perímetro do triângulo ABC de vértices A ( 0, 1, 2), B ( -1, 0, -1) e C (2, -
1, 0). 
 
17. Calcule n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u

 = ( 1, n, 2) e v

= j

 . 
 
18. Qual o valor de  para que os vetores k 4 - j 5 i a

 e k 4 j 2 i ) 1 ( b

  sejam 
ortogonais. 
 
19. Calcule | u

 + v

| e | u

 – v

|, sabendo que | u

 | = 4, | v

 | = 3 e o ângulo entre u

 e v

 é de 
60º. 
 
20. Se u

 = ( ½ , 1/3 ) e v

 = ( ½ , 2/3 ) então o ângulo formado pelos vetores u

 + v

 e 2u

 – 
v

 é: 
a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e)n.r.a. 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 25 b) –8 c) – 37 d) 83 e) 
74
25 f) 





74
75
,
74
175
,
37
50 
2) a) 61b) 21 
3) ( -1/3, 2/3, -2/3 ) 
4) a = 2 
5) ( 7/9, 4/9, 4/9 ) 
6) 2 + 2 
7) ( -3/4, 0, 0) 
8) I – B II – A III – C IV – C V – B 
9) 45º 
10) a = 5 b = -20 
11) k = 1 ou 7 
12) Sim são vértices do retângulo 
13) y = 17/3 
14) Não 
15) 30º 
16) 2 ( 3 11 ) 
17)  15 
18) –3 e 2 
19) 13 e 37 
20) b 
56 
Material elaborado pela Professora Mirian B. B. Oberziner - Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I. 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
- ANTON, Howard & RORRES, Chris, Álgebra Linear com Aplicações, 8ª ed. , Porto 
Alegre, Bookman, 2001. 
 
 
- STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.