Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 12 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 12– 24/04/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
1. Introdução ao conceito de Impedância e Admitância 
 
2. Análise da resposta em frequência de circuitos 
simples 
Impedância e Admitância 
Lei de Ohm para circuitos 
em corrente alternada: 
𝑉 
𝐼 
 = Z 
Z = impedância do dispositivo 
 
Z = R + j X, (ohms) 
Dado o dispositivo a seguir: 
R = componente resistivo do dispositivo (que dissipa calor) 
 
X = componente reativo do dispositivo (é dependente da frequência) 
Generalização da lei de Ohm: 
Impedância e Admitância, cont. 
Resistor: 
𝑽 
𝑰 
 = R; R = Resistência, em ohms 
 
Indutor: 
𝑽 𝑳
𝑰 𝑳
 = 𝒋𝝎𝑳; 𝒁𝑳= 𝑿𝑳 = Reatância 
Indutiva, em ohms, . 
Capacitor: 
𝑽 𝑪
𝑰 𝑪
 = 
𝟏
𝒋𝝎𝑪
 = 
−𝒋
𝝎𝑪
 ; 𝒁𝑪 = 𝑿𝑪 = Reatância 
Capacitiva, em ohms, . 
Impedância: 
𝒁 𝒋𝝎 = 𝑹 + 𝒋𝑿 
Admitância: 
𝒀 (𝒋𝝎) = G + jB 
𝑰 
𝑽 
 = 
𝟏
𝑹
 = G; G = Condutância, 
em siemens, S 
𝒀𝑳(j)= 
𝟏
𝒁𝑳
=
𝟏
𝑿𝑳
 = Susceptância 
Indutiva, em siemens, S 
𝒀𝑪(j)= 
𝟏
𝒁𝑪
=
𝟏
𝑿𝑪
 = Susceptância 
Capacitiva, em siemens, S 
Impedâncias e Admitâncias 
em paralelo Z1 Z3 Z4 Z5Z2
1
𝑍𝑒𝑞
=
1
𝑍1
+
1
𝑍2
+
1
𝑍3
+
1
𝑍4
+
1
𝑍5
 
Como 
1
𝑍𝑒𝑞
= 𝑌𝑒𝑞  𝑌𝑒𝑞 = 𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5 
Divisor resistivo de tensão 
R2
R1
vs(t)
v2(t)
v1(t)
i 
𝑣𝑠 𝑡 = 𝑅𝑒𝑞𝑖(𝑡) 
𝑖 𝑡 =
𝑣𝑠(𝑡)
𝑅1 + 𝑅2
 
𝑣2 𝑡 =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑣𝑠(𝑡) 
𝑣1 𝑡 =
𝑅1
𝑅1 + 𝑅2
𝑣𝑠(𝑡) 
Divisor de impedâncias 
em regime permanente senoidal 
C
R1
vs(t)
vC(t)
v1(t)
𝑣𝑐 𝑡 =
1
𝑗𝜔𝐶
1
𝑗𝜔𝐶 + 𝑅
𝑣𝑠(𝑡) 
𝑉 𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
1
𝑗𝜔𝐶 + 𝑅
𝑉 𝑠 
R
 
1/jC
𝑉 𝑠 
𝑉 𝑅 
𝑉 𝐶 
𝐼 
Resposta em frequência, FBP(j) 
𝑉 𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
1
𝑗𝜔𝐶 + 𝑅
𝑉 𝑠 
𝑽 𝑪
𝑽 𝑺
=
𝟏
𝒋𝝎𝑪
𝟏
𝒋𝝎𝑪 + 𝑹
=
𝟏
𝟏 + 𝒋𝝎𝑹𝑪
 
Dado: 
Resposta em frequência: 
Módulo de FBP: 
𝑭𝑩𝑷(𝒋) =
𝟏
𝟏 + 𝝎𝟐𝑹𝟐𝑪𝟐
 
 
Fase BP(): 
 
∅𝑩𝑷 𝝎 = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝝎𝑹𝑪 
Frequência de corte 
• A frequência abaixo (ou acima) da qual a 
potência na saída do circuito é reduzida à 
metade da potência de entrada (ou da 
potência da faixa de passagem) 
 
• Nesta frequência, o ganho do circuito se reduz 
ao valor de 
𝐹(𝑗𝜔 𝑚𝑎𝑥
2
 
Cálculo da frequência de corte (c) do 
circuito RC – filtro passa-baixas 
Módulo de FBP: 
𝐹𝐵𝑃(𝒋) =
1
1 + 𝜔2𝑅2𝐶2
 
 
 
Ganho máximo será para  = 0; neste caso: 𝐹𝐵𝑃(𝑗0) = 1 
𝐹𝐵𝑃(𝑗𝜔𝑐 = 
1
2
 = 
1
1+𝜔𝐶
2𝑅2𝐶2
 
 
𝜔𝑐 =
1
𝑅𝐶
 
A frequência angular na qual o ganho da faixa de passagem cai para 1/ 2 será: 
Filtro passa-baixas 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 5 6 7 8 9 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M
ód
ul
o 
do
 g
an
ho
 e
m
 te
ns
ão
frequência angular (rad/s)
Frequência de corte
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M
ód
ul
o 
do
 g
an
ho
 e
m
 te
ns
ão
frequência angular (rad/s)
R= 3 ohms e C = 1 F
Filtro passa-baixas 
0,0 0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
fa
s
e
 (
g
ra
u
s
)
frequência angular (rad/s)
R= 3 ohms, C = 1 farad
Frequência de corte = 0,33 rad/s
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
fa
s
e
 (
g
ra
u
s
)
frequência angular (rad/s)
R= 3 ohms, C = 1 farad
Frequência de corte = 0,33 rad/s
Exemplo: resposta em frequência de 
um circuito RC; R = 1k; C=100 nF 
100 1000 10000 100000
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
ód
ul
o 
do
 g
an
ho
Frequência angular (rad/s)
frequência de corte
~0,71
R= 1kohm; C=100 nF
100 1000 10000 100000 1000000
-80
-60
-40
-20
0
fa
se
 (
gr
au
s)
frequência angular (rad/s)
frequência de corte
Passa-altas, resposta em frequência 
R
 
1/jC
𝑉 𝑠 
𝑉 𝑅 
𝑉 𝐶 
𝐼 
𝑉 𝑅 =
𝑅
𝑅 +
1
𝑗𝜔𝐶
𝑉 𝑆 
𝑉 𝑅
𝑉 𝑆
= 𝐹(𝑗𝜔) =
𝑗𝜔𝑅𝐶
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
 
Resposta em frequência 
𝑽 𝑹
𝑽 𝑺
= 𝑭(𝒋𝝎) =
𝝎𝑹𝑪
𝟏 + 𝝎𝟐𝑹𝟐𝑪𝟐
 ∅ 𝜔 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
𝜔𝑅𝐶
= 90𝑜 − 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛(𝜔𝑅𝐶) 
Módulo: Fase: 
Ganho, Filtro Passa-Alta 
0,0 0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
ód
ul
o 
do
 g
an
ho
 e
m
 te
ns
ão
frequência angular (rad/s)
R = 3 ohms, C = 1 farad
Frequência de corte
0 1 2 3 4 5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
ód
ul
o 
do
 g
an
ho
 e
m
 te
ns
ão
frequência angular (rad/s)
R = 3 ohms, C = 1 farad
fase, filtro passa-alta 
0,0 0,5 1,0 4,0 4,5 5,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
fa
s
e
, 
e
m
 g
ra
u
s
frequência angular, rad/s
R = 3 ohms, C = 1 farad
Frequência de corte
0 1 2 3 4 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
fa
s
e
, 
e
m
 g
ra
u
s
frequência angular, rad/s
R = 3 ohms, C = 1 farad
Circuito RLC paralelo, 
resposta em frequência 
1) Elementos em paralelo vamos calcular as admitâncias dos componentes 
2) A impedância equivalente será o inverso da admitância equivalente 
Vamos utilizar fasores para calcular a impedância do sistema: 
Admitância equivalente 
do circuito RLC paralelo 
G 1/jL
jC
𝑉 𝐶 𝐼
 
𝑆 
𝑰 𝑺
𝑽 𝑪
= 𝒀 𝒋𝝎 = 𝑮 +
𝟏
𝒋𝝎𝑳
+ 𝒋𝝎𝑪 = 𝑮 + 𝒋 𝝎𝑪 −
𝟏
𝝎𝑳
 
𝑍 𝑗𝜔 =
1
𝑌(𝑗𝜔)
 = 
1
𝐺+ 𝜔𝐶−
1
𝜔𝐿
 
Ganho e fase do filtro passa-faixas 
𝑍 𝑗𝜔 =
1
𝑌(𝑗𝜔)
 = 
1
𝐺+ 𝜔𝐶−
1
𝜔𝐿
 
Módulo: 
 
𝒁(𝒋𝝎) =
𝟏
𝑮𝟐 + 𝝎𝑪 −
𝟏
𝝎𝑳
𝟐
 
Fase: 
 
∅(𝑗𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑅 𝜔𝐶 −
1
𝜔𝐿
 
 
 
Resposta em frequência do circuito 
RLC paralelo 
10
4
10
5
10
6
-90
-60
-30
0
30
60
90
fa
se
 (
gr
au
s)
frequência angular (rad/s)
R = 1,5 kohms
C = 100 nF
L = 600 H
10
4
10
5
10
6
0
500
1000
1500
m
ód
ul
o 
da
 im
pe
dâ
nc
ia
 (
oh
m
s)
frequência angular, rad/s
Circuito Ressonante 
Características básicas 
• Todo circuito composto pela combinação de 
elementos R, L e C, cuja resposta em 
frequência tem o seguinte aspecto: 
 
Valor máximo de 
tensão ou de 
corrente no circuito 
em uma 
determinada 
frequência 
Características básicas, circuitos 
ressonantes... 
• Na ressonância, a tensão aplicada e a corrente do 
circuito estão em fase! 
 
• XC = XL 
 
• As tensões no indutor e no capacitor são iguais, 
mas defasadas de 180o! 
• Z(j) = R + jL – j/C 
• Na ressonância: Z(j) = R 
  a corrente i do circuito será máxima 
Circuito RLC paralelo 
• Ztotal na ressonância será de maior valor 
 
 
 a tensão de saída será máxima 
𝑍 𝑗𝜔 =
1
𝑌(𝑗𝜔)
 = 
1
𝐺+ 𝜔𝐶−
1
𝜔𝐿
 = 
1
𝐺
 
Circuito RLC série 
Exercício 
• Circuito RLC série, onde são fornecidos: 
C=20 F; R= 5 ; L 
tensão de entrada, ve(t) = 10 cos(100t). 
Pergunta-se: 
Calcule L para que a tensão em R seja máxima. 
 
Resposta: 
L = 1,26 mH