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Universidade Federal Rural do Semi-a´rido,UFERSA Departamento de Cieˆncias Exatas e Naturais Curso Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia A´lgebra Linear Primeira Lista de exerc´ıcios Problema 1: Se A e B sa˜o matrizes de tipo 2 × 3, qual das seguintes operac¸o˜es na˜o pode ser efetuada? a) A+B b) A′ −B′ c) (A+B).B′ d) B′.A e) A.B Problema 2: O valor de x para que o produto das matrizes A = [ −2 x 3 1 ] e, B =[ 1 −1 0 1 ] seja uma matriz sime´trica e´: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 Problema 3: a) Calcular se poss´ıvel A.B, A′.B′, A.C, C.B A = [ −2 1 3 4 ] B = [ −2 1 0 3 ] C = [ 1 3 0 2 4 −2 ] Problema 4: a) Calcular A.B e C.D A = [ −2 1 5 6 2 0 3 4 1 −1 ] B = −2 1 0 3 1 6 2 7 −1 8 C = −2 1 5 6 20 3 4 1 −1 2 4 5 6 1 D = −2 1 0 5 −4 6 2 8 −1 9 Problema 5: Encontre um valor de x tal que AB′ = 0. A = [ x 4 −2 ] B = [ 2 −3 5 ] Problema 6: Deˆ exemplos, se poss´ıvel, de matrizes satisfazendo as condic¸o˜es dadas abaixo. Observac¸a˜o: N(A)=nulidade de A e P (A) = posto de A. a)B2×3, P (B) = 2 b) C3×2, P (C) = 3 c)D2×4, P (D) = 3 d) F2×3, N(F ) = 2 e)G4×3, N(G) = 0 f) H3×3, N(H) = 0 g) J3×3, P (J) = 2. Problema 7: Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmac¸o˜es: a) O posto de uma matriz e´ um nu´mero natural maior ou igual a zero e menor ou igual ao nu´mero de linhas. b) O posto de uma matriz e´ um nu´mero natural maior ou igual a zero e menor ou igual ao nu´mero de colunas. c) Se C e´ uma matriz quadrada ordem 3 e possui uma linha nula, enta˜o P (C) = 2. d) Se P (D) = 3 e Dn×m com n ≥ 3,enta˜o m ≤ 3. Problema 8: Encontre o posto e a nulidade da matriz: a) A = 1 0 −1 30 1 2 5 0 0 0 0 b) A = 1 0 1 70 1 3 8 0 0 0 0 c) A = 1 0 0 70 1 3 8 0 0 1 2 Problema 9: Resolver usando Gauss a) x +y +z = 10002x +y +4z = 2000 2x +3y +5z = 2500 b) x +y +2z = 8−x −2y +3z = 1 3x −7y +4z = 10 c) 2x +2y +2z = 0−2x +5y +2z = 1 8x +y +4z = −1 Problema 10: Resolver usando a regra de Crammer: a) x +y +z = 10002x +y +4z = 2000 2x +3y +5z = 2500 b) x +y +2z = 8−x −2y +3z = 1 3x −7y +4z = 10 c) 2x +2y +2z = 0−2x +5y +2z = 1 8x +y +4z = −1 Problema 11: Use as operac¸o˜es elementares sobre linhas para descobrir se A e´ invers´ıvel. Determine, se poss´ıvel, A−1 nos casos abaixo: a) A = [ 2 5 1 3 ] b) A = [ 1 −1 1 1 ] c) A = [ 2 −4 4 −8 ] Problema 12: Achar matriz inversa de: a) A = [ −2 1 0 3 ] . b) A = 1 2 31 1 2 0 1 1 c) A = 1 2 30 2 3 1 2 4 d) A = 1 2 30 3 2 0 0 −2 e) A = 1 2 21 3 1 1 3 2 f) A = 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 Problema 13: Se A−1 = [ 3 2 1 3 ] , B−1 = [ 2 5 3 −2 ] . Encontre (AB)−1 = B−1A−1 Problema 14: Calcular o determinante de: a) A = 3 0 02 5 0 4 3 1 b) A = 1 3 54 2 7 4 1 −6 c) A = 3 2 3 5 0 1 4 7 0 0 2 2 0 0 0 6 Problema 15: Qual relac¸a˜o existente entre os determinantes das matrizes A = 8 16 563 5 2 0 2 7 B = 1 2 73 5 2 0 2 7 Problema 16: O determinantes de uma matriz e´ 42. Se multiplicarmos a primeira linha da matriz por treˆs e dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz tera´ determinante igual a: a) 12 b) 14 c) 21 d) 42 Problema 17: A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem 3 e B = K.A. Sabe-se que det(A) = 1, 5 e det(B′) = 96. Enta˜o: a) K = 64 b) K = 96 c) K = 14 d) K = 3 2 e) K = 4 Problema 18: O valor do determinante de A = 2 2 2 2 0 1 1 1 0 0 −2 3 2 1 0 −1 e´ a) −4 b) −2 c) 0 d) 2 e) 4 Problema 19: Considere as afirmativas: 1. Se A′ e´ a transposta da matriz quadrada A, enta˜o det(A′) = det(A). 2. Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 2 tal que A.A = 0, enta˜o a matriz I−A e´ invers´ıvel. 3. Se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o det(A−1) = [det(A)]−1 Problema 20: Calcular o determinante de: a) A = 0 0 0 −3 1 2 3 4 −1 3 2 5 2 1 −2 0 b) A = 0 4 0 3 1 2 6 7 1 3 4 −5 −2 3 6 0 c) A = 3 7 9 0 1 2 3 0 −1 3 5 2 2 1 −6 0 d) A = 1 3 9 7 2 3 2 5 0 3 4 1 4 6 9 1 Problema 21: Utilize a regra de Cramer para resolver os sistemas: a) [ x +3y = 8 x −y = 0 ] b) [ x +2y = 8 x −y = −1 ] c) −x +y +z = 62x +5y −2z = 6 x +7y −7z = −10 d) x +2y −3z = 02x +4y −2z = 2 3x 6y −4z = 3 Bom trabalho.
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