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Apolônio e as crônicas

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Teve início na Grécia o estudo das seções cônicas e suas propriedades geométricas como parte da 
busca pela solução do problema da duplicação do cubo.
As contribuições de Euclides sobre as cônicas perderam-se. Existem, porém, referências a 4 livros seus 
sobre as cônicas, da qual parte do conteúdo pode ser aferido de referências em trabalhos posteriores, 
principalmente os de Arquimedes e Pappus (EVES, 2011).
Mesmo tendo avançado pouco nos teoremas das seções cônicas, Euclides estabeleceu as bases de 
desenvolvimentos posteriores sobre o tema, concretizados por Apolônio e Pappus.
Por outro lado, Apolônio, além de ter estudado entre os discípulos de Euclides em Alexandria, usou os 4 
livros de Euclides sobre cônicas como base para seu próprio tratado. Foi Apolônio, na sua obra As 
Cônicas, composta de 8 livros (dos quais apenas o último se perdeu), que desenvolveu generalizações, 
aplicou métodos inovadores, descobriu e provou teoremas e praticamente exauriu as conclusões 
puramente geométricas envolvidas nas seções cônicas.
Na sua primeira proposição, Apolônio estabelece as relações entre as seções cônicas por meio do 
método das áreas. Para tanto, ao longo do tratado, Apolônio desenvolve diversos teoremas sobre as 
propriedades das cônicas, tangentes, intersecções, limites, máximos e mínimos das cônicas. Além disso, 
resolve geometricamente o problema do lugar geométrico de três e quatro linhas, provando que é uma 
cônica, completando o desenvolvimento proposto por Euclides.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a 
inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu.
Façanhas de Apolônio
Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 
a.C.
Entre as façanhas de Apolônio reside o fato de ter descoberto a possibilidade de se obter as cônicas a 
partir de qualquer seção em qualquer cone, mesmo oblíquo, partindo de um cone de diâmetro geral e 
seção também geral. Para tanto, foi preciso admitir o cone circular duplo, ligado pelo vértice, e as duas 
folhas da hipérbole como uma única curva.
AS CÔNICAS DE APOLÔNIO 
Apolônio e as cônicas3
TEXTO-BASE
Apolônio e as cônicas
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Os nomes elipse, parábola e hipérbole foram introduzidos por Apolônio e foram tomados da 
terminologia pitagórica antiga referente à aplicação de áreas. Quando os pitagóricos aplicavam um 
retângulo a um segmento de reta (isto é, colocavam a base do retângulo ao longo do segmento de 
reta, com um vértice do retângulo sobre uma extremidade do segmento), eles diziam que se tinha 
um caso de “ellipsis”, “parabole” ou “hyperbole”, conforme a base do retângulo ficava aquém do 
segmento de reta, coincidia com ele ou o excedia.
EVES, 2011, p.199.
Silva e Santos (2016) apresentam um resumo das cônicas de Apolônio que podem ser vistas abaixo.
PARÁBOLA
Figura 1. Caso em que AS é paralelo ao lado do triângulo axial. O nome “parábola” vem do 
grego paraboli, que significa aproximação sem falta ou excesso. Adaptado de: SANTOS, SILVA, 2016.
ELIPSE
Figura 2. Caso em que intersecciona dois lados do triângulo axial. O termo “elipse” foi originado do 
grego ellipis, que corresponde a aplicação de áreas por falta. Adaptado de: SANTOS, SILVA, 2016.
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HIPÉRBOLE
Figura 3. Caso em que intersecciona dois lados do triângulo axial e o prolongamento do outro lado oposto ao vértice. 
O termo “hipérbole” foi originado do grego yperboli, isto é, uma aplicação de áreas por excesso. Adaptado de: 
SANTOS, SILVA, 2016.
Assim, teve início na Grécia o estudo das seções cônicas e suas propriedades geométricas como parte 
da busca pela solução do problema da duplicação do cubo.
Embora Apolônio fosse um astrônomo notável e embora ele tivesse escrito sobre múltiplos assuntos 
matemáticos, sua fama se deve principalmente a Secções cônicas, uma obra extraordinária, graças 
à qual seus contemporâneos lhe deram o cognome de “O Grande Geômetra”. Com cerca de 400 
proposições em seus oito livros, Secções cônicas é um estudo exaustivo dessas curvas que supera 
completamente os trabalhos anteriores de Menaecmo, Aristeu e Euclides sobre esse assunto. 
Apenas os primeiros sete dos oito livros chegaram até nós — os quatro primeiros em grego e os 
outros três numa tradução árabe do século IX. Os quatro primeiros livros, dos quais I, II e III, 
supostamente se baseiam em trabalhos anteriores de Euclides, tratam da teoria elementar genérica 
das cônicas, ao passo que os outros entram em investigações mais especializadas.
Antes de Apolônio os gregos tiravam as cônicas de três tipos de cones de revolução, conforme o 
ângulo do vértice da secção meridiana fosse menor que, igual a ou maior que um ângulo reto. 
Seccionando-se cada um desses tipos de cone com um plano perpendicular a uma geratriz resultam 
respectivamente uma elipse, uma parábola e uma hipérbole. Só se considerava um ramo da 
hipérbole. Apolônio, porém, no Livro I de seu tratado, obtinha todas as secções cônicas da maneira 
hoje familiar, ou seja, a partir de um cone circular duplo, reto ou oblíquo.
EVES, 2011, p.198-199.
REFERÊNCIAS
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5a. edição, Campinas. Ed. 
UNICAMP. 2011.
SILVA, A.A.; SANTOS, M.A.S. As cônicas de Apolônio. In: Anais: Educação Matemática na 
Contemporaneidade: desafios e possibilidades. 2016. Disponível em: < 
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