Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti- tuto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014 Teste VERSA˜O: A Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( onde k0 = 1 4πǫ0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ǫ0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r U = k0 qq′ r , ~E = ~E0/K , C = Q/V I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo- triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca- pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece conectado a bateria, a energia armazenada no capaci- tor (a) quadruplica. (b) duplica. (c) na˜o se altera. (d) reduz-se a metade. (e) reduz-se a um quarto. 2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten- cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)? (a) Apenas a I. (b) Apenas a II. (c) Apenas a III. (d) Apenas a I e a II. (e) Apenas a I e a III. (f) Apenas a II e a III. (g) Todas sa˜o verdadeiras. (h) Nenhuma e´ verdadeira. 1 3. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi- gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini- tamente afastadas? (a) 2k0q 2 a . (b) 4k0q 2 a . (c) 5k0q 2 a . (d) 6k0q 2 a . (e) 3k0q 2 a . 4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica, conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de carga na parede interna da casca condutora vale: (a) 0 . (b) − Q 4πa2 . (c) Q 4πa2 . (d) − Q 4πb2 . (e) Q 4πb2 . (f) Q+ qc 4πa2 . (g) Q+ qc 4πb2 . 5. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli- cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza, os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo. Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018 ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor- rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C. (a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo para para o positivo. (d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. (e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. 6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´ duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir descreve corretamente o comportamento do campo ele´trico nas treˆs regio˜es? (a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0. (d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. (e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. 2 7. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re- gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi- gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono? (a) −9k0q 2 a2 xˆ . (b) 9k0q 2 a2 xˆ . (c) −8k0q 2 a2 xˆ . (d) 8k0q 2 a2 xˆ . (e) k0q 2 a2 xˆ . (f) −k0q 2 a2 xˆ . 8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor- reta. (a) O campo ele´trico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero. (b) O campo ele´trico no interior de um material diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja em uma regia˜o com campo ele´trico. (c) O campo ele´trico entre as placas de um ca- pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre suas placas e´ completamente preenchida por um material de constante diele´trica K > 1. (d) Quando um material diele´trico e´ inserido en- tre as placas de um capacitor, surge uma den- sidade superficial de carga induzida nas su- perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da capacitaˆncia. (e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten- cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa! 1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva. (a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto] (b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto] (c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto] 2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda. (a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto] (b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado. [1,0 ponto] 3 Figura 1: Questa˜o discursiva 1 Figura 2: Questa˜o discursiva 2. (c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto] 4 Figura 3: Gabarito da questa˜o discursiva 1. Gabarito para Versa˜o A Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (d) 2. (h) 3. (e) 4. (b) 5. (a) 6. (c) 7. (f) 8. (b) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”. Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12) 1 dEy = d~E · yˆ = k0 dq r2 rˆ · yˆ = k0 λ dy r2 ( −y r ) = −k0 λ y dy (x2 + y2)3/2 . Logo, Ey = −2k0 λ ∫ L y=0 y dy (x2 + y2)3/2 , (1) o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis: u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy . Inserindo isso na Eq. (1), obtemos Ey = −2k0 λ ∫ x2+L2 u=x2 du/2 u3/2 = −k0 λ u −1/2 (−1/2) ∣∣∣∣ x2+L2 u=x2 . Finalmente, pois, ~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ ( 1√ x2 + L2 − 1|x| ) yˆ . (2) � (b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio queo potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero: V (x, y = z = 0) = 0 . � (c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton, (1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) , da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o, lim |x|≫L ~E = lim |x|≫L 2k0 λ [ 1√ x2 + L2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ [ 1 |x|√1 + (L/x)2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ |x| {[ 1 + (L/x)2 ]−1/2 − 1} yˆ = 2k0 λ |x| [ 1− 1 2 L2 x2 + . . .− 1 ] yˆ . 2 Finalmente, enta˜o, lim |x|≫L ~E(x, y = z = 0) = −k0 λL 2 x3 yˆ = −k0 ~p x3 . Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio, a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por ~p = QLyˆ , onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem). � 2. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja, V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) . Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja, V−(x, y = z = 0) = k0Q r− = k0Q√ L2 + (x+ L)2 , e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja, V+(x, y = z = 0) = k0Q r+ = k0Q√ L2 + (x− L)2 . Logo, o potencial resultante e´ V (x, y = z = 0) = k0Q {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . (3) � (b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente x, igual a [cf. Eq. (3)]: Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0) ∂x = −k0Q {( −1 2 )[ L2 + (L+ x)2 ]−3/2 2(L+ x) + ( −1 2 )[ L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} , ou, finalmente, ~E(x, y = z = 0) = k0Q { x+ L [L2 + (x+ L)2]3/2 + x− L [L2 + (x− L)2]3/2 } xˆ . � (c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja, U = k0qQ {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . � 3 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti- tuto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014 Teste VERSA˜O: B Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( onde k0 = 1 4πǫ0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ǫ0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r U = k0 qq′ r , ~E = ~E0/K , C = Q/V I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli- cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza, os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo. Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018 ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor- rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C. (a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo para para o positivo. (d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. (e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. 2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica, conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de carga na parede interna da casca condutora vale: (a) 0 . (b) − Q 4πa2 . (c) Q 4πa2 . (d) − Q 4πb2 . (e) Q 4πb2 . (f) Q+ qc 4πa2 . (g) Q+ qc 4πb2 . 1 3. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo- triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca- pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece conectado a bateria, a energia armazenada no capaci- tor (a) quadruplica. (b) duplica. (c) na˜o se altera. (d) reduz-se a metade. (e) reduz-se a um quarto. 4. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten- cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)? (a) Apenas a I. (b) Apenas a II. (c) Apenas a III. (d) Apenas a I e a II. (e) Apenas a I e a III. (f) Apenas a II e a III. (g) Todas sa˜o verdadeiras. (h) Nenhuma e´ verdadeira. 5. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re- gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi- gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono? (a) −9k0q 2 a2 xˆ . (b) 9k0q 2 a2 xˆ . (c) −8k0q 2 a2 xˆ . (d) 8k0q 2 a2 xˆ . (e) k0q 2 a2 xˆ . (f) −k0q 2 a2 xˆ . 6. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi- gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini- tamente afastadas? (a) 2k0q 2 a . (b) 4k0q 2 a . (c) 5k0q 2 a . (d) 6k0q 2 a . (e) 3k0q 2 a . 2 7. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´ duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir descreve corretamente o comportamento do campo ele´trico nas treˆs regio˜es? (a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0. (d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. (e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. 8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor- reta. (a) O campo ele´trico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero. (b) O campo ele´trico no interior de um material diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja em uma regia˜o com campo ele´trico. (c) O campo ele´trico entre as placas de um ca- pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre suas placas e´ completamente preenchida por um material de constante diele´trica K > 1. (d) Quando um material diele´trico e´ inserido en- tre as placas de um capacitor, surge uma den- sidade superficial de carga induzida nas su- perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da capacitaˆncia. (e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten- cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa! 1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva. Figura 4: Questa˜o discursiva 1 (a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto] 3 (b) Obtenha o potencial ele´trico no pontoP supracitado. [0,5 ponto] (c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto] 2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda. Figura 5: Questa˜o discursiva 2. (a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto] (b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado. [1,0 ponto] (c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto] 4 Figura 6: Gabarito da questa˜o discursiva 1. Gabarito para Versa˜o B Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (a) 2. (b) 3. (d) 4. (h) 5. (f) 6. (e) 7. (c) 8. (b) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”. Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12) 1 dEy = d~E · yˆ = k0 dq r2 rˆ · yˆ = k0 λ dy r2 ( −y r ) = −k0 λ y dy (x2 + y2)3/2 . Logo, Ey = −2k0 λ ∫ L y=0 y dy (x2 + y2)3/2 , (1) o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis: u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy . Inserindo isso na Eq. (1), obtemos Ey = −2k0 λ ∫ x2+L2 u=x2 du/2 u3/2 = −k0 λ u −1/2 (−1/2) ∣∣∣∣ x2+L2 u=x2 . Finalmente, pois, ~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ ( 1√ x2 + L2 − 1|x| ) yˆ . (2) � (b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero: V (x, y = z = 0) = 0 . � (c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton, (1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) , da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o, lim |x|≫L ~E = lim |x|≫L 2k0 λ [ 1√ x2 + L2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ [ 1 |x|√1 + (L/x)2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ |x| {[ 1 + (L/x)2 ]−1/2 − 1} yˆ = 2k0 λ |x| [ 1− 1 2 L2 x2 + . . .− 1 ] yˆ . 2 Finalmente, enta˜o, lim |x|≫L ~E(x, y = z = 0) = −k0 λL 2 x3 yˆ = −k0 ~p x3 . Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio, a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por ~p = QLyˆ , onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem). � 2. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja, V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) . Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja, V−(x, y = z = 0) = k0Q r− = k0Q√ L2 + (x+ L)2 , e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja, V+(x, y = z = 0) = k0Q r+ = k0Q√ L2 + (x− L)2 . Logo, o potencial resultante e´ V (x, y = z = 0) = k0Q {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . (3) � (b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente x, igual a [cf. Eq. (3)]: Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0) ∂x = −k0Q {( −1 2 )[ L2 + (L+ x)2 ]−3/2 2(L+ x) + ( −1 2 )[ L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} , ou, finalmente, ~E(x, y = z = 0) = k0Q { x+ L [L2 + (x+ L)2]3/2 + x− L [L2 + (x− L)2]3/2 } xˆ . � (c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja, U = k0qQ {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . � 3 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti- tuto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014 Teste VERSA˜O: C Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( onde k0 = 1 4πǫ0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ǫ0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r U = k0 qq′ r , ~E = ~E0/K , C = Q/V I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica, conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de carga na parede interna da casca condutora vale: (a) 0 . (b) − Q 4πa2 . (c) Q 4πa2 . (d) − Q 4πb2 . (e) Q 4πb2 . (f) Q+ qc 4πa2 . (g) Q+ qc 4πb2 . 2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo- triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca- pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece conectado a bateria, a energia armazenada no capaci- tor (a) quadruplica. (b) duplica. (c) na˜o se altera. (d) reduz-se a metade. (e) reduz-se a um quarto. 1 3. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli- cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza, os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo. Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018 ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor- rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C. (a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo para para o positivo. (d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. (e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. 4. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´ duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir descreve corretamente o comportamento do campo ele´trico nas treˆs regio˜es? (a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0. (d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. (e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. 5. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor- reta. (a) O campo ele´trico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero. (b) O campo ele´trico no interior de um material diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja em uma regia˜o com campo ele´trico. (c) O campo ele´trico entre as placas de um ca- pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre suas placas e´ completamente preenchida por um material de constante diele´trica K > 1. (d) Quando um material diele´trico e´ inserido en- tre as placas de um capacitor, surge uma den- sidade superficial de carga induzida nas su-perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da capacitaˆncia. (e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten- cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica. 2 6. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re- gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi- gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono? (a) −9k0q 2 a2 xˆ . (b) 9k0q 2 a2 xˆ . (c) −8k0q 2 a2 xˆ . (d) 8k0q 2 a2 xˆ . (e) k0q 2 a2 xˆ . (f) −k0q 2 a2 xˆ . 7. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi- gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini- tamente afastadas? (a) 2k0q 2 a . (b) 4k0q 2 a . (c) 5k0q 2 a . (d) 6k0q 2 a . (e) 3k0q 2 a . 8. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten- cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)? (a) Apenas a I. (b) Apenas a II. (c) Apenas a III. (d) Apenas a I e a II. (e) Apenas a I e a III. (f) Apenas a II e a III. (g) Todas sa˜o verdadeiras. (h) Nenhuma e´ verdadeira. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa! 1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva. (a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto] (b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto] (c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto] 2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda. 3 Figura 7: Questa˜o discursiva 1 Figura 8: Questa˜o discursiva 2. (a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto] (b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado. [1,0 ponto] (c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto] 4 Figura 9: Gabarito da questa˜o discursiva 1. Gabarito para Versa˜o C Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (b) 2. (d) 3. (a) 4. (c) 5. (b) 6. (f) 7. (e) 8. (h) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”. Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12) 1 dEy = d~E · yˆ = k0 dq r2 rˆ · yˆ = k0 λ dy r2 ( −y r ) = −k0 λ y dy (x2 + y2)3/2 . Logo, Ey = −2k0 λ ∫ L y=0 y dy (x2 + y2)3/2 , (1) o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis: u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy . Inserindo isso na Eq. (1), obtemos Ey = −2k0 λ ∫ x2+L2 u=x2 du/2 u3/2 = −k0 λ u −1/2 (−1/2) ∣∣∣∣ x2+L2 u=x2 . Finalmente, pois, ~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ ( 1√ x2 + L2 − 1|x| ) yˆ . (2) � (b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero: V (x, y = z = 0) = 0 . � (c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton, (1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) , da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o, lim |x|≫L ~E = lim |x|≫L 2k0 λ [ 1√ x2 + L2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ [ 1 |x|√1 + (L/x)2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ |x| {[ 1 + (L/x)2 ]−1/2 − 1} yˆ = 2k0 λ |x| [ 1− 1 2 L2 x2 + . . .− 1 ] yˆ . 2 Finalmente, enta˜o, lim |x|≫L ~E(x, y = z = 0) = −k0 λL 2 x3 yˆ = −k0 ~p x3 . Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio, a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por ~p = QLyˆ , onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem). � 2. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja, V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) . Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja, V−(x, y = z = 0) = k0Q r− = k0Q√ L2 + (x+ L)2 , e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja, V+(x, y = z = 0) = k0Q r+ = k0Q√ L2 + (x− L)2 . Logo, o potencial resultante e´ V (x, y = z = 0) = k0Q {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . (3) � (b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente x, igual a [cf. Eq. (3)]: Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0) ∂x = −k0Q {( −1 2 )[ L2 + (L+ x)2 ]−3/2 2(L+ x) + ( −1 2 )[ L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} , ou, finalmente, ~E(x, y = z = 0) = k0Q { x+ L [L2 + (x+ L)2]3/2 + x− L [L2 + (x− L)2]3/2 } xˆ . � (c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja, U = k0qQ {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . � 3 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti- tuto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014 Teste VERSA˜O: D Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( onde k0 = 1 4πǫ0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ǫ0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r U = k0 qq′ r , ~E = ~E0/K , C = Q/V I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten- cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)? (a) Apenas a I. (b) Apenas a II. (c) Apenas a III. (d) Apenas a I e a II. (e) Apenas a I e a III. (f) Apenas a II e a III. (g) Todas sa˜o verdadeiras. (h) Nenhuma e´ verdadeira. 2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo- triz constante. Se a distaˆncia entreas placas do ca- pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece conectado a bateria, a energia armazenada no capaci- tor (a) quadruplica. (b) duplica. (c) na˜o se altera. (d) reduz-se a metade. (e) reduz-se a um quarto. 1 3. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica, conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de carga na parede interna da casca condutora vale: (a) 0 . (b) − Q 4πa2 . (c) Q 4πa2 . (d) − Q 4πb2 . (e) Q 4πb2 . (f) Q+ qc 4πa2 . (g) Q+ qc 4πb2 . 4. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re- gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi- gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono? (a) −9k0q 2 a2 xˆ . (b) 9k0q 2 a2 xˆ . (c) −8k0q 2 a2 xˆ . (d) 8k0q 2 a2 xˆ . (e) k0q 2 a2 xˆ . (f) −k0q 2 a2 xˆ . 5. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´ duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir descreve corretamente o comportamento do campo ele´trico nas treˆs regio˜es? (a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0. (c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0. (d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. (e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0. 6. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi- gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini- tamente afastadas? (a) 2k0q 2 a . (b) 4k0q 2 a . (c) 5k0q 2 a . (d) 6k0q 2 a . (e) 3k0q 2 a . 2 7. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli- cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza, os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo. Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018 ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor- rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C. (a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo para para o positivo. (d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. (e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para o negativo. (f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo para o positivo. 8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor- reta. (a) O campo ele´trico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero. (b) O campo ele´trico no interior de um material diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja em uma regia˜o com campo ele´trico. (c) O campo ele´trico entre as placas de um ca- pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre suas placas e´ completamente preenchida por um material de constante diele´trica K > 1. (d) Quando um material diele´trico e´ inserido en- tre as placas de um capacitor, surge uma den- sidade superficial de carga induzida nas su- perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da capacitaˆncia. (e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten- cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa! 1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva. Figura 10: Questa˜o discursiva 1 3 (a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto] (b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto] (c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto] 2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda. Figura 11: Questa˜o discursiva 2. (a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto] (b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado. [1,0 ponto] (c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto] 4 Figura 12: Gabarito da questa˜o discursiva 1. Gabarito para Versa˜o D Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (h) 2. (d) 3. (b) 4. (f) 5. (c) 6. (e) 7. (a) 8. (b) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”. Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12) 1 dEy = d~E · yˆ = k0 dq r2 rˆ · yˆ = k0 λ dy r2 ( −y r ) = −k0 λ y dy (x2 + y2)3/2 . Logo, Ey = −2k0 λ ∫ L y=0 y dy (x2 + y2)3/2 , (1) o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis: u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy . Inserindo isso na Eq. (1), obtemos Ey = −2k0 λ ∫ x2+L2 u=x2 du/2 u3/2 = −k0 λ u −1/2 (−1/2) ∣∣∣∣ x2+L2 u=x2 . Finalmente, pois, ~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ ( 1√ x2 + L2 − 1|x| ) yˆ . (2) � (b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero: V (x, y = z = 0) = 0 . � (c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton, (1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) , da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o, lim |x|≫L ~E = lim |x|≫L 2k0 λ [ 1√ x2 + L2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ [ 1 |x|√1 + (L/x)2 − 1|x| ] yˆ = 2k0 λ |x| {[ 1 + (L/x)2 ]−1/2 − 1} yˆ = 2k0 λ |x| [ 1− 1 2 L2 x2 + . . .− 1 ] yˆ . 2 Finalmente, enta˜o, lim |x|≫L ~E(x, y = z = 0) = −k0 λL 2 x3 yˆ = −k0 ~p x3 . Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio, a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por ~p = QLyˆ , onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem). � 2. Resoluc¸a˜o: (a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja, V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z =0) + V+(x, y = z = 0) . Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja, V−(x, y = z = 0) = k0Q r− = k0Q√ L2 + (x+ L)2 , e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja, V+(x, y = z = 0) = k0Q r+ = k0Q√ L2 + (x− L)2 . Logo, o potencial resultante e´ V (x, y = z = 0) = k0Q {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . (3) � (b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente x, igual a [cf. Eq. (3)]: Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0) ∂x = −k0Q {( −1 2 )[ L2 + (L+ x)2 ]−3/2 2(L+ x) + ( −1 2 )[ L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} , ou, finalmente, ~E(x, y = z = 0) = k0Q { x+ L [L2 + (x+ L)2]3/2 + x− L [L2 + (x− L)2]3/2 } xˆ . � (c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja, U = k0qQ {[ L2 + (L+ x)2 ]−1/2 + [ L2 + (x− L)2]−1/2} . � 3
Compartilhar