Função exponencial

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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
Modelar e resolver problemas que envol-
vem variáveis socioeconômicas ou téc-
nico-científicas, usando representações 
algébricas. 
 
Identificar representações algébricas que ex-
pressem a relação entre grandezas. 
 
Interpretar gráfico cartesiano que represente 
relações entre grandezas. 
 
Resolver situação-problema cuja modelagem 
envolva conhecimentos algébricos. 
 
Utilizar conhecimentos algébricos/geométri-
cos como recurso para a construção de argu-
mentação. 
 
Avaliar propostas de intervenção na realidade 
utilizando conhecimentos algébricos. 
 
 
 
Equações Exponenciais 
Chamamos de equações exponenciais toda equação na 
qual a incógnita aparece em expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
• 5𝑥 = 125 (𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é 𝑥 = 3) 
• 3𝑥−2 = 9 (𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é 𝑥 = 4) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar 
dois passos importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da equação a potências 
de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⇒ 𝑚 = 𝑛 
(𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑎 > 0) 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chamamos de funções exponenciais aquelas 
nas quais temos a variável aparecendo em expoente. 
A função 
*
: →f definida por 
x
axf =)( , com 
*
a e 1a , é chamada função exponencial de 
base a. O domínio dessa função é o conjunto  (reais) 
e o contradomínio é 
*
 (reais positivos, maiores que 
zero). 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONEN-
CIAL 
 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função 
não tem raízes; 
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
c) os valores de y são sempre positivos (potência de 
base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é 
*
Im = . 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
 
a>1 
 
f(x) é crescente e Im=
*
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sen-
tido) 
 
 
0<a<1 
 
f(x) é decrescente e Im=
*
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2<y1 (as 
desigualdades têm sentidos diferentes) 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Chamamos de inequações exponenciais toda 
inequação na qual a incógnita aparece em expoente. 
Exemplos de inequações exponenciais: 
 
 
93) 
x
a (a solução é 2x ) 
4
1
2) −
x
b (que é satisfeita para todo x real) 
5
3
4
4
3
) 











x
c (que é satisfeita para 5−x ) 
 
Para resolver inequações exponenciais, devemos reali-
zar dois passos importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da inequação a po-
tências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 a>1 
 
am > an  m>n 
(as desigualdades têm mesmo sentido) 
 
0<a<1 
am > an  m<n 
(as desigualdades têm sentidos diferentes) 
 
 
 
1. Resolver a equação exponencial 
3 25
125
1
=





x
 
 
Vamos igualar primeiramente as bases, utilizando as 
propriedades de potenciação. 
9
2
3
2
35525
125
1
3
2
33 −==−==




 −
xx
x
x
 
 Logo, 






−=
9
2
S 
2. Resolver a inequação 
xx −−












112
2
3
3
2
 
 
112112
3
2
3
2
2
3
3
2
−−−−
























xxxx
 
Sendo a base comum 1
3
2
 , obtemos daí que 
112 −− xx e, finalmente 0x . 
 
Observação: Podíamos ter trabalhado com a base 
2
3
, 
da seguinte maneira: 
121112
3
2
2
3
2
3
3
2
−−−−
























xxxx
 
Sendo a base comum 1
2
3
 , Então temos: 
0112112 −+−−− xxxxx 
 Logo,   *0
+
== xxS 
 
 
 
APLICAÇÕES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 O crescimento exponencial é característico de 
certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral 
não se apresenta na forma 
x
a , mas sim modificado por 
constantes características do fenômeno, como em 
x
aCxf .)( = . 
 
3. O número de bactérias de uma cultura, t horas após o 
início de certo experimento, é dado pela expressão 
t
tN
4,0
2.1200)( = . Nessas condições, quanto tempo 
após o início do experimento a cultura terá 38400 bacté-
rias? 
 
 
 
Sabemos que 
t
tN
4,0
2.1200)( = e 38400)( =tN , 
igualando temos: 
 
horastt
tt
tt
5,1254,0
22322
1200
38400
2384002.1200
54,04,0
4,04,0
==
==
==
 
 
A cultura terá 38400 bactérias após 12 horas e 
30 minutos. 
 
 
 
01. (UFF) A automedicação é considerada um risco, 
pois, a utilização desnecessária ou equivocada de um 
medicamento pode comprometer a saúde do usuário: 
substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e teci-
dos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. 
Depois de se administrar determinado medicamento a 
um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração 
(y) de certa substância em seus organismos alterava-se 
em função do tempo decorrido (t), de acordo com a ex-
pressão 
0,5 t
0
y y 2
−
= 
 
em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora. 
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concen-
tração da substância tornou-se a quarta parte da con-
centração inicial após: 
1
4
 de hora 
meia hora 
 1 hora 
2 horas 
4 horas 
 
02. (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade 
de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, 
para t  0, por Q(t) = Q(0).5kt, sendo t o tempo, em mi-
nuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja 
contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no 
quarto minuto, igual a 25 Q(0). 
Assinale a opção que indica quantos bilhões de bacté-
rias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo mi-
nuto. 
 
 
 12,5 
 25 
 312,5 
 625 
 1000 
 
03. A bula de certo medicamento informa que, a cada 
seis horas após sua ingestão, metade dele e absorvida 
pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg desse 
medicamento, quanto ainda restara a ser absorvido pelo 
organismo imediatamente após 18 horas de sua inges-
tão? 
 6,25 mg 50 mg 100 mg 
 12,5 mg 25 mg 
 
04. (UEPA) De acordo com os dados de uma Associa-
ção de Fabricantes de Veículos Automotores, a produ-
ção de veículos a álcool cresce a uma taxa anual de 2%. 
Se Po é a produção inicial desses veículos, a expressão 
P(t), que define a produção após t anos, será: 
 =
t
o
P(t) P (1,002) 
 =
t
o
P(t) P (1,02) . 
 =
t
o
P(t) P (0,2) . 
 = +
t
o
P(t) P (1 0,2) . 
 = +
t
o o
P(t) P P (1,2) . 
 
05. O censo realizado numa cidade apontou uma popu-
lação de 250 mil habitantes e um crescimento populaci-
onal de 2% ao ano. Chamando de y a população em mi-
lhares de habitantes e de x o tempo em anos a partir da 
data do censo, a função que permite projetar a popula-
ção futura dessa cidade em função do tempo é: 
 y = 250 + 1,02x 
 y = 250 · 1,02x 
 y = 250 + 2x 
 y = 250 + 1,02x 
 y = 250 + 0,02x 
 
06. A poluição é uma agressão ao meio ambiente que 
causa grandes transtornos à sociedade. A multa para se 
remover essa poluição é estimada em função da porcen-
tagem (x) de poluente removido. Estas questões são 
complexas e a definição de custo é discutível. O modelo 
matemático que trata da questão, chama-se modelo 
custo-benefício. Em situação recente de poluição de um 
rio, constatou-se que o modelo ficaria bem representado 
pela função f, cujo gráfico encontra-se abaixo. Essa fun-
ção f pode ser representada por: 
 
 ( ) = − −2f x x 2x 10. ( ) = -xf x 10.e . 
 ( ) −= +xf x e 10. ( ) = − + +2f x x 2x 10. 
 ( ) ( )=f x 10.log x . 
07. (UFPA) As unidades de formação da colônia (u.f.c.) 
de bactérias são dadas em função do tempo t, em horas, 
pela função 
 
=  
 
5 t
7 1
C(t) 10
2
. 
Se numa determinada hora t a colônia possui 9766 u.f.c., 
dez minutos depois essa colônia terá 
 sido extinta. 
 atingido seu crescimento máximo. 
 aumentado. 
 diminuído. 
 permanecido constante. 
 
08. Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico 
abaixo, que indica o crescimento de uma cultura de bac-
térias ao longo de 12 meses pela lei de formação repre-
sentada pela função N(t) = k  pt, onde k e p sãocons-
tantes reais. 
 
