Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 25 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I
Profa. Elisabete Galeazzo
Aula 25 – 14/06/2017
TÓPICOS DA AULA:
REVISÃO DAS TRÊS CATEGORIAS DE RESPOSTAS DE CIRCUITOS DE 
2a ORDEM
EXERCÍCIOS PARA DETERMINAR A RESPOSTA COMPLETA DE 
CIRCUITOS DE 2a ORDEM
TESTINHO NO FINAL DA AULA
Categorias de respostas dos circuitos 
de 2ª ordem
1ª categoria: SUPERMORTECIMENTO
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏𝑒
𝒔𝟏𝑡 + 𝑨𝟐𝑒
𝒔𝟐𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡
𝒙 𝒕 =
𝒔𝟐𝒂−𝒃
𝒔𝟐−𝒔𝟏
𝒆 𝒔𝟏𝒕 +
−𝒔𝟏𝒂+𝒃
𝒔𝟐−𝒔𝟏
𝒆 𝒔𝟐𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕
Sendo que:
𝒂 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝒃 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝒔𝟏,𝟐 = − ± 2 − 𝜔𝑜2
s1 e s2 são raízes reais
Categorias de respostas dos circuitos 
de 2ª ordem
2ª categoria: SUBAMORTECIMENTO OU 
OSCILAÇÃO AMORTECIDA
𝒙 𝒕 = 𝑿𝒆−𝜶𝒕𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝝍 + 𝒙𝒑 𝒕
𝑿 = 𝑎2 +
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
2
𝝍 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑎,
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
Sendo que:
𝒂 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝒃 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝝎𝒅 = 𝝎𝒐𝟐 − 𝜶𝟐
𝒔𝟏,𝟐 = −𝛼 ± 𝑗𝜔𝑑
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏𝑒
𝒔𝟏𝑡 + 𝑨𝟐𝑒
𝒔𝟐𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡
Categorias de respostas dos circuitos 
de 2ª ordem
3ªcategoria : AMORTECIMENTO CRÍTICO
𝜶𝟐 = 𝝎𝒐
𝟐 𝑒 𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝜶
𝒙 𝒕 = 𝒂𝒆−𝜶𝒕 + 𝜶𝒂 + 𝒃 𝒕 𝒆−𝜶𝒕 + 𝒙𝒑 𝒕
Sendo que:
𝒂 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝒃 = 𝑥 0 − 𝑥𝑝 0
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏𝑒
𝒔𝟏𝑡 + 𝑨𝟐𝑒
𝒔𝟐𝑡 + 𝑥𝑝 𝑡
Ex1) obtenha a corrente i(t) completa
nos dois circuitos:
vR(t)
vC(t)
0,4 W
1F
i(t)1H
vL(t) vo= 0V
io = 1A
CC
10H(t) 
vR(t)
vC(t)
0,4 W
1F
i(t)1H
vL(t) vo= 0V
io = 1A
𝑖 𝑡 = 𝒊𝒉 𝒕 𝑖 𝑡 = 𝒊𝒉 𝒕 + 𝒊𝒑 𝒕
Há 3 possíveis categorias de respostas:
- Superamortecida
- Subamortecida
- Amortecimento crítico
1º) Obtenção da corrente particular:
fonte 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → capacitor 
comporta-se como um “aberto”;
Logo  𝒊𝒑 𝒕 = 0
Ex1 – Cálculo da ih(t) do circuito
 e o indicarão QUAL é a categoria de resposta do circuito. 
