Vigas de concreto Solicita o tangencial CISALHAMENTO

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Concreto Armado II
Vigas de Concreto
Solicitação Tangencial
Dimensionamento à solicitação tangencial���� Cortante
■ Uma viga resiste às cargas, primeiramente, através da mobilização 
dos esforços internos de momento fletor e força cortante. No 
dimensionamento das vigas de concreto armado primeiro leva-se em 
conta o momento fletor para determinar as dimensões da peça e a 
armadura longitudinal necessária para resisti-lo. Depois, são feitas a 
verificação do esforço cortante e a
determinação da armadura transversal necessária (estribos).
■ A ruptura de uma viga por efeito da força cortante é 
freqüentemente violenta e frágil, devendo sempre ser evitada, o que 
se obtém fazendo a resistência da viga à força cortante superior 
à sua resistência à flexão. A armadura de flexão deve ser 
proporcionada de tal modo que, se vier a ocorrer à ruptura, deve ser 
por flexão, de modo que se desenvolva lenta e gradualmente. “É 
necessário garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual 
ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os 
usuários” (NBR 6118/2003).
► Estado limite último de solicitações tangenciais
O concreto armado tem três estádios de comportamento no 
cisalhamento, representados por:
● Estádio I
Nesse estádio o concreto está intacto, sem fissuras. O 
comportamento das peças de concreto armado nesse estádio é 
elástico linear, obedecendo a Lei de Hooke, e as tensões 
tangenciais podem ser calculadas através das equações da 
resistência dos materiais.
■ Se há somente o esforço cortante, a distribuição das tensões 
internas é uniforme, podendo ser determinada por:
Onde:
ττττ� Tensão tangencial
V� Esforço cortante
A� Área da seção transversal
 
A
V
 = τ
■ Se, na mesma seção, estão agindo o esforço cortante e o 
momento fletor simultaneamente, a distribuição de tensões 
internas não é mais uniforme, mas varia com a distância à linha 
neutra, podendo ser determinada por:
Onde:
ττττ� Tensão tangencial
V� Esforço cortante
I� Momento de inércia da seção transversal em relação à linha 
neutra
Q� Momento estático em relação à linha neutra
bw� Largura da seção transversal no ponto de determinação da 
tensão tangencial
 
I bw
Q V
 =τ
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● Estádio II
Chamado também de estádio de fissuração, onde o concreto 
não resiste mais à tração e as tensões são absorvidas pela
armadura. As verificações em serviço do elemento estrutural, 
abertura de fissuras e flecha, são feitas levando-se em 
consideração as hipóteses dos Estádios I e II.
● Estádio III
Chamado também de estádio de ruptura, o concreto está na
iminência de ruptura à compressão, podendo ocorrer por
escoamento do aço ou esmagamento do concreto. Com as
hipóteses do Estádio III se faz a verificação da segurança no
estado limite último de ruína.
► Tensões principais
As armaduras no concreto armado absorvem os esforços de tração que 
aparecem na estrutura. Em uma viga solicitada por esforço cortante, 
surgem tensões internas de cisalhamento para equilibrar a carga 
externa. As trajetórias das tensões principais definem o posicionamento 
correto das armaduras de tração e nos informa a direção das bielas de 
compressão.
■ Ao se carregar uma viga de concreto armado já são mobilizados, 
desde o início, tensões normais de flexão (σ) e tangenciais (τ), cujas 
direções principais e trajetórias são apresentadas a seguir:
■ O comportamento da região da viga sob maior influência das forças 
cortantes e com fissuras inclinadas de cisalhamento, pode ser muito 
bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática clássica 
de Mörsch.
• Banzo superior � Cordão de concreto comprimido.
• Banzo inferior � Armadura longitudinal de tração.
• Diagonais comprimidas � Bielas de concreto entre as fissuras.
• Diagonais tracionadas � Armadura transversal de 
cisalhamento (estribos).
► Modelo da treliça clássica de Mörsch
Esse modelo se baseia na analogia entre uma viga fissurada e 
uma treliça.
Viga simplesmente apoiada com armadura transversal 
formada por estribos a 90°
● Considerações do modelo da treliça
Sendo “V” a força de corte na viga, temos:
Onde:
Rcb � Força resultante de compressão na biela.
Rs,α � Força resultante na diagonal tracionada.
θ� Inclinação da diagonal comprimida (bielas 
de compressão).
α� Inclinação da diagonal tracionada.
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■ Uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre as 
barras “s” for:
● s ≥ 2 z para estribos inclinados a 45°.
● s > z para estribos a 90°.
Analogia clássica de uma viga com uma treliça
● Hipóteses básicas da analogia da treliça clássica
1- Fissuras, bielas de compressão, com inclinação de 45°.
2- Banzos paralelos.
3- Treliça isostática, não havendo engastamento nos nós, ou seja, 
nas ligações entre os banzos e as diagonais.
4- Amadura de cisalhamento com inclinação entre 45° e 90°.
