CAP. 1 ESTAT. DESC. 2013 01

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CAPÍTULO 1 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
1. Dados históricos 
Podemos considerar a Estatística como a ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise 
e interpretação dos dados experimentais. 
Essa conceituação é absolutamente geral e engloba o conceito usual do que seja a Estatística. Esse conceito 
usual e popular relaciona a Estatística com tabelas e gráficos nos quais os dados experimentalmente obtidos são 
representados. Exemplos: Estatística do movimento da Bolsa de Valores; estatística da loteria esportiva; 
estatística da Saúde Púbica: Crescimento do número de infectados pela gripe suína, acidentes de transito com 
vítimas nas estradas Estaduais; estatística do crescimento da população nos estados; estatística do movimento 
bancário;cheques devolvidos; cheques sem fundo; tabelas do campeonato de futebol; pesquisa eleitoral, etc. 
 Essa noção refere-se apenas à parte de organização e descrição dos dados observados. Há ainda um 
campo de atuação da ciência Estatística que é a análise e interpretação desses dados. 
Desde a antiguidade observa-se a utilização da Estatística para descrever em números as condições 
econômicas, na agricultura, na indústria e no comércio. Assim, se lê no livro sagrado de Confúcio 
(CHOUKING), informações de um recenseamento ocorrido no ano de 2275 a.C. 
No quarto livro de Moisés, chamado NÚMEROS, Moisés faz o recenseamento de todas as tribos de 
Israel, no deserto de Sinai, isso ocorreu após dois anos da saída do Egito (Cap. 1, vs. 1 a 46). 
O imperador romano César Augusto ordenou o recenseamento em todo império romano no ano de 
nascimento de Jesus. Portanto, podemos dizer que na antiguidade a Estatística preocupava-se com Registro dos 
dados, é uma Estatística Administrativa, pois ela se interessava em contar o número de homens aptos para a 
guerra e de produtos agropecuários. 
A palavra estatística é derivada da palavra latina “STATUS”, com o significado de Estado, Governo, 
atribuindo o significado “Ciência das coisas que pertencem ao Estado”. 
Como disciplina autônoma ela aparece no século XVII na Alemanha, tendo como objeto a descrição das 
coisas notáveis do estado. Para essa autonomia muito contribuiu o alemão Herman Conring (1606-1681) 
introduzindo a estatística com disciplina na Universidade de Helmstadt. Na Inglaterra surgem os chamados 
Aritméticos políticos, denominação atribuída a William Petty, aos que tinham interesse especial pelas tabelas de 
mortalidades em virtude de suas aplicações nos seguros de vida. 
Na França desenvolve-se a partir do século XVII, o cálculo de probabilidades como disciplina científica. 
Sua origem atribui-se a questões postas a Blaise Pascal (1623-1662) por Cavaleiro de Nére, para alguns autores 
jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Mas a maior contribuição aparece nas cartas 
 
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entre Pascal e Pierre Fermat (1601-1665) em que ambos chegam a uma solução correta do problema dos jogos 
de azar. 
Foi Jacques Bernoulli (1654-1705) que aperfeiçoou a teoria das probabilidades escrevendo a sua grande 
obra “Ars Conjectandi”, publicada oito anos após sua morte. Pode-se dizer que foi devido as contribuições de 
Bernoulli que o cálculo de probabilidades adqueriu o estatus de ciência. 
São fundamentais as contribuições de Pierre Laplace (1749-1827) com as publicações da “Teoria 
Analítica da Probabilidade” e a definição clássica da probabilidade (Quociente entre o número de casos 
favoráveis e o número de casos possíveis). Gauss (1777-1855) apresentou em 1809 a “Theoria Combinationis 
Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia” que mostra uma teoria sobre a análise de observações, que pode ser 
aplicável a qualquer ramo da ciência. 
Podemos citar outros grandes estatísticos como: Francis Galton (1822-1911) da escola de estatística 
inglesa que criou a teoria da regressão linear. Karl Pearson (1857-1936) físico matemático dedicou-se a teoria 
da correlação. Ronald Aylmer Fisher, suas contribuições para a moderna estatística são as mais importantes de 
todas, sendo a figura de maior destaque de todos os tempos, desenvolveu e estruturou de forma rigorosa a 
Teoria da Inferência Estatística. William S. Gosset, com pseudônimo de “Student”, devido ao fato de trabalhar 
para uma fábrica de cerveja , desenvolveu em 1908 a Teoria da Amostragem 
Assim, podemos dizer que a estatística atual passou a ter um caráter mais científico, deixou de ser uma 
simples técnica de coleta de dados e de apresentação de dados, para se tornar um ramo de conhecimento 
humano que procura tirar conclusões a partir de fatos numéricos de observação. 
São muitas as definições de Estatística, citamos aqui algumas: 
 A Estatística é a parte da Matemática Aplicada que se preocupa em obter conclusões a partir de 
dados observados”. (Rui Aguiar da Silva Leme). 
 A Estatística é o estudo numérico dos fatos sociais”. (Levasser) 
 Conjunto de processos que tem por objetivo a observação, a classificação formal e a análise dos 
fenômenos coletivos ou de massa e, por fim, a indução das leis a que tais fenômenos obedecem 
globalmente”. (Milton da Silva Rodrigues) 
 É um ramo da Matemática Aplicada e pode ser considerada como a Matemática Aplicada a 
dados observados” (R. A. Fisher) 
 A Estatística é a coleta, apresentação, análise e interpretação de dados numéricos”. (Croxton e 
Cowden) 
Assim, podemos concluir que a Estatística é ciência, quando estuda populações e é método, quando 
serve de instrumento a uma outra ciência. 
 
 
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Existem três ramos da estatística: 
 A estatística descritiva; 
 O cálculo das probabilidades e 
 Inferência estatística. 
É importante enfatizar que a estatística descritiva e as probabilidades são ferramentas para a inferência 
estatística. A inferência estatística é interpretada de duas maneiras: 
 ou fazendo uma estimação a respeito de uma característica da população cujo o valor se desconhece; 
 ou realizando um teste sobre essa característica, da qual se afirma ter um determinado valor. 
 São três áreas de interesses para a estatística: 
a) descrição e resumo de dados, 
 b) teoria da probabilidade e 
 c) análise e interpretação de dados. 
Essas três áreas da estatística não são separadas ou distintas, ao contrário, elas tendem a se entrelaçar. 
 
2. Ramos da Estatística 
2.1. Estatística descritiva 
A palavra estatística lembra sempre: taxas mensais de acidentes, índices de mortalidade infantil por 
estados, consumo de combustível por quilômetro rodado, etc. Essa parte da estatística que utiliza números para 
descrever fatos é chamada estatística descritiva. 
Estatística descritiva: compreende a organização de dados, resumo e em geral, a simplificação de 
informações que podem ser muito complexas. 
 
 
2.2. Probabilidade 
 
O conhecimento das probabilidades associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento 
das técnicas de tomada de decisão, explica o funcionamento dessas técnicas e indica de que modo as conclusões 
podem ser apresentadas e interpretadas corretamente. 
 
2.3. Inferência estatística 
 
É quando se generaliza para a população, aquilo que se observa na amostra. 
 A palavra inferência é utilizada em Estatística com dois significados: 
 conclusões tiradas a partir de valores ou de evidências; 
 processo utilizado para se chegar a essas conclusões. 
 
3. População – Amostra 
 
Se a estatística se preocupa com registro de fatos, então a população tem o significado de conjunto dos 
habitantes de uma determinada região. Modernamente população é qualquer coleção de objetos, seres ou entes 
que apresentam pelo menos uma característica em comum. 
 
 
 
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Exemplos1: 
 Vazão do rio Tietê de 1940 a 2010; 
 Acidentes da Via Dutra de 2000 a 2010; 
 Inflação brasileira de 1995 a 2010; 
 Notas de Matemática dos alunos do curso de Administração de Empresas. 
 
A população pode ter um número finito de elementos ou ter um número ilimitado, isto é, população 
infinita. 
Quando se estuda uma população com um número muito grande de elementos, somos obrigados a 
examinar uma parte, a amostra. 
Entendemos por amostra, parte da população retirada segundo uma regra conveniente, probabilística ou 
aleatória. A amostra é sempre finita. 
A seguir mostramos um exemplo de fenômeno aleatório. A figura que se segue, mostra esferas de 
mesmo diâmetro, caindo de um reservatório superior e passando por uma série de obstáculos, que em cada 
obstáculo a probabilidade da esfera se desviar para a esquerda ou para a direita é ½ As esferas são colhidas em 
reservatório abaixo e observa-se que elas se acumulam na parte central e tornam–se mais raras nas 
extremidades. 
O gráfico observado tem a forma de um sino, com a boca voltada para baixo. A essa distribuição 
denominamos de Distribuição Normal ou de Gauss. (Figura 2) 
 
 
 
 
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Exemplos de retirada de amostras de uma população, por meio da tabela de números aleatórios. 
Exemplo 2: 
 Um candidato a prefeito de uma Capital contrata uma empresa de pesquisa de dados, para avaliar sua 
posição, entre os candidatos, a quinze dias das eleições. Sabemos que a população da Capital é formada por 
milhões de eleitores e como o órgão de pesquisa trabalha com tempo e recursos econômicos limitados, ele não 
estuda individualmente todos os eleitores do município e sim uma amostra, que deve ser retirada 
convenientemente da população e que apresente as mesmas informações da população. Assim, se o candidato A 
é o preferido por 60% dos eleitores da amostra, isso equivale a ser também o preferido por 60% da população. 
Para essa pesquisa, os eleitores são consultados aleatoriamente por meio de sorteios de bairros, ruas, casas e 
classes sociais A, B, C, D e E. 
 Para retirar uma amostra de uma população aleatoriamente, usamos a tábua de números Aleatórios ou 
Randômicos, a expressão números Randômicos provém da palavra inglesa random que significa “casual, 
aleatório”. 
A tabela 1 é parte de uma tabela de números aleatórios. 
 
Exemplo 3: 
O professor de Educação Física do curso de Administração faz uma pesquisa para estudar as alturas de 
seus alunos do sexo masculino, envolvendo 999 alunos e deseja retirar uma amostra de 100 alunos seguindo a 
tabela de números aleatórios. 
Para construirmos essa amostra, podemos numerar os 999 alunos, atribuindo a cada aluno um número de 
três dígitos como a seqüência: 001, 002, 003, ... , 997 e 999. Para a escolha dos 100 elementos dentre os 999 
alunos, podemos iniciar a consulta à tabela dos números aleatórios a partir de qualquer número da tabela 
randômica, por exemplo: tomamos três a três os números a partir do número 884 que está na quinta linha e na 
oitava coluna, e em seguida tomamos a medida da altura dos alunos cujos números são: 879; 184; 627; 953; 
931; 443;..., até o encontrarmos o centésimo aluno. Assim, retiramos de uma população de 999 elementos uma 
amostra de 100 elementos, de maneira aleatória, por meio da tabela de números randômicos. Se a população é 
maior ou menor que 999 elementos, desenvolvemos um novo processo para a retirada da amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
 
575 862 053 359 191 045 078 892 944 508 844 129 
063 558 334 157 151 189 770 246 377 362 560 634 
666 181 029 348 396 735 984 632 383 737 532 259 
387 297 267 470 545 549 719 531 099 784 959 438 
716 262 928 273 326 161 742 884 879 184 627 953 
931 443 459 268 505 364 789 838 178 892 645 618 
087 370 911 952 595 863 589 024 276 605 317 913 
285 852 975 574 503 355 339 907 655 998 807 058 
283 133 568 029 147 973 759 205 690 763 953 361 
919 386 487 101 360 500 001 045 364 436 862 234 
374 415 513 773 874 046 443 549 905 554 962 432 
903 090 386 175 422 490 435 185 447 429 756 170 
813 435 050 845 473 381 242 597 581 435 931 122 
845 507 797 223 001 740 233 067 235 969 218 915 
102 184 165 787 207 250 416 874 144 175 850 230 
092 829 185 336 538 837 596 690 702 096 328 284 
737 467 011 721 389 114 950 528 794 431 632 741 
076 069 066 346 180 043 526 035 712 099 962 866 
292 571 795 223 885 774 366 679 414 386 928 425 
052 614 848 560 449 017 870 690 721 335 499 249 
124 112 372 873 706 755 317 083 114 867 011 733 
248 486 226 117 146 758 089 874 376 077 154 073 
673 170 615 095 609 774 207 922 324 682 459 296 
805 249 450 138 079 748 057 576 452 242 954 571 
 
 
 
 
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Exemplo 4: 
 Retirar da população da tabela 2 uma amostra de 100 elementos, por meio de amostragem simples ao 
acaso, consultando a tabela 1 de números aleatórios. Por exemplo, inicie a retirada dos números começando 
pelo número aleatório da tabela localizado sexta linha, primeira coluna, número (931) em seguida 443 e sempre 
três a três. 
 
Tabela 2 
8,8 15,6 15,3 12,7 5,9 3,3 3,5 7,2 16,7 14,7 
7,7 13,4 15,5 14,5 7,0 10,8 11,8 2,7 3,8 9,0 
11,6 9,5 8,6 7,0 7,5 10,9 7,2 9,5 8,4 12,9 
14,9 4,1 13,1 10,6 17,0 4,2 3,8 10,6 4,5 11,8 
6,4 8,4 7,3 13,1 16,5 5,5 15,3 13,7 9,7 11,5 
11,2 9,6 8,8 11,7 3,1 6,5 1,9 6,9 10,2 8,3 
16,0 7,5 8,6 9,0 6,9 12,4 6,4 11,9 3,5 5,1 
16,6 6,1 8,7 3,9 11,2 8,5 9,4 5,7 12,4 11,6 
9,2 10,9 8,4 3,8 7,6 2,2 10,0 2,7 6,9 8,5 
12,9 8,1 9,4 7,8 17,0 12,1 9,4 4,7 9,0 11,2 
13,8 16,4 14,3 5,9 9,8 9,8 7,7 8,7 6,8 10,7 
9,1 5,1 16,7 6,2 14,4 14,0 9,8 10,5 9,3 7,8 
12,3 13,2 6,5 4,1 11,8 5,3 14,4 10,9 14,2 7,2 
10,0 14,1 8,6 7,9 6,8 14,7 12,2 10,0 2,0 3,5 
5,5 13,1 15,1 5,1 10,6 8,3 6,3 12,2 15,1 5,5 
14,0 7,6 16,6 2,6 8,4 5,7 9,9 9,9 9,0 13,7 
16,6 6,3 3,2 10,8 5,8 3,7 14,0 11,3 16,8 9,7 
8,7 6,4 8,1 10,7 8,3 10,2 11,7 7,9 11,8 10,5 
11,2 5,9 5,2 15,7 10,2 2,2 10,7 9,0 4,7 10,3 
2,8 11,4 11,1 3,0 7,9 12,0 6,9 12,2 14,0 9,8 
 
Resolução: 
Os números aleatórios na tabela 1 foram colocados de três em três algarismos para facilitar nossa 
visualização. No exemplo 3 a tabela 2 dada, é formada por 200 números. Devemos transformar essa tabela 2 em 
1000 números para corresponder aos elementos da tabela de números randômicos. Para isso adotamos que cada 
número dado na tabela 2 seja considerado como 5 números iguais. Por exemplo, o primeiro número da tabela é 
8,8 e ele deve ser considerado como 8,8 – 8,8 – 8,8 – 8,8 – 8,8. Dessa forma passaremos a ter 1000 números. 
A tabela a seguir indica esses números. 
 
 
 
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De 01-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 
0 8,8 15,6 15,3 12,7 5,9 3,3 3,5 7,2 16,7 14,7 
50 7,7 13,4 15,5 14,5 7,0 10,8 11,8 2,7 3,8 9,0 
100 11,6 9,5 8,6 7,0 7,5 10,9 7,2 9,5 8,4 12,9 
150 14,9 4,1 13,1 10,6 17,0 4,2 3,8 10,6 4,5 11,8 
200 6,4 8,4 7,3 13,1 16,5 5,5 15,3 13,7 9,7 11,5 
250 11,2 9,6 8,8 11,7 3,1 6,5 1,9 6,9 10,2 8,3 
300 16,0 7,5 8,6 9,0 6,9 12,4 6,4 11,9 3,5 5,1 
350 16,6 6,1 8,7 3,9 11,2 8,5 9,4 5,7 12,4 11,6 
400 9,2 10,9 8,4 3,8 7,6 2,2 10,0 2,7 6,9 8,5 
450 12,9 8,1 9,4 7,8 17,0 12,1 9,4 4,7 9,0 11,2 
500 13,8 16,4 14,3 5,9 9,8 9,8 7,7 8,7 6,8 10,7 
550 9,1 5,1 16,7 6,2 14,4 14,0 9,8 10,5 9,3 7,8 
600 12,3 13,2 6,5 4,1 11,8 5,3 14,4 10,9 14,2 7,2 
650 10,0 14,1 8,6 7,9 6,8 14,7 12,2 10,0 2,0 3,5 
700 5,5 13,1 15,1 5,1 10,6 8,3 6,3 12,2 15,1 5,5 
750 14,0 7,6 16,6 2,6 8,4 5,7 9,9 9,9 9,0 13,7 
800 16,6 6,3 3,2 10,8 5,8 3,7 14,0 11,3 16,8 9,7 
850 8,7 6,4 8,1 10,7 8,3 10,2 11,7 7,9 11,8 10,5 
900 11,2 5,9 5,2 15,7 10,22,2 10,7 9,0 4,7 10,3 
950 2,8 11,4 11,1 3,0 7,9 12,0 6,9 12,2 14,0 9,8 
 
Portanto, os 100 números retirados aleatoriamente são os dados brutos. 
 
10,7 6,9 8,1 11,7 13,8 8,7 9,9 11,3 4,2 11,8 
14,2 4,1 2,7 9,0 5,2 2,8 6,8 8,1 10,5 5,9 
6,5 12,3 9,0 5,2 1,9 8,7 7,9 14,4 13,8 16,6 
11,9 5,9 10,0 9,8 6,3 13,4 1,9 7,2 6,2 3,3 
12,9 7,9 7,6 6,4 10,0 16,6 2,8 8,6 15,7 5,7 
4,7 11,6 6,1 11,2 8,8 16,7 8,7 2,7 3,2 15,3 
11,9 8,4 14,3 8,3 14,7 9,0 10,7 11,2 9,1 11,1 
10,0 11,2 2,7 11,9 17,0 7,6 4,7 17,0 3,8 8,5 
2,2 7,6 10,6 3,2 10,0 14,7 16,8 17,0 9,4 9,7 
7,8 9,8 10,0 10,7 7,5 16,8 5,1 13,7 16,5 8,4 
 
 
 
 
 
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4. Tipos de Variáveis 
 
Em Estatística, variável é uma atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, 
ou seja, é uma função matemática definida na população. 
 
Classificação das variáveis em Estatística. 
 
4.1 Qualitativa 
 
Quando uma característica ou variável é não numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo. 
 
Exemplos 5: 
 sexo; 
 religião; 
 naturalidade; 
 cor dos olhos; 
 faixa etária. 
 
4.2 Quantitativa 
 
Quando uma característica ou variável é numérica, denomina-se variável quantitativa. 
 
As variáveis quantitativas se classificam em dois grupos: 
 
4.2.1. Variáveis discretas 
 
a) As variáveis quantitativas discretas, cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou 
enumerável de números que resultam frequentemente, de contagem. 
Exemplos: 
a) Quantidade de alunos de uma disciplina. 
b) Quantidade de apartamentos de um prédio. 
 c) O número de crianças, em uma família. 
 
4.2.2. Variáveis contínuas 
 
As variáveis quantitativas contínuas cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais 
e que resultam frequentemente de medidas. 
 
Exemplos: 
a) Tempo de duração das provas de matemática. 
b) Tempo duração de baterias de carros. 
c) As alturas dos alunos de uma classe do curso de Estatística. 
 
 Nas Variáveis contínuas quando feitas por medidas, por exemplo, as alturas dos alunos, dependendo da 
unidade de medida podemos obter 1,65 m, ou 165,2cm ou 1652,7mm conforme a precisão da medida. 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
5. Distribuições de frequência na variável discreta 
 
5.1. Dados brutos 
 Dados brutos são aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Um exemplo é o conjunto 
das alturas de 100 estudantes do sexo masculino, tirado de uma lista alfabética do registro de uma Faculdade. 
 
5.2. Rol 
Um rol é um arranjo numérico bruto em ordem crescente ou decrescente de grandeza. A diferença entre 
o maior e o menor número do rol chama-se amplitude total dos dados. Por exemplo, se a maior altura dos 100 
estudantes do sexo masculino é 188 cm e a menor 152 cm, a amplitude total será de R = 36 cm. 
 
5.3. Distribuição de frequência 
 
Uma vez coletados os dados, é comum ordená-los, dando origem ao rol. A tabulação desses dados junto 
com as frequências correspondentes obtém-se a chamada distribuição de frequências. 
 
Exemplo 6: A tabela abaixo é um exemplo de distribuição de frequência. 
 
ix
 
if
 
18 
19 
20 
21 
22 
8 
10 
7 
5 
4 
ix
: Idade dos alunos que cursam a disciplina de 
estatística 
if
 : número de alunos com a respectiva idade 
 
5.3. Frequência absoluta 
 Frequência absoluta de uma variável 
ix
é o numero total de dados que se repete em 
ix
e representamos 
por 
if
. 
 
 
5.4. Frequência relativa 
 Frequência relativa é a razão entre cada frequência absoluta 
if
 e o total n das frequências absolutas. 
 
1,2,3,...,ir
f
f com i n
n
 
 
 
 
 
5.5. Frequência acumulada 
 
Colocando-se os valores em ordem crescente da variável 
ix
, obtém-se a frequência acumulada 
adicionando-se as frequências absolutas dos valores anteriores. 
Tomemos os valores do quadro anterior 
 
 
 11 
ix
 
if
 
rf
 acf
 
18 
19 
20 
21 
22 
8 
10 
7 
5 
4 
 8/34=0,235 
10/34=0,294 
 7/34=0,205 
 5/34=0,147 
 4/34=0,117 
 
8 
18 
25 
30 
34 
Total 34 1 
 
5.6. Gráfico de frequências 
 
Gráfico da frequência absoluta Gráfico da frequência acumulada 
 
 
 
 
 6. Medidas de tendência central 
 
A média é um valor típico ou representativo de um conjunto de dados. Como esses valores típicos 
tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, as 
medidas também são denominadas medidas da tendência central. 
Vários tipos de médias podem ser definidas, sendo as mais comuns a média aritmética ou, 
abreviadamente, a média, a média geométrica e a média harmônica. Cada uma delas apresenta vantagens e 
desvantagens, dependendo dos dados e dos fins desejados. 
 
 
6.1. Média Aritmética 
 
Situação-problema: 
Um professor de matemática aplicou sua prova bimestral a 20 alunos e no momento da entrega das 
provas pelos alunos, as corrigia, não comunicando as notas para que não houvesse tumulto. Durante a 
correção foi anotando ao lado as notas e na saída da sala disse a todos que a média obtida pela classe era 6. 
Levou para casa as provas e as perdeu. 
a) Como deve o professor atribuir as notas de cada aluno? 
b) O professor recuperou as notas que foram dadas: 
 
6 5 6 4 6 5 7 6 6 7 
7 6 5 7 8 4 6 5 8 6 
 
18 19 20 21 22
8
10
7
5
4
9
6
3
2
1
0
f
i
xi
18 19 20 21 22
10
25
5
35
20
30
15
0
f
ac
x i
 
 12 
 Com as notas recuperadas determine a média aritmética. 
Resposta: 
a) Se o professor perdeu as provas, mas conhece a média, deve atribuir a média 6 para todos os 
alunos, pois, podemos observar que a soma de todas as notas da tabela acima é igual a soma de 20 notas de 
valor 6. Assim 
 
 6+5+6+4+6+...+8+6 = 6+6+6+6+6+...+6+6 ou ainda 
 
120
120 20 6 6
20
   
 
b) Para definir média devemos ter o conceito de somatório 
 
Escrevemos uma soma da seguinte maneira: 
 
n
1 = i
n321i x......xxxx
 
 
Exemplo 7: Sendo 
10x ,5x ,7x ,3x ,1x 54321 
 
Calcular a) 

5
1 = i
ix
 
 b) 

5
1 = i
2
ix
 
Solução: 
 a) 
26105731x
5
1 = i
i 
 
 b) 
184100254991105731x 22222
5
1 = i
2
i 
 
 
 
Exercícios de aplicação 01: 
1) Verifique se as igualdades são verdadeiras. 
 
a) 
 

3
ok
2 )7k(
 = 42 
 
 b) 


4
2i 1i
i = 29/6 
 
 c) 
 

2
1j
2 )1jj(
 = 6 
 
 13 
2) Sejam os valores de 
ix
 e 
if
 dados pela tabela 
x 1 2 3 4 5 6 7 Determinar: 
if
 
2 3 5 7 4 3 1 
a)
xi
i = 1
7

 b) 

7
1 = i
if
 
 
A resolução é mais simples se montamos a tabela na forma indicada e na última linha colocamos a soma 
das colunas. 
 
ix
 
if
 
 1 2 
 2 3 
 3 5 
 4 7 
 5 4 
 6 3 
 7 1 

 28 25 
 
a) 7
 = 1
i
i
x 
 b) 7
 = 1
i
i
f 
 
 
Definição de média aritmética 
 Média Aritmética, ou média, de um conjunto de n números 
1 2, ,...., nx x x
é representada por 
x
 (leia-se “x 
barra”) e é definida por: 
 1 2 1...
n
i
n i
x
x
n n
x x x    

 
 
Exemplo 8: 
Sejam as notasobtidas por um aluno de matemática 
9x ,5x ,6x ,4x 4321 
, achar a média 
x
 . Então a média é dada por 
 
x
4
 = 1 1 2 3 4 4 6 5 9 24 6
n n 4 4
i
i
x
x x x x     
    

 
Se 
ix
 apresentar elementos repetidos, então a média aritmética dos valores de x é dada por: 
 1 
n
n
i i
i
x f
x 

 ou por comodidade, deixaremos de colocar os índices do somatório se 
escrevemos: 
 
 
n
i ix f
x 
 
 
 14 
Voltando ao item b) do nosso problema, segue a tabela de notas dos alunos 
 
ix
 
if
 
i ix f
 
4 2 8 
5 4 20 
6 8 48 
7 4 28 
8 2 16 

 20 120 
 
 
n
i ix f
x 
 =120
6
20

. Portanto, a média aritmética é 6. 
6.2. Média Aritmética Ponderada 
 Se os números ocorrem f1, f2, f3, ..., fn vezes, respectivamente, isto é, ocorrem para cada número uma 
frequência f1, f2, f3, .......fn , a média aritmética será: 
 
 
n
i ix f
x 
 
Exemplo 9: 
 Se o exame final de um curso tem-se peso 3 e as 2 provas mensais peso 1, um estudante que obteve 70 e 
90 pontos nas provas e 85 no exame final tem média: 
            1 . 70 1 . 90 3 . 85
83
1 1 3
x pontos
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 02: 
Calcular a média aritmética simples ou ponderada. 
1) Notas na disciplina de Economia. 
 3; 5; 7; 6; 4; 2; 5; 2; 4; 5; 7; 6; 4; 6; 2; 3; 7 e 5. 
 
 
 
2) Notas na disciplina de estatística. 
 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 e 8. 
 
 
 
 
3) Medidas de diâmetros de parafusos. 
 1,2; 1,4; 1,4; 1,4; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,8; 1,8; 1,8; 1,8; 2 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
6.3. Mediana - md(X) 
 A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem crescente é o valor central. 
Exemplo 10: 
 O conjunto dos números 3,4,4,5,6,8,8,8,10 tem mediana md(X) = 6, pois, ocupa a 5ª posição. 
 Se o número de observações é ímpar, então para localizar a mediana é só aplicar a fórmula 
1
2
n 
, 
portanto md(X) é o elemento que ocupa a posição 
1
2
n 
. 
 Se o número de observações é par, então a mediana ocupa dois elementos centrais: md1(X) é o 
elemento que ocupa a posição 
2
n
 e md2(X) é o elemento que ocupa a posição 
1
2
n

. Uma vez obtidos esses 
valores, a mediana é definida como a média aritmética 
md (X)=
1 2
2
md md
 
Exemplo 11: No conjunto dos números 5,5,7,9,11,12,15,18 determinar a mediana. 
Como n é par procuramos os elementos que ocupam a posição 
8
4º
2 2
n
 
e 
8
1 1 5º
2 2
n
   
. Assim, tem-se 
mediana 
 md(X) =
10
2
119


 
6.4. Moda - mo(X) 
 A moda é o valor que ocorre com maior freqüência na distribuição. 
 No exemplo 11 acima 5 representa a moda 
 
6.5. Separatrizes 
 Separatriz de um conjunto de dados ordenados em ordem crescente ou (decrescente) é o elemento da 
série dos dados que divide em duas partes. 
 As principais separatrizes são: A mediana, os quartis, os decis e os percentis. 
 Os quartis, decis e percentis são as separatrizes que dividem a série respectivamente em quatro, dez e 
cem partes iguais. 
 A mediana é uma separatriz que divide a série em duas partes iguais. 
 Quartis. São representados por 
1 2 3, e Q Q Q
, sendo denominados, respectivamente, primeiro, segundo e 
terceiro quartil, sendo o valor 
2Q
= md(X). 
 Decis. Semelhantemente, os valores que dividem a série de dados em dez partes iguais denominam-se 
decis e são representados por 
1 2 9, ,...,D D D
 
 Percentis. Da mesma forma como estudamos mediana, quartis e decis, os valores que dividem a série 
em 100 partes iguais denominam-se percentis e são representados por 
1 2 99, ,...,P P P
. 
 
Notação: 
Quando escrevemos 
( )ip Q
 indicamos a posição do quartil 
iQ
. 
Quando escrevemos 
( )ip D
 indicamos a posição do centil 
iD
. 
Quando escrevemos 
( )ip P
 indicamos a posição do percentil 
iP
. 
 
Exemplo 12: 
 Determinar os quartis para a amostra A: 6, 8, 4, 3, 9, 8, 5, 4, 7, 5, 8, 2, 7, 8 e 4. 
 Colocando os valores da amostra em ordem crescente, tem-se: 
 
 16 
 
2 3 4 4 4 5 5 6 7 7 8 8 8 8 9 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 
 
O número de elementos n é ímpar, logo 
 Primeiro quartil é o elemento que ocupa a posição 
1
15 1
( ) .1
4
p Q


= 4º elemento, portanto, 
1 4Q 
. 
 
 Segundo quartil é o elemento que ocupa a posição 
2
15 1
( ) .2
4
p Q


= 8º elemento, portanto, 
2 6 ( )Q md X 
. 
 Terceiro quartil é o elemento que ocupa a posição 
3
15 1
( ) .3
4
p Q


= 12º elemento, portanto, 
3 8Q 
. 
 
 Decis. 
 Para determinarmos o decil quando n é ímpar devemos utilizar o seguinte procedimento. O i-ésimo decil 
ocupa a posição: 
 
( )ip D
=
( 1)
.
10
n
i

, assim o 7º decil ocupa a posição 
( )ip D
 = 
( 1)
.7
10
n 
 
 
Exemplo 13: A tabela apresenta uma amostra de 36 elementos. Determinar 
 
a)Mediana. 
 
b)Quartis. 
 
c) 4ºDecil. 
 
Da tabela escrevemos 
xi fi fac 
 5,01 4 4 
7,03 7 11 
9,05 11 22 
11,07 8 30 
13,09 6 36 
 36 
 
 
 
 
 
 
Observação: De maneira análoga são obtidas as soluções para os percentis. 
 
 
 
 
 
Mediana: como n =36 (par) temos dois valores centrais 
18º sendo 
1( )md X 
9,05 e 19º como 
2( ) 9,05md X 
, 
logo, a mediana é 
( ) 9,05md X 
. 
Quartil: 
1
36
( ) .1 9º
4
p Q  
e 10º elementos, logo
1 7,03Q 
 
2
36
( ) .2 18º
4
p Q  
e 19º elementos, logo, 
2 9,05Q 
 
3
36
( ) .3 27º
4
p Q  
e 28ºelementos, logo, 
3 11,07Q 
 
Decil: 
4
36
( ) .4 14,4 14º
10
p D   
 e 15º elementos, logo, 
4 9,05D 
 
 
 17 
7. Medidas de dispersão 
 
Quando propusemos substituir todas as notas perdidas pelo professor pela nota (média) 
6x 
, os alunos 
cujas notas eram superiores à média 6 reclamaram, porém, os de notas inferiores não. Na ótica do professor 
atribuir nota 6 a todos os alunos não mostra a performam-se da turma, pois todos recebem a mesma nota, mas 
ao atribuir as notas verdadeiras se observa a variabilidade da turma. 
Consideremos a amostras: 
 
 Amostra A: 2,3,4,8,9,10 com seis elementos e tem média 
6x 
 
 
 Amostra B: 5,5,6,6,7,7 com seis elementos e tem média 
6x 
. 
 
Adotando a média como o valor mais representativo da distribuição, observamos que os valores da amostra 
A estão mais dispersos em relação à média, enquanto a amostra B os valores estão mais próximos da média. As 
medidas que avaliam dispersão são denominadas de desvios. 
 
7.1. Desvio médio: dm(X) 
 
Definimos desvio com o resultado da diferença entre o valor de cada observação e o valor da média. 
Observações: 
 1) A soma dos desvios calculados em relação à media é sempre igual a zero, isto é, 
( ) 0ix x 
 
2) Como a soma é sempre nula, tomamos cada parcela da soma em módulo e definimos desvio médio da 
amostra em relação à média por: 
| |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
7.2. Variância ou desvio quadrático médio da amostra 
 
 Outra maneira para calcular o desvio é elevar ao quadrado, cada uma de suas parcelas, pois, teremos 
também soma diferente de zero, dessa maneira definimos desvio quadrático médio ou variância por:2( )
var( )
i ix x f
X
n


 
7.3. Desvio padrão da amostra 
 
 Sendo a variância uma medida de dimensão igual ao quadrado da dimensão dos dados, isso pode causar 
problemas de interpretação, portanto, costuma-se usar o desvio padrão que é definido como raiz quadrada da 
variância. Costuma-se utilizar dois tipos de desvios padrões: 
a) Desvio padrão da amostra: 2( )
( ) var( )
i ix x f
s X X
n

 
 
 
b) Desvio padrão da amostra: dp(X)= 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



(Essa definição é a mais usada) 
Observação: Para valores de n grandes é indiferente o uso de uma ou outra fórmula. 
 
 
 
 18 
Exemplo 14: Dar as medidas de tendência central e as de dispersão para as amostras. 
 
A e B dadas pelas tabelas que seguem. 
 
xi fi xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
 fi 
2 1 2 4 4 16 
3 1 3 3 3 9 
4 1 4 2 2 4 
8 1 8 2 2 4 
9 1 9 3 3 9 
10 1 10 4 4 16 

 6 36 18 58 
 
Com o uso das fórmulas dadas calculamos os valores desejados: 
 
a) Média. 
 36
6
6
i ix f
x
n
  
 
 b) Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 18
3
6
 
 
 c) Desvio quadrático médio ou variância da amostra 
 
 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



 58
11,6
5
 
 
d) Desvio padrão da amostra 
dp(X)= 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n




11,6 3,40587 
 
 
 Para a amostra B, tem-se: 
 
xi fi xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2|| xxi 
 fi 
5 2 10 1 2 2 
6 2 12 0 0 0 
7 2 14 1 2 2 

 6 36 4 4 
 
 
 
 
 19 
Como fizemos para a amostra A, calculamos com o uso das fórmulas os valores: 
 
 
a) Média. 
 36
6
6
i ix f
x
n
  
 , logo, se vê que a média das duas amostras são iguais. 
 
 b) Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 4
0,7
6
 
, valor bem menor que da amostra A igual a 3 
 
c) Desvio quadrático médio ou variância da amostra 
 
 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



 4
0,8
5
 
 
 
d)Desvio padrão da amostra 
 
 
 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
0,8 0,894 
, valor bem menor que da amostra A igual a 
 3,4058. 
 
Os valores obtidos pelo desvio padrão são: da amostra A, (
( ) 3,40587S X 
) e da amostra B, 
(
( ) 0,894S X 
). Assim concluímos que a amostra A tem maior dispersão que a amostra B, isto é, os 
valores da amostra B estão mais próximos da média. 
 
