Lista1_CalculoI_Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC
Cálculo Diferencial e Integral I - 2020.1
Professores: Alex Santana, Erikson Alexandre, Anderson Reis, Mariana Pinheiro e Esther Kayla
Aluno(a):
Lista de Limite de uma Função Real
1
As seguintes tabelas contêm uma lista mínima de exercícios extraídos de dois livros 
que abordam todos os conteúdos da primeira avaliação. Cabe salientar que esta lista 
servirá como um guia. É necessário resolver outros exercícios para obter êxito na 
disciplina. Além de exercícios dos livros, deixamos outros exercícios sobre limites a 
partir da página 2. 
 
 
Livro: Guidorizzi, Hamilton L. Um curso de cálculo, vol. 1, 5ª ed, Grupo Gen-LTC. 2000. 
Seção Página inicial Exercícios 
1.2 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20 
3.1 59 1, 3 
3.2 68 1, 3, 4, 5, 11 
3.3 80 1, 3, 5 
3.4 84 1, 3 
3.5 90 1 
3.6 92 1, 3, 4, 5 
3.8 96 1, 3 
4.1 101 1 
4.2 109 1, 3, 4 
5 123 1, 2, 3, 4 
6.3 135 1, 2, 3 
 
Livro: Stewart, James. Cálculo, vol 1, 7ª ed., Cengage Learning, 2013. 
Seção Página inicial Exercícios 
2.2 88 4, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 17 
2.3 98 1 até 11, 15, 18, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 43, 45, 49, 50, 54, 
62 
2.4 107 3, 19, 21, 25, 29, 31, 32 
2.5 117 5,7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 20, 21, 23, 27, 30, 35, 38, 45, 51, 
55, 67 
2.6 129 3, 5, 9, 13, 14, 17, 19, 23, 27, 29, 33, 36, 41, 43, 61, 62 
3
Limite de uma Função Real
1. Calcule os valores de g(x) = x−1x3−1 dos números x dados na tabela abaixo.
x 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,99 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 1,01
g(x)
Use os resultados da tabela para conjecturar qual o valor do limite da função quando x tende a 1 ou
explicar por que ele não existe.
2. Defina limite de uma função e ilustre este conceito graficamente.
3. Usando a definição de limite, demonstre que
a: lim
x→2
3 + 2x = 7
b: lim
x→−1,5
9− 4x2
3 + 2x
= 6
c: lim
x→5
1
2− x =
−1
3
d: lim
x→2
2x2 = 8
e: lim
x→2
x2 − 4x + 5 = 1
f: lim
x→3
x2 + x− 4 = 8
g: lim
x→1
x3 + 3x2 − 4 = 0
h: lim
x→2
x3 − 8
x− 2 = 12
4. Seja f uma função definida por
f (x) =
{
x2 − 9, x 6= −3
4, x = −3
a: Encontre limx→−3 f (x) e verifique que limx→−3 f (x) 6= f (−3).
b: Faça o esbço do gráfico de f .
5. Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
a: lim
y→−1
−y5 − 3y4 + 12y2
b: lim
x→1
ex(x3 − 4)
c: lim
x→ π2
sin x
1 + cos x
d: lim
x→ 12
2x2 + 3x− 2
8x3 − 1
f: lim
x→1
√
x− 1
x− 1
g: lim
x→4
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
h: lim
x→4
√
x− 2√
x− 4
i: lim
x→1
x2 − 7x + 6
x3 − 3x + 2
j: lim
x→0
√
1 + x + x2 − 1
x
k: lim
x→2
x2 − 4x + 4
x2 − 3x + 4
l: lim
x→3
x− 3
√
x−
√
3
m: lim
x→4
√
3x− 8− 2√
x− 2−
√
2
n: lim
x→a
x3 − a3
x2 − a2
o: lim
x→1
anxn + an−1xn−1 + . . . + a0
6. Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
a: lim
x→π/4
sen(x)− cos(x)
1− tan(x)
b: lim
x→2
x3 − 8
x− 2
c: lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
d: lim
x→2
4
√
x− 4
√
2
x− 2
e: lim
x→ π3
sen
(
x− π3
)
1− 2 cos x
f: lim
x→ π6
sen
(
x− π
6
)
cot3 x− 3 cot x
g: lim
x→ π2
1− senx + cos x
−1 + senx + cos x
h: lim
n→+∞
1 + 2 + 3 + . . . + n
n2
i: lim
n→+∞
12 + 22 + . . . + n2
n3
4
Sugestão: Para o item (h)
n
∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e para o item (i)
n
∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
7. Seja f definida em R tal que ∀x ∈ R, tem-se que | f (x)− 3| ≤ 2 |x− 1|. Calcule lim
x→1
f (x) e justifique
sua resposta.
8. Mostre que o lim
x→0
√
x2 + x3.esin(
π
x ) = 0
9. Use o Teorema do Confronto para calcular lim
x→0
f (x)− f (0)
x
, em que
f (x) =
{
x3sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
10. Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
a: lim
x→+∞
2− cos x
x + 3
b: lim
x→+∞
cos2(2x)
3− 2x
c: lim
x→0−
x3 cos
(
2
x
)
d: lim
x→+∞
x2(2 + sen2x)
x + 100
e: lim
x→−∞
5x2 − sen(3x)
x2 + 10
f: lim
x→−∞
x2(senx + cos3 x)
(x2 + 1)(x− 3)
Limite Laterais, Infinitos e no Infinitos de Funções Reais
11. Defina limite lateral à direita e à esquerda de uma função reale ilustre estes conceitos graficamente.
12. Assuma que lim
x→−1−
f (x) existe e que vale a desigualdade
x2 + x− 2
x + 3
≤ f (x)
x2
≤ x
2 + 2x− 1
x + 3
.
Encontre lim
x→−1−
f (x).
13. Dada f (x) =
|x|+ x
x
, existe limx→0 f (x)?
14. Esboce o gráfico de f , determine lim
x→a−
f (x), lim
x→a+
f (x) e caso exista, lim
x→a
f (x):
a: f (x) =

