Prova 1

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Primeira prova de Demografia 26/09/2017
(1.7) Questa˜o 1: Uma populac¸a˜o tinha, ha´ 10 anos atra´s, 100000 habitantes. Sabe-se que a
taxa de incremento populacional foi constante, e igual a q, desde aquela e´poca ate´ os dias de hoje.
Acredita-se que o incremento deixara´ de ser constante e passara´ a obedecer a lei β(t) = − tq50 pelos
pro´ximos 20 anos. Se o tamanho da populac¸a˜o hoje e´ de 150000 habitantes, calcule q e o tamanho
da populac¸a˜o daqui a 10 anos. Utilize a abordagem cont´ınua para dinaˆmica populacional.
Soluc¸a˜o:
P0 = 100000;P10 = 150000
Vamos, primeiramente, calcular q:
P10 = P0exp{10q}
150000 = 100000exp{10q}
exp{10q} = 1, 5
10q = ln(1, 5) = 0, 4054
q = 0, 04054
Agora, vamos calcular P20
P20 = 150000exp
{∫ 10
0
− qt
50
dt
}
P20 = 150000exp{−0, 04054× 10
2
100
} = 150000exp{−0, 04054}
P20 = 150000(0, 96027) = 144040
Questa˜o 2: Suponha que a piraˆmide eta´ria abaixo seja de uma populac¸a˜o fechada e aproxi-
madamente esta´vel e estaciona´ria. Os valores ao lado dos intervalos de idade indicam o nu´mero de
pessoas com idade igual a do in´ıcio do intervalo em 01/07 de um determinado ano.
Responda as seguintes questo˜es:
(0,5) (A) Explique a diferenc¸a entre uma populac¸a˜o aberta e uma populac¸a˜o fechada.
A populac¸a˜o fechada e´ aquela que na˜o e´ afetada por migrac¸a˜o externa, ou seja, ela e´ apenas
afetada pelas taxas de nascimento e morte. A populac¸a˜o aberta, ao contra´rio, tambe´m e´ afetada
por migrac¸o˜es externas.
(0,5) (B) Calcule a probabilidade aproximada de um indiv´ıduo rece´m-nascido dessa populac¸a˜o
viver ate´ pelo menos os 40 anos.
1
Para fazer esse ca´lculo, basta somar a porcentagem de pessoas na populac¸a˜o que tem idade
maior ou igual a quarenta anos:
Sˆ(40) = 3% + 2, 5% + 2% + 1, 5% + 1, 3% + 1% + 0, 7% + 0, 5% + 0, 3% + 0, 1% + 3, 2% + 2, 7% + 2, 1%
+ 1, 7% + 1, 4% + 1, 1% + 0, 9% + 0, 6% + 0, 4% + 0, 2% + 0, 1% = 27, 3%
(0,5) (C) Deˆ um valor aproximado para a taxa de crescimento dessa populac¸a˜o.
Um valor aproximado para o incemento populacional e´ zero, visto que a populac¸a˜o e´ aproxi-
madamente estaciona´ria.
Questa˜o 3: Ainda com base na piraˆmide eta´ria fornecida acima, marque verdadeiro ou falso
para cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, sempre justificando sua resposta. Respostas sem justificativa
sera˜o automaticamente desconsideradas.
(0,5) (A) A populac¸a˜o que corresponde a` piraˆmide fornecida esta´ no esta´gio 1 de desenvolvi-
mento.
Falso. Populac¸o˜es no esta´gio 1 de desenvolvimento tem a base mais larga que a da populac¸a˜o
representada aqui.
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(0,5) (B) A taxa de mortalidade para homens com idade entre 15 e 19 anos e´ maior que a taxa
de mortalidade para mulheres na mesma faixa eta´ria.
Verdadeiro. O nu´mero de homens com idade entre 10 e 14 anos e´ maior que o nu´mero de
mulheres com essa idade, a diferenc¸a diminue para pessoas na faixa eta´ria de 15 a 19 anos, e
inverte para a faixa eta´ria de 20 a 24 anos. Isso, ale´m do fato da populac¸a˜o ser fechada (ou seja,
o seu tamanho na˜o e´ influenciado por movimentos migrato´rios), e esta´vel (ou seja, as taxas de
mortalidade se mante´m iguais ao longo do tempo para cada faixa eta´ria),indicam que a afirmac¸a˜o
e´ verdadeira.
(0,5) (C) A probabilidade de um indiv´ıduo do sexo masculino morrer com idade entre 45 e 55
anos e´ maior que 20%.
Para responder essa questa˜o, vamos supor que dentro de cada intervalo de idades, tenhamos o
mesmo nu´mero de indiv´ıduos em cada idade. Sendo assim, como temos 4216418 indiv´ıduos com
idade entre 45 e 49, vamos ter aproximadamente 4216418/5 = 483284 pessoas com 45 anos do sexo
masculino.
Da mesma forma, podemos calcular o nu´mero aproximado de homens com 55 anos por: 2585244/5 =
517049.
Suponha H(x) o nu´mero de homens com idade x na populac¸a˜o. H(44)−H(55) indica quantos
homens morreram com idade entre 45 e 55 anos. Temos enta˜o que H(44) − H(50) ≈ 517049 −
483284 = 33765
A probabilidade que queremos calcular e´ aproximadamente a raza˜o entre essa quantidade, e o
nu´mero de homens na populac¸a˜o (somando para todas as faixa eta´rias, temos que e´ 83516015):
33765
83516015
= 0, 0004042
que e´ bem menor que 20%. Sendo assim, a afirmativa e´ falsa.
Questa˜o 4: Suponha que a forc¸a de mortalidade µx e´ constante e dada por 0, 0004, para x no
intervalo [20, 25].
(1,0)(A) Calcule 5q20.
5q20 = P (X < 25|X > 20) = P (20 < X < 25)
P (X > 20)
=
S(20)− S(25)
S(20)
=
=
exp{− ∫ 200 µsds} − exp{− ∫ 250 µsds}
exp{− ∫ 200 µsds}
= 1− exp{−
∫ 25
0 µsds}
exp{− ∫ 200 µsds} = 1− exp{−
∫ 25
0
µsds +
∫ 20
0
µsds}
= 1− exp{−
∫ 25
20
µsds}1− exp{−
∫ 25
20
0, 0004ds}
= 1− exp{−5(0, 0004)} = 1− exp(−0, 002) = 0.001998001
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(1,0)(B) Se 5q20 duplica ao aumentar a forc¸a para 0, 0004 + c, qual o valor de c?
Se 5q20 duplica, enta˜o 5q20 = 0, 001998001 ∗ 2 = 0, 003996002
Enta˜o,
1− exp{−5(0, 0004 + c)} = 0, 003996002
exp{−5(0, 0004 + c)} = 0.996004
−5(0, 0004 + c) = ln(0.996004) = −0.004004005
0, 0004 + c = 0, 0008
c = 0, 0004
Ou seja, ao dobrar a forc¸a de mortalidade, 5q20 tambe´m dobra.
Questa˜o 5: O tempo de vida, em dias, de um certo tipo de inseto, segue func¸a˜o de sobreviveˆncia
dada pela lei de Weibull, com paraˆmetros α = 1 e β = 2.
(1,0)(A) Construa as colunas lx e dx para a tabela de mortalidade correspondente para as idades
de zero a cinco anos (inclusive) usando a raiz K = 100000.
S(1) = K × exp
{
−
(
1
2
)1}
= 100000× 0, 60653 = 60653
S(2) = K × exp
{
−
(
2
2
)}
= 100000× 0, 36787 = 36787
S(3) = K × exp
{
−
(
3
2
)}
= 100000× 0, 22313 = 22313
S(4) = K × exp
{
−
(
4
2
)}
= 100000× 0, 13534 = 13534
S(5) = K × exp
{
−
(
5
2
)}
= 100000× 0, 08208 = 8208
S(6) = K × exp
{
−
(
6
2
)}
= 100000× 0, 04979 = 4979
x lx dx
0 100000 100000 - 60653 = 39347
1 60653 60653 - 36787 = 23866
2 36787 36787 - 22313 = 14474
3 22313 22313 - 13534 = 8779
4 13534 13534 - 8208 = 5326
5 8208 8208 - 4979 = 3229
4
(1,0)(B) Com base na tabela constru´ıda na letra A, calcule uma aproximac¸a˜o para 2,5p1 e
1,3|2,5q0,5. Que hipo´tese voceˆ utilizou para fazer esse ca´lculo?
Sob a suposic¸a˜o de que o nu´mero de mortes se da´ de maneira uniforme em cada intervalo de
um ano, podemos utilizar as seguintes fo´rmulas:
2,5p1 =
l1+2,5
l1
=
l3+0,5
l1
=
l3 − 0, 5(l3 − l4)
l1
=
22313− 0, 5(22313− 13534)
60653
= 0, 2955
1,3|2,5q0,5 =
l0,5+1,3 − l0,5+1,3+2,5
l0,5+1,3
=
l1,8 − l4,3
l1,8
=
(l1 − 0, 8(l1 − l2))− (l4 − 0, 3(l4 − l5))
l1 − 0, 8(l1 − l2) =
(60653− 0, 8(60653− 36788))− (13534− 0, 3(13534− 8208))
(60653− 0, 8(60653− 36788))
=
41561− 11936
41561
= 0, 7128
(1,8)(C) Calcule agora 2.5p1 e 1.3|2.5q0.5 de forma exata. As aproximac¸o˜es feitas na letra B foram
razoa´veis? Por que voceˆ acha que isso aconteceu? Caso as aproximac¸o˜es sejam ruins, como elas
poderiam ser melhoradas?
2,5p1 = P (X > 2, 5|X > 1) = S(3, 5)
S(1)
=
exp
{
−
(
3,5
2
)}
exp
{
−
(
1
2
)}
= exp
{
−
(
3, 5
2
− 1
2
)}
= exp {−1, 25} = 0, 2865
1,3|2,5q0,5 = P (1, 8 < X < 4, 3|X > 0, 5) =
P (1, 8 < X < 4, 3)
P (X > 0, 5)
=
S(1, 8)− S(4, 3)
S(0, 5)
=
exp{−1, 8/2} − exp{−4, 3/2}
exp{−0, 5/2}
= 0, 7135
Comparando os valores obtidos nas letras A e B podemos perceber que as aproximac¸o˜es sa˜o
boas. Isso ocorre pelo fato do decaimento da func¸a˜o de sobreviveˆncia ocorrer de forma quase linear
considerando intervalos de tempo unita´rios.
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