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Mecanica dos Fluidos: 1a prova (2014/noturno)
NA˜O USE CALCULADORA.
Para simplificar as contas supor g = 10m/s2, ρagua = 10
3 kg/m3, ρar = 1 kg/m
3, γar = 1, 5
patm = 10
5N/m2 = 1 bar, 0, 51/3 ∼ 0, 8
Exerc´ıcio 1.
Voceˆ esta bebendo um suco com um canudo de altura h e diametro d, num recipiente muito grande.
Voceˆ aspira l´ıquido. Quando o canudo esta cheio, coloca seu dedo sobre a extremidade de cima e retira
o tubo do recipiente (cf. figura).
a) (0,5) Fazer um diagrama de forc¸as para explicar porque o l´ıquido na˜o cai.
b) (1,0) Calcular a pressa˜o exercida pelo l´ıquido sobre seu dedo supondo h = 20cm.
c) (1,0) Voceˆ pode dispor de um canudo (r´ıgido) de comprimento muito grande. Para qual comprimento
cr´ıtico do canudo o l´ıquido comec¸aria a escorregar pela extremidade de baixo? Este comprimento cr´ıtico
muda se o canudo for inclinado? Muda se o canudo tiver diametro maior?
[Desprezamos um pequeno efeito devido a mudanc¸a de fase da a´gua a` pressa˜o baixa.]
Exerc´ıcio 2.
Voceˆ colocou seu copo de cafeˆ cheio ate´ a altura h no prato girato´rio do seu forno micro-onda. Lem-
brando suas aulas de mecaˆnica dos fluidos, voceˆ sabe que a superf´ıcie do l´ıquido no seu copo vai se deformar.
Voceˆ quer saber se vai vazar cafe´. Seu copo e´ um cilindro de altura H=14 cm, diametro D=6 cm e h=12
cm. O prato girato´rio faz 12 voltas por minuto.
Escolher os eixos de modo que ~g = −gzˆ
a) (0,5) Escrever a equac¸a˜o de Euler (se quiser, pode introduzir uma forc¸a fict´ıcia e trabalhar no
referencial de repouso do prato).
b) (1,0) Mostrar que a pressa˜o no cafeˆ varia como p(r, z) = patm − ρaguag(z − z0) + ρaguaω
2r2/2 onde
(r = 0,z0)e´ um ponto onde p = patm.
c) (1,0) Calcular a equac¸a˜o da superf´ıcie livre (= em contacto com o ar) e desenha-la.
Calcular z0 em func¸a˜o de D,h, ω e g.
Derramou cafeˆ?
Exerc´ıcio 3.
Voceˆ esta´ andando com sua lancha novinha mum rio (de largura constante) com velocidade de escoa-
mento pequena independente do tempo e baixios (bancos de areia no fundo). Lembrando (outra vez) as
suas aulas de mecaˆnica de fluidos, voceˆ sabe que se a altura do fundo aumentar localmente um pouco, isto
causa um abaixamento local do n´ıvel da a´gua (cf. figura). Para deixar voceˆ mais tranquilo, vamos calcular
o valor deste abaixamento. Escolhemos os eixos de modo que ~g = −g zˆ.
a) (0,5) Mostrar que hv = h′v′.
b) (1,0) Usando a equac¸a˜o de Bernouilli, verificar que ∆h > 0, isto e´, tem abaixamento do n´ıvel da
a´gua.
c) (1,0) Calcular ∆h para v = 2m/s, h = 2m, H = 30cm. Pode usar 1/(1− ǫ)2 ∼ 1 + 2ǫ.
Exerc´ıcio 4.
Um fluido perfeito incompress´ıvel de densidade de massa ρ sob ac¸a˜o da gravidade tem o seguinte campo
de velocidade: ~v = (2αy,−αx, 0) com α constante e o eixo z vertical para cima (~g = −gzˆ).
a)(0,5) Mostrar que a equac¸a˜o de continuidade para massa e´ satisfeita.
b) (1,0) Mostrar que (~v · ~∇)~v = −2α2(xxˆ+ yyˆ) e obter p(x, y, z).
c) (1,0) Mostrar que a equac¸a˜o das linhas de corrente e´ x2+2 y2 = cste. Usando este resultado verificar
que p/ρ+ gz + v2/2 e´ constante sobre as linhas de corrente. Este resultado e´ esperado?
(Sinto muito, este exerc´ıcio na˜o tem nada a ver com bebida fria ou quente nem passeio gostoso.)
Formula´rio
∂ρ
∂t
+ ~∇ · (ρ~v) = 0
d~v
dt
= ∂~v
∂t
+ (~v · ~∇)~v = −
~∇p
ρ
+ ~g
(~v · ~∇)~v = (~∇× ~v)× ~v + (1/2)~∇v2∫
V
~∇ · ~A dV =
∮ ~A · ~dS
1
2
v2 + p/ρ+ g z = cste
1
2
v2 + w + g z = cste
pV = (R/m)T, p = Cργ, w = γ
γ−1
p
ρ
~∇ = rˆ ∂
∂r
+ θˆ 1
r
∂
∂θ
+ zˆ ∂
∂z
~∇ · ~F = 1
r
∂(r Fr)
∂r
+ 1
r
∂Fθ
∂θ
+ ∂Fz
∂z
~∇× ~F =
(
1
r
∂Fz
∂θ
−
∂Fθ
∂z
)
rˆ +
(
∂Fr
∂z
−
∂Fz
∂r
)
θˆ + 1
r
(
∂(r Fθ)
∂r
−
∂Fr
∂θ
)
zˆ