3x− 2, x > 1
2, x = 1 (a = 1)
4x + 1, x < 1
b: f (x) =
{
x2 − x, x = 0
−x, x < 0 (a = 0)
c: f (x) =
{
x+2
|x+2| , x 6= −2
0, x = −2 (a = −2)
15. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn x =

1, se x < 0
0, se x = 0
1, se x > 0
a: Esboce o gráfico dessa função.
b: Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites:
i: lim
x→0+
sgn x ii: lim
x→0−
sgn x iii: lim
x→0
sgn x
5
16. Ache, se possı́vel, o limite indicado da função f e justifique sua resposta:
f (x) =

x− 2
x2 + 4x− 3 , se x < −1√
3 + x−
√
3
x
, se − 1 ≤ x < 0
x2 − 2x− 8
x− 4 , se 0 ≤ x < 4
x− 4
3
√
x− 4
, se x ≥ 4
a: lim
x→−1
f(x) b: lim
x→0
f(x) c: lim
x→4
f(x) d: lim
x→−∞
f(x)
17. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a: lim
x→0+
x2 + 1
sin x
b: lim
x→0−
√
x + 1
x2
c: lim
x→0−
cos 3x
x
d: lim
x→5+
2x2 + 3
(x− 5)2
e: lim
x→0
√
x + 3−
√
3
x4
f: lim
x→2
∣∣∣∣ x2 − 42− x
∣∣∣∣
g: lim
x→2
5x− 4
| x− 2 |
h: lim
x→1
x3 − 1
| x− 1 |
i: lim
x→1+
1
1− x −
1
1− x3
j: lim
x→+∞
2x2 − 4x− 25
18x3 − 9x2
k: lim
x→+∞
sin
(
2 + x− πx2
12x− 4x2
)
l: lim
x→+∞
x(
√
x2 + 1− x)
m: lim
x→+∞
(2x5 + 4x2 − 3)
n: lim
x→−∞
(4x3 − 2x2 + x− 5)
o: lim
x→+∞
1
1 + 21/x
p: lim
x→∞
x2 − 5x + 1
3x + 7
q: lim
x→∞
x
(x3 + 10)1/3
r: lim
x→1
1
1− x −
3
1− x3
s: lim
x→∞
√
x + 2−
√
x
t: lim
x→2
4
x2 − 4
u: lim
x→∞
3x4 − 7x3 + 5
v: lim
x→−∞
3x2 − 2x + 1
2x− 1
w: lim
x→−∞
−2x3 + x2 + 3x
t: lim
x→−∞
√
2x2 + 3
4x + 2
x: lim
x→∞
√
x2 − 5x6 − x
y: lim
x→0+
x2 − 1
x
z: lim
x→1+
x1 + 1
x2 − 4x + 3
18. Encontre, se possı́vel, as assı́ntotas verticais e/ou horizontais da seguinte curva:
y =
4x2 + 4x− 8
x3 + 2x2 − x + 2 .
19. Determine, se possı́vel, as assı́ntotas horizontais e/ou verticais da curva y =
x2 + 4
x2 − 1 .
20. Encontre, se possı́vel, as assı́ntotas horizontais e/ou verticais da curva y =
x2 + x− 2
x2 + 4x + 4
.
21. Determine uma equação da assı́ntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f (x).
a: f (x) =
2x + 1
x− 3 b: f (x) =
4x2
x2 − 9
22. Calcule os seguintes limites:
6
a: lim
n→+∞
3
√
n3 + 2n2 − 1− 3
√
n3 + 2 b: limn→+∞
√
x√
x +
√
x +
√
x
23. Calcule as constantes de modo que:
a: lim
x→3
x2 − ax + b
x− 3 = 5
b: lim
x→+∞
[
ax− bx + 3
x + 1
]
= 5
c: lim
x→+∞
f (x) = 3 e lim
x→−2
f (x) = 1, sendo f (x) =
ax3 + bx2 + cx + d
4(x2 + x− 2)
24. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um
novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 30− 10 · e− t9 novas
unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se:
a: Qual a produção do funcionário no inı́cio do treinamento?
b: O que acontece com o nı́vel de produção a longo prazo?
25. Uma determinada notı́cia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas
que tomaram conhecimento e dado por N(t) =
600
1 + 24e−0,5t
, em que t representa o número de dias após
ocorrer a notı́cia. Pergunta-se
a: Quantas pessoas souberam a noticia de imediato?
b: Determine lim
t→+∞
N(t) e explique o seu resultado.
26. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproxi-
mado pela função A(x) =
120x2
x2 + 4
, em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses
do filme em cartaz. Pergunta-se:
a: Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
b: Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?
27. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz
L = L0
√
1− v2c2 ,
expressa o comprimento L de como uma funçãode sua velocidade v em releção a um observador, onde L0
é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim
v→c−
L e interprete o resultado.
Por que é necessário o limite à esquerda?
Limites Fundamentais
28. Quais são os limites fundamentais ?
29. Sabendo que cos(x) = 1− sin2( x2 ), calcule:
a: lim
x→0
sin(2x)
5x
b: lim
x→0
1− cos(x)
x
30. Calcule os seguintes limites:
a: lim
x→0
sen(ax)
x
b: lim
x→0
tan(ax)
bx
, com a, b 6= 0
c: lim
x→0
1− cos x
x2
d: lim
x→0
sen(5x)
sen(2x)
e: lim
x→π
senx
x− π
f: lim
x→a
senx− sena
x− a
g: lim
x→a
cos x− cos a
x− a
h: lim
x→0
1−
√
cos x
x2
7
31. Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
a: lim
x→0
sen(x)
tg(x)
b: lim
x→0
x√
1− cos(x)
c: lim
x→0
2arcsen(x)
3x
d: lim
x→0
sen(a + x)− sen(a− x)
x
e: lim
x→0
( senx
x
) senx
x− senx
f: lim
x→0
ln(1− 2x) + ln(1 + 2x)
x2
g: lim
x→+∞
(
2x + 3
2x + 1
)x+1
h: lim
x→+∞
(
x
x + 1
)x
i: lim
x→ π2
(1 + cos(x))3 sec(x)
j: lim
x→0
eαx − eβx
sen(αx)− sen(βx)
k: limx→0
(
1 + sen2(2x)
) 1
xsen(5x)
l: lim
x→2
2x − 4
x− 2
m: lim
x→0
√
1 + sen(x)−
√
1− sen(x)
x
n: lim
x→0
x− sen(x)
x + sen(x)
o: lim
x→+∞
(x + 1) [ln(2x + 3)− ln(2x + 1)]
p: lim
x→0
1
x
ln
(√
1 + x
1− x
)
q: lim
x→0
log (1 + 10x)
x
32. Sabendo que a desigualdade 1− x26 <
x sin(x)
2−2 cos(s) < 1 vale para todos os valores de x próximos de
zero, calcule lim
x→0
x sin(x)
2− 2 cos(x) .
33. Use a questão anterior para mostrar que lim
x→+∞
sin(x)
x
= 0.
Funções Contı́nuas
34. Qual o significado de uma função f ser contı́nua em a? Dê um exemplo de uma função que não é
contı́nua em a = 0, a = −1 e a = 2, além disso ilustre esta função no sistema cartesiano.
35. Considere a função f : R→ R dada por: f (x) =
 x2sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
. Usando o Teorema
do Confronto, mostre que a função f dada abaixo é contı́nua em x = 0.
36. Seja g : R→ R tal que
x2 · cos2(x) ≤ g(x) ≤ x · sen(x), ∀ x ∈
(
−π
2
,
π
2
)
.
Mostre que g é contı́nua em x = 0.
37. Se f (x) =

|x− 3|
x− 3 , x 6= 3
1, x = 3
, então f é contı́nua em x = 3? Explique sua resposta.
38. Verifique se a função f é contı́nua em todos os pontos. Esboce o gráfico de f .
f (x) =

1 + x2, se x ≤ 0
2− x, se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2, se x > 2
.
39. Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domı́nios:
8
a: f (x) =

√
x−1
x2−1 , x 6= ±1√
2
2 , x = 1
0, x = −1
b: f (x) =
{
2−x
2−|x| , x 6= 2
1, x = 2
c: f (x) =
x− [x]
2x
d: f (x) =
{
sin(2x)
x , x 6= 0
2, x = 0
40. Qual o valor de m para que a função g : R −→ R definida por:
g(x) =

sen(11x− 22)
3x− 6 , se x < 2
m, se x = 2
x3 + 5x2 − 32x + 36
x3 − 3x2 + 4 , se x > 2
,
seja contı́nua.
41. Encontre os valores das constantes k e m, se possı́vel, para que seja contı́nua para todo x ∈ R a
função:
h(x) =

x2 + 5, x > 2
m(x + 1) + k, −1 < x ≤ 2
2x3 + x + 7, x ≤ −1
42. Determine, se possı́vel, as constantes a e b ∈ R de modo que f seja contı́nua em x0.
a: f (x) =
{
bx2 + 2, x 6= 1
b2, x = 1 (x0 = 1)
b: f (x) =

3x− 3, x > −3
ax, x = −3 (x0 = −3)
bx2 + 1, x < −3
43. Encontre um valor para a constante k, se possı́vel, para que a função seja contı́nua em R.
a: f (x) =
{
7x− 2, x ≤ 1
kx2, x > 1
b: g(x) =
{
kx2, x ≤ 2
2x + k, x > 2
44. Esboce o gráfico de cada função f a seguir e determine o que se pede:
a: f (x) =
{
ln x, x > 0
ex, x ≤ 0
i: lim
x→−∞
f (x)
ii: lim
x→0−
f (x)
iii: lim
x→0+
f (x)
iv: lim
x→0
f (x)
v: lim
x→1
f (x)
vi: lim
x→−1
f (x)
vii: lim
x→e
f (x)
viii: lim
x→+∞
f (x)
ix: Intervalos em que f é contı́nua.
b: f (x) =

log1/2 x, x > 0
0, x = 0
x−2, x < 0
i: lim
x→−∞
f (x)
ii: lim
x→+∞
f (x)
iii: lim
x→0
f (x)
iv: lim
x→−1
f (x)
v: Estude a continuidade de f em x = 0.
45. Faça o esboço do gráfico de
f (x) =

|x|, x < 4
6, x = 4
−4x + 20, x > 4
e observe no gráfico o valor de limx→4 f (x). Há diferença entre limx→4 f (x) e f (4)?
9
46. Encontre os pontos onde f é descontı́nua e dê razões para esta descontinuidade:
a: f (x) = 3
√
x− 8
b: f (x) = x+2x2−4
c: f (x) = 1x +
x−1
x2−1
d: f (x) = x
2+9
|x|+3
47. Considere a função definida por
f (x) =

√
x2 − 4
2x− 4 , se x < 2
√
x2 + 4x + 4− x , se x ≥ 2
a: Calcule:
i: lim
x→2+
f (x) ii: lim
x→2−
f (x) iii: lim
x→2
f (x)
iv: Podemos afirmar que a função f é contı́nua em todos os pontos?
b: Encontre, se possı́vel, as assı́ntotas horizontais e verticais de f .
48. A função f (x) =
x3 − x2 − 2x
x− 2 tem uma descontinuidade removı́vel em x = 2? Caso afirmativo,
defina uma nova função que torna f uma função contı́nua em x = 2.
49. A função f (x) =
4
√
x− 1
x− 1 tem uma descontinuidade removı́vel em x = 1 ? Caso afirmativo, defina
uma nova função que torna f uma função contı́nua em x = 1.
50. Encontre exemplos de funções tais que:
a: f + g é contı́nua em x0 mas f e g não são.
b: f ◦ g é contı́nua em x0 mas g é descontı́nua em x0 e f é descontı́nua em g(x0).
51. Sejam f , g : R→ R funções contı́nuas em R tais que f (3) = g(3). Pergunta-se: a função
h(x) =
{
f (x), x ≤ 3
g(x), x > 3
é contı́nua em R? Justifique sua resposta.
52. Para cada item abaixo, mostre que a função dada tem, pelo menos, uma raiz no intervalo dado.
a: f (x) = x3 + x− 1; [0, 1];
b: g(x) = x3 + 3x− 5; [1, 2];
c: h(x) = 1 + x cos
(πx
2
)
;
[
1
2
,
3
2
]
;
53. Mostre que a equação x4 + 3x + 1 = 0 tem uma raiz real.
54. Dê um exemplo de uma função f tal que em dois pontos distintos x = a e x = b: f tenha sinais
contrários, f não seja contı́nua no intervalo [a, b] e f possua, pelo menos, uma raiz no intervalo [a, b].
55. Dê um exemplo de uma função g de modo que em dois pontos distintos x = a e x = b a função g
tem sinais contrários, g não é contı́nua no intervalo [a, b] e g não possui raiz no intervalo [a, b]
56. Se uma função h muda de sinal quando x varia no intervalo [a, b], existirá obrigatoriamente um
ponto entre a e b onde a função h se anula? Justifique sua resposta!
57. Prove que os gráficos de y = f (x) = 1 e y = g(x) = x2 · tg(x) têm pelo menos um ponto de
interseção com abscissa no intervalo
(
−π
2
,
π
2
)
.
10
58. Determine o valor de lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
quando:
a: f (x) = x b: f (x) = x2 c: f (x) = x3
Bom Estudo!