● Considerações importantes na analogia da treliça clássica
O comportamento real obtido através de ensaios comprovam que 
há imperfeições na analogia de treliça clássica. Tais imperfeições 
são funções, principalmente, dos três fatores a seguir:
1- A inclinação das fissuras é menor que 45°.
2- Os banzos não são paralelos, pois há o arqueamento do banzo 
comprimido, principalmente nas regiões dos apoios.
3- A treliça é altamente hiperestática,pois ocorre engastamento 
das bielas no banzo comprimido, e esses elementos comprimidos 
possuem rigidez muito maior que a das barras tracionadas.
► Redução da força cortante
■ Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos 
mostram que o modelo de treliça desenvolvido para as vigas é 
efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios,
pois se constatou que os estribos muito próximos aos apoios 
apresentam tensão menor que os estribos fora deste trecho. 
■ Em função desta característica, na região junto aos apoios, a 
norma permite uma pequena redução da força cortante para o 
dimensionamento da armadura transversal.
● Carga distribuída
A força cortante obtida a partir de carga distribuída pode ser 
considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à 
distância “d/2” da face de apoio, constante e igual à desta seção.
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● Carga concentrada
A força cortante obtida a partir de uma carga concentrada 
aplicada a uma distância “a ≤ 2d” do eixo teórico do apoio pode, 
nesse trecho de comprimento “a”, ser reduzida multiplicando-a 
por “a/2d”.
► Dimensionamento à esforço cortante pela NBR 6118/2003
■ A NBR 6118/2003 admite como hipótese básica a analogia com 
o modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a 
mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no 
interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente 
adicional Vc.
■ O projeto do elemento estrutural à força cortante é sugerido 
com base em dois modelos de cálculo, chamados modelos de 
cálculo I e II.
■ A condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória 
quando verificados os estados limites últimos, atendidas 
simultaneamente as duas condições seguintes:
e
Onde: 
VSd� Força cortante solicitante de cálculo “Vd” na seção. Na 
região de apoio é o valor na face “VSd,face”.
� Coeficiente de ponderação.
VSk� Força cortante solicitante característica na seção.
VRd2� Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das 
diagonais comprimidas de concreto.
VRd3 = Vc + Vsw � Força cortante resistente de cálculo, relativa 
à ruína por tração diagonal.
Vc � Parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça, ou seja, equivalente a resistência 
ao cisalhamento da seção sem armadura transversal.
Vsw� Parcela de força absorvida pela armadura transversal.
■ Considerações do modelo de cálculo I:
• Bielas com inclinação θ = 45°.
• Vc constante, independente de VSd.
■ Considerações do modelo de cálculo II:• Bielas com inclinação θ entre 30°e 45°.
• Vc diminui com o aumento de VSd.
■ Considerações importantes dos dois modelos de cálculo:
Tanto no modelo de cálculo I quanto no modelo de cálculo II, 
devem ser consideradas as etapas de cálculo a seguir:
• Verificação de compressão na biela.
• Cálculo da armadura transversal.
• Deslocamento “al” do diagrama de força no banzo
tracionado.
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■ Dimensionamento através do modelo de cálculo I
● Verificação da compressão na biela
Independente da taxa de armadura transversal, deve ser 
verificada a condição:
De acordo com a norma, no modelo de cálculo I, temos:
Onde:
� fck em MPa
� fck em kN/cm2
Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas
deve-se ter:
● Cálculo da armadura transversal
Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a 
condição:
A parcela “Vc” referente à parte da força cortante absorvida pelos 
mecanismos complementares ao de treliça é definida como:
a) Elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção:
b) Elementos na flexão simples e na flexo-tração com a linha 
neutra cortando a seção:
Onde:
em “MPa”
c) Elementos na flexo-compressão:
Onde:
M0� Momento fletor que anula a tensão normal de compressão 
na borda da seção (tracionada por Md,máx), provocada pelas 
forças normais de diversas origens simultâneas com VSd.
MSd,máx� Momento fletor de cálculo, máximo no trecho em 
análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semi-
tramo considerado.
Com o valor de “Vc” conhecido, calcula-se a parcela do esforço 
cortante “VSw” a ser resistida pela armadura transversal, 
considerando-se “VRd3 = VSd”, temos:
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De acordo com a norma, para o modelo de cálculo I, temos:
435 MPa = 43,5 kN/cm2
Onde:
Asw,α� Armadura transversal total do estribo, cortando todos os 
ramos verticais existentes.
α� Inclinação dos estribos. A inclinação dos estribos deve estar 
no intervalo: 45° ≤ α ≤ 90°.
s� Espaçamento da armadura transversal.
fywd � Tensão máxima admitida na armadura transversal.
Em geral adotam-se estribos verticais (α = 90°) e procura-se 
determinar a área desses estribos por unidade de comprimento 
“Asw = (Asw,α)/s”, ao longo do eixo da viga.
■ Dimensionamento através do modelo de cálculo II
Ao admitir ângulos θ inferiores a 45° a norma adota a chamada 
treliça generalizada.
● Verificação da compressão na biela
Independente da taxa de armadura transversal, deve ser 
verificada a condição:
De acordo com a norma, no modelo de cálculo II, temos:
Onde:
� fck em MPa
� fck em kN/cm2
Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas
deve-se ter:
● Cálculo da armadura transversal
Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a 
condição:
A parcela “Vc” referente à parte da força cortante absorvida pelos 
mecanismos complementares ao de treliça é definida como:
a) Elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção:
b) Elementos na flexão simples e na flexo-tração com a linha 
neutra cortando a seção:
c) Elementos na flexo-compressão:
A seguinte lei de variação para “Vc1” deve ser considerada:
Deve-se interpolar os valores intermediários de “Vc1” de maneira 
inversamente proporcional ao acréscimo de VSd . 
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Sabe-se que, para valores de “Vc0” temos:
Onde:
em “MPa”
O valor de “Vc1” pode ser calculado a partir a equação:
Interpolação para determinação do valor de “Vc1”
Temos:
M0� Momento fletor que anula a tensão normal de compressão 
na borda da seção (tracionada por Md,máx), provocada pelas 
forças normais de diversas origens simultâneas com VSd.
MSd,máx� Momento fletor de cálculo, máximo no trecho em 
análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semi-
tramo considerado.
Com o valor de “Vc1” conhecido, calcula-se a parcela do esforço 
cortante “VSw” a ser resistida pela armadura transversal, 
considerando-se “VRd3 = VSd”, temos:
De acordo com a norma, para o modelo de cálculo II, temos:
435 MPa = 43,5 kN/cm2
Onde:
Asw,α� Armadura transversal total do estribo, cortando todos os 
ramos verticais existentes.
θ� Inclinação da diagonal comprimida.
α� Inclinação dos estribos. A inclinação dos estribos deve estar 
no intervalo: 45° ≤ α ≤ 90°.
s� Espaçamento da armadura transversal.
fywd � Tensão máxima admitida na armadura transversal.
Em geral adotam-se estribos verticais (α = 90°) e procura-se 
determinar a área desses estribos por unidade de comprimento 
“Asw = (Asw,α)/s”, ao longo do eixo da viga.
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► Armadura transversal mínima
Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento, a armadura 
transversal deve ser suficiente para suportar o esforço de tração 
resistido pelo concreto na alma, antes da formação de fissuras de 
cisalhamento. A norma estabelece a seguinte equação para a 
taxa geométrica “ρsw”, constituída por estribos:
Onde “fywk” é a resistência característica de escoamento da 
armadura transversal. 
A a taxa mínima “ρsw,min” da armadura transversal depende das
resistências do concreto e do aço e possuem valores tabelados.
Valores de “ρsw,min” (%)
A armadura mínima é calculada por:
► Força mínima relativa a taxa mínima
A força cortante solicitante “VSd,min” relativa à taxa mínima será:
► Disposições construtivas – Detalhamento dos estribos
As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração 
provocados por forças cortantes podem ser constituídas por 
estribos. 
a) Diâmetro mínimo e diâmetro máximo
● O diâmetro dos estribos devem estar no intervalo:
5 mm ≤ φt ≤ bw /10.
● Quando a barra for lisa, temos: φt ≤ 12 mm.
● No caso de estribos formados por telas soldadas, temos:
φt,min = 4,2 mm
Desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão da 
armadura.
b) Espaçamento longitudinal mínimo e máximo
O espaçamento mínimo entre estribos, na direção longitudinal da 
viga, deve ser suficiente para a passagem do vibrador, garantindo 
um bom adensamento. Adotando-se uma folga de 1 cm para a 
passagem do vibrador, o espaçamento mínimo fica:
Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre 
os estribos, o espaçamento máximo deve atender às seguintes 
condições:
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O espaçamento transversal “st” entre ramos sucessivos da armadura 
constituída por estribos não deve exceder os seguintes valores:
c) Ancoragem
Os estribos para cisalhamento devem ser fechados através de um 
ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de 
tração, e ancorados na face oposta.
● Vigas bi-apoiadas � Os estribos podem ser abertos na face
superior, com ganchos nas extremidades.
● Vigas em balanço ou contínuas � Devem ser adotados estribos 
fechados tanto na face inferior quanto na superior.
d) Emendas
As emendas por transpasse são permitidas apenas quando os 
estribos forem constituídos por telas ou por barras de alta aderência.
e) Decalagem
● Modelo de cálculo I
A equação para determinação do deslocamento “al” a ser aplicado no 
diagrama de momentos fletores, para o modelo de cálculo I, será:
● Modelo de cálculo II
A equação para determinação do deslocamento “al” a ser aplicado no 
diagrama de momentos fletores, para o modelo de cálculo II, será:
Para os modelos de cálculo I e II, a decalagem do diagrama de força no 
banzo tracionado pode também ser obtida simplesmente aumentando a 
força de tração, em cada seção, pela expressão: