Sistemas e Sinais - Poli - P3 - 2009

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Notas: |1a.Q |2a. Q |3a. Q |Total:_______________ 
 
Nome: _GABARITO_________________________________________________ 
 
Número USP: __________________________________________________ 
 
Terceira Prova de PTC 2307 1o Semestre de 2009 Duração de 120 minutos 
 
Permitida consulta somente a UMA folha tamanho A4 MANUSCRITA. É proibido usar folha A4 contendo material não 
manuscrito. O uso de calculadoras não é permitido. Tudo tem que ser justificado. Passagens e resultados não óbvios 
tem que ter explicação, pois em caso contrário há grande risco de se perder pontos! Se usar uma fórmula de livro ou da apostila, 
referenciar na prova. Nos esboços de gráficos, é OBRIGATÓRIO colocar valores importantes na abscissa e na ordenada. 
 
 
1a Questão (3,0 pontos) 
Considere um filtro passa-baixas ideal com resposta em freqüência 



>
<
= βω
βω
ω
;
;)(
 0
 1
H 
Deseja-se escolher o fator β para que o sinal 
 t
 t
pi
α )()( sentu = não sofre distorção na saída do filtro. 
 
a) Encontre a saída y(t) para αβ 2= 
b) Encontre a saída y(t) para 2/αβ = 
c) Em qual dos casos teremos distorção? 
 
Solução: 
 t
 t
pi
α )()( sentu = → )(ωU 



>
<
=
αω
αω
;
;
 0
 1
 
e 
 t
 t
pi
β )()( senth = → )(ωH 



>
<
= βω
βω
;
;
 0
 1
 
 
a) ))(()( ωYty -1F= → )()()( ωωω UHY =



>
<
=
αω
αωω
2 0
2 
;
;)(U
 
∴ )()( ωω UY = → y(t) = u(t) 
 
b) )()()( ωωω UHY =



>
<
=
2 0
2 
/;
/;)(
αω
αωωU
 
 
∴ )()( ωω HY = → y(t) = h(t) 
 
c) O filtro do item (b) não permite passagem de todas as freqüências do sinal de entrada, logo esse filtro 
produz distorção do sinal de entrada. 
 
 
2a Questão (3,5 pontos) 
Dados os sinais: 
( )



>
<
==
3,0
3,1)( 31 tse
tse
tptu
 
( ) ( ) 




 ⋅
⋅=
⋅
⋅
=
pipipi
t4
sinc4
t
t4
2
sen
tu
 
( )t4)( 23 ⋅= utu 
 
Suponha um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte resposta em freqüência: 
 
( ) ωω ⋅⋅−= 5jejH
 
 
a) Esboce, com detalhes, o espectro (módulo e fase) de )(1 tu ; 
b) Esboce, com detalhes, o espectro (módulo e fase) de ( )tu3 ; 
c) O sinal )(1 tu é aplicado na entrada do sistema com resposta em freqüência ( )ωjH . Esboce, com 
detalhes, o sinal de saída do sistema, ( )ty1 ; 
d) O sinal )(2 tu é aplicado na entrada do sistema com resposta em freqüência ( )ωjH . Esboce, 
com detalhes, o espectro (módulo e fase) do sinal de saída do sistema, ( )ω2Y ; 
e) Calcule a energia do sinal )(3 tu . 
GABARITO 
a) ( ) ( ) 




 ⋅
⋅=
⋅
⋅=
pi
ω
ω
ω
ω
3
sinc6321
senU
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
ω (rad/s)
|U 1
( ω
)|
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-2
0
2
4
ω (rad/s)
Fa
se
[U
1( ω
)]
 
b) ( ) ( ) ( )ωω 422 pUtu =↔ ( ) 




⋅↔⋅
4|4|
14 22
ωUtu
 
( ) 





⋅=
44
1
23
ω
ω UU
 
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
ω (rad/s)
|U 3
( ω
)|
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
ω (rad/s)
Fa
se
 
[U
3( ω
)]
 
c) ( ) ( ) ( )ωωω jHUY ⋅= 11 ( ) ( ) ωωω ⋅⋅−⋅= 511 jeUY 
Deslocamento no tempo 
( ) ( )
( ) ( )

⋅↔−
↔
⋅⋅− 0
0
tj
eStts
Sts
ωω
ω
 
( ) ( )511 −=∴ tuty 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo(s)
y 1
(t)
 
 
d) ( ) ( ) ( )ωωω jHUY ⋅= 22 
( ) ( ) ωωω ⋅⋅−⋅= 522 jeUY 
( ) ( ) ωωω ⋅⋅−⋅= 542 jepY 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
ω (rad/s)
|Y 2
( ω
)|
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
-10
0
10
20
ω (rad/s)
Fa
se
 
[Y
2( ω
)]
 
e) Parseval: ( ) ( ) ωωpi dUE tu ∫
+∞
∞−
⋅
⋅
=
2
32
1
3 
( ) pi
ω
pi
ω
pi
1
16
1
2
1
4
1
2
1 16
16
16
16
2
3
=⋅
⋅
=





⋅
⋅
= ∫∫
+
−
+
−
ddE tu 
( ) pi
1
3
=tuE 
3ª Questão (3,5 pontos) 
A figura abaixo mostra um sistema de modulação e transmissão de sinal DSB-SC e um sistema de 
recepção e demodulação do sinal de DSB-SC. O sinal ( )tm é real e tem espectro ( )ωM não nulo de 
aω− a aω+ . Para fins de desenho, o espectro de ( )tm pode ser esboçado apenas no seu módulo 
(formato arbitrário, mas limitado em banda, conforme especificado). 
 
a) É dada a seguinte frase: 
“Se tomarmos εωω += a0 , onde ε é um número positivo tão pequeno quanto se queira, 
obtém-se ainda um ( )ts que é um sinal DSB-SC resultante da modulação do sinal ( )tm ” 
Utilizando justificativas matemáticas apropriadas e esboços de espectros, comente sobre a 
veracidade ou não da frase. 
b) Tomando aωωω >>= 01 , determine a expressão de ( )ωQ em função de ( )ωM e 0ω . 
Tomando ac ωω = , determine a expressão do sinal ( )ty em função de ( )tm . (Note que o 
primeiro resultado que se solicita é no domínio da freqüência e o segundo é no domínio do tempo) 
c) Supondo que 01 01,1 ωω ⋅= (erro de 1% na freqüência do oscilador do receptor) e ac ωω = , e 
adotando srad /102 60 ⋅⋅= piω e srada /102
3
⋅⋅= piω , determine a expressão do sinal 
( )tq
 e esboce o seu espectro (Note que as duas coisas tem que ser fornecidas por você, e que os 
valores numéricos fornecidos das freqüências angulares têm que ser usadas nas suas respostas). 
No esboço do espectro, fazer bilateral. 
d) Nas condições do item (c), esboce o espectro de ( )ty , justificando o seu raciocínio. 
 
Obs: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa −++⋅=⋅ coscos5,0coscos