LISTa

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Universidade Federal do Piauí
Departamento de Matemática
Prof. José Francisco de Oliveira
Cálculo III
LISTA 1
1. Diga o que é uma função de 2 variáveis, de 3 variáveis e de n variáveis reais com valores reais. Dê
exemplos de situações práticas nas quais aparecem funções de várias variáveis.
2. Considere f(x, y) =
√
1− x2 − y2.
(a) Determine o domínio D de f .
(b) Determine a imagem Im(f) de f .
(c) Desenhe as curvas de nível de f .
(d) Esboce o gráfico.
3. Considere a função f(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2. Desenhe a superfície de nível de f correspondente ao
nível c = 4.
4. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3 (d) lim(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
5. Suponha lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = α e limu→α g(u) = L, onde g não é definida em α e Im(f) ⊂ Dg. Prove
que
lim
(x,y)→(a,b)
g(f(x, y)) = lim
u→α g(u).
Prove ainda que o resultado acima continua válido se supusermos g definida e contínua em α.
6. Calcule lim(x,y)→(0,0)
sen(x2+y2)
x2+y2
.
7. Determine todos os pontos nos quais cada função é contínua.
(a) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
(b) f(x, y) =
{
sen(x2+y2)
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
8. Considere a função f : R2 → R definida por f(x, y) = xy2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
(a) Essa função é contínua em (0, 0)?
(b) Será que f é diferenciável em R2, isto é, em todos os pontos de R2?
9. Seja f : R→ R uma função diferenciável e considere g(x, y, z) = f(r) onde
r = r(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖ =
√
x2 + y2 + z2.
Prove que g safisfaz a equação xgx + ygy + zgz = rf ′(r).
10. Determine a equação geral do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(a) z = 4x2 − y2 + 2y e P = (−1, 2, 4)
(b) z = y lnx e P = (1, 4, 0)
(c) z = y cos (x− y) e P = (2, 2, 2)
11. Determine um plano que seja paralelo ao plano z = 2x+ 3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x2 +xy.
12. Determine a equação do plano tangente à superfície de equação
x2
4
+
y2
9
+ z2 = 1
no ponto (0, 0, 1).
13. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) = xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
(a) Prove que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0).
(b) Explique porque fx e fy não podem ser contínuas em (0, 0).
14. A energia consumida por uma resistor elétrico é dado P = V
2
R watts. Se V = 100 volts e R = 10
ohms, calcule o valor aproximado da variação ∆P em P quando V decresce 0, 2 volt e R aumenta de
0, 01 ohm.
15. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule o valor aproximado para a
variação ∆V no volume quando a altura h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm.
16. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação
x = F (x2 + y, y2)
onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse dydx em termo de x, y e das derivadas parciais
∂F
∂u e
∂F
∂v
de F .
17. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se descarrega.
A resistência R aumenta lentamente com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR,
para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400 Ω, I = 0, 08A, a taxa de
variação da voltagem é de −0, 01V/s e a resistência varia 0, 03Ω/s.
18. A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (kelvins) de um mol de gás
ideal estão relacionado por meio da fórmula PV = 8, 31T . Encontre a taxa de variação do volume
quando a pressão é de 20kPa e a temperatura é de 320K sabendo que a pressão é aumentada à taxa de
0, 05kPa/s e a temperatura é elevada à taxa de 0, 15K/s.
19. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola,
que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120◦.
(a) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) e em direção ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada
por um vetor que aponta para a origem.
20. Considere v = (1, 1) e f(x, y) = x2 + y2. Calcule a taxa de variação de f no ponto (2, 2) e na direção
de v. A direção de v é a de maior crescimento?
21. Ache o ponto do plano x+ 2y − z = 4 que se encontra mais próximo da origem.
22. Ache os extremantes de f(x, y) = xy no conjunto compacto A =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
23. Ache os valores máximos e mínimos da função f(x, y, x) = x2+y2+z2 sujeita à restrição x4+y4+z4 = 1.