Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

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SEQUÊNCIAS
QUAIS EXEMPLOS DE SEQUÊNCIA NO DIA A DIA?
DEFINIÇÃO
Progressão Geométrica 
Progressão Aritmética
Progressão Aritmética
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Para determinar a razão de uma P.A, basta calcular a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecessor.
Ex: calcular a razão na PA (2, 7, 12,17, …).
r=7 – 2 = 5 ou r=12 – 7 = 5 
r=a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3
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As progressões aritméticas poder ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
r > 0 → PA crescente
Exemplo: (2, 7, 12, ...) r = 5
r = 0 → PA constante
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, …) r = 0
r < 0 → PA decrescente
Exemplo: (9, 4, -1, ...) r = -5.
TERMO GERAL da PA
 Perceba que o número que multiplica a razão possui uma unidade a menos que o número que representa o termo da PA.
 Como podemos escrever o vigésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? 
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Último termo de uma P.A. ou termo procurado
Primeiro termo da P.A.
Número de elementos da P.A.
Razão da P.A.
Exemplos:
1) Vamos obter o 24º termo da PA (3, 7, 11, …) utilizando a fórmula do termo geral:
2) Na PA (100, 93, 86, …), vamos determinar a posição do termo de valor 37.
Representação Prática dos termos de uma P. A.
Para facilitar a resolução de alguns problemas em P.A., utilizaremos as seguintes notações:
a) Três termos em P.A.: (x – r, x, x + r)
b) Quatro termos em P.A.: (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
c) Cinco termos em P.A.: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Progressão Aritmética
Prof.: Joerlen Souza
 1ª informação: a soma desses termos é 3.
 Equação: 
 2ª informação: o produto deles é . 
 Equação: 
 Substituindo x por 1, temos:
x (-1)
Não serve, pois r > 0
Serve, pois r < 0
Prof: Rodrigo Cavalcanti
Progressão Aritmética
Profª: Joerlen Souza
 O que a questão pede?: determinar a PA decrescente de três termos
 Para encontrarmos os valores dos três termos, substituiremos x por 1 e r por - 2/3. Logo teremos os seguintes termos:
 1º termo: x – r =
 2º termo: x 
 3º termo: x + r =
 Concluímos então que a PA decrescente de três termos é dada por:
Prof: Rodrigo Cavalcanti
5 meios
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IMPORTANTE:
Existem algumas questões que procuram 
identificar a soma de todos os termos de 
uma P.A. Neste tipo de questão, iremos 
levar em conta que esta P.A. representa 
um conjunto finito de elementos, ou seja, 
podemos definir o primeiro e o último 
termo desta seqüência.
Fórmula da soma dos termos de uma P.A.
Soma de todos os elementos de uma P.A. finita
Primeiro termo da P.A.
Último termo da uma P.A.
Número de elementos
da P.A.
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a1= 8
an = 102
n = 50
S50 = ?
Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,
ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.
Exemplo 1: Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. onde o primeiro elemento é 8 e o último 102.
Exemplo2:
Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. onde
a razão é 3 e o primeiro elemento 5.
a1= 5
n = 38
r = 3
a38 = ?
S38 = ?
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Progressão geométrica
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Determinar o 10o termo da P.G.( 2, 4, 8 ……)
an = a1.qn - 1 
a10 = a1 . q9
a10 = 2. 29 
a10 = 210 
a10 = 1024
Exemplo 1: 
Determine o número de termos da P.G (3, 6, …..768)
an = a1.qn - 1 
768 = 3.2n - 1
256 = 2n - 1
28 = 2n - 1
8 = n – 1 
n = 9
Exemplo 2: 
 Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º termo 
com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. 
 obs.: Considere a P.G. de termos positivos.
a1, a2, a3, ……., a6 
a1 . a1.q5 = 12500
a12. 55 = 12500
a12 . 3125 = 12500
a12 = 4
a1 = 2
a3 = a1.q2
an = a1.qn - 1 
a3 = 2.52
a3 = 50
Exemplo 3: 
III. CLASSIFICAÇÃO
 Para classificar uma PG verificamos o valor de q.
1) PG crescente: quando os valores dos termos vão crescendo. 
a1 > 0 (termos positivos) e q > 1, por exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, ... ) 
a1 < 0 (termos negativos) e 0 < q < 1, por exemplo (- 1 , - 1/2, - 1/4, ...)
 
2) PG decrescente: quando os valores dos termos vão diminuindo. 
a1 > 0 (termos positivos) e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16, 8,... ) 
a1 < 0 (termos negativos) e q > 1, por exemplo: (- 2, - 4, - 8,...) 
3) PG constante: são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1. 
Por exemplo: (5,5,5,5,...,5) 
4) PG alternante ou oscilante: é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0. 
 Por exemplo: (- 2, 6, - 18, 54, ...)