Aula 1 Conceitos Básicos

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Conceitos Básicos 
 
Introdução 
 
O termo Estatística provêm da palavra Estado e foi utilizado originalmente para 
denominar levantamentos de dados cuja finalidade era orientar o Estado em suas 
decisões. 
 
Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valor dos impostos 
cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de uma nova batalha em guerras 
que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas. (Era fundamental aos 
comandantes saber de quantos homens, armas cavalos etc., dispunham após a última 
batalha.) 
 
Atualmente, a estatística é definida da seguinte forma: 
 
 
Estatística: Conjunto do métodos e processos quantitativos que serve para 
estudar e medir os fenômenos coletivos. 
 
 
A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, com os estudos de 
BERNOULLI, FERMAT, PASCAL LAPLACE. GAUSS, GAUTON, PEARSON, FISHE, 
POISSON e outros que estabeleceram suas características atuais. 
 
Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na razão direta do 
desejo da investigação dos fenômenos coletivos. 
 
A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentido do estudo de 
urra população. É considerada como método quando utilizada como instrumento por 
outra Ciência. 
 
A Estatística mantém com a matemática uma relação de dependência, solicitando-lhe 
auxilio, sem o qual não poderia desenvolver-se. 
Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quando utilizada como 
instrumento de pesquisa. 
 
Em especial esta última é a relação que a Estatística mantém com a Administração, 
Economia, Ciências Contábeis, servindo como instrumento auxiliar na tomada de 
decisões. 
Conceitos Fundamentais 
 
População e Amostra 
 
 
População: Coleção de unidades individuais, que podem ser pessoas ou resultados 
experimentais, com uma ou mais características comuns, que se pretendem estudar. 
 
Exemplo 1: Relativamente à população constituída pelos alunos da 3º série do 2º grau 
de uma determinada escola, poderíamos estar interessados em estudar as 
seguintes características populacionais: 
 
- Altura (em cm) dos alunos: 
Depois de medir a altura de cada aluno, obteríamos um conjunto de dados com o 
seguinte aspecto: 145, 161, 158, 156, 146, ... ,140, 139, 162 cm 
 
- Notas obtidas na disciplina de Português, no 1º período: 
10, 15, 13, 16, 9, 11, 10, ... , 18, 11, 13, 8 
 
 
 
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, 
estudam-se só alguns elementos. 
 
Amostra: Conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto da 
população, que se estuda com o objetivo de tirar conclusões para a população de onde 
foi recolhida. 
 
Parâmetro: Uma característica numérica estabelecida para toda uma população. 
Estimador: Uma característica numérica estabelecida para uma amostra. 
 
Exemplo 2: No fenômeno coletivo eleição para prefeito na cidade de São Paulo, a 
população é o conjunto de todos os eleitores habilitados na cidade. Um parâmetro é a 
proporção de votos do candidato A. Uma amostra é um grupo de 1000 eleitores 
selecionados em toda a cidade. Um estimador é a proporção de votos do candidato A 
obtida na amostra. 
 
Em aplicações efetivas, o número de elementos componentes de uma amostra é 
bastante reduzido em relação ao número de elementos componentes da população. 
 
 
Processos Estatísticos de Abordagem 
 
Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optar entre os seguintes 
processos estatísticos: 
 
a) Censo 
b) Estimação 
 
 
 
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da 
população. 
 
Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador 
através do cálculo de probabilidades. 
 
 
Propriedades Principais: 
 
Censo: Estimação 
• Admite erro processual zero e tem 
confiabilidade 100%. 
• É caro. 
• É lento. 
• É quase sempre desatualizado. 
• Nem sempre é viável. 
• Admite erro processual positivo e tem 
confiabilidade menor que 100%. 
• É barata. 
• É rápida. 
• É atualizada. 
• É sempre viável. 
 
 
Comentários: 
 
Estatisticamente, a precisão de um valor numérico é avaliada através do binômio: 
confiança e erro processual. 
 
Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro de natureza humana (erro 
de cálculo de avaliação, de anotação etc.), restará apenas outro tipo de erro devido ao 
procedimento empregado. 
Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erro processual é zero, 
pois avaliamos um por um, todos os elementos componentes da População. 
Como o erro processual na avaliação é zero, a confiabilidade no parâmetro obtido é 
100%. A precisão, no Censo é total. 
 
Na estimação, como avaliamos apenas parte e não todos os elementos que compõem a 
população, admitimos um erro processual positivo na avaliação do valor numérico e por 
conseqüência uma confiabilidade menor que 100%, sendo, portanto, menos precisa que 
o Censo. 
 
Como o número de elementos que compõem uma amostra é consideravelmente menor 
que o número de elementos que compõem uma População, a Estimação é sempre bem 
mais barata que o Censo, é concluída mais rapidamente que o Censo e, portanto, mais 
atualizada. 
 
Se a maneira de avaliar um elemento é um teste destrutivo, o Censo se torna um 
processo inviável, pois destruiria a população objeto do estudo. 
Entretanto, na maioria das vezes em que o Censo é considerado inviável é por razões 
econômicas e de tempo. 
 
Na sociedade moderna, a maioria dos problemas exigem decisões de curto prazo. Por 
isso, as informações estatísticas úteis a resolução destes problemas devem ser obtidas 
rapidamente. 
 
Pela rapidez e facilidade da obtenção destas informações, a estimação tem sido cada 
vez mais utilizada como procedimento estatístico. 
 
Dados Estatísticos 
 
Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar com grande 
quantidade de valores numéricos resultantes de um Censo ou de uma estimação. Estes 
valores numéricos são chamados dados estatísticos. 
 
No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de 
informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para 
o fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de dados estatísticos 
observados. 
 
A estatística pode ser dividida em duas áreas: 
 
a) Estatística Descritiva: parte da Estatística que descreve os dados observados. 
b) Estatística Indutiva: parte da Estatística que obtém e generaliza conclusões para 
a população a partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. 
 
 
Estatística Descritiva 
 
As atribuições da Estatística Descritiva são as seguintes: 
 
a) A obtenção dos dados estatísticos. 
b) A organização dos dados. 
c) A redução dos dados. 
d) A representação dos dados. 
e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno 
observado. 
 
 
 • A obtenção ou coleta de dados: 
Normalmente é feita através de um questionário ou de observação direta de uma 
população ou amostra. 
 
 • A organização dos dados: 
Consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos valores observados, falhas 
humanas, omissões, abandono de dados duvidosos etc. 
 
 • Redução dos dados: O entendimento e compreensão de grande quantidade de dados 
através da simples leitura de seus valores individuais é uma tarefa extremamente árdua 
e difícil mesmo para o mais experimentado pesquisador. 
 
A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a redução do número de 
dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variável discreta e variável 
contínua. 
 
• A representação dos dados: Os dados estatísticos podem ser mais facilmente 
compreendidos quando apresentados através de representaçãográfica, o que permite 
uma visualização instantânea de todos os dados. 
 
 
É ainda atributo da Estatística Descritiva a obtenção de algumas informações como 
médias, proporções, dispersões, tendências, índices, taxas, coeficientes, que facilitam a 
descrição dos fenômenos observados. Isto encerra as atribuições da Estatística 
Descritiva. 
 
Completando o processamento estatístico, no caso de uma Estimação, a Estatística 
Indutiva estabelece parâmetros a partir de estimadores usando o cálculo de 
probabilidade. 
 
 
Dados Brutos 
 
Quando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ou observamos as 
respostas a uma pergunta em uma coleção de n questionários, obtemos uma seqüência 
de n valores numéricos. 
 
A esta seqüência damos o nome de dados brutos. 
 
 Representando por X a característica observada no fenômeno coletivo ou na pergunta 
dos questionários, então x1 representa o valor da característica obtida na primeira 
observação do fenômeno coletivo ou o valor da característica observado no primeiro 
questionário; x2 representa o valor da característica X na segunda observação do 
fenômeno coletivo ou o valor da característica X observada no segundo questionário e 
assim sucessivamente. 
 
Desta forma, os dados brutos podem ser representados por: 
 
X: x1, x2, x3, ...,xn 
 
Esta seqüência de valores assim obtida apresenta-se completamente desordenada. De 
modo geral, podemos afirmar que: 
 
Dados brutos é uma seqüência de valores numéricos não organizados, obtidos 
diretamente da observação de um fenômeno coletivo. 
 
 
Rol 
 
Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os Dados Brutos passam a se 
chamar Rol, portanto: 
 
Rol é uma seqüência ordenada dos Dados Brutos. 
 
Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notas bimestrais em 
Matemática: 4; 8; 7,5; 6,5. 
 
Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser apresentada na forma: 
 
Dados Brutos: X: 4; 8; 7,5; 6,5 ou 
 
Rol: X: 4; 6,5; 7,5; 8 
 
 
SOMATÓRIO - NOTAÇÃO SIGMA ( ) 
 Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x1 + x2 + x3+ ... + xn, podemos 
codificá-la através da expressão: 
 
- é utilizada para representar as operações de adição entre as parcelas. 
xi - é a parcela genérica. 
 A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em todas as parcelas, no caso x. 
Para representar a parte variável em cada parcela, no caso os índices, utilizamos a letra i e 
indicamos a variação de i. (No exemplo i varia, segundo números inteiros consecutivos de 1 até n). 
A expressão deve ser lida "soma dos valores xi, para i variando de 1 até n". 
 Para que uma soma possa ser representada por esta notação é fundamental que i assuma todos os 
valores inteiros consecutivos entre dois valores dados. Assim, a soma: 
 
Exemplos: 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
<> 
Da mesma forma que codificamos a soma através da notação Sigma, podemos decodificar obtendo 
as parcelas componentes. 
Para obter a primeira parcela da soma substituímos a variável i pelo valor indicado no 
extremo inferior, i=4, isto é, a primeira parcela será 4x4. A segunda parcela será 4x5 e a última 
parcela 4x6. 
Portanto 
 
Exemplos 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
 
 
Propriedades: 
1) O somatório de uma soma é a soma dos somatórios. 
 
2) O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios 
 
3) O somatório do produto de uma constante por uma variável é o produto da constante pelo 
somatório da variável. 
 
4) O somatório da divisão de uma variável por uma constante é a divisão do somatório da variável 
pela constante. 
 
 
Observação 
Um caso particular da notação Sigma é a representação de uma soma cujas parcelas são todas 
iguais. Neste caso, as parcelas são constituídas por valores constantes e a variável i será utilizada 
apenas para estabelecer o número de parcelas. O número de parcelas é determinado pela diferença 
entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, 
adicionando-se uma unidade. 
Assim, a soma de 15 + 15 + 15 +15 pode ser representado por: 
 
Note que em todos os casos a diferença entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor de 
i indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas. 
Dessa forma, é constituída de (7-2)+1=6 parcelas. Portanto, 
 
Observação 
Nas aplicações estatísticas estaremos sempre interessados nas somas de todos os valores da série. 
Portanto, i varia sempre de 1 a n e consequentemente não precisaremos indicar na notação sigma a 
variação de i. Portanto, 
 
Esta notação facilita a apresentação das fórmulas. 
 
Exercícios Propostos 
1) Escreva na notação Sigma, as somas: 
a) x1 + x2 + x3+ x4 
b) x3 + x4 + x5+ x6 
c) (x1 +2) + (x2 + 2) + (x3+ 2) 
d) (x1 -10) + (x2 -10) + (x3-10) + (x4 -10) 
e) (x1 -3)
2 + (x2 -3)
2 + (x3 - 3)
2 
f) (x1 -15)
2 f1 + (x2 -15)
2 f2 + (x3 -15)
2 f3 
2) Escreva as parcelas da soma 
 
3) Calcule para a tabela abaixo o valor numérico das somas indicadas: 
i xi fi 
1 3 2 
2 4 5 
3 6 3 
4 8 2 
 
4) Usando as propriedades do somatório, desenvolva: 
 
5) Usando a tabela do problema 3, verifique que: