Mudanca coordenadas slide (1)

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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
4 de maio de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Calcule a medida do volume do so´lido que esta´ acima do plano xy ,
limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
V =
∫∫
D
x2 + y2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y2dydx =
= 4
∫ 1
0
x2
√
1− x2+1
3
(1−x2) 32 dx = ...
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Calcule a medida do volume do so´lido que esta´ acima do plano xy ,
limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
V =
∫∫
D
x2 + y2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y2dydx =
= 4
∫ 1
0
x2
√
1− x2+1
3
(1−x2) 32 dx = ...
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Calcule a medida do volume do so´lido que esta´ acima do plano xy ,
limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
V =
∫∫
D
x2 + y2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y2dydx =
= 4
∫ 1
0
x2
√
1− x2+1
3
(1−x2) 32 dx = ...
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Calcule a medida do volume do so´lido que esta´ acima do plano xy ,
limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
V =
∫∫
D
x2 + y2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y2dydx =
= 4
∫ 1
0
x2
√
1− x2+1
3
(1−x2) 32 dx = ...
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Exemplo
Calcule a medida do volume do so´lido que esta´ acima do plano xy ,
limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
V =
∫∫
D
x2 + y2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y2dydx =
= 4
∫ 1
0
x2
√
1− x2+1
3
(1−x2) 32 dx = ...
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Questo˜es
Temos como facilitar estes ca´lculos?
O que os complicou?
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Questo˜es
Temos como facilitar estes ca´lculos?
O que os complicou?
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Questa˜o
Se
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫∫
D∗
f (x(u, v), y(u, v)) dA∗?
A(D) =
∫∫
D
1 dA =?
∫∫
D∗
1 dA∗ = A(D∗)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Questa˜o
Se
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫∫
D∗
f (x(u, v), y(u, v)) dA∗?
A(D) =
∫∫
D
1 dA =?
∫∫
D∗
1 dA∗ = A(D∗)
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Questa˜o
Se
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫∫
D∗
f (x(u, v), y(u, v)) dA∗?
A(D) =
∫∫
D
1 dA =?
∫∫
D∗
1 dA∗ = A(D∗)
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Questa˜o
Se
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫∫
D∗
f (x(u, v), y(u, v)) dA∗?
A(D) =
∫∫
D
1 dA =?
∫∫
D∗
1 dA∗ = A(D∗)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Verificando
Se D∗ = [0, 1]× [0, 1] e
{
x = 2u
y = 2v
⇒
⇒ D = [0, 2]× [0, 2]
A(D) = 4 e A(D∗) = 1
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Verificando
Se D∗ = [0, 1]× [0, 1] e
{
x = 2u
y = 2v
⇒
⇒ D = [0, 2]× [0, 2]
A(D) = 4 e A(D∗) = 1
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Verificando
Se D∗ = [0, 1]× [0, 1] e
{
x = 2u
y = 2v
⇒
⇒ D = [0, 2]× [0, 2]
A(D) = 4 e A(D∗) = 1
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Procurando ide´ia no ca´lculo I
∫ 1
0
√
1− x2 dx
x = senθ
dx = cos θdθ
0 ≤ θ ≤ pi2︷︸︸︷
=
∫ pi
2
0
cos2 θ dθ =
=
∫ pi
2
0
1 + cos 2θ
2
dθ =
(
θ
2
+
sen2θ
4
)]pi
2
0
=
pi
4
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
ca´lculo I
∫ b
a
f (x) dx
x = g(u)
dx = g ′(u)du
g−1(a) ≤ u ≤ g−1(b)︷︸︸︷
=
∫ g−1(b)
g−1(a)
f (g(u))g ′(u)du
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ca´lculo I
∫ b
a
f (x) dx
x = g(u)
dx = g ′(u)du
g−1(a) ≤ u ≤ g−1(b)︷︸︸︷
=
∫ g−1(b)
g−1(a)
f (g(u))g ′(u)du
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ca´lculo I
Assim, devemos introduzir um fator de correc¸a˜o na
nova integral para obtermos a mesma a´rea.
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Coordenadas Polares §10.3
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
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Fator de correc¸a˜o usando coordenadas polares
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Fator de correc¸a˜o usando coordenadas polares
∆A =
1
2
(r+∆r)2∆θ−1
2
r 2∆θ =
1
2
[(r+∆r)2−r 2]∆θ =
=
1
2
[((r + ∆r) + r)((r + ∆r)− r)]∆θ = r ∗∆r∆θ︸ ︷︷ ︸
∆A∗
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Fator de correc¸a˜o usando coordenadas polares
∑
f (x∗i , y
∗
j )∆A =
∑
f (r ∗i cos(θ
∗
j ), r
∗
i sen(θ
∗
j ))∆A =
=
∑
F (r ∗i , θ
∗
j )∆A =
∑
F (r ∗i , θ
∗
j )r
∗
i ∆A
∗
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Fator de correc¸a˜o usando coordenadas polares
∫ ∫
D
f (x , y) dA =
∫ θ2
θ1
∫ r2
r1
f (r cos θ, rsenθ) r dr dθ
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Voltando ao exemplo do in´ıcio da aula
V =
∫∫
D
x2 + y 2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y 2dydx =
= 4
∫ pi
2
0
∫ 1
0
r 2rdrdθ =
pi
2
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Voltando ao exemplo do in´ıcio da aula
V =
∫∫
D
x2 + y 2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y 2dydx =
= 4
∫ pi
2
0
∫ 1
0
r 2rdrdθ =
pi
2
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Voltando ao exemplo do in´ıcio da aula
V =
∫∫
D
x2 + y 2 dA =
= 4
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
x2 + y 2dydx =
= 4
∫ pi
2
0
∫ 1
0
r 2rdrdθ =
pi
2
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regio˜es mais gerais usando coordenadas polares
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Regio˜es mais gerais usando coordenadas polares
D = {(r , θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
∫ ∫
D
f (x , y) dA =
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
f (r cos θ, rsenθ) r dr dθ
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Exemplos
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