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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial (ED) é uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. Classificação de uma Equação Diferencial Quanto a ordem A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que ela contém. Exemplos: 1) é uma ED de primeira ordem 2) é uma ED de segunda ordem 3) é uma ED de terceira ordem Quanto ao Tipo ● EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): É uma equação que envolve derivadas ordinárias de uma função de uma única variável independente Exemplos: 1) 2) ● EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): É uma equação que envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente. Exemplos: 1) 2) Quanto ao Grau Exemplos: 1) → 1º grau 2) → 2º grau Quanto aos Coeficientes Exemplos: 1) → Coeficientes constantes 2) → Coeficientes variáveis Quanto a Homogeneidade: 1) → Homogênea 2) → Heterogênea 3) → Heterogênea Solução de uma Equação Diferencial A solução de uma equação diferencial é uma função que juntamente com suas derivadas satisfazem a equação para todo pertencente a algum aberto . Exemplo: Mostre que é solução da equação diferencial Note que: Logo, é solução da ED. Obs.: Esta não é a única solução da ED, por exemplo, a função também é solução da ED. Veja: Vamos ver que todas as soluções da ED tem a forma , onde é uma constante real, neste caso dizemos que é uma solução geral. Equações Diferenciais de Primeira Ordem ● Equações Lineares Definição: Uma equação diferencial da forma é chamada de equação linear. Dividindo pelo coeficiente , obtemos uma forma mais útil de uma eqaução linear: Exemplos: 1) 3) 2) 4) Método de Solução: (O método dos Fatores Integrantes) 1) Calcule o fator integrante: 2) Multiplique ambos os lados da equação por e expresse o resultado como: 3) Integre ambos os lados da equação obtida no passo 2 e, então resolva para . Não esqueça de acrescentar uma constante de integração. Exemplo: 1) Encontre a solução da equação . Fator integrante: Multiplicar a equação pelo fator integrante: �� EMBED Equation.3 Integrar ambos os lados da equação: Solução: Problema de Valor Inicial Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem sujeita à condição inicial , em que é um número no intervalo e é um número real qualquer. Este problema é chamado de problema de valor inicial (PVI) de primeira ordem. Exemplo: 1) Resolva o problema de valor inicial , Dividir a equação por , e reescreve-la na forma: : Fator integrante: Multiplicar a equação pelo fator integrante: �� EMBED Equation.3 Integrar ambos os lados da equação: Usando a condição inicial temos , logo a solução do problema de valor inicial é: ● Variáveis Separáveis Definição: Uma equação diferencial da forma é chamada separável ou tem variáveis separáveis. Exemplos: 1) 3) 2) 4) Método de Solução: Separação de variáveis: Passo 1: Separe as variáveis da equação reescrevendo-a na forma diferencial Passo 2: Integre ambos os lados da equação Se é uma antiderivada qualquer de e se é um a antiderivada qualquer de , então geralmente a solução é dada pela equação Exemplo: 1) Encontre a solução da equação diferencial Fazer a separação de variáveis: Integrar ambos os lados da equação: �� EMBED Equation.3 Solução: _1373731252.unknown _1373740320.unknown _1373740426.unknown _1405252784.unknown _1436692535.unknown _1454499335.unknown _1436692533.unknown _1436692534.unknown _1405252826.unknown _1436692532.unknown _1373740524.unknown _1373740579.unknown _1373740968.unknown _1373742227.unknown _1373740556.unknown _1373740575.unknown _1373740455.unknown _1373740472.unknown _1373740434.unknown _1373740391.unknown _1373740408.unknown _1373740418.unknown _1373740398.unknown _1373740372.unknown _1373740380.unknown _1373740327.unknown _1373731417.unknown _1373740257.unknown _1373740285.unknown _1373740304.unknown _1373740313.unknown _1373740295.unknown _1373740271.unknown _1373740278.unknown _1373740263.unknown _1373740204.unknown _1373740236.unknown _1373740243.unknown _1373740250.unknown _1373740230.unknown _1373734468.unknown _1373738512.unknown _1373731466.unknown _1373734457.unknown _1373731472.unknown _1373731460.unknown _1373731320.unknown _1373731355.unknown _1373731389.unknown _1373731410.unknown _1373731370.unknown _1373731379.unknown _1373731364.unknown _1373731332.unknown _1373731347.unknown _1373731327.unknown _1373731293.unknown _1373731306.unknown _1373731313.unknown _1373731300.unknown _1373731266.unknown _1373731273.unknown _1373731286.unknown _1373731259.unknown _1373731146.unknown _1373731170.unknown _1373731211.unknown _1373731221.unknown _1373731226.unknown _1373731217.unknown _1373731188.unknown _1373731203.unknown _1373731196.unknown _1373731176.unknown _1373731183.unknown _1373731159.unknown _1373731164.unknown _1373731151.unknown _1373731109.unknown _1373731127.unknown _1373731132.unknown _1373731115.unknown _1373731119.unknown _1373731094.unknown _1373731100.unknown _1298901180.unknown _1373731086.unknown _1298902020.unknown _1298900225.unknown
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