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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA INTRODUÇÃO Teve início na Grécia o estudo das seções cônicas e suas propriedades geométricas como parte da busca pela solução do problema da duplicação do cubo. As contribuições de Euclides sobre as cônicas perderam-se. Existem, porém, referências a 4 livros seus sobre as cônicas, da qual parte do conteúdo pode ser aferido de referências em trabalhos posteriores, principalmente os de Arquimedes e Pappus (EVES, 2011). Mesmo tendo avançado pouco nos teoremas das seções cônicas, Euclides estabeleceu as bases de desenvolvimentos posteriores sobre o tema, concretizados por Apolônio e Pappus. Por outro lado, Apolônio, além de ter estudado entre os discípulos de Euclides em Alexandria, usou os 4 livros de Euclides sobre cônicas como base para seu próprio tratado. Foi Apolônio, na sua obra As Cônicas, composta de 8 livros (dos quais apenas o último se perdeu), que desenvolveu generalizações, aplicou métodos inovadores, descobriu e provou teoremas e praticamente exauriu as conclusões puramente geométricas envolvidas nas seções cônicas. Na sua primeira proposição, Apolônio estabelece as relações entre as seções cônicas por meio do método das áreas. Para tanto, ao longo do tratado, Apolônio desenvolve diversos teoremas sobre as propriedades das cônicas, tangentes, intersecções, limites, máximos e mínimos das cônicas. Além disso, resolve geometricamente o problema do lugar geométrico de três e quatro linhas, provando que é uma cônica, completando o desenvolvimento proposto por Euclides. A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Façanhas de Apolônio Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. Entre as façanhas de Apolônio reside o fato de ter descoberto a possibilidade de se obter as cônicas a partir de qualquer seção em qualquer cone, mesmo oblíquo, partindo de um cone de diâmetro geral e seção também geral. Para tanto, foi preciso admitir o cone circular duplo, ligado pelo vértice, e as duas folhas da hipérbole como uma única curva. AS CÔNICAS DE APOLÔNIO Apolônio e as cônicas3 TEXTO-BASE Apolônio e as cônicas Página 1 de 4Texto-base - Apolônio e as cônicas | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MA... 21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-apolonio-e-as-conicas-%7C-f... Os nomes elipse, parábola e hipérbole foram introduzidos por Apolônio e foram tomados da terminologia pitagórica antiga referente à aplicação de áreas. Quando os pitagóricos aplicavam um retângulo a um segmento de reta (isto é, colocavam a base do retângulo ao longo do segmento de reta, com um vértice do retângulo sobre uma extremidade do segmento), eles diziam que se tinha um caso de “ellipsis”, “parabole” ou “hyperbole”, conforme a base do retângulo ficava aquém do segmento de reta, coincidia com ele ou o excedia. EVES, 2011, p.199. Silva e Santos (2016) apresentam um resumo das cônicas de Apolônio que podem ser vistas abaixo. PARÁBOLA Figura 1. Caso em que AS é paralelo ao lado do triângulo axial. O nome “parábola” vem do grego paraboli, que significa aproximação sem falta ou excesso. Adaptado de: SANTOS, SILVA, 2016. ELIPSE Figura 2. Caso em que intersecciona dois lados do triângulo axial. O termo “elipse” foi originado do grego ellipis, que corresponde a aplicação de áreas por falta. Adaptado de: SANTOS, SILVA, 2016. Página 2 de 4Texto-base - Apolônio e as cônicas | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MA... 21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-apolonio-e-as-conicas-%7C-f... HIPÉRBOLE Figura 3. Caso em que intersecciona dois lados do triângulo axial e o prolongamento do outro lado oposto ao vértice. O termo “hipérbole” foi originado do grego yperboli, isto é, uma aplicação de áreas por excesso. Adaptado de: SANTOS, SILVA, 2016. Assim, teve início na Grécia o estudo das seções cônicas e suas propriedades geométricas como parte da busca pela solução do problema da duplicação do cubo. Embora Apolônio fosse um astrônomo notável e embora ele tivesse escrito sobre múltiplos assuntos matemáticos, sua fama se deve principalmente a Secções cônicas, uma obra extraordinária, graças à qual seus contemporâneos lhe deram o cognome de “O Grande Geômetra”. Com cerca de 400 proposições em seus oito livros, Secções cônicas é um estudo exaustivo dessas curvas que supera completamente os trabalhos anteriores de Menaecmo, Aristeu e Euclides sobre esse assunto. Apenas os primeiros sete dos oito livros chegaram até nós — os quatro primeiros em grego e os outros três numa tradução árabe do século IX. Os quatro primeiros livros, dos quais I, II e III, supostamente se baseiam em trabalhos anteriores de Euclides, tratam da teoria elementar genérica das cônicas, ao passo que os outros entram em investigações mais especializadas. Antes de Apolônio os gregos tiravam as cônicas de três tipos de cones de revolução, conforme o ângulo do vértice da secção meridiana fosse menor que, igual a ou maior que um ângulo reto. Seccionando-se cada um desses tipos de cone com um plano perpendicular a uma geratriz resultam respectivamente uma elipse, uma parábola e uma hipérbole. Só se considerava um ramo da hipérbole. Apolônio, porém, no Livro I de seu tratado, obtinha todas as secções cônicas da maneira hoje familiar, ou seja, a partir de um cone circular duplo, reto ou oblíquo. EVES, 2011, p.198-199. REFERÊNCIAS EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5a. edição, Campinas. Ed. UNICAMP. 2011. SILVA, A.A.; SANTOS, M.A.S. As cônicas de Apolônio. In: Anais: Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades. 2016. Disponível em: < Página 3 de 4Texto-base - Apolônio e as cônicas | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MA... 21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-apolonio-e-as-conicas-%7C-f... http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/5062_3970_ID.pdf (http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/5062_3970_ID.pdf) > Página 4 de 4Texto-base - Apolônio e as cônicas | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MA... 21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-apolonio-e-as-conicas-%7C-f...
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