Sistemas e Sinais - Poli - P1 - 2017 - Elétrica - Semestral

Prévia do material em texto

Notas: |1a.Q |2a. Q |3a. Q Total:__________________
Nome: _______________________________________________ No USP:____________________ 
Primeira Prova PTC 3307 1o Semestre de 2017 Duração de 120 minutos 
Permitida consulta somente a duas folhas de tamanho A4 manuscritas (1 pode ser de tabelas). O uso de calculadoras ou celulares ligados na 
sala não é permitido. Tudo tem que ser justificado. 
1a Questão [3,4 pontos] Um sistema linear e invariante no tempo SISO, denominado S, apresenta na saída a forma 
de onda y1(t) da Figura 1 quando é aplicado na entrada um sinal u1(t) com a forma de onda indicada na Figura 2, e 
com condições iniciais nulas. Pede-se: 
a) Uma classificação do sistema S quanto à memória e causalidade, justificando brevemente.
b) A forma de onda do sinal de saída y2(t) do sistema S, calculada por convolução gráfica, calibrando
cuidadosamente os dois eixos e considerando condições iniciais nulas, quando o sinal u2(t) = x(2t – 2) é
aplicado à sua entrada, sabendo-se que x(t) tem a forma de onda apresentada na Figura 3.
Fig. 1 
Fig. 2 
Fig. 3 
GABARITO
2a Questão [3,2 pontos] 3) Esta questão versa sobre resultados do exercício computacional sugerido na disciplina para a P1. 
Trata-se de dois pêndulos acoplados por uma mola de comprimento (em repouso) x0, conforme a Fig. 1. A linearização das 
equações que regem o sistema forneceu as seguintes equações 
 
 
 
Adota-se para ambas as entradas M1(t) e M2(t) um pulso retangular de duração muito curta e área unitária (a ideia é que elas 
aproximem um impulso de Dirac). O sistema parte de t = 0 com condições iniciais nulas. 
Os valores (em unidades do SI) de parâmetros são: m1 = m2 = 2; ℓ = 0,2; g = 9,8; L = 1; k = 20; d = 10; x0 = 10; b = 0,2. 
 
 
Figura 1 
 
Na Fig. 2 são mostrados os resultados para θ1(t) e θ2(t). 
 
Figura 2 
 
a) Note que as duas saídas resultaram iguais. Interprete isto fisicamente em relação à mola e às particulares entradas aplicadas. 
b) Estime a frequência da oscilação amortecida fd (Hz), bem como a constante de tempo τ do amortecimento diretamente da Fig. 2. 
Tome agora apenas um dos pêndulos, sem o acoplamento com o outro. Considere g = π2 como uma aproximação para facilitar as 
contas. 
c) Determine os polos aproximados do pêndulo isolado em termos dos valores numéricos do problema. 
d) A partir dos polos do item acima, determine a expressão do modo natural associado aos dois polos, com valores numéricos 
correspondentes aos dados do problema (apenas a expressão teórica não terá nota atribuída). 
e) Compare os valores estimados no item (b) com os parâmetros numéricos do modo natural determinado no item (d). 
 
 
θ1(t) (rad) 
t (s) 
θ2(t) (rad) 
3a Questão [3,4 pontos] São dados 2 sistemas, conforme descrito abaixo. 
O sistema 1 é linear e invariante no tempo e é caracterizado pela seguinte resposta ao impulso unitário: 
( ) ( )teth t 1⋅= −1 ; onde ( )t1 é a função degrau unitário 
O sistema 2 é linear, causal e invariante no tempo e é caracterizado pela seguinte função de transferência: 
( )
π⋅+
=
20
2
2 s
sH 
As curvas normalizadas de resposta em frequência de um sistema de 1ª ordem são apresentadas abaixo e podem ser utilizadas para 
estimar ganhos e defasagens das funções resposta em frequência associadas às perguntas desta questão da prova. Não há problema 
no fato de se obterem valores aproximados de ganho e defasagem, a vantagem sendo que o uso dos gráficos economiza tempo! 
 
Pede-se (itens a, b & c): 
a) A saída do sistema 1, ( )tya , quando a entrada é o sinal ( ) 



 −⋅⋅+




 −⋅=
4
3cos3
6
2 ππ ttsentua 𝑡 ∈ ℝ 
b) A saída do sistema 2, ( )tyb , quando a entrada é o sinal ( ) 



 +⋅⋅=
3
100cos ππ ttub 𝑡 ∈ ℝ 
 
c) A saída do sistema 2, ( )tyc , quando a entrada é o sinal ( )tuc com frequência angular fundamental
srad /1000 πω ⋅= . Sabe-se que os componentes da série de Fourier na forma exponencial complexa do sinal 
( )tuc são: 












⋅=
=
=
=
⋅=





⋅−
+





⋅+
+





⋅−
−





⋅+
−
2
2
3
1
0
3
1
2
2
2
3
2
2
3
π
π
π
π
j
j
j
j
ec
ec
c
ec
ec
 
 
 
3ª Questão 
ITEM a) 
 
  












4
3cos3
6
2

ttsentua
 
       
1
1
1
1
1
,
11

 

   jjHssHteth estávelBIBOcausalLt 1
 
Pelas curvas normalizadas, obtém-se: 
 
 














4
1
2
1
1
/1
6
2
1
1


jH
jH
sradtsen 
 
 











25,13
3,03
/3
4
3cos3
1
1
jH
jH
sradt  
Dessa forma: 
         











 3
4
3cos331
6
21 1111 jHtjHjHtsenjHtya
 
  











 25,1
4
3cos33,0
46
2
2
1 
ttsentya
 
 
ITEM b) 
  






3
100cos
 ttub
  100 rad/s 
       20
2
20
2
2
,
2
j
jH
s
sH estávelBIBOcausal
 
 20;2 ab
 
srad
a
/5
2
100
' 


 

; 
 
1'
1
'




j
jG
 
   '2  jG
a
b
jH 
 
 
Pelas curvas normalizadas, obtém-se: 
 
 





4,15
2,05
/5
20
100
'/100
jG
jG
sradsrad 
 
   '2  jG
a
b
jH 
 
   '2  jGjH 
 
Dessa forma: 
     





  100
3
100cos100 22 jHtjHtyb
 
     





 5
3
100cos5 jGtjG
a
b
tyb
 
  







 4,1
3
100cos2,0
20
2  ttyb
 
 
ITEM c) 
srad /1000   
Componentes da série de Fourier na forma exponencial complexa do sinal 
 tuc
 são: 
 


















































2
2
3
1
0
3
1
2
2
2
3
2
2
3




j
j
j
j
ec
ec
c
ec
ec
 
  tjtjtjtjc ececcecectu



 
0000 2
2101
2
2
 
    tjtj
j
tj
j
tj
c ejeeeeejtu
















  0000 2332
2
3
2
2
3  
   tjtj
tjtj
c eejeetu























 00
00
2233
2
3
2

 
  jj ee 
2
1
cos
 
    jjjj eejee
j
sen  


22
1
 
   tsenttuc 





 00 23
3
cos22  
   tsenttuc 





  2003
3
100cos22
 
       20
2
20
2
2
,
2
j
jH
s
sH estávelBIBOcausal
 
 20;2 ab
 





2
'
a
; 
 
1'
1
'




j
jG
 
   '2  jG
a
b
jH 
 
Pelas curvas normalizadas, obtém-se: 
  
 





05
10
/0
20
0
'/0
jG
jG
sradsrad 
 
  
 





4,15
2,05
/5
20
100
'/100
jG
jG
sradsrad 
 
  
 





45,110
1,010/10
20
200
'/200
jG
jG
sradsrad 
 
   '2  jG
a
b
jH 
 
   '2  jGjH 
 
 
 
   
    

2002003200
100
3
100cos2100
20
22
22
2
jHtsenjH
jHtjH
jH
tyc









 
 
 
   
    10200310
5
3
100cos25
20
jGtsenjG
a
b
jGtjG
a
b
jG
a
b
tyc












 
 
 45,120031,0
20
2
4,1
3
100cos22,0
20
2
21
20
2















tsen
ttyc






 
   45,1200
10
3,0
4,1
3
100cos2
10
2,0
10
2












 tsenttyc  
 
	Gabarito P1-Q1-PTC3307-2017
	Page 1
	Gabarito P1-Q2-PTC3307-2017-VR2
	Page 1
	Gabarito P1-Q3-PTC3307-2017
	P1 2017
	Notas: |1a.Q |2a. Q |3a. Q Total:__________________
	Primeira Prova PTC 3307 1o Semestre de 2017 Duração de 120 minutos