Lista 1 CII M 2018 1

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Universidade Federal do Piau´ı - UFPI
Departamento de Matema´tica
Lista 1: Ca´lculo Diferencial e Integral II -M
Prof. C´ıcero Aquino
1. Mostre que se lim
n→∞
an = L e lim
n→∞
an = M , enta˜o L = M .
2. Sejam (an), (bn) e (cn) sequeˆncias tais que bn ≤ an ≤ cn, para todo n suficientemente grande.
Mostre que se lim
n→∞
bn = L = lim
n→∞
cn, enta˜o lim
n→∞
an = L.
3. Use a definic¸a˜o para provar que a afirmac¸a˜o em cada item abaixo
(a) lim
n→∞
1√
n
= 0 (b) lim
n→∞
1
en
= 0 (c) lim
n→∞
1
n2
= 0 (d) lim
n→∞
1
3
√
n
= 0
4. Mostre que lim
n→∞
an = L se, e somente se, lim
n→∞
(an − L) = 0.
5. Prove que se lim
n→∞
an = L > 0, enta˜o existe n0 ∈ N tal que an > 0, para todo n > n0.
6. Prove que se lim
n→∞
an = L, enta˜o lim
n→∞
|an| = |L|. Vale a rec´ıproca? Justifique
7. Em cada item, verifique se a sequeˆncia converge ou diverge. Em caso afirmativo, calcule o
limite.
(a) an =
√
n√
n+ 1
(b) bn =
sen 2n
1 +
√
n
(c) cn =
3 + 5n2
n+ n2
(d) dn =
en + e−n
e2n − 1
(e) an =
lnn
ln 2n
(f) bn =
n5
5n
(g) cn = cos(2/n)
(h) dn =
1
n2
8. Prove pela definic¸a˜o que
(a) lim
n→∞
√
n = +∞ (b) lim
n→∞
en
2
= +∞ (c) lim
n→∞
lnn2 = +∞ (d) lim
n→∞
2n = +∞
9. Seja (an) uma sequeˆncia de termos positivos. Mostre que
lim
n→∞
an = 0 se, e somente se, lim
n→∞
1
an
= +∞.
10. Mostre que se (an) e (bn) sa˜o duas sequeˆncias convergentes tais que an ≤ bn, para todo n
suficientemente grande, enta˜o lim an ≤ lim bn.
11. Calcule o limite das seguintes sequeˆncias:
(a) an =
cos(
√
n)√
n
(b) bn =
√
n+ 1−√n
(c) cn = ln(n+ 1)− lnn
(d) dn =
3
√
n+ 1− 3√n
12. Seja (an) uma sequeˆncia tal que lim
n→∞
an = L. Prove que lim
n→∞
an+k = L, para todo k ∈ N.
13. Se lim
n→∞
an = +∞, prove que lim
n→∞
[√
ln(an + 2)−
√
ln an
]
= 0.
14. Fixe uma constante q ∈ R e considere a sequeˆncia (an) definida por an =
n∑
j=1
qj. Mostre que
(an) e´ convergente se, e somente se, |q| < 1. Neste caso, qual o valor da soma?
15. Seja (an) uma sequeˆncia definida por a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an. Mostre que (an) e´ convergente
e, em seguida, calcule seu limite.
Semestre: 2018-1 -1- Data: 14/03/2018