Cap. 2 Estática dos Pontos Materiais

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Estática das Partículas
Conteúdo
2 - 2
Introdução
Resultante de Duas Forças
Vetores
Adição de Vetores
Resultante de Várias Forças
Concorrentes
Componentes Retangulares de 
uma Força: Vetores Unitários
Adição de Forças pela Soma dos 
Componentes
Equilíbrio de uma Partícula
Diagramas de Corpo Livre
Componentes Retangulares no Espaço
Introdução
2 - 3
• O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam 
sobre partículas (pontos materiais):
- substituir múltiplas forças atuando em uma ponto material por 
uma única força equivalente ou resultante,
- analisar as relações entre forças que atuam em um ponto 
material que está em estado de equilíbrio.
• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos.
• Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o 
formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos 
problemas. 
• Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo 
podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação.
Resultante de Duas Forças
2 - 4
• Força: ação de um corpo sobre outro; 
caracterizada por seu ponto de apli-
cação, sua intensidade, sua direção, e 
seu sentido.
• Direção: É definida pela linha de ação de uma determinada força. 
• A linha de ação é a reta ao longo da qual a força atua, sendo carac-
terizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo. 
• A força é representada por um segmento de reta desta linha. O com-
primento desse segmento pode ser escolhido para representar a 
intensidade da força.
• Intensidade: É caracterizado por um 
certo número de unidades. 
Resultante de Duas Forças
2 - 5
• Sentido: É indicado por uma seta.
• Forças com mesma intensidade, 
mesma linha de ação e sentidos 
diferentes terão efeitos opostos sobre 
um ponto material.
• Evidências experimentais mostram que 
o efeito conjunto de duas forças pode 
ser representado por uma única força 
resultante.
• A resultante de duas forças é equiva-
lente à diagonal de um paralelogramo 
que contém as forças em lados adja-
centes.
• Força é uma grandeza vetorial.
Vetores
2 - 6
• Vetores: expressões matemáticas que têm inten-
sidade, direção e sentido e que se somam confor-
me a lei do paralelogramo. Exemplos: desloca-
mentos, velocidades, acelerações.
• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade 
mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e 
temperatura.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade. direção e 
o mesmo sentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que 
tem mesma intensidade e direção e sentido 
oposto.
Vetores
2 - 7
• Classificações de vetores:
- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos (o próprio 
ponto material) e não podem ser deslocados sem que se alterem 
as condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se 
alterem as condições do Problema. Ex: Momento.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas 
linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema. Ex: 
Forças atuantes em um corpo rígido.
Adição de Vetores
2 - 8
• Lei do paralelogramo.
• Regra do triângulo para soma de vetores.
B
B
C
C
2 2 2 2 cosR P Q PQ B
R P Q
  
 
• Lei dos cossenos,
• Lei dos senos,
Q R P
senA senB senC
 
• A adição de vetores é comutativa,
PQQP


• Subtração de vetores
Adição de Vetores
2 - 9
• Soma de três ou mais vetores por meio 
da aplicação sucessiva da regra do 
triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou 
mais vetores.
• A adição de vetores é associativa,
   SQPSQPSQP


• Multiplicação de um vetor por um escalar.
Resultante de Várias Forças 
Concorrentes
2 - 10
• Forças concorrentes: conjunto de 
forças que passam por um mesmo 
ponto. 
Um conjunto de forças concorrentes 
aplicadas em uma ponto material pode 
ser substituído por uma única força 
resultante que é o vetor equivalente à 
soma das forças aplicadas.
• Componentes do vetor força 
(Decomposição): dois ou mais vetores 
que, juntos, têm o mesmo efeito que 
um único vetor.
Problema Resolvido 2.1
2 - 11
As duas forças atuam sobre um 
parafuso A. Determine sua 
resultante.
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um 
paralelogramo com lados nas mesmas 
direções de P e Q desenhados em escala. 
Avaliamos graficamente a resultante que 
é equivalente à diagonal em direção e 
proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a regra 
do triângulo para soma de vetores em 
conjunto com a lei dos cossenos ou a lei 
dos senos para encontrar a resultante de P 
e Q. 
Problema Resolvido 2.1
2 - 12
• Solução gráfica - Um paralelogramo com 
lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A 
intensidade e o ângulo que define a direção da 
resultante (diagonal do paralelogramo) são 
medidos,
 35N 98 R
• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado 
com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em 
escala. A intensidade e o ângulo que define a 
direção da resultante (terceiro lado do triângulo) 
são medidos,
 35N 98 R
Problema Resolvido 2.1
2 - 13
• Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do 
triângulo. Pela lei dos cossenos,
       

155cosN60N402N60N40
cos2
22
222 BPQQPR
sen A sen B Q
sen A sen B
Q R R
  
N73,97R
Pela lei dos senos,
35,04  
60N
senA sen 155
97,73N
 
A 15,04
α 20 A
 
 
Problema Resolvido 2.1
2 - 14
• Solução trigonométrica Alternativa –
Construimos o triângulo retângulo BCD e 
calculamos:
(60 ) 25 25,4
(60 )cos 25 54,4
CD N sen N
BD N N
  
  
25,4N
tgA A 15,0
94,4N
R 25,4/senA R 97,7N
   
  
97,7NR 
• Usando agora o triângulo ACD, obtemos:
35,0  
40
54,4
94,4
25,4
D
20 A 35,0    
• E novamente:
Problema Resolvido 2.2
2 - 15
a) A força de tração em cada um 
dos cabos para  = 45o, 
b) O valor de  para o qual a tração 
no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois 
rebocadores. Se a resultante das 
forças exercidas pelos rebocadores 
é 22.250 N dirigida ao longo do 
eixo da barcaça, determine:
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica: Aplicando a Regra do 
Paralelogramo para soma vetorial. 
• O paralelogramo tem lados nas direções dos 
dois cabos e diagonal na direção do eixo da 
barcaça com comprimento proporcional a 
22.250 N.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é 
determinado aplicando-se a Regra do Triân-
gulo e observando o efeito de variações em .
• Solução trigonométrica: aplicando a 
Regra do Triângulo para soma vetorial. 
Com a intensidade e a direção da resultante 
conhecida e as direções dos outros dois 
lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos 
a Lei dos Senos para encontrar as trações 
nos cabos.
Problema Resolvido 2.2
2 - 16
• Solução gráfica – Aplicamos a regra do 
paralelogramo conhecendo a direção e a 
intensidade da resultante e as direções dos 
lados
N500.11N200.16 21  TT
• Solução trigonométrica - Regra do 
triângulo e Lei dos Senos




 105
250.22
3045
21
sen
N
sen
T
sen
T
N 517.11N288.16 21  TT
Problema Resolvido 2.2
2 - 17
• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é 
determinado aplicando a regra do triângulo e 
observando o efeito de variações em .
• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1
e T2 são perpendiculares
 30sen N) (22.250T2
N11500T2 
   30 cos N 22.250T1 N16200T1 
 3090  60Exercícios
2 - 18
Exercícios
2 - 19
• Usando a Lei dos Cossenos:
• Usando a Lei dos Senos:
2 3
80
R
sen sen sen 
 

36,59
63,41


 
 
50°
50 180     
66,59  
Exercícios
2 - 20
• Usando a Lei do Triângulo e a Lei dos Senos:
25 75 180 80        
1600
25 75 80
P R
sen sen sen
 
  
3660
3730
P N
R N


Exercícios
2 - 21
• Usando a Lei dos Cossenos:
• Usando a Lei dos Senos:
• A direção de P será:
90 36,5 53,5     

Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
2 - 22
• Os componentes de um vetor podem ser expressos 
como produtos dos vetores unitários pelas intensidades 
dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .
jFiFF yx


F

• Pode-se decompor uma força em dois componentes 
perpendiculares de forma que o paralelogramo 
resultante seja um retângulo. são chamados de 
componentes retangulares e
yx FFF


yx F e F

• Definimos então os vetores unitários perpendiculares 
que são paralelos aos eixos x e y.
j e i

Adição de Forças pela Soma dos Componentes
2 - 23
SQPR


• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças 
concorrentes,
x y x y x y x yR i R j P i P j Q i Q j S i S j      
• Para isso, decompomos cada força em 
componentes retangulares


x
xxxx
F
SQPR
• Os componentes escalares da resultante são 
iguais à soma dos componentes escalares 
correspondentes das forças dadas.


y
yyyy
F
SQPR
2 2 arctg 
y y
x y
x x
R R
R R R tg
R R
     
• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
   x y x x x y y yR i R j P Q S i P Q S j      
Problema Resolvido 2.3
2 - 24
Quatro forças atuam no parafuso A, 
como mostrado na figura. Determine a 
resultante das quatro forças no 
parafuso.
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em 
componentes retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção 
da resultante.
• Determinamos os componentes da 
resultante somando os componentes 
correspondentes de cada uma das 
forças.
Problema Resolvido 2.3
2 - 25
Equilíbrio de uma Partícula
2 - 26
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é 
zero, a partícula está em equilíbrio.
• Para uma partícula em equilí-
brio sob a ação de duas forças, 
ambas as forças devem ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução algébrica:
00
0




yx FF
FR

• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a 
partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em 
linha reta.
Diagramas de Corpo Livre
2 - 27
Diagrama espacial : Um esboço 
mostrando as condições físicas 
do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço 
mostrando apenas as forças que atuam 
sobre a partícula escolhida para análise.
Problema Resolvido 2.4
2 - 28
Numa operação de descarregamento 
de um navio, um automóvel de 
15.750 N é sustentado por um cabo. 
Uma corda é amarrada ao cabo em A 
e puxada para centrar o automóvel 
para a posição desejada. Qual é a 
tração na corda?
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre 
para a partícula na junção da corda e do 
cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio 
criando um polígono fechado a partir das 
forças aplicadas na partícula.
• Aplicamos relações trigonométricas 
para determinar a intensidade das forças 
desconhecidas.
Problema Resolvido 2.4
2 - 29
Problema Resolvido 2.6
2 - 30
Deseja-se determinar a força de arrasto 
no casco de um novo barco a vela a 
uma dada velocidade. Um modelo é 
colocado em um canal de teste e são 
usados três cabos para alinhar sua proa 
com a linha de centro do canal. A uma 
dada velocidade, a tração é de 180 N no 
cabo AB e de 270 N no cabo AE. 
Determine a força de arrasto exercida 
no casco e a tração no cabo AC.
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo 
livre, desenhamos o diagrama de corpo 
livre. 
• Expressamos as condições de equilíbrio 
para o casco escrevendo que a resultante 
de todas as forças é zero.
• Decompomos a equação vetorial de 
equilíbrio em duas equações para as 
componentes. Resolvemos para as 
trações desconhecidas nos dois cabos.
Problema Resolvido 2.6
2 - 31
Problema Resolvido 2.6
2 - 32
Problema Resolvido 2.6
2 - 33
Exercício 1
2 - 34
Exercício 1
2 - 35
Exercício 1
2 - 36
Exercício 1
2 - 37
Exercício 2
2 - 38
Exercício 2
2 - 39
Exercício 2
2 - 40
Exercício 3
2 - 41
Exercício 3
2 - 42
Exercício 3
2 - 43
Exercício 3
2 - 44
Exercício 4
2 - 45
Exercício 5
2 - 46
Exercício 6
2 - 47
Exercício 7
2 - 48
Exercício 8
2 - 49
Exercício 8
2 - 50
Componentes Retangulares no Espaço
2 - 51
• O vetor está 
contido no plano 
OBAC.
F
 • Decompomos em 
uma componente 
horizontal e outra 
vertical
yh FF sen 
F

yy FF cos
• Decompomos em 
componentes retangulares
hF




sen sen 
sen 
cossen
cos
y
hy
y
hx
F
FF
F
FF




Componentes Retangulares no Espaço
2 - 52
• Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,
F

 
kji
F
kjiF
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zyx
zyx
zzyyxx








coscoscos
coscoscos
coscoscos





• é um vetor unitário ao longo da linha de ação 
de e são os cossenos 
que orientam a linha de ação de . 
F

F



zyx e  cos cos,cos
Componentes Retangulares no Espaço
2 - 53
A direção de uma força é definida 
pelas coordenadas de dois pontos,
em sua linha de ação.
   222111 ,, e ,, zyxNzyxM
 
d
Fd
F
d
Fd
F
d
Fd
F
kdjdid
d
FF
zzdyydxxd
kdjdid
NMd
z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
zyx










1
 e liga que vetor 
121212


Problema Resolvido 2.7
2 - 54
A tração no cabo de sustentação da torre 
é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força 
que atua no parafuso em A,
b) os ângulos x, y e z que definem a 
direção da força.
SOLUÇÃO:
• Considerando a posição relativa dos 
pontos A e B, determinamos o vetor 
unitário orientado de A para B.
• Utilizamos o vetor unitário para 
determinar os componentes da força 
atuando em A.
• Observando que os componentes do 
vetor unitário são os cossenos que 
orientam a direção do vetor, calculamos 
os ângulos correspondentes.
Problema Resolvido 2.7
2 - 55
Problema Resolvido 2.7
2 - 56
Problema Resolvido 2.8
2 - 57
SOLUÇÃO:
• A força aplicada por cada cabo na estaca 
A será decomposta segundo as direções 
x, y e z.
• Começaremos determinando as 
componentes e o módulo dos vetores
com oigem em A.
,ABe AC
• Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente sustentada por cabos
como mostra a Figura. Conhecendo as trações de 4200N, no cabo AB, e 6000N,
no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas
pelos cabos AB e ACna estaca em A.
Problema Resolvido 2.8
2 - 58
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.8
2 - 59
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.8
2 - 60
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.8
2 - 61
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.9
2 - 62
• Um cilindro de 200kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC,
amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma força H, horizontal e
perpendicular à parede, mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a
intensidade de H e a tração em cada cabo.
SOLUÇÃO:
• O ponto A é escolhido como corpo
livre;
• Esse ponto está submetido a 4 forças, 3
das quais tem módulo desconhecido;
• Introduzindo os vetores unitários i, j e
k, decompomos cada força em compo-
nentes cartezianas.
Problema Resolvido 2.9
2 - 63
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.9
2 - 64
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.9
2 - 65
SOLUÇÃO:
Problema Resolvido 2.9
2 - 66
SOLUÇÃO: