Sistema de Numeração

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Geometria 
Analítica
O PONTO MÉDIO DE UM 
SEGMENTO DE RETA
O CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS ENTRE 
DOIS PONTOS, UTILIZANDO AS 
FÓRMULAS DEDUZIDAS
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E 
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Tâmara Santos Soares
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Paulo Roberto Rosa Junior
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Prof. Fernando Henrique
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)! Iniciaremos neste módulo o estudo da geometria analítica, aqui você aprenderá a deduzir um modelo matemático, ou seja, uma 
fórmula, que lhe possibilitará calcular a distância entre dois pontos quaisquer no plano. 
Você também irá aprender a obter o ponto médio de um segmento de reta. Espero que 
você tenha um ótimo aprendizado!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você será capaz de:
• Compreender o cálculo das distâncias entre dois pontos quaisquer de um plano, utilizando 
as fórmulas deduzidas;
• Identificar o ponto médio de um segmento de reta.
BELO HORIZONTE - 2014
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E 
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO
Introdução
O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a antiguida-
de. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada pela necessidade 
do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos, relacionados à geometria. 
Existem vários ramos de estudo da geometria como a geometria projetiva, geometria 
descritiva e geometria analítica. 
A Geometria Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de 
estudo de geometria, e utiliza a Álgebra como ferramenta de estudo. Na essência, a 
Geometria Analítica consiste na transformação de problemas geométricos em problemas 
algébricos correspondentes. Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de 
números reais e uma curva é uma equação.
A seguir, vamos iniciar nossos estudos a cerca de alguns conceitos importantes para 
o estudo da geometria analítica, tais como os Espaços Dimensionais; os Sistemas de 
Referência e o Sistema de Coordenadas Retangulares.
Espaços Dimensionais
Quando iniciamos um estudo em geometria analítica, para termos a correta interpretação 
e solução dos problemas, primeiramente, devemos definir em qual espaço dimensional 
estão baseadas nossas informações. Assim, podemos trabalhar em R, R2, R3 e Rn.
O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). 
Uma reta é a representação de infinitos pontos que são associados aos 
números reais, de modo que cada ponto corresponda a apenas um 
número real. Veja um exemplo:
Figura 1
O Sistema dimensional R2 é o plano (duas dimensões), onde os pontos 
são representados por um par de números reais e as equações das 
curvas têm duas variáveis, normalmente utilizamos as variáveis x e y. 
Já R3 , é o que chamamos de espaço (três dimensões), no qual os 
pontos são definidos por um terno de números reais e as equações das 
curvas têm três variáveis.
Muito bem, para finalizar nossa análise a cerca dos Espaços 
Dimensionais veja quepodemos trabalhar, teoricamente, em uma 
dimensão qualquer, é a chamada Rn,no entanto, neste momento 
nossos estudos se concentrarão principalmentena dimensão R2.
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 7
Sistemas de Referência para R2
Para utilizar o “fantástico poder” da geometria analítica no estudo de questões geomé-
tricas, precisamos antes de mais nada, saber localizar com precisão, os pontos em um 
plano (R2).
Para definir exatamente a posição de um ponto num plano por meio de um par de números 
reais, ou seja, as coordenadas do ponto, nós precisamos de um sistema de referência. E 
o que seria um sistema de referência?
ATENÇÃO
Pois bem, um sistema de referência é composto de um referencial e de uma regra que define 
como os pontos serão localizados em relação a este referencial. Veja um exemplo na figura 2:
x
Py
Figura 2
Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na geometria analí-
tica, como por exemploo Sistema de Coordenadas Retangulares, chamado também de 
Plano Cartesiano, e o Sistema de Coordenadas Polares.
Sistema de Coordenadas Retangulares Sistema de Coordenadas Polares
Figura 3
x
P
y
8
15
x
 
 
 
raio polar 
θ
pólo eixo polar
ângulo polar
M
ρ
 
Figura 4
Estes são os sistemas de referência mais utilizados na geometria analítica, que servem 
tanto para localizar os pontos em um plano, como também para a determinação de equa-
ções para as curvas planas.
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio8
CURVA PLANA
Então aluno (a), já que falamos em curvas planas, você pode-
ria me dizer o que é uma Curva Plana? Pois bem, uma curva 
plana é um conjunto de pontos que obedecem a uma determi-
nada regra e sua equação é uma expressão matemática que 
define esta regra. 
Podemos estudar as curvas planas por meio de equações 
descritas em relação a um sistema de referência. Quer um 
exemplo? Observe a figura.
Pois bem, para que um conjunto de pontos seja considerado 
uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma 
regra do tipo 0ax by c+ + = , que é uma equação em relação 
ao sistema de coordenadas retangulares.
IMPORTANTE
Perceba que cada curva tem uma equação bem definida em relação a um sistema de refe-
rência, assim, ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a equação da curva. 
Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou mais apropriada, em relação a um 
determinado sistema de referência, é por isso que existem vários sistemas, e os mesmos são 
utilizados de maneira conveniente.
O Sistema de Coordenadas Retangulares
Figura 6
Agora, vamos conversar um pouco sobre o sistema 
de coordenadas retangulares. Você se lembra desse 
sistema de referência? Tenho certeza que sim. Para 
refrescar a sua memória, observe a seguinte figura.
x
y
x
y
Figura 5
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 9
O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas (x e y), 
chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si. Para cada eixo é defi-
nida uma escala, normalmente é a mesma para os dois eixos, cuja origem é a interseção.
Muito bem, aprofundando mais nossos estudos no sistema de coordenadas retangulares, 
observe a figura 7 e compare-a com figura 6:
x
y
Figura 7
Você viu que os números reais estão representados nestes eixos? É isto mesmo, neste 
sistema os números reais são representados nos eixos x e y, sendo que a distância entre 
dois números inteiros é uma unidade da escala definida. 
SAIBA MAIS 
E por falar em números reais, você se lembra qual é seu concei-
to deste termo? Veja a figura 8, o conjunto dos números 
reais contém os conjuntos dos números racionais (Q, Z, e 
N) e o conjunto dos números irracionais (I), lembrando que 
os números irracionais são determinados números que não 
podem ser representados por meio de fração (ou razão, por 
exemplo, o número 2 ). Já os números racionais são aque-
les que podemos escrever em forma de fração (razão: 
p
q
). 
O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos núme-
ros Fracionários (Q, exemplo: 
3
5
), que por sua vez contém o conjunto dos números inteiros 
(Z, exemplo: -7, que podemos escrever como:
7
1
− ), que por sua vez contém o conjunto dos 
números naturais (N, exemplo: 4, que podemos escrever como: 
4
1
).
Figura 8




Veja agora algumas informações importantes sobre o sistema de coordenadas retangula-res. Analisea figura 9 para verificar tais informações, ok?
• O número zero, que está na interseção dos eixos, é 
chamado de origem do sistema. 
• O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são 
representadas pela letra x. 
• O eixo vertical é o eixo das ordenadas, representa-
das pela letra y.
Abscissas
O
rd
en
ad
as
x
y Figura 9
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio10
Dando continuidade, a figura 9 nos mostra o sistema de coordenadas retangulares como um 
sistema de referência de um plano, assim, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser perfei-
tamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância orientada de um ponto 
aos eixos coordenados, lembrando que devemos considerar o sinal negativo dos números. 
A distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x será sua 
ordenada, isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais do tipo ( ),P x y . 
Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema de coorde-
nadas retangulares. Veja um exemplo na figura 10, a localização no plano do ponto P(2,1).
P(2,1)
x
y
Figura 10
x y− − x y+ −
x y+ +x y− +
x − x +
y +
y −
Observe a figura 11, note que, a distância do ponto em relação a um 
eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas, ou 
seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa 
terá sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se 
ele estiver localizado abaixo do eixo x. Vale destacar que cada ponto 
do plano será, então, identificado por apenas um par ordenado 
de números reais e, cada par ordenado de números reais 
representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de 
característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares.
Figura 11
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 11
VOCÊ SABIA
Você sabia que em homenagem a René Descartes1 (1596-1650), 
cujo nome em Latim era RenatusCartesius, o sistema de coordena-
das retangulares desenvolvido por ele, é também denominado de 
Sistema Cartesiano ou Plano Cartesiano? É assim que o chamare-
mos daqui em diante.
1 Filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria Analítica.
Muito bem, para finalizar este assunto dê uma 
olhada na figura 12. Veja como são representa-
dos os pontos ( )2,1A ; ( )1,2B − ; ( )2, 2C − − 
e ( )2, 3D − no Sistema Cartesiano. 
Fácil, não é mesmo? 
Agora, você avançará um pouco mais no estudo 
da Geometria Analítica, verá como se calcula a 
distância entre dois pontos utilizando a álgebra. 
Está preparado(a)? Então vamos lá!
Distância entre dois pontos
Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como ferramenta. 
Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos do plano teremos 
que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto, desenvolver uma técnica, ou 
fórmula, para calcular a distância entre dois pontos quaisquer de um plano.
ATENÇÃO
Devemos utilizar pontos de coordenadas genéricas, ou seja, pontos que estarão representan-
do qualquer um dos infinitos pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvol-
vida para calcular a distância entre estes pontos genéricos também servirá para calcular a 
distância entre dois pontos específicos quaisquer do plano.
A(2,1)
D(2,–3)
C(–2,–2)
B(–1,2)
x
y
Figura 12
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio12
Assim, para calcular a distância entre dois pontos específicos 
quaisquer do plano precisaremos, obviamente, do nosso já 
conhecido Plano Cartesiano, pois já sabemos que, sem um 
sistema de referência não é possível localizar pontos num plano 
por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias. 
Para começar, observe a figura 13, ela nos mostra dois pontos de 
coordenadas genéricas, representados em algum lugar do Plano 
Cartesiano. A seguir, veja como definir uma fórmula para calcular a 
distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a passo, 
acompanhe o raciocínio.
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −
x
y
 
r
" 
2( )Q y
" 
1( )P y
'
1( )P x
'
2( )Q x
1 1( , )P x y
2 1( , )R x y
2 2( , )Q x y
“A menor distância entre dois 
pontos é o comprimento do 
segmento de reta que os une.”
a. Primeiramente, veja que as projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados, 
nos dão os pontos P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y.
b. Pelo ponto P passa uma reta(r) paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto R, que 
é a interseção desta reta com a reta que passa pelos pontos R e Q.
c. O triângulo PQR é retângulo,pois o segmento PR é paralelo ao eixo x e o segmento 
RQ é paralelo ao eixo y.
Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos:
2 2 2( ) ( ) ( )dPQ dPR dRQ= +
onde:
2 1' ' ( )dPR dP Q x x= = −
2 1'' '' ( )dRQ dP Q y y= = −
assim teremos:
2 2 2
2 1 2 1( ) ( ) ( )dPQ x x y y= − + −
e finalmente:
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 13
IMPORTANTE
Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula apresentada para calcular a 
distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos dPQ por d.
Exercício resolvido
Observe o triângulo ABC (figura 14). 
A (-7,2)
C (1,4)B (3,–4)
Figura 14
Com os dados apresentados, você consegue verificar se este éum triângulo isósceles? Claro 
que sim, basta aplicar a fórmula que acabamos de definir. Acompanhe a resolução.
2 2
2 2
2 2
(3 7) ( 4 2) 100 36 136
(1 7) (4 2) 64 4 68
(1 3) (4 4) 4 64 68
AB
AC
BC
d
d
d
= + + − − = + =
= + + − = + =
= − + + = + =
Então, como você viu AC BCd d= , assim podemos concluir que o triângulo 
é isósceles. 
Viu só como é fácil? Nós apenas aplicamos as coordenadas dos pontos à 
fórmula Daremos continuidade analisando as coordenadas do Ponto Médio. 
A propósito, você sabe o que é o Ponto Médio?
Coordenadas do Ponto Médio
Pois bem, um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades. 
Desta forma, o Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em 
duas partes congruentes, ou seja, de mesma medida.
Para determinar as coordenadas de tal ponto, temos que deduzir uma fórmula para este 
fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no Plano Cartesiano. 
Isósceles
O triângulo isósceles é aquele 
que tem dois lados com a mesma 
medida, então no nosso exemplo, 
como os lados AC e BC têm a 
mesma medida podemos concluir 
que o triângulo abc é isósceles.
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio14
Veja a figura 15 e acompanhe a explicação.
x
s
r
y
2''( )Q y
"( )M y
1''( )P y
1'( )P x '( )M x 2'( )Q x
2 2( , )Q x y
2( , )S x y( ; )M x y
1( ; )R x y1 1( , )P x y
β
α
Figura 15
• O ponto ( , )M x y é o ponto médio do segmento, ele é definido pelos pontos 
1 1( , )P x y e 2 2( , )Q x y ;
• As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados (x e y) nos dão os pontos 
P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y;
• Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto 1( , )R x y ;
• Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos o ponto
2( , )S x y ;
• Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são 
congruentes, pois:
( )
( )
ˆˆ ( )
correspondentes
PRM M SQ PM MQ M é pontomédio
R S retos
α β ≅

∆ ≅ ∆ ≅
 ≅
• Como os triângulos PRM e MSQ são congruentes, podemos concluir que seus 
respectivos catetos PR e MS têm a mesma medida.
O cateto PR tem a mesma medida do segmento P’M’, que por sua vez mede 1( )x x− . 
O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que por sua vez mede 2( )x x− , então:
1 2
1 21 2
1 2
2
2
x x x x
x x x x
x x x
x xx
− = −
+ = +
= +
+
=
ATENÇÃO
1 2
2
x xx += é equivalente a 1 2
2
y yy +=
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 15
Concluindo...
A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das abscissas 
das extremidades do segmento, e a ordenada do ponto médio será a metade da soma das 
ordenadas das extremidades. Assim, podemos verificar o ponto médio através da fórmula:
1 2 1 2,
2 2
x x y yM + +  
 
Para saber mais!
Caro(a) aluno(a), fiz uma seleção de conceitos que são importantes para uma melhor 
compreensão da Geometria Analítica. Será como uma revisão, pois acredito que você já 
tenha estudado tais conteúdos. Vamos começar relembrando alguns termos da própria 
Geometria.
GEOMETRIA
Cevianas
O que é uma Ceviana? Ceviana é um segmento de reta, ou semirreta, que liga um vértice 
do triângulo ao lado oposto correspondente, ou ao lado do seu prolongamento. São exem-
plos de cevianas a Mediana, a Altura e a Bissetriz.
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um 
vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este 
vértice. As três medianas de um triângulo são concorrentes e 
se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo.
Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triân-
gulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto.O 
ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-
-se ortocentro.
Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos 
congruentes. As três bissetrizes internas de um triângulo se 
encontram no centro de uma circunferência inscrita ao triângu-
lo, ou incentro.
SAIBA MAIS 
Você sabia que a Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângu-
lo, traçada pelo seu ponto médio? É isto mesmo, as três mediatrizes de 
um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o 
centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três 
vértices do triângulo.
Figura 19
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio16
Fórmulas de Geometria Plana
Veja agora as fórmulas da Geometria Plana, são fórmulas utilizadas para calcular a área 
de figuras planas.
Figura 20
ÁLGEBRA
Chegou a hora de você recordar algumas fórmulas bastante utilizadas em estudos mate-
máticos. Iniciaremos com a Lei dos Expoentes.
Na Lei dos Expoentes temos:
m n m na a a += ; ( )m m mab a b= ; ( )nm mna a= ; nm n ma a=
Assim se a ≠ 0: 
m
m n
n
a a
a
−= ; 
0 1a = ; 1m ma a
− =
Em relação às operações que envolvam o Zero, temos:
Se a ≠ 0: 
0 0
a
= , 0 1a = , 0 0a =
Para qualquer número a: a • 0 = 0 ⇒ a = 0
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 17
IMPORTANTE
A divisão por zero não é definida.
Relembre também de algumas fórmulas muito utilizadas em operações que envolvem 
frações, produtos notáveis, potências, e a fórmula quadrática, mais conhecida como a 
fórmula de Báskara:
a. Frações:
a c ad bc
b d bd
+
+ = ; 
a c ac
b d bd
⋅ = ; 
a b a d
c d b c
= ⋅ ; 
a a a
b b b
−
= − =
−
b. Produtos Notáveis:
( )
( )
2 2 2
3 3 2 2 3
2
3 3
a b a ab b
a b a a b ab b
+ = + +
+ = + + +
c. Diferença de Potências Inteiras Iguais:
2 2
3 3 2 2
4 4 3 2 2 3
( )( )
( )( )
( )( )
a b a b a b
a b a b a ab b
a b a b a a b ab b
− = − +
− = − + +
− = − + + +
d. Fórmula Quadrática (Báskara):
Se a ≠ 0: 
2
2 40
2
b b acax bx c x
a
− ± −
+ + = ⇒ =
TRIGONOMETRIA
Vejamos as definições e identidades fundamentais da Trigonometria.
Definições e Identidades Fundamentais
θ
x
xy
y
r
( ),P x y
Figura 21
Seno: 
1
cos
ysen
r ec
θ
θ
= =
Cosseno: 
1cos
sec
x
r
θ
θ
= =
Tangente: 
1
cot
ytg
x g
θ
θ
= =
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio18
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
; cos cos
cos 1; sec 1 ; cosec 1
2 2 cos ; cos2 cos
1 cos2 1 cos2cos ;
2 2
cos cos
cos cos
cos cos cos
co
sen sen
sen tg cotg
sen sen sen
sen
sen A B senA B AsenB
sen A B senA B AsenB
A B A B senAsenB
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ
− = − =
+ = = + = +
= = −
+ −
= =
+ = +
− = −
+ = −
( )
( )
( )
s cos cos
1
1
cos ; cos
2 2
cos ; cos
2 2
A B A B senAsenB
tgA tgBtg A B
tgAtgB
tgA tgBtg A B
tgAtgB
sen A A A senA
sen A A A senA
π π
π π
− = +
+
+ =
−
−
− =
+
   − = − =   
   
   + = + = −   
   
Para finalizar, elaborei um exercício, peço que acompanhe sua resolução, na qual iremos 
definir o comprimento das medianas do triângulo em questão:
1. A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto 
médio do lado oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vérti-
ces são: A(2,3) ; B(3,-3) e C(-1,-1)
A(2,3)
C(-1,-1)B(3,-3)
( )' 1, 2A −
1' ,1
2
B   
 
5' ,0
2
C   
 
AA',BB' e CC' são as medianas do ∆ ABC
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio 19
Cálculo dos pontos A’, B’, C’ Cálculo do comprimento das medianas
`
`
`
`
`
`
`
`
3 1 1
2 (1, 2)
3 1 2
2
2 1 1
12 2 ,1
3 1 21
2
2 3 5
52 2 ' ,0
3 3 20
2
xA
A
yA
xB
B
yB
xC
C
yC
− = =  −− − = = −

− = =   
  −  = =

+ = =   
  −  = =

` 2 2
2 2
` 2 2
2 2
` 2
(1 2) ( 2 3) 1 25 26
1 53 (1 3) 4
2 2
25 89 116 89
4 4 2
5 71 (0 1) 1
2 2
49 53 11 53
4 4 2
mAA
mBB
mCC
= − + − − = + =
−   = − + + = +   
   
= + = =
   = + + + = +   
   
= + = =
Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2).
M(7,-3)
B(x,y)A(1,2)
1 27 3
2 2
1 14 2 6
13 8
(13, 8)
x y
x y
x y
B
+ +
= − =
+ = + = −
= = −
−
Distância entre Dois Pontos e 
Coordenadas do Ponto Médio20
21
Síntese
Caro aluno, neste módulo você viu como deduzir as fórmulas para o cálculo da distância 
entre dois pontos, e verificou, também, como se obtém o ponto médio de um segmento de 
reta. Ao final, fizemos uma breve revisão em conceitos específicos da Geometria, Álgebra 
e Trigonometria. Espero que você tenha tido sucesso em seu aprendizado, principalmente 
na aplicação deste conhecimento adquirido na solução dos exercícios de fixação.
Bibliografia
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 2000.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática – Campinas: Editora da Unicamp, 1997.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.
JÚDICE, Edson Durão. Elementos de Geometria Analítica – Belo Horizonte: Sistema Pitágoras de Ensino, 1976, 
2ª edição.