 
 
Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 
meses, é: 
 1800 
 2400 
 3000 
 3200 
 3600 
 
09. (UNAMA) Psicólogos têm chegado à conclusão de 
que, em várias situações de aprendizado, a taxa com 
que uma pessoa aprende é rápida no início e depois de-
cresce. A curva de aprendizado de um indivíduo, obtida 
empiricamente, é representada por f(t) = 90.(1 – 3–0,4t), 
onde t é o tempo, em horas, destinado à memorização 
das palavras constantes de uma lista. O número máximo 
de palavras que esse indivíduo consegue memorizar é 
90, mesmo quando lhe é permitido estudar por várias 
horas. Nestas condições, o tempo gasto por esse indiví-
duo para memorizar 60 palavras é: 
 1h e 30min. 
 1h e 45min. 
 2h e 5min. 
 2h e 30min. 
 3h e 15min. 
 
10. A torre de Hanói é um quebra-cabeça matemático 
inventado pelo francês Edouard Lucas em 1883. A torre 
consiste em uma base, três hastes verticais e uma quan-
tidade de discos com diâmetros diferentes furados no 
centro, para que os discos sejam inseridos nas hastes. 
A figura a seguir, ilustra a torre de Hanói: 
 
 
 
O objetivo do quebra-cabeça é deslocar os discos inse-
ridos na primeira haste para a última haste com o auxílio 
da segunda haste, com o mínimo de movimentos possí-
vel, respeitando as seguintes regras: somente um disco 
pode ser movido de cada vez, e um disco maior nunca 
pode ser posto sobre um disco menor. Na tabela se-
guinte estão representados alguns exemplos relaciona-
dos ao número de discos com os seus movimentos mí-
nimos. 
 
Fonte:http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/arti-
gos/Torre_de_Hanoi.pdf 
 
Para determinar a quantidade mínima de movimentos 
em relação ao número de discos, a fórmula pode ser re-
presentada por T(n) = 2n – 1, onde T(n) são os números 
de movimentos mínimos e n é o número de discos. Com 
base nas informações anteriores, a quantidade de dis-
cos para se obter 2.047 movimentos mínimos na torre 
de Hanói é 
 9. 
 10. 
 11. 
 12. 
 13 
 
11. (UFPE) Suponha que um teste possa detectar a pre-
sença de esteroides em um atleta, quando a quantidade 
de esteroides em sua corrente sanguínea for igual ou 
superior a 1 mg. Suponha também que o corpo elimina 
1/4 da quantidade de esteroides presentes na corrente 
sanguínea a cada 4 horas. Se um atleta ingere 10 mg de 
esteroides, passadas quantas horas não será possível 
detectar esteroides, submetendo o atleta a este teste? 
(Dado: use a aproximação 10 ≅ (4/3)8). 
 28 31 
 29 32 
 30 
 
12. Qual dos gráficos abaixo melhor expressa a quanti-
dade de esteroides na corrente sanguínea do atleta, ao 
longo do tempo, a partir do instante em que este tomou 
a dose de 10 mg? Obs.: Considere os dados da questão 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. (ENEM) A população mundial está ficando mais ve-
lha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa 
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresenta-
dos dados obtidos por pesquisa realizada pela Organi-
zação das Nações Unidas (ONU), a respeito da quanti-
dade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o 
mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países 
desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população 
total nos países desenvolvidos. 
 
 
Fonte: ‘‘Perspectivas da População Mundial’’. ONU, 
2009. Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 
9 jul. 2009 (adaptado). 
 
I) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde 
ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a po-
pulação em milhões de habitantes no ano x, seja usado 
para estimar essa população com 60 anos ou mais de 
idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 
2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se 
que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, 
entre 
 490 e 510 milhões. 
 550 e 620 milhões. 
 780 e 800 milhões. 
 810 e 860 milhões. 
 870 e 910 milhões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
E 
02 
D 
03 
D 
04 
B 
05 
B 
06 
D 
07 
D 
08 
B 
09 
D 
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C 
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E 
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