Modulo IV

Prévia do material em texto

23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/11
 
4. Equação da continuidade
 
            No estudo do movimento de um fluido emprega­se o conceito de linhas de corrente
(ou  linhas  de  fluxo)  para  descrever  como  as  partículas  do  fluido  se  movem.  As  linhas  de
corrente  são  definidas  de  modo  que  em  cada  ponto  sua  tangente  é  paralela  ao  vetor
velocidade do fluido (Figura 1).
 
 
Figura 1: Linha de corrente em um fluido móvel. Em cada ponto da linha de corrente a
velocidade do fluido é paralela à reta tangente.
 
 
            Um tubo imaginário limitado por linhas de corrente é definido como sendo um tubo de
corrente (Figura 2). Como uma linha de corrente é paralela ao vetor velocidade do fluido, este
flui ao  longo do  tubo e nenhum  fluxo pode atravessar suas paredes. Desta  forma, pode­se
estabelecer uma expressão para a conservação da massa do fluido.
 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/11
 
Figura 2: Tubo de corrente em um fluido que escoa em regime não turbulento.
 
 
            Para o tubo de corrente anterior, as velocidades das seções retas de área A1 e A2
são,  respectivamente,  v1 e  v2.  Considerando  um  elemento  de  fluido  que  penetra  na  parte
inferior do tubo de corrente da Figura 2, o volume desse elemento (ΔV1) corresponde à área
A1 vezes o comprimento de volume (ΔL1).
 
 
 
onde  Δt  é  o  tempo  que  o  fluido  leva  para  percorrer  o  elemento  de  volume  naquela
extremidade do tubo.
                       Consequentemente, a massa de  fluido que entra na extremidade  inferior do  tubo
durante o intervalo Δt corresponde à massa específica ρ1 vezes o volume ΔV1. Assim:
 
 
 
            Analogamente a massa (m2) do fluido que sai pela extremidade superior durante o
mesmo intervalo de tempo é:
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/11
 
 
 
 
            Como nenhum fluido se acumula no tubo, em regime permanente de escoamento, as
duas massas m1 e m2 são iguais. Logo:
 
              
 
 
                        Esta  equação  é  conhecida  como  equação  da  continuidade  e  representa  a
conservação de massa em fluxo constante. Assim, em regime permanente a vazão mássica é
conservada  (QM1  =  QM2).  Além  disso,  se  o  fluido  for  incompressível,  como  a  massa
específica é constante, então ρ1 = ρ2, e a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2). Portanto:
 
 
 
Exemplo 1:
Um conduto de água se afunila de um raio de 12,5 mm para um raio de 9 mm. Sendo que a
velocidade da água na parte de 12,5 mm é 1,8 m/s, determine:
 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 4/11
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto;
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um  fluido  incompressível e  isolando a
velocidade v2 tem­se:
 
 
b) a vazão volumétrica;
 
Solução:  A  vazão  volumétrica  corresponde  à  velocidade  vezes  a  área.  Como  o  fluido  é
incompressível, a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2 = Q). Então:
 
 
 
c) a vazão mássica;
 
Solução: A vazão mássica corresponde ao produto entre a massa específica do fluido (ρágua
= 1000 kg/m³) e a vazão volumétrica. Logo,
 
 
 
 
Exemplo 2:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 1,7 m/s. O tubo se
bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem­se:
 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/11
 
(a) Quais são as vazões nos pontos A e B?
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e sabendo que
os diâmetros de saída do fluido são iguais, logo, as vazões volumétricas são iguais nos dois
tubos menores, então:
 
 
Como:   
Portanto:    
 
(b) Qual é a velocidade no ponto B?
Solução: Isolando a variável velocidade na expressão da vazão volumétrica, tem­se:
 
 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/11
Exercício 1:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a
queda  (figura  a  seguir).  Essa  seção  reta  horizontal  é  característica  de  jatos  de
água laminares em queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade
da água. Determine a velocidade v0 (em m/s).
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
A ­   v 0 = 5,8 m/s 
B ­   v 0 = 0,58 m/s 
C ­   v 0 = 2,9 m/s 
D ­   v 0 = 0,29 m/s 
E ­   v 0 = 0,44 m/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 2:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda
(figura a seguir). Essa seção reta horizontal é característica de jatos de água laminares em
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 7/11
queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água. Determine a vazão
(em m³/s) da torneira.
 
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
A ­   Q = 35 x 10 ­6 m³/s 
B ­   Q = 350 x 10 ­6 m³/s 
C ­   Q = 35 x 10 ­3 m³/s 
D ­   Q = 3,5 x 10 ­3 m³/s 
E ­   Q = 0,35 x 10 ­6 m³/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 3:
Uma mangueira  de  jardim  é  conectada  a  um  bocal  é  usada  para  encher  um  balde  de  38
litros. O diâmetro  interno da mangueira é de 2 cm, e se reduz a 0,8 cm na saída do bocal.
Sabendo  que  são  necessários  50  s  para  encher  o  balde  com  água,  determine  a  vazão
volumétrica (em m³/s) da água através da mangueira e a velocidade média (m/s) da água na
saída do bocal.
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 8/11
A ­ Q = 76 x 10 ­6 m³/s v = 1,51 m/s 
B ­ Q = 76 x 10 ­6 m³/s v = 15,1 m/s 
C ­ Q = 76 x 10 ­3 m³/s v = 151 m/s 
D ­ Q = 7,6 x 10 ­3 m³/s v = 1,51 m/s 
E ­ Q = 0,76 x 10 ­3 m³/s v = 15,1 m/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 4:
Para a irrigação de um jardim utiliza­se uma mangueira de 3 cm de diâmetro diretamente
ligada a um irrigador que possui 24 orifícios. Cada um destes orifícios possui 0,16 cm de
diâmetro. Sabendo que o módulo da velocidade de escoamento da água na mangueira é de
5 m/s, calcule o módulo da velocidade (em m/s) da água ao sair pelos orifícios do irrigador.
A ­ v = 36,6 m/s 
B ­ v = 7,32 m/s 
C ­ v = 73,6 m/s 
D ­ v = 3,66 m/s 
E ­ v = 0,37 m/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 5:
Um determinado circuito hidráulico admite água em um reservatório com vazão de 25 l/s. No
mesmo reservatório é trazido óleo por outro tubo com vazão de 14 l/s. A mistura homogênea
formada é então descarregada por outro tubo, cuja secção transversal tem uma área de 37
cm². Determine a velocidade (em m/s) da mistura.
A ­   v = 1,05 m/s 
B ­ v = 10,54 m/s 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo9/11
C ­ v = 8,36 m/s 
D ­ v = 0,84 m/s 
E ­ v = 5,17 m/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 6:
O ar escoa em um tubo cuja área de maior seção transversal é de 20 cm² e a menor de 10
cm². A massa específica do ar na seção (1) é 1,4 kg/m³, enquanto na seção (2) é de 0,9
kg/m³. Sabendo que a velocidade na seção (1) é de 12 m/s, determine a velocidade (em m/s)
da seção (2) e a vazão em massa (em kg/s).
 
A ­ v 2 = 37 m/s. Q 2 = 336 kg/s 
B ­ v 2 = 3,7 m/s. Q 2 = 33,6 kg/s 
C ­ v 2 = 0,37 m/s. Q 2 = 3,36 kg/s 
D ­ v 2 = 3,73 m/s. Q 2 = 0,336 kg/s 
E ­ v 2 = 37,33 m/s. Q 2 = 0,0336 kg/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 7:
Um conduto de água ( água = 1000 kg/m³) se afunila de um raio de 10 mm para um raio de 5
mm. Sendo a velocidade da água no raio de 10 mm igual a 2,0 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto (em m/s);
 
b) a vazão volumétrica (em m³/s);
 
c) a vazão mássica (em kg/s);
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 10/11
 
 
A ­ a) v 2 = 8 m/s b) Q = 6,3 x 10 ­4 m³/s c) Q M = 0,63 kg/s 
B ­ a) v 2 = 8 m/s b) Q = 63 x 10 ­4 m³/s c) Q M = 0,63 kg/s 
C ­ a) v 2 = 4 m/s b) Q = 3,6 x 10 ­4 m³/s c) Q M = 0,36 kg/s 
D ­ a) v 2 = 4 m/s b) Q = 36 x 10 ­4 m³/s c) Q M = 3,6 kg/s 
E ­ a) v 2 = 8 m/s b) Q = 6,3 x 10 ­3 m³/s c) Q M = 3,6 kg/s 
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários 
Exercício 8:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 2,3 m/s. O tubo se
bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem­se:
a) Quais são as vazões (em m³/s) nos pontos A e B?
b) Qual é a velocidade (em m/s) no ponto B?
 
A ­ a) Q A = 0,45 x 10 ­3 m³/s e Q B = 2,2 x 10 ­3 m³/s b) v 2 = 5,4 m/s 
B ­ a) Q A = 5,4 x 10 ­3 m³/s e Q B = 3,4 x 10 ­3 m³/s b) v 2 = 4,5 m/s 
C ­ a) Q A = 54 x 10 ­3 m³/s e Q B = 22 x 10 ­3 m³/s b) v 2 = 4,5 m/s 
D ­ a) Q A = 4,5 x 10 ­3 m³/s e Q B = 2,2 x 10 ­3 m³/s b) v 2 = 4,5 m/s 
E ­ a) Q A = 45 x 10 ­3 m³/s e Q B = 22 x 10 ­3 m³/s b) v 2 = 4,5 m/s 
23/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 11/11
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários