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M Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMA´TICA Departamento de Me´todos Matema´ticos 3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II - Matema´tica Profa.: Moˆnica 1. Verificar pela definic¸a˜o, se as seguintes se´ries convergem. Caso convirjam, achar a sua soma. (a) ∞∑ n=0 1 2n (b) ∞∑ n=1 2 3n (c) ∞∑ n=1 ln ( 1 + 1 n ) (d) ∞∑ n=1 1 n(n+ 1) (e) ∞∑ n=1 1 n(n+ 2) (f) 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + 1 3 · 4 · 5 + ... 2. Mostre que a soma da se´rie convergente, de Swineshead, ∞∑ n=1 n 2n e´ 2. 3. Utilizando crite´rios de convergeˆncia convenientes, verifique se convergem ou di- vergem as seguintes se´ries: (a) 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + ... (b) 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + ... (c) ∞∑ n=1 n+ 1 n3 + n+ 4 (d) ∞∑ n=2 1 n lnn (e) ∞∑ n=2 lnn n (f) ∞∑ n=1 1 3 √ n2 (g) ∞∑ n=1 ( √ n+ 1−√n) (h) ∞∑ n=1 2n + 3n 4n + 5n (i) ∞∑ n=1 n3 n(1+ 1 n ) (j) ∞∑ n=1 n3 3n (k) ∞∑ n=1 3n n3 (l) ∞∑ n=1 n4 n! (m) ∞∑ n=1 n! nn (n) ∞∑ n=1 sen ( 1 n2 ) (o) ∞∑ n=1 3n n! (p) ∞∑ n=1 senn n2 (q) ∞∑ n=1 2 + (−1)n 3n (r) ∞∑ n=1 1 38 + pin (s) ∞∑ n=2 1 n √ lnn (t) ∞∑ n=1 n e−n 2 (u) ∞∑ n=1 (n!)2 (2n)! (v) ∞∑ n=1 arcsen ( 1 n ) (w) ∞∑ n=1 (pi 2 − arctg n ) (x) 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... (y) 1 12 − 1 22 + 1 32 − 1 42 + ... (z) ∞∑ n=1 xn n! 4. O teorema de Leibniz para se´ries alternadas pode ser aplicado a` se´rie 1√ 2− 1 − 1√ 2 + 1 + 1√ 3− 1 − ...+ 1√ n− 1 − 1√ n+ 1 + ... ? A se´rie e´ convergente? Justifique. Respostas 1. (a)conv.;2; (b)conv.;1; (c)div.; (d)conv.;1; (e)conv.;3/4; (f)conv.;1/4. 2. Sugesta˜o: Use que n 2n = 1 2n + 1 2 (n− 1) 2(n−1) e que sabe calcular a soma da se´rie geome´trica de raza˜o 1/2. 3. (a) div. (b) div. (c) conv.abs. (d) div. (e) div. (f) div. (g) div. (h) conv.abs. (i) div. (j) conv.abs. (k) div. (l) conv.abs. (m) conv.abs. (n) conv. (o) conv.abs. (p) conv.abs. (q) conv.abs. (r) div. (s) div. (t) conv.abs. (u) conv.abs. (v) div. (w) div. (x) conv.cond. (y) conv.abs. (z) conv.abs. 4. Na˜o pode ser aplicado pois a se´rie na˜o e´ decrescente. A se´rie e´ divergente.
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