Geometria Plana, Fuvest, Unicamp, Unesp

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Geometria Plana – Revisão Geral 
Fuvest – Unesp – Unicamp 
 
1. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o 
ponto A é exterior a ela. Além disso, 
 
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; 
(2) AB = OB; 
(3) CÔD mede α radianos. 
 
 
 
Nessas condições, a medida de A
Bˆ
O, em radianos, é igual a: 
a) π - (α/4) 
b) π - (α/2) 
c) π - (2α/3) 
d) π - (3α/4) 
e) π - (3α/2) 
 
2. (Unicamp 2003) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60
°
 de 
latitude norte; o ponto A está a 15
°
45' de longitude leste e o ponto B a 56
°
15' de longitude 
oeste. 
 
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio 
do paralelo de 60
°
? 
b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60
°
? [Use 
22/7 como aproximação para ð] 
 
3. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos 
lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a 
a) 3,0 m
2
. 
b) 2,0 m
2
. 
c) 1,5 m
2
. 
d) 3,5 m
2
. 
 
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4. (Fuvest 2014) O triângulo 
AOB
 é isósceles, com 
OA OB,
 e 
ABCD
 é um quadrado. 
Sendo 
θ
 a medida do ângulo 
ˆAOB,
 pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a 
área do triângulo se 
 
Dados os valores aproximados: 
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
   
   
 
a) 
14 28θ   
 
b) 
15 60θ   
 
c) 
20 90θ   
 
d) 
25 120θ   
 
e) 
30 150θ   
 
 
5. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de 
três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem 
um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos 
de cada hexágono é de 25 metros. 
 
 
 
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. 
a) 1.600 m
2
 
b) 1.800 m
2
 
c) 2.000 m
2
 
d) 2.200 m
2
 
e) 2.400 m
2
 
 
6. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo 
isósceles ABC, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por 
 S φ
 e 
 T ,φ
 
podemos afirmar que a razão 
   S T ,φ φ
 quando 
2φ π
 radianos, é 
a) 
2.π
 b) 
2 .π
 c) 
.π
 d) 
4.π
 
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7. (Fuvest 2013) 
 
 
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao 
longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de 
mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por 
A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, 
AA’,
 
BB’,
 
CC’
 e 
DD’.
 Dado 
que 
AB 4
 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do 
a) paralelogramo ABCD; 
b) triângulo BB’C’; 
c) quadrilátero A’B’C’D’. 
 
8. (Unesp 2010) O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três 
folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a 
folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo 
que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de 
semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 mm, 
determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com 
precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no 
mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão 
as faces “lisas”. 
 
Dado: π ≈ 3,14. 
a) 160 m e 07 cm. 
b) 160 m e 14 cm. 
c) 160 m e 21 cm. 
d) 160 m e 28 cm. 
e) 160 m e 35 cm. 
 
9. (Unesp 2008) O planeta Terra descreve seu movimento de translação em uma órbita 
aproximadamente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com 24 horas, o ano 
com 365 dias e a distância da Terra ao Sol aproximadamente 150.380 × 10
3
 km, determine a 
velocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a 
aproximação π = 3. 
 
 
 
 
 
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10. (Fuvest 2001) Numa circunferência, c1 é o comprimento do arco de 
6
π
 radianos e c2 é o 
comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a 
razão 
1
2
c
c
é igual a 
6
π
multiplicado por: 
 
a) 2 b) 
(1 2 3)
 c) 
(2 3) 
 d) 
(2 2 3)
 e) 
(3 3)
 
 
11. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero 
0 0A OBΔ
 de lado 7cm. 
 
a) Sendo 
1A
 o ponto médio do segmento 
0 0A B ,
 e B1 o ponto simétrico de 
1A
 em relação à 
reta determinada por 
O
 e 
0B ,
 determine o comprimento de 
1OB .
 
 
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo 
1 1A OB ,Δ
 pode‐se obter o triângulo 
2 2A OBΔ
 tal que 
2A
 é o ponto médio do segmento 
1 1A B ,
 
e 
2B
 o ponto simétrico de 
2A
 em relação à reta determinada por 
O
 e 
1B .
 Repetindo mais 
uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo 
3 3A OB .Δ
 Assim, sucessivamente, pode‐se 
construir uma sequência de triângulos 
n nA OBΔ
 tais que, para todo 
nn 1, A
 é o ponto médio 
de 
n 1 n 1A B , 
 e 
nB ,
 o ponto simétrico de 
nA
 em relação à reta determinada por 
O
 e 
n 1B ,
 
conforme figura abaixo. 
 
 
 
Denotando por 
na ,
 para 
n 1,
 o comprimento do segmento 
n 1 nA A ,
 verifique que 
1 2 3a ,a ,a , ...
é uma progressão geométrica. Determine sua razão. 
 
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal 
0 1 2 nA A A ...A ,n 1.
 
 
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento 
PP'
 é 
perpendicular à reta r e a interseção de 
PP'
 e r é o ponto médio de 
PP'.
 
 
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12. (Unesp 1997) No cubo ABCDEFGH, sugerido pela figura a seguir, considere o ponto 
médio, M, da aresta AE. 
 
Se N é o ponto em que o plano determinado por H, M e B corta a aresta CG, prove que: 
a) HMBN é um paralelogramo; 
b) os lados de HMBN têm mesma medida. 
 
13. (Fuvest 2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se 
entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi 
marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as 
cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C 
do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de 
encontro. 
 
14. (Fuvest 1998) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é 
 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
 
15. (Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45
°
 e o 
ângulo 2 mede 55
°
.A medida, em graus, do ângulo 3 é: 
 
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100 
 
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16. (Unesp 2012) Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase 
final de construção. Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os 
quais serão cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas 
de ar (n = 0, 1, 2…). 
Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum 
vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, para 
evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices 
coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono. 
 
 
 
Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (T) possíveis 
de serem cortados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas no vidro 
utilizado. 
 
17. (Unesp 2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por 
N(x)=(x
2
-3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
 
18. (Fuvest 2000) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do 
ângulo á é: 
 
a) 32
°
 
b) 34
°
 
c) 36
°
 
d) 38
°
 
e) 40
°
 
 
19. (Fuvest 2005) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos 
seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é 
a) 5
3
 
b) 6
3
 
c) 7
3
 
d) 8
3
 
e) 9
3
 
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20. (Unicamp 2004) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular 
cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: 
a) O comprimento de cada lado do triângulo. 
b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 
 
21. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, 
dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um 
compasso e da moeda. 
 
 
 
Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na 
circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 1. 
e) 5. 
 
22. (Unicamp 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a 
figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a 
ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível. 
 
 
23. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 
= 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, 
tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta 
1 2
O O
no ponto Q. Sendo assim, determine 
a) o comprimento P1P2; 
b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; 
c) a área do triângulo QO2P2. 
 
 
 
 
 
 
 
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24. (Unesp 2008) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. 
As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia 
um rio. 
 
Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem 
do rio é: 
a) 7,5. 
b) 5,7. 
c) 4,7. 
d) 4,3. 
e) 3,7. 
 
25. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e 
centro O. Se EP = 1, então a é: 
 
 
a) 
 
2
2 1
 
b) 
2
( 3 1)
 
c) 
2
2
 
d) 2 
e) 
2
( 2 1)
 
 
 
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26. (Fuvest 2000) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse 
trapézio é: 
a) 13 
b) 14 
c) 15 
d) 16 
e) 17 
 
27. (Fuvest 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana 
AM
, relativa ao lado 
BC
, e 
perpendicular ao lado 
AB
. Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se á e a medida do angulo 
A
Bˆ
C, determine 
 
 
 
a) sen á. 
b) o comprimento AC. 
c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado 
AB
. 
d) a área do triangulo AMC. 
 
28. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF 
mede 80
°
, então o ângulo ABC mede: 
 
a) 20
°
 
b) 30
°
 
c) 50
°
 
d) 60
°
 
e) 90
°
 
 
 
 
 
 
 
 
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29. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco 
lados com comprimento de 
1cm
 e um lado com comprimento de 
xcm.
 
 
 
 
a) Encontre o valor de x. 
b) Mostre que a medida do ângulo 
α
 é inferior a 150°. 
 
30. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a 
circunferência C de equação 
   22x 1 y 2 1.   
 Uma reta t passa por P e é tangente a C em 
um ponto Q. Então a distância de P a Q é 
a) 
15
 
b) 
17
 
c) 
18
 
d) 
19
 
e) 
20
 
 
31. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete 
internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, 
considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono 
ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica 
em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no 
trajeto PFGHQ? 
 
 
a) 12 cm. 
b) 15 cm. 
c) 16 cm. 
d) 18 cm. 
 
 
 
 
 
 
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32. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma 
casa. 
 
 
 
Sabe-se do quadrilátero ABEF que: 
• Seus ângulos 
ˆABE
e 
ˆAFE
 são retos. 
• 
AF
 mede 9 m e 
BE
 mede 13 m. 
• o lado 
EF
 é 2 m maior que o lado 
AB
. 
 
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados 
AB
 e 
EF?
 
 
33. (Unicamp 2012) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo. 
 
 
 
a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma 
tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da 
porta. Determine o número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o 
espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo 
perímetro do cômodo. 
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto 
do cômodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como 
está indicado na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando 
a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mínimo de fio necessário para 
conectar o interruptor à lâmpada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol 
olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. 
 
 
 
Suponha que neste tipo de gol: 
 
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado; 
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o pontodo campo em que a bola 
entra no gol seja 
40 m;
 
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 
1m.
 
 
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com 
uma casa decimal de aproximação. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As 
figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações 
entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada 
ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade. 
 
 
 
 
35. (Unicamp 2012) Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários 
a) 1201,5 m de ripas. 
b) 1425,0 m de ripas. 
c) 2403,0 m de ripas. 
d) 712,5 m de ripas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e 
as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x. 
 
 
 
37. (Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. 
Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a 
seguir. 
 
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. 
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. 
 
 
 
 
38. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no 
qual 
AB AC.
 A altura relativa ao lado 
BC
 mede 8 cm. O comprimento de 
BC
 é, portanto, 
igual a 
a) 24 cm 
b) 13 cm 
c) 12 cm 
d) 9 cm 
e) 7 cm 
 
39. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro 
O
 e raio 
r
 está inscrita em um setor 
circular de centro 
C
 e raio 
R,
 conforme a figura. 
 
 
 
O ponto 
D
 é de tangência de 
BC
 com a semicircunferência. Se 
AB s,
 demonstre que 
R s R r r s.    
 
 
 
 
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40. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A 
altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas 
verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um 
momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal 
e vertical do teleférico, em metros, até este momento. 
 
 
 
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 
20 m? 
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico 
gasta para ir do pico A ao pico B? 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
 
 
ˆABD x
ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x
 - xˆˆABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 
2
No triângulo AOB:
 - x
 - x + (ângulo externo)
2
2 = 2 2x x
3x 3 2
3 2
x
3
2
x
3
Δ π
π
Δ
π
α π
α π π
π α
π α
α
π


  
 


 
 
 
Portanto, 
 ˆABO 2 /3π α 
 
 
Resposta da questão 2: 
 a) 3200 km 
b) 28160/7 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Sejam 
x, x r
 e 
x 2r
 as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com 
x, r 0.
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos 
x 3r.
 Logo, os lados do triângulo medem 
3r, 4r
 e 
5r.
 
 
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 
6,0 m,
 vem 
1
3r 4r 5r 6 r .
2
    
 
 
Portanto, a área do triângulo é igual a 
 
2
23r 4r 16 1,5 m .
2 2
  
   
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Considere a figura, em que 
M
 é o ponto médio do lado 
AB.
 
 
 
 
Do triângulo retângulo 
OMB,
 obtemos 
BM AB
tgMOB MO .
MO 2tg
2
θ
  
 
 
Sem perda de generalidade, suponhamos que 
AB 1.
 Assim, 
 
AB MO 1
(AOB) .
2
4 tg
2
θ

 
 
 
A área do quadrado 
ABCD
 é maior do que a área do triângulo 
AOB
 se 
 
2 1(ABCD) (AOB) 1
4 tg
2
1
tg 0,25.
2 4
θ
θ
  
  
 
 
Logo, como 
tg15 0,2679 0,25  
 e 
0 180 ,θ   
 vem que 
30 180 .θ   
 Note que 
]30 ,150 [ ]30 ,180 [.    
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. 
 
Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do 
apótema do hexágono, obtemos 
 
25 3
25 tg30 m.
3
   
 
 
Desse modo, a área da piscina é dada por 
 22
2
3 3 9 25 3
3 3
2 2 3
1875
3
2
1.623,8 m
 
    
 
 

 
 
e, portanto, 
21.600 m
 é o valor que mais se aproxima da área da piscina. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
 
 
Sejam 
2 90 ,φ π  
 R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles. 
 
 
22 2 2 2
2
2 2
22 2
x x 2R x 2.R
1
R
S( ) R R2
1T( ) x 2Rx x
2
π
π
φ π π
φ
   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 7: 
 a) A = 4

3 = 12. 
b) No triângulo ADE, 
3
sen .
x
θ 
 
 
 
 
Logo, a área do triângulo BB’C será dada por: 
1 1 3
A 2x 4 sen 2x 4 12.
2 2 x
θ        
 
c) Considerando que 
3
sen sen(180 ) .
x
θ θ   
 
 
S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD) 
 
S(A’B’C’D’) = 
1 1 1 1
.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 12
2 2 2 2
θ θ θ θ       
 
 
S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 
 
S(A’B’C’D’) = 60 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
 
 
Número de semicircunferências = 102 m, dividido por 0,003 m (diâmetro) = 34.000 ou 17.000 
circunferências. 
 
Total de papelão = 17.000 . 0,003 . 3,14 = 160,14 m = 160 m e 14 cm. 
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Resposta da questão 9: 
 Aproximadamente, 103.000 km/h. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Resposta da questão 11: 
 a) Como 
0 1 1OB A B ,
 
1 2 2 1A A A B
 e 
2OA
 é comum aos triângulos 
1 2OA A
 e 
1 2OB A ,
 
segue-se que os triângulos 
1 2OA A
 e 
1 2OB A
 são congruentes por LAL. Além disso, 
1 0 1 2OA B OA A 90  
 e 
1 0 2A B A 60 
 implicam em 
1 1OA B 60 . 
 Portanto, o triângulo 
1 1OA B
 é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo 
0 0A OB ,
 ou seja, 
7 3
cm.
2
 
 
b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que 
 
n 1
n
OA 3
OA ,
2
 
 
 
com 
n 1.
 
 
Daí, como 
n 1
n n 1 n
OA
a A A ,
2

 
 temos 
 
n
n 1
n n 1
OA
a 32 ,
a 2OA
2


 
 
 
para todo 
n 1
 e, portanto, 
1 2 3a , a , a ,
 é uma progressão geométrica de primeiro termo 
1
7
a cm
2

 e razão 
3
.
2
 
 
c) O comprimento da poligonal 
0 1 2 nA A A A ,
 com 
n 1,
 correspondeà soma dos 
n
 primeiros 
termos da progressão geométrica 
1 2 3a , a , a , ,
 ou seja, 
 
n
n
3
1
27 3
7(2 3) 1 cm.
2 23
1
2
 
                 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 a) 
 
Sendo α o plano definido por HMBN, tem-se: 
 
α ⋂ pl (ADHE) = HM 
α ⋂ pl (BCGF) = BN 
pl (ADHE) // pl (BCGF), portanto, HM // BN (I) 
 
α ⋂ pl (ABFE) = MB 
α ⋂ pl (DCGH) = HN 
pl ( ABFE) // pl (DCGH), portanto MB // NH (II) 
 
De (I) e (II) vem que HMBN é um paralelogramo. 
 
b) 
AM ≈ EM 
AB ≈ EH 
BAM ≈ HEM (ângulos retos) 
⇔ (L.A.L.) portanto, ∆ABM ≈ ∆ EHM ⇔ BM ≈ HM (III) 
 
No paralelogramo HMBN, tem-se: 
HM ≈ BN e BM ≈ NH (IV) 
 
De (III) e (IV) pode-se concluir que: 
 
HM ≈ MB ≈ BN ≈ NH 
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Resposta da questão 13: 
 60 km 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Resposta da questão 16: 
 Soma dos ângulos internos de um pentágono: 
 180 5 2 540   
 
 
 
 
Ao redor de cada bolha temos 360° 
Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a seguinte relação: 
 T 180 n 360 540 :180
T 2n 3
T 2n 3
       
 
 
 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Resposta da questão 20: 
 a) 3 cm 
b) 3/2 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na 
mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. 
 
Resposta da questão 22: 
 R = r  2 3 3
3
 
 
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Resposta da questão 23: 
 a) x
2
 + 9
2
 = 15
2
  x = 12 
b) 
 9.12
A 12.3 90
2
  
 
c) 
y 3
3x 12 y 4
y 12 12
    

 
 Logo, A = 
12.(12 4)
96
2


 
 
 
 
Resposta da questão 24: 
 [E] 
 
Resposta da questão 25: 
 [E] 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
Resposta da questão 27: 
 
 
a) 
)60 30(
2
1
sen :ABM 
o  eNo o
 
b) 
3 31AB : 
222  ABABMNo
 
cos.3.4.234 222 AC 
7
2
3
..3.4.234
222  ACAC
 
c)
2
4
sen30 :BHC 
o  h
h
No
 
d) ooo
CMA 12060180ˆ 
 
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 A = 
2
3
2.1.
2
1
120.2.1.
2
1
osen
=
2
3
 
 
Respostas: 
3
a) 30 b) 7 c) 2 d)
2
 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
Resposta da questão 29: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos 
ABC,
 
ACD,
 
ADE
 e 
AEF,
 vem 
 
2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,    
 
 
2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,    
 
 
2 2 2 2AE AD DE 3 1 4    
 
 
 e 
 
2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1
x 5 cm.
    
 
 
 
b) É imediato que 
BAC 45 . 
 
 
Do triângulo 
ACD,
 temos 
 
CD 1
tgCAD CAD arctg 45 .
2AC
    
 
 
Do triângulo 
ADE,
 vem 
 
DE 1
tgDAE DAE arctg 30 .
3AD
    
 
 
Do triângulo 
AEF,
 segue 
 
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EF 1
tgEAF EAF arctg 30 .
4AE
    
 
 
Portanto, tem-se 
 
BAC CAD DAE EAF
45 45 30 30
150 .
α    
       
 
 
 
Resposta da questão 30: 
 [D] 
 
A circunferência C tem centro no ponto 
A(1, 2)
 e raio igual a 1. Logo, de acordo com as 
informações, considere a figura abaixo. 
 
 
 
Como 
PQ PQ'
 e 
AQ AQ' 1, 
 vem 
 
2 2 2PA (3 1) (6 2) 20    
 
 
e, portanto, 
 
2 2 2 2
PQ PA AQ PQ 20 1
PQ 19 u.c.
    
 
 
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
 
 
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o
o
2
2 2
2 2 2
HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ
3
BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF
2
3
6 K2AGF~ QPF K 4
3 K
3 5
No GBH : GH 2 GH
2 2
No HPQ: HQ 4 3 HQ 5
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ
Δ
Δ
    
   

   
 
    
 
   
 
 
Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é 
 
PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm. 
 
Resposta da questão 32: 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos 
AFE
 e 
ABE,
 obtemos 
 
2 2 2AE 9 (AB 2)  
 e 2 2 2AE AB 13 .  
 
Logo, 
 
2 2
81 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.       
 
 
Portanto, 
AB 21m
 e 
EF 23 m.
 
 
Resposta da questão 33: 
 a) Perímetro do quarto = 10,8 m = 2,5 m + 0,8 m. 
 
3 tomadas espaçadas a cada 
10,8
3,6m.
3

 
 
 
b) Na figura tem-se x
2
 = 1,2
2
 + 0,5
2
. 
x =
1,69.
 
x = 1,3 m. 
 
 
 
Logo, o comprimento do fio será: 
 
1,3 m + (2,7 – 1) = 3 m. 
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Resposta da questão 34: 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: 
 
R
2
 = (R – 1)
2
 + 20
2
 
R
2 
= R
2
 – 2

R + 01 + 400 
2

R = 401 
R = 200,5 m. 
 
Resposta da questão 35: 
 [A] 
 
 
 
Calculando a medida x da barra diagonal, temos: 
2 2 2
2
x 2 1,5
x 6,25
x 2,5 m
 


 
 
Para construir 300 m de cerca utilizaremos 150 partes, como a da figura mais uma ripa vertical. 
150.(2 m + 2 m + 1,5 m + 2,5 m) + 1,5 m = 105,1 m de ripa. 
 
Resposta da questão 36: 
 Utilizando a relação entre as cordas, temos: 
 
2 2
2
2x (x 3) x (3x 1)
2x 6x 3x x
x 7x 0
    
  
  
 
 
Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou 
x 7 .
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 37: 
 a) No semicírculo 
1165
222  xx
(maior que 3) 
Logo o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira. 
 
b) no triângulo. 
25,2
16
10
6
6


x
x
(menor que 2,5) 
Logo o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira. 
 
 
 
Resposta da questão 38: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que 
H
 é o pé da perpendicular baixada de 
A
 sobre 
BC,
 e 
D
 é o ponto 
em que o lado 
AC
 tangencia a circunferência de centro em 
O.
 
 
 
 
Como 
OH OD 3cm 
 e 
AH 8cm,
 segue que 
AO 5cm.
 Logo, 
AD 4cm.
Além disso, os 
triângulos 
AHC
 e 
ADO
 são semelhantes por 
AA
 e, assim, 
 
AD DO 4 3
8AH HC HC
HC 6cm.
  
 
 
 
Portanto, como 
H
 é o ponto médio de 
BC,
 segue-se que 
BC 12cm.
 
 
 
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Resposta da questão 39: 
 Considere a figura. 
 
 
 
Os triângulos retângulos 
ODC
 e 
BAC
 são semelhantes. Logo, 
 
OC OD R r r
R sBC BA
R s r s R r
R s R r r s.

  
     
     
 
 c.q.d. 
 
Resposta da questão 40: 
 
 
 
a) 
x 20
ATD ~ ABC : x 60 m.
900 300
Δ Δ   
 
b) 
   
2 2
AB 300 900 300 10  
 
 
Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:
300 10 1,5.t t 200 10. 