Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 21 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I
Profa. Elisabete Galeazzo
Aula 21 – 31/05/2017
TÓPICOS DA AULA:
ANALISAR TRANSISTÓRIOS E RESPOSTA EM REGIME 
PERMANENTE (RP) EM CIRCUITOS RC OU RL EXCITADOS
COM:
1. FUNÇÃO DEGRAU
2. FUNÇÃO SENOIDAL
Circuitos RL e RC
Principais Características:
• São circuitos lineares cujos elementos podem
ser ligados tanto em série como paralelo;
• Contêm 1 elemento armazenador de energia
(L ou C);
• Podem apresentar comportamento (i(t), v(t))
não nulo sem fontes independentes associadas
(deste que L ou C tenha energia armazenada)
Regime Transitório e 
Regime permanente (RP) no domínio do tempo
• Análise em RP:
 desconsidera-se como o circuito se comporta
antes de se estabelecer numa condição de 
operação permanente (ex: RPS)
• Análise transitória:
 avalia-se a resposta do circuito antes de se 
estabelecer numa condição de operação
permanente
Regime Transitório e 
Regime permanente (RP)….exemplo:
• Análise em RP 
 comportamento de um circuito em
Regime Permanente Senoidal:
• Análise transitória
 Comportamento do circuito antes 
de estabelecer-se numa condição de 
operação permanente:
0 5 10 15 20
-2
-1
0
1
2
v p
er
m
an
en
te
 (t
),
 (
V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
0
1
2
3
4
5
6
7
v t
ra
ns
itó
ria
(V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
-2
0
2
4
6
8
v c
om
pl
et
a(
t)
, (
V
)
tempo, t (s)
Resposta completa
De um circuito com fonte de 
tensão senoidal:
Objetivo desta aula:
Como equacionar o comportamento dos circuitos
RL e RC antes mesmo de chegarem no regime 
permanente?
Concretamente: como deduzir as funções de i(t) 
e v(t) do circuito desde o instante t = 0 s ?
Circuito RL 
CCes(t)
vR(t)
vL(t)
R
L
i(t)
1) 2a LK:
−𝒆𝒔 𝒕 + 𝒗𝑹 𝒕 + 𝒗𝑳 𝒕 = 𝟎
2)Utilizando-se as relações constitutivas, teremos:
𝑅𝑖 𝑡 + 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒𝑠 𝑡
𝒅𝒊 𝒕
𝒅𝒕
+
𝑹
𝑳
𝒊 𝒕 =
𝟏
𝑳
𝒆𝒔 𝒕
Circuito RC
−𝒊𝒔 𝒕 + 𝒊𝑹 𝒕 + 𝒊𝑪 𝒕 = 𝟎
1) Aplicando-se a 1a LK no nó 1, temos:
𝒗 𝒕
𝑹
+ 𝑪
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕
= 𝒊𝒔 𝒕
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒗 𝒕 =
𝟏
𝑪
𝒊𝒔 𝒕
R is(t) vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
𝒗𝑹 𝒕 = 𝒗𝑪 𝒕 = 𝒗 𝒕
3) Aplicando-se as relações constitutivas, teremos:
2) Relação entre as tensões: 
Equações Diferenciais
dos circuitos RL e RC
𝒅𝒊 𝒕
𝒅𝒕
+
𝑹
𝑳
𝒊 𝒕 =
𝟏
𝑳
𝒆𝒔 𝒕
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒗 𝒕 =
𝟏
𝑪
𝒊𝒔 𝒕
Do circuito RL série: Do circuito RC paralelo:
ESTAS EQUAÇOES DIFERENCIAIS SÃO CLASSIFICADAS COMO:
 De 1a ordem
(pois somente apresentam derivadas de primeira ordem da incógnita)
 Ordinária
(pois não apresentam derivadas parciais, apenas derivada em relação a uma
única incognita)
 Linear
(pois não há funções não lineares na incógnita nem em suas derivadas)
 A coeficientes constantes
(tanto R, L como C não variam com o tempo)
Como obter i(t) e v(t) a partir das 
equações diferenciais?
Considere a seguinte equação diferencial de 1a ordem genérica:
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝒇 𝒕
Onde:
o 𝒙 𝒕𝒐 = 𝒙𝒐 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
o 𝒙 𝒕 =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
o 𝒙 𝒕 é 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎
o 𝝉 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜
o 𝒇 𝒕 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎.
Resolvendo a equação
diferencial de 1a ordem.....
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝒇 𝒕
A solução da equação diferencial será x(t), e é composta por duas partes:
𝒙 𝒕 = 𝒙𝒉 𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕
A solução xh(t):
 É a solução para a equação diferencial
homogênea (em que f(t) = 0):
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝟎
A solução xp(t):
É a solução particular da equação diferencial
completa;
Está relacionada com o comportamento
da função x(t) para t 
Forma padronizada:
Resolvendo a equação diferencial
homogênea:
 𝒙𝒉 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙𝒉 𝒕 = 𝟎 → 𝒙𝒉 𝒕 = −
𝟏
𝝉
𝒙𝒉 𝒕
Pergunta-se: 
Que função é igual a sua derivada, a menos de uma constante?
Vamos descartar a solução trivial, ou seja, xh(t) = 0 
Uma possível candidata é a FUNÇÃO EXPONENCIAL!
Vamos então considerar que: 𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
𝒑 𝒕−𝒕𝒐
Assim 𝒙𝒉 𝒕 = 𝒑𝑨𝒆
𝒑 𝒕−𝒕𝒐 , sendo “A” e “p” constantes a 
serem determinadas a seguir.
Resolvendo a equação diferencial
homogênea, cont....
 𝒙𝒉 𝒕 = −
𝟏
𝝉
𝒙𝒉 𝒕
𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
𝒑 𝒕−𝒕𝒐
 𝒙𝒉 𝒕 = 𝒑𝑨𝒆
𝒑 𝒕−𝒕𝒐
Substituindo-se as duas funções na equação diferencial, temos: 
𝐴𝑒𝑝 𝑡−𝑡𝑜 𝑝 +
1
𝜏
= 0 ⇒ 𝑝 = −
1
𝜏
𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
𝝉
Logo:
Analisando-se o efeito da constante 
no circuito
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝟎 𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
− 𝒕−𝒕𝟎

Como se comporta a função xh(t) se  >>> 0?
A função cai lentamente a zero;
Como se comporta a função xh(t) se  > 0 e for pequeno?
A função xh(t) cai rapidamente a zero.
 tem unidade de…
“segundos”;
  é denominada…
CONSTANTE DE TEMPO
  é um tipo de índice de mérito: 
circuitos que operam em alta frequência possuem  pequeno!
Constante de tempo () dos circuitos
de 1a ordem:
Circuito RL, 
considerando-se es(t)=0:
Circuito RC, 
considerando-se es(t)=0:
𝒅𝒊 𝒕
𝒅𝒕
+
𝑹
𝑳
𝒊 𝒕 = 𝟎
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒗 𝒕 = 𝟎
𝝉 =
𝑳
𝑹
𝝉 = 𝑹𝑪
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝟎
Solução da equação diferencial
homogênea de circuitos de 1a ordem...
𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
𝝉
Falta determinar a constante “A”:
𝝉 =
𝑳
𝑹
𝝉 = 𝑹𝑪
Dependerá:
Da solução particular (xp(t)) da 
equação completa
Dependerá também:
Da condição inicial, x(to) = xo
Solução particular (xp(t)) 
da equação diferencial completa
 𝒙 𝒕 +
𝟏
𝝉
𝒙 𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝒙𝒉 𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕
A solução xh(t):
𝒙𝒉 𝒕 = 𝑨𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
𝝉
A solução xp(t):
Está relacionada com o comportamento da 
função x(t) para t 
𝒙 𝒕 = 𝑨𝒆−
𝒕−𝒕𝟎
𝝉 + 𝒙𝒑 𝒕
Para  > 0 e t ; temos: 𝒍𝒊𝒎𝒕→∞ 𝒙 𝒕 = 𝒍𝒊𝒎𝒕→∞ 𝒙𝒑 𝒕
Já sabemos que: 𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
𝒙 𝒕 = 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕𝒐
Logo: 𝒙𝒑 𝒕 é a função que descreve o comportamento do circuito 
em regime permanente, destacando-se após o transitório.
Para t, tende a 
zero
Exemplo 1: 
Resposta do Circuito RL à Função Degrau
Considere:
𝑖 𝑡𝑜 = 𝑖𝑜
𝑒𝑠 𝑡 = 𝐸𝐻 𝑡 − 𝑡𝑜
Lembrando-se que a função degrau:
𝐻 𝑡 = 
0, 𝑡 < 𝑡𝑜
1, 𝑡 ≥ 𝑡𝑜
Determine a equação que descreve o comportamento da 
corrente neste circuito i(t).
vR(t)
vL(t)
R
L
i(t)
-
es(t) = E
Resolução do exemplo 1
a) A solução geral da equação diferencial completa para o circuito RL será:
𝑖 𝑡 = 𝐴𝑒
−
𝑡−𝑡𝑜
 𝐿 𝑅 + 𝑖𝑝 𝑡
b) es(t) para t >> 0 : 
temos que es(t) = E e o indutor comporta-se como um curto
c) i(t) para t >> 0 :
𝑖(𝑡) = 𝒊𝒑 𝒕 =
𝑬
𝑹
d) i(t) para t = t0 :
temos que 𝑖 𝑡 = 𝑡𝑜 = 𝑖𝑜  𝑖 𝑡 = 𝑡𝑜 = 𝐴 +
𝐸
𝑅
= 𝑖𝑜 𝑨 = 𝒊𝟎 −
𝑬
𝑹
𝒊 𝒕 = 𝒊𝟎 −
𝑬
𝑹
𝒆
−
𝒕−𝒕𝟎
 𝑳 𝑹 +
𝑬
𝑹
; 𝒕 ≥ 𝒕𝒐
Análise no Tempo da Resposta 
do Circuito RL ao Degrau
𝒊 𝒕 = 𝒊𝟎 −
𝑬
𝑹
𝒆
−
𝒕−𝒕𝟎
 𝑳 𝑹 +
𝑬
𝑹
𝒊 𝒕 = 𝒊𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕ó𝒓𝒊𝒂 𝒕 + 𝒊𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒕
Sendo que:
𝑖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑡 = 𝑖0 −
𝐸
𝑅
𝑒
−
𝑡−𝑡𝑜
 𝐿 𝑅
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡 =
𝐸
𝑅
𝒊 𝒕 = 𝒊𝒐𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
 𝑹 𝑳 +
𝑬
𝑹
𝟏 − 𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
 𝑳 𝑹
𝒊 𝒕 = 𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 + 𝒊𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝒕
Se: 𝒆𝒔 𝒕 = 𝟎 → 𝑬 = 𝟎 ,
dizemos que o circuito está “livre” e a resposta 
se reduz a:
𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝒊𝒐𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
 𝑹 𝑳 , 𝒕 ≥𝒕𝒐
Se: io = 0 e es(t) = E H(t - to), 
dizemos que o circuito apresenta apenas a 
“resposta forçada” devido à excitação:
𝒊𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝒕 =
𝑬
𝑹
𝟏 − 𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
 𝑳 𝑹 , 𝒕 ≥ 𝒕𝒐
Dados numéricos do exemplo 1:
Assuma que:
io = 2A; L = 1 H, R = 2 , es(t) = 12 H(t)
Logo:
𝑖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑡 = 𝑖0 −
𝐸
𝑅
𝑒
−
𝑡
 𝐿 𝑅
 𝒊𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕ó𝒓𝒊𝒂 𝒕 = −𝟒 𝒆
−
𝒕
𝟎,𝟓 (A, s)
 𝒊𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒕 =
𝑬
𝑹
= 𝟔 𝐀
𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝒊𝒐𝒆
−
𝒕
 𝑹 𝑳, 𝒕 ≥ 𝒕𝒐
 𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝟐 𝒆
−
𝒕
𝟎,𝟓, 𝒕 ≥ 𝟎
 𝒊𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝒕 = 𝟔 𝟏 − 𝒆
−
𝒕
𝟎,𝟓 , 𝒕 ≥ 𝟎
Comportamento do circuito graficamente:
0 1 2 3 4 5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
i li
vr
e 
(t
),
 A
tempo, t (s)
Corrente livre do circuito RL série
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
7
i fo
rç
a
d
a
(t
),
 A
tempo, t (s)
Corrente forçada do circuito RL série
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
i co
m
pl
et
a(
t )
, A
tempo, t (s)
Corrente completa do circuito RL série
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
i pe
rm
a
n
e
nt
e
(t
),
 (
A
)
tempo, t (s)
Resposta Permanente do circuito RL série
0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
i tr
an
si
tó
ria
(t
) 
(A
)
tempo, t (s)
Resposta transitória do circuito RL série
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
i co
m
p
le
ta
(t
),
 A
tempo, t (s)
Corrente completa do circuito RL série
Inércia do circuito
devido ao valor do L
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
i tr
an
si
tó
ria
 (
A
)
tempo, t (s)
 L = 5 H
 L = 1 H 
 L = 2 H
Conclusões Parciais
• Obter resposta no tempo de circuitos RC ou RL envolve
a solução de equações diferenciais ordinárias;
• A ordem do circuito depende do número de elementos
armazenadores de energia independentes;
• A solução completa do circuito pode ser dividida em
duas partes: resposta transitória (que vai a zero) e uma
resposta permanente (duração infinita);
• Resposta livre do circuito implica em desligar as fontes
independentes, levando-se em conta apenas as c.i.;
• Resposta forçada consiste em não considerar as c.i., ou
seja, considerar os capacitores e indutores inicialmente
descarregados.
Exercício com circuito RL e com diferentes
condições iniciais:
vL(t)
2 k 
0,2 H
-
9 V
6 k

 
3 k 
1
2
3
i(t)
t << 0; a chave está na posição 1
t = 0 s; a chave passa para a posição 2
t  0,1 ms, a chave passa para a posição 3
Calcule a corrente i(t) nos intervalos de 
tempo citados.
Para t << 0 s, qual é o valor da corrente i(t)?
O indutor está desernegizado, logo i(t) = 0 A
Inércia do Indutor: 
O indutor não gosta de variar abruptamente a corrente. Qto > a L, mais lentamente 
vai alterar o valor da corrente....
Continuação do exercício adicional...
Para i(t=0), a chave passa para a posição 2.
vL(t)
2 k 
0,2 H
-
9 V
6 k

 
3 k 
1
2
3
i(t)
Quanto vale a corrente no indutor neste
instante? (lembre-se da Inércia do Indutor....)
 i(t=0s) = 0 A
Com a chave na posição 2, deseja-se saber o valor da corrente que flui pelo indutor
depois de t >> 0 s....
 Quais são as tensão e resistência equivalentes vistas pelos terminais do indutor ?
Tensão de Thévenin: Resistência de Thévenin:
2 k 
-
9 V
6 
k
 
3 k 
1
2
2 k 
6
 k

 
3 k 
1
2
𝑉𝑇ℎ =
6
6 + 3
. 9 = 6 𝑉
𝑅𝑇ℎ =
6𝑥3
9
𝑘 + 2𝑘
Continuação do ex. adicional, parte 2...
Para t >> 0, supondo que a chave não sairá da posição 2, 
quanto será a tensão sobre o indutor? E a corrente i(t)?
 O indutor será um curto, logo vL (t >> 0) = 0 V.
 A corrente i(t) será: 
𝑖 𝑡 =
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ
=
𝟑
𝟐
𝒎𝑨
A expressão da corrente entre 0 e 0,1 ms será então:
 𝒊 𝒕 =
𝟑
𝟐
𝟏 − 𝒆
−
𝒕
 𝟏𝟎
−𝟑
𝟐𝟎 ; (𝒎𝑨, 𝒔) 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝒕𝒐
Partindo-se da função 
𝒊 𝒕 = 𝒊𝟎 −
𝑬
𝑹
𝒆
−
𝒕−𝒕𝟎
 𝑳 𝑹 +
𝑬
𝑹
e io= 0 A, tem-se:
Continuação... parte 3
a) Chave passa para a posição 3, o que ocorre?
vL(t)
2 k 
0,2 H
-
9 V
6 k

 
3 k 
1
2
3
i(t)
 Indutor está energizado, e vai dissipar a 
energia armazenada no resistor de 2 k. 
(Resposta do circuito livre):
 𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝒊𝒐𝒆
−
𝒕−𝒕𝒐
 𝑹 𝑳
b) Quanto vale a corrente para t = 0,1 ms? 
𝒊 𝒕 = 𝟎, 𝟏 𝒎𝒔 =
𝟑
𝟐
𝟏 − 𝒆
−
𝟐𝟎(𝟎,𝟏𝒎)
𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏, 𝟐𝟗𝟕𝒎𝑨
c) Logo, qual é expressão para a corrente a partir de t = 0,1 ms? 
𝒊𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝟏, 𝟐𝟗𝟕𝒆
−
𝟏𝟎𝒕
𝟏𝟎−𝟑 (mA, s)
Exemplo 2: Resposta do circuito RC 
à excitação senoidal
R is(t) vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
São fornecidos:
𝑖𝑠 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 125,54
𝑜 H 𝑡 , 𝐴, 𝑠
𝑣 𝑡 = 0 = 8𝑉
𝐶 = 0,5 𝐹
𝑅 = 6 Ω
Determine o comportamento da tensão de saída (vc(t) = v(t)) do circuito
desde o instante inicial (t = 0s) até entrar em regime permanente senoidal.
Análise prévia sobre o circuito....
O que sabemos sobre o circuito em RPS?
 Por ser um circuito linear, c=2 rad/s
 𝐼𝑠 = 2𝑒
𝑗125,54𝑜
 𝑉 = 𝑍𝑒𝑞 𝐼𝑠
 𝑍𝑒𝑞 𝑗2 =
𝑅
1+𝑗𝜔𝑅𝐶
= 6
1+𝑗6
= 0,9864 𝑒−𝑗80,54
𝑜
 𝑽 = 𝟏, 𝟗𝟕𝟐𝟖 𝒆 𝒋𝟒𝟓
𝒐
(V)
Ou...
 𝑣𝑝 𝑡 = 1,9728 cos 2𝑡 + 45𝑜 , (𝑉, 𝑠)
R is(t) vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
Resolução do exemplo 2....
A solução completa deste circuito
será:
𝒗 𝒕 = 𝑨𝒆−
𝒕−𝒕𝟎
𝝉 + 𝒗𝒑 𝒕
Sendo 𝜏 = 𝑅𝐶 = 6 x 0,5 = 3 s
R is(t) vC(t)C
iR(t) iC(t)
vR(t)
1
𝑣 𝑡 = 0 = 8 = 𝐴 + 1,9728. cos 0 + 45𝑜 → 𝐴 = 8 − 1,3950
→ 𝐴 = 6,6050
A solução completa, v(t) = vh(t) + vp(t) será:
𝒗 𝒕 = 𝟔, 𝟔𝟎𝟓𝟎𝒆−
𝒕
𝟑 + 𝟏, 𝟗𝟕𝟐𝟖. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝟒𝟓𝒐 ; 𝑽, 𝒔
Resposta Livre e Forçada do 
Circuito RC do Exemplo 2
• Resposta livre: excitação nula e c.i.v(0) = 8V;
• Resposta forçada: c.i. nula;
Resposta livre:
𝒗𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒕 = 𝟖 𝒆
−
𝒕
𝟑
Resposta forçada:
𝑣𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑑𝑎 𝑡 = 𝑣𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡 − 𝑣𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑡
𝒗𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝒕 = 𝟔, 𝟔𝟎𝟓𝟎𝒆
−
𝒕
𝟑 + 𝟏, 𝟗𝟕𝟐𝟖. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝟒𝟓𝒐 − 𝟖𝒆−
𝒕
𝟑
𝒗𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝒕 = −𝟏, 𝟑𝟗𝟓𝒆
−
𝒕
𝟑 + 𝟏, 𝟗𝟕𝟐𝟖𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕 + 𝟒𝟓𝒐)
Representação gráfica da resposta do circuito RC 
no tempo
0 5 10 15 20
0
1
2
3
4
5
6
7
v t
ra
ns
itó
ria
(V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
-2
-1
0
1
2
v p
er
m
an
en
te
 (t
),
 (
V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
-2
0
2
4
6
8
v c
om
pl
et
a(
t)
, (
V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
-2
0
2
4
6
8
v c
om
pl
et
a(
t)
, (
V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
v l
iv
re
 (
t)
, (
V
)
tempo, t (s)
0 5 10 15 20
-3
-2
-1
0
1
2
v f
or
ça
da
 (
V
)
tempo, t (s)