𝛼 =
𝑅
2𝐿
=
0,4
2
= 0,2 𝑠−1 𝜔𝑜 =
1
𝐿𝐶
= 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Como  < o  a resposta homogênea do circuito será oscilação subamortecida
𝑖ℎ 𝑡 = 𝑋𝑒
−∝𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 + 𝜓 𝜔𝑑 = 𝜔𝑜
2 − 𝛼2 = 1 − 0,04 ≅ 0,98 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Para obtenção de X:
𝑎 = 𝑖 0 − 𝑖𝑝 0 → 𝒂 = 1
𝑏 = 𝑖´ 0 − 𝑖𝑝
´ 0 → 𝒃 = 𝒊´ 𝟎
Para obtenção de 𝒊´ 𝟎 :
A 2ª LK é soberana  mesmo para t = 0; assim:
𝑅𝑖 0 + 𝐿 
𝒅𝒊(𝒕)
𝒅𝒕 𝒕 = 𝟎
+
1
𝐶
 
0
0
𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑣0 = 0
 
𝒅𝒊(𝒕)
𝒅𝒕 𝒕 = 𝟎
=
−𝑣𝑜 − 𝑅𝑖 𝑡 = 0
𝐿
=
−0,4
1
= − 0,4
𝒃 = − 0,4
Continuação dos cálculos do ex.1)
𝑿 = 𝑎2 +
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
2
= 1,02 𝝍 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑎,
𝛼𝑎 + 𝑏
𝜔𝑑
= −11,53𝑂
A corrente completa da corrente será para os dois circuitos:
𝒊 𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟐𝒆−𝟎,𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔 𝟎, 𝟗𝟖 𝒕 − 𝟏𝟏, 𝟓𝟑𝒐 , 𝑨, 𝒔
Já que 𝑖 𝑡 = 𝑖ℎ 𝑡 , pois 𝒊𝒑 𝒕 = 0
Para obtenção de X ....: Para obtenção de  ....:
Ex2: obtenha vc(t) completa para t>0 
para ambos os circuitos:
0,05W vC(t)
0,01H
iR(t) iL(t)iC(t)
1F
vC(0-)= 2 V
iL(0-) = 5A
0,05W
is(t) =
cos(2t)H(t)
vC(t)
0,01H
iR(t) iL(t)
1
iC(t)
1F
vC(0-)= 2 V
iL(0-) = 5A
𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣ℎ 𝑡
Necessário identificar uma das 3 possíveis 
categorias de respostas:
- Superamortecida
- Subamortecida
- Amortecimento crítico
𝑣 𝑡 = 𝑣ℎ 𝑡 + 𝒗𝒑 𝒕
1º) Obtenção da tensão particular, ou 
seja, da resposta permanente:
 𝑉𝐶 = 𝑍𝑒𝑞 𝐼
Ex2 – Determinação da resposta 
permanente do circuito 
YR = 20 
YL = -j50
YC = j2
 𝑽𝑪 = 𝒁𝒆𝒒 𝑰
1
𝑍𝑒𝑞
= 𝑌𝑒𝑞 = 𝑌𝑅 + 𝑌𝐶 + 𝑌𝐿 = 20 − 𝑗48
→ 𝑌𝑒𝑞= 52 ∠67,4
0
 𝑽𝑪𝒑 =
𝟏∠𝟎𝒐
𝟓𝟐∠ −𝟔𝟕, 𝟑𝟖𝒐
= 𝟏, 𝟗𝟐. 𝟏𝟎−𝟐∠𝟔𝟕, 𝟒𝒐
𝒗𝒑 𝒕 = 𝟏, 𝟗𝟐. 𝟏𝟎
−𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝟔𝟕, 𝟒𝒐
Ex2 – Determinação da resposta 
homogênea do circuito:
 Identificar a categoria do comportamento do circuito, calculando-se  e o:
Lembrando-se que a equação diferencial para o circuito RLC paralelo é: 
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
𝟏
𝑹𝑪
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝟏
𝑳𝑪
𝑣(𝑡) =
1
𝐶
𝑑𝑖𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
Temos que:
𝜶 =
𝐺
2𝐶
=
 1 5. 10−2
2
= 10 𝑠−1 𝝎𝒐 =
1
𝐿𝐶
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜶 = 𝝎𝒐 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜:
𝒙𝒉 𝒕 = 𝒂𝒆
−𝜶𝒕 + 𝜶𝒂 + 𝒃 𝒕 𝒆−𝜶𝒕
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 2𝜶
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝝎𝒐
𝟐 𝑣(𝑡) = 0
EX2 – CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO
• A CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DESTE 
EXERCÍCIO SERÁ EFETUADA NA AULA 26, DIA 
19/06/2017.