Cap 1 Noções básicas sobre Vetores

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prof. MSc. Daniella Gonzalez Tinois da Silva
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Segmento orientado é definido por um par ordenado de pontos no espaço,
sendo o primeiro chamado de origem do segmento e o segundo de
extremidade.
O segmento orientado definido pelos pontos A e B é indicado por AB e
representado geometricamente por uma seta que vai de A para B.
1.1 Segmentos orientados
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OBSERVAÇÕES:
- Um segmento orientado em que a origem coincide com a extremidade é
chamado segmento nulo.
- Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.
1.1 Segmentos orientados
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Comprimento: é a sua medida em relação a um sistema de unidades fixado.
Sentido: é a sua orientação, de A para B ou de B para A.
Só é possível comparar os sentidos de dois ou mais segmentos orientados, se
eles tiverem a mesma direção.
Direção: inclinação em relação à uma referência.
1.2 Características dos segmentos orientados
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Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se tiverem a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Indica-se por: AB  CD ou AB  CD
Note-se, os segmentos equipolentes não são iguais, pois, os pontos formadores
de cada segmento são diferentes.
1.3 Segmentos orientados EQUIPOLENTES
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Propriedades dos segmentos equipolentes:
1) Se AB  CD então AC  BD (Propriedade dos paralelogramos)
1.3 Segmentos orientados EQUIPOLENTES
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Propriedades dos segmentos equipolentes:
2) Se AB  CD e CD  EF então AB  EF.
1.3 Segmentos orientados EQUIPOLENTES
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Propriedades dos segmentos equipolentes:
3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D no
espaço tal que: AB  CD.
1.3 Segmentos orientados EQUIPOLENTES
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Chama-se vetor ao conjunto de n segmentos orientados equipolentes entre si.
É indicado por um representante do conjunto.
Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto dos
infinitos segmentos orientados equipolentes à AB. Dessa forma o vetor fica
caracterizado como sendo um vetor livre.
1.4 Definição de vetor
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1.5 Notação (Nomenclatura)
Em todas as notações o características do vetor são as mesmas de qualquer um
dos seus representantes: direção, sentido e comprimento.
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1.6 Características dos vetores
Módulo:
É o comprimento do vetor.
Indicado por: ou , ou , ou
Sentido:
É a orientação do vetor.
Direção:
É a inclinação do vetor.
BA

BA

)( AB  )( AB  v

v

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1.7 Propriedades dos vetores
Vetor nulo:
O vetor nulo será indicado por:
O que implica em A=B.
Vetores opostos:
Se é um vetor de origem em A e extremidade em B, o vetor com origem em
B e extremidade em A é chamado de oposto ao vetor .
0
0)(
0



v
AB
BA


BA

BA

BAAB


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1.7 Propriedades dos vetores
Vetores iguais:
Dois ou mais vetores são iguais se têm mesmo módulo, mesma direção e
mesmo sentido.
Vetores paralelos:
Dois ou mais vetores são paralelos se estiverem contidos numa mesma reta
suporte ou em retas suportes paralelas. São chamados também de vetores de
mesma direção. (Não necessitam ter o mesmo sentido)
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1.7 Propriedades dos vetores
Vetores coplanares:
Três ou mais vetores são chamados de coplanares quando puderem ser
representados no mesmo plano.
Dois vetores são sempre coplanares! Três podem ser ou não ser!
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1.8 Vetores unitários
Vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é igual a 1 (um).
Os vetores unitários orientados nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são bastante
adequados para se expressar vetores em função de suas componentes retangulares.
Eles são geralmente designados, respectivamente por: , e são chamados de base
ortogonal.
kji ˆ,ˆ,ˆ
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1.8 Vetores Unitários
kajaiaa
aaaa
zyx
zyx
ˆˆˆ 



Qualquer vetor pode ser decomposto nas direções de e escrito em
função desses vetores unitários.
kji ˆ,ˆ,ˆ
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1.9 Operações com vetores escritos na base ortogonal
Adição
Somam-se as coordenadas correspondentes.
Subtração
Subtraem-se as coordenadas correspondentes.
Produto de um número real por um vetor
Multiplicam-se as coordenadas do vetor pelo número real.
MÓDULO DE UM VETOR À PARTIR DE SUAS COORDENADAS (x,y,z)
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧2
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5.3 Operações com vetores escritos na base ortogonal
Exemplo 1: Dados os vetores:
Faça as operações a seguir e, em seguida calcule o módulo da resultante.
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1.9 Decomposição de vetores em duas dimensões
Um vetor é desenhado à partir da origem de um sistema de coordenadas, e pode ser
escrito como:
jyixr ˆˆ

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Outra maneira de expressar um vetor é indicando seu módulo (tamanho) e o ângulo
que ele forma com a horizontal.
1.9 Decomposição de vetores em duas dimensões
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1.9 Decomposição de vetores em três dimensões
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1.9 Decomposição de vetores em três dimensões
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