aula 13 Princípio do trabalho e energia

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 Desenvolver o princípio do trabalho e energia 
aplicado a um ponto material. 
 Estender a aplicação do princípio do trabalho 
e energia a um sistema de partículas. 
 Definir potência e rendimento de uma 
máquina mecânica. 
 
 Analisemos uma partícula que move-se no plano 
em uma trajetória definida e tomemos como 
referencial os eixos normal-tangente. 
 A partícula estudada tem massa m e está 
submetida a um sistema de forças externas, 
representado pela resultante FR=SF, 
 Podemos decompor a resultante na direção 
dos eixos de referência, ou seja: 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 SFt e SFn são os somatórios das componentes das 
forças atuantes nas direções dos eixos tangente e 
normal, respectivamente 
 
 
 Equações do movimento da partícula: 
◦ Direção tangente: 
 
 
 
 
◦ Onde 
 SFt é o somatório das componentes das forças 
atuantes na direção tangente a trajetória; 
 at é a componente do vetor aceleração na direção 
tangente a trajetória. 
 
 
 
 
  tt amF
 
◦ Direção normal 
 
 
 
 
◦ Onde 
 SFn é o somatório das componentes das forças 
atuantes na direção perpendicular a trajetória; 
 an é a componente do vetor aceleração na direção 
perpendicular a trajetória. 
 
 
  nn amF
 O trabalho total da resultante das forças pode 
ser calculado como a soma algébrica do 
trabalho realizado pelas suas componentes. 
 
 
 
 
◦ Onde SUt e SUn são os trabalhos realizados pelas 
componentes das forças atuantes na direção 
tangente e normal, respectivamente. 
 
 
 
  nt UUU
 Entretanto por definição o trabalho realizado 
pelas forças perpendiculares ao movimento é 
nulo, ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
º90cos
2
1




n
s
s
nn
U
dsFU
 Já o trabalho das componentes tangentes a 
trajetória, no percurso do ponto 1 até o 2, é 
dado por: 
 
 
 
 
 



2
1
2
1
º0cos
s
s
tt
s
s
tt
dsFU
dsFU
 Da cinemática do movimento sabemos que: 
 
 
 
 
 
◦ Onde v é a velocidade escalar da partícula, cujo 
vetor é tangente a trajetória do ponto material. 
 
 
 
 
 
vdvdsat 
 Logo, considerando que em s1 a velocidade da 
partícula é v1 e em s2 é v2, temos: 
 
 
 
 
 
2
1
2
2
2
1
2
12
1
2
1
2
1
mvmvvdvmU
vdvdsadsamdsFU
v
v
t
t
v
v
t
s
s
tt




 O trabalho das forças atuantes na partícula 
no percurso de s1 a s2 pode ser definido 
como: 
 
 
 
 
 
2
1
2
221
2
1
2
1
mvmvUUt  
 Se definirmos ENERGIA CINÉTICA de uma 
partícula como: 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 m é a massa do ponto material; 
 v é a velocidade do ponto material; 
 
 
 
 
 
2
2
1
mvT 
 Obtemos a equação do princípio do trabalho 
e energia cinética: 
 
 
 
 
◦ “A energia cinética inicial do ponto material mais o trabalho 
realizado por todas as forças agindo nele durante o 
deslocamento até o ponto final é igual à energia cinética final 
da partícula” 
 
 
 
12121221 TUTTTU   
 Observação: 
◦ O princípio do trabalho e energia não pode ser 
usado para determinar as forças normais a 
trajetória do ponto material, entretanto para 
trajetórias curvas o módulo da força normal é uma 
função da velocidade escalar o que de certa forma 
contorna esse problema. 
 
 
 
 
 
 
 

2v
mFn 
 O princípio do trabalho e energia pode ser 
estendido para um sistema de “n” pontos 
materiais contidos numa região do espaço 
 Analisemos a i-ésima partícula de massa mi 
do sistema, a qual está submetida a forças 
externas de resultante Fi e a forças internas 
de resultante fi: 
 Usando o princípio do trabalho e energia para 
essa partícula, temos: 
     
     
    21
2
2
21
1212
2
1
2
1
Internas) Externas Forças das (Trabalho
2
1
2
1
2
1
2
1
ii
s
s
ti
s
s
tiii
s
s
ti
s
s
tii
iii
vmdsfdsFvm
dsfdsFU
TUT
i
i
i
i
i
i
i
i







 Como o trabalho é uma grandeza escalar 
para o sistema completo podemos somar 
algebricamente as contribuições de todas as 
partículas que o compõe, obtendo assim: 
      
2
1
2
2
2
1
2
1 2
1
2
1
ii
s
s
ti
s
s
tiii
vmdsfdsFvm
i
i
i
i
 A equação anterior pode ser reescrita como: 
 
 
 
 
◦ “A soma da energia cinética inicial do sistema de partículas 
com o trabalho realizado por todas as forças internas e 
externas agindo em todos os pontos do sistema é igual a 
energia cinética final do sistema de partículas”. 
   1212 TUT
 Observações: 
◦ Embora as forças internas sempre aparecerem em 
pares opostos, seus trabalhos não se cancelam pois 
as trajetórias dos pontos materiais em que elas 
atuam são distintas. 
◦ Se o sistema é formado por pontos materiais que 
formam um corpo rígido ou é composto por blocos 
ligados por cabos inextensíveis seus elementos 
sofrem o mesmo deslocamento relativos e os 
trabalhos das forças internas se cancelam. 
 Definição: 
◦ “Potência média é definida como a razão entre o 
trabalho realizado e o tempo dispendido para 
realizá-lo” 
 
 
 
 
 
 
 
t
U
P



 Para intervalos de tempo cada vez menores 
(t->0) calculamos o valor da potência 
instantânea: 
 
 
 
 
 
 
 
dt
dU
P 
 Potência em função da força atuante e 
velocidade resultante: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde v é a velocidade com que o ponto de 
aplicação da força F se desloca 
vF
r
F
rF




P
dt
d
dt
d
dt
dU
P
 Unidades adotadas 
◦ No SI temos o watt (W) 
 
 
 
◦ No FPS temos o horsepower(hp) 
sJW 11 
slbsephp  5501
 Definição de rendimento 
◦ “O rendimento mecânico de uma máquina é a razão 
entre a potência útil de saída produzida pela 
máquina e a potência de entrada que lhe é 
fornecida.” 
1
entrada depotência 
saída depotência 

 Rendimento em função da energia 
◦ “Se o fornecimento de energia à máquina ocorre 
durante o mesmo intervalo de tempo que se dá a 
sua remoção, então o rendimento pode ser 
expresso em termos da razão entre as energias de 
saída e de entrada.” 
1
entrada deenergia 
saída deenergia 

 O carrinho tem uma velocidade vA=4m/s quando passa pelo 
ponto A. Este se desloca sem atrito considerável e passa 
sobre o topo da elevação da pista. Determine a velocidade do 
carrinho quando este passa pelo ponto B? 
 O guincho motorizado A eleva a tora de 360kg para cima do 
plano inclinado de 30° uma velocidade constante de 1,2m/s. 
Se a potência de saída é 4kW, calcule o coeficiente de atrito 
dinâmico entre a tora e o plano inclinado. Se a potência é 
subitamente aumentada para 6kW, qual é a aceleração 
instantânea a correspondente a tora?