12.a Projeto e Sintonia de Controladores PID

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12 – PROJETO E SINTONIA DE 
CONTROLADORES PID 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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No capítulo 11 foi demonstrado que os valores dos parâmetros de um controlador 
influenciam a estabilidade de um sistema em laço fechado. Para demonstrar isto, 
consideremos um sistema em laço fechado que consiste em um modelo de primeira 
ordem com tempo morto e um controlador PID. O resultado da simulação é mostrado na 
figura a seguir para nove combinações do ganho do controlador K e da constante de 
tempo integral . 
c
Iτ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 109
CRITÉRIOS DE DESEMPENHO PARA SISTEMAS EM LAÇO FECHADO 
 
A função de um sistema de controle feedback é assegurar que o sistema em malha 
fechada tenha as características dinâmicas e em estado estacionário desejadas. O ideal 
seria obter um sistema em malha fechada que satisfizesse os seguintes critérios de 
desempenho: 
1. O sistema em malha fechada deve ser estável. 
2. Os efeitos dos distúrbios são minimizados. 
3. São obtidas respostas rápidas e suaves à mudanças no set-point. 
4. O erro em estado estacionário (offset) é eliminado. 
5. É evitada uma ação de controle excessiva. 
6. O sistema de controle é robusto, isto é, insensível à mudanças nas condições do 
processo e à imprecisões no modelo do processo. 
 
Em aplicações de controle típicas é difícil atingir todos estes critérios 
simultaneamente, pois deve-se equilibrar dois importantes objetivos, desempenho e 
robustez. Um bom desempenho significa fornecer uma resposta rápida e suave à 
distúrbios e mudanças no set-point com pouca (se houver) oscilação. Um sistema de 
controle é robusto se assegura um desempenho satisfatório para uma larga faixa de 
condições de processo e para um razoável grau de imprecisão do modelo do processo. 
Robustez pode ser alcançada escolhendo-se ajustes de parâmetros conservadores ( 
valores baixos de e elevados de cK Iτ ), mas esta escolha tende a resultar em baixo 
desempenho. 
Também pode-se observar que para controladores PID um ajuste de parâmetros 
que fornece um bom controle dos distúrbios pode produzir alta sobre-elevação para 
mudanças no set-point. Por outro lado, se os parâmetros do controlador são ajustados 
para fornecer uma boa resposta à mudanças no set-point, a resposta aos distúrbios pode 
se tornar muito lenta. 
 
 
O ajuste dos parâmetros de um controlador PID pode ser efetuado com as 
seguintes técnicas: 
 
1. Método da Síntese Direta. 
2. Método do Controle de Modelo Interno. 
3. Relações de Parâmetros de Sintonização de Controladores. 
4. Técnica de Resposta de Freqüência. 
5. Simulação Computacional. 
6. Sintonização on-line após o sistema de controle ter sido instalado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA (DS) 
 
No método da síntese direta, o projeto do controlador é baseado no modelo do 
processo e em uma função de transferência em malha fechada desejada. Como ponto de 
partida, considere o diagrama de blocos de um sistema de controle feedback na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A FT em laço fechado para mudanças no set-point será: 
 
mpvc
pvcm
sp GGGG1
GGGK
Y
Y
+= (1) 
 
Fazendo e considerando mpv GGGG = mm KG = : 
 
GG1
GG
Y
Y
c
c
sp +
= (2) 
 
Rearranjando e resolvendo para obtemos uma expressão para o controlador 
feedback: 
cG
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= sp
sp
c YY1
YY
G
1G (3.a) 
 
A equação (3.a) não pode ser usada para o projeto do controlador porque a FT em 
laço fechado spYY não é conhecida previamente. Também é importante distinguir 
entre o processo real G e o modelo G~ , que fornece uma aproximação para o 
comportamento do processo. Uma equação de projeto pode ser obtida substituindo-se o 
desconhecido G por G~ , e spYY por ( )dY spY , a FT desejada em laço fechado: 
 ( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
dsp
dsp
c YY1
YY
G~
1G (3.b) 
 
 
 111
FT Desejada em Laço Fechado 
 
Para processos sem tempo morto, uma boa escolha de ( )
dsp
YY é de um modelo 
de primeira ordem, 
 
1s
1
Y
Y
cdsp
+τ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 (4) 
 
onde é a constante de tempo de laço fechado desejada. Substituindo (4) em (3.b) e 
resolvendo para , a equação do controlador fica: 
cτ
cG
 
s
1
G~
1G
c
c τ= (5) 
 
O termo s1 cτ fornece uma ação de controle integral e portanto elimina o offset. 
O parâmetro para ser usado para tornar o controlador mais ou menos agressivo 
(valor menor ou maior de , respectivamente). 
cτ
cτ
Se a FT do processo contém tempo morto, uma escolha adequada para a FT 
desejada em laço fechado será: 
 
1s
e
Y
Y
c
s
dsp
+τ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ θ−
 (6) 
 
Combinando equações (6) e (3.b) teremos: 
 
s
c
s
c e1s
e
G~
1G θ−
θ−
−+τ= (7) 
 
Podemos aproximar o tempo morto com uma expansão em série de Taylor 
truncada: 
s1e s θ−≈θ− (8) 
 
Substituindo (8) no denominador de (7) e rearranjando 
 
( )s
e
G~
1G
c
s
c θ+τ=
θ−
 (9) 
 
Este controlador também contém ação de controle integral. As aproximações para 
tempo morto são menos precisas quando o tempo morto é relativamente alto quando 
comparado à constante de tempo dominante do processo. Não é necessário aproximar o 
tempo morto do numerador porque ele será cancelado por um termo idêntico em G~ . 
A seguir serão deduzidos controladores para dois importantes modelos de 
processo. 
 
 
 112
Modelo de Primeira Ordem com Tempo Morto 
 
Considere o modelo de primeira ordem com tempo morto padrão, 
 
( )
1s
KesG~
s
+τ=
θ−
 (10) 
 
Substituindo (10) em (9) e rearranjando obtemos um controlador PI, ( s11KG Icc τ+= ) , com os seguintes parâmetros de controlador: 
 
c
c K
1K τ+θ
τ= τ=τI (11) 
 
 
Modelo de Segunda Ordem com Tempo Morto 
 
Considere um modelo de segunda ordem com tempo morto, 
 
( ) ( )( )1s1s
KesG~
21
s
+τ+τ=
θ−
 (12) 
 
Substituindo em (9) e rearranjando obtemos um controlador PID na forma paralela 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ τ+τ+= ss
11KG D
I
cc (13) 
onde 
θ+τ
τ+τ=
c
21
c K
1K 21I τ+τ=τ 
21
21
D τ+τ
ττ=τ (14) 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: Use o método DS para calcular os valores dos parâmetros de um 
controlador PID para o processo: 
 
( ) ( )( )1s51s10
e2sG
s
++=
−
 
 
Considere três valores da constante de tempo de laço fechado desejada: 
. Avalie o desempenho do controlador para mudanças degrau unitário, 
tanto no set-point (t = 0) como no distúrbio (t = 80), assumindo que . Repita a 
avaliação para dois casos: 
10e3,1c =τ
GGd =
 
 
 
 
 113
a) O modelo do processo é perfeito ( GG~ = ). 
b) O ganho do modelo está incorreto ( 9,0K~ = ) ao invés do valor verdadeiro, 
2K = . Deste modo 
( )( )1s51s10
e9.0G~
s
++=
−
 
 
 
Solução: 
Os parâmetros do controlador para esta exemplo são: 
 
 1c =τ 3c=τ 10c =τ ( )2K~Kc = 3,75 1,88 0,682 ( )9,0K~Kc = 8,33 4,17 1,51 
Iτ 15 15 15 
Dτ 3,33 3,33 3,33 
 
Fazendo a simulação para os dois casos teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114
À medida que aumenta, a resposta se torna mais lenta e o desvio máximo é 
maior após o distúrbio que ocorre em t = 80. Para o caso b quando 
cτ
1c =τ a resposta se 
torna excessivamente oscilatória e pode até se tornar instável se 8,0K~ = for 
considerado. As respostas para os distúrbios quando 3c =τ e 10c =τ são melhores para 
o caso b, devido aos maiores valores de para este caso. cK