 
8. Coeficiente de Variação de Pearson 
 
Mede a dispersão dos dados em relação à média e é dado por: 
( )dp X
CV
x

=
desvio padrão
média
 
A maior utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação da variabilidade de diferentes 
distribuições. Se o valor obtido for menor que 20%, dizemos que a distribuição pode ser considerada 
homogênea. Exemplo: 
Para a amostra A, segue 
( )dp X
CV
x

=
3,40587
0,5676 56%
6
 
 
 
Para a amostra B, segue 
( )dp X
CV
x

=
0,894
0,149 15%
6
 
, o que mostra que B é mais homogênea 
que A. 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Exemplos usando a distribuição de frequência na Variável Discreta 
 
Exemplo 15: Seja a tabela, determinar o que se pede: 
 
5,01 5,01 5,01 5,01 7,03 
7,03 7,03 7,03 7,03 7,03 
7,03 9,05 9,05 9,05 9,05 
9,05 9,05 9,05 9,05 9,05 
9,05 9,05 11,07 11,07 11,07 
11,07 11,07 11,07 11,07 11,07 
13,09 13,09 13,09 13,09 13,09 
13,09 
 
a) Média b) Moda 
c) Mediana 
d) d) Desvio Médio 
e) Variância 
f) Desvio Padrão 
g) Gráfico de frequência absoluta e gráfico da frequência acumulada 
 h) Coeficiente de variação 
 
Com os valores dados construímos a distribuição de frequência e calculamos as medidas com uso da tabela abaixo. 
 
xi fi xi fi fac 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
fi 
5,01 4 20,04 4 4,32 17,28 74,6842 
7,03 7 49,21 11 2,30 16,11 37,0622 
9,05 11 99,55 22 0,28 3,09 0,8686 
11,07 8 88,56 30 1,74 13,91 24,1930 
13,09 6 78,54 36 3,76 22,55 84,7805 
 36 335,90 72,94 221,5885 
 
Usando os valores determinados na tabela temos: 
 
a) Média. (Tomamos a média com uma casa decimal a mais que xi ) 
 335,9
9,331
36
i ix f
x
n
  
 
b) Moda 
 O elemento de maior freqüência na tabela é a moda: 
( ) 9,05mo X 
 
 
c) Mediana 
 se n é par, então 
0
1
0
2
18 .......... 9,05
2
1 19 ..... 9,05
2
n
md
n
md
 
  
portanto, 
( )md X 
9,05 
 
 
 
 
 21 
d)Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 72,94
2,03
36
 
 
 
e) Desvio quadrático médio ou variância 
 
 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



 221,5885
6,3311
35
 
 
 
f) Desvio padrão 
 
 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
X X
n
  


6,3311 2,516168 
 
 
 
g) Gráfico da frequência absoluta 
 
 
 
 
h) Coeficiente de variação 
 
( )dp X
CV
x

=
2,480975
9,331
=0,266856
27%
(não é homogênea, média dispersão ) 
Observação: 
 
 Se 
15%CV 
 tem-se baixa dispersão 
 
Se 
15% 30%CV 
 tem-se média dispersão 
 
Se 
30%CV 
 tem-se elevada dispersão 
 
 
 
 
 
 
5,01 7,03 9,05 11,07 13,09
8
10
7
5
4
9
6
3
2
1
0
fi
xi
11
 
 22 
Exercícios Aplicativos 03: 
 
Exercício 1: A tabela apresenta as notas de matemática da primeira prova bimestral, determinar as medidas de 
tendência central e as de dispersão. 
 
 6 7,5 8 8,5 6,5 7,5 8 7,5 9,5 6 
7 7 7 9 7 9,5 7 6 7 7 
8 8,5 7,5 5,5 7,5 7 5,5 7 7 8 
6,5 7,5 9 6,5 8,5 7,5 6,5 9,5 8,5 8 
 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii 
 
2) Moda: 
( )mo X 
 Mediana: 
( )md X 
 
 
3) Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
4) Desvio quadrático Médio ou variância: 
 
2 ( )S X 
2( )
1
i i
x x f
n



 
 
5) Desvio Padrão: 
 dp(X) = 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
 
 
 23 
6) Coeficiente de variação. 
 
 
 
7) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Construir o gráfico da frequência acumulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
Exercício 2: Foram coletados os seguintes dados de uma pesquisa. Determinar o que se pede. 
 1,2 – 1,8 – 2,0 – 1,4 – 1,6 – 1,8 – 1,4 – 1,8 – 2,0 – 1,6 –1,6 – 1,2 – 1,6 – 1,8 –1,4 – 
 1,6 – 1,8 – 1,4 – 2,0 – 1,4 – 1,8 – 1,6 – 1,2 – 1,6 – 2.0 –1,4 – 1,6 – 1,6 –1,4 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
 
 
 
 
 
 

 
1) Média: 


n
fx
x
ii 
 
2)Moda: 
( )mo X 3) Mediana: 
( )md X 
 
 
4)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 
5)Desvio quadrático Médio ou variância: 
 
 
2 ( )S X 
2( )
1
i i
x x f
n



 
 
6)Desvio Padrão: 
 
 dp(X) = 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
 
 
7) Coeficiente de variação 
 
 
 
8) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão 
 
 
 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Idem. Dada a tabela, determinar o que se pede: 
 
 
22,3 23,0 22,3 21,0 22,3 22,4 
23,2 23,0 20,1 23,5 23,0 23,5 
21,0 23,2 22,3 23,2 22,3 23,0 
22,3 22,4 21,0 22,3 23,5 23,0 
22,4 22,3 23,0 23,0 22,4 21,0 
 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii 
 
2)Moda: 
( )mo X 
 3) Mediana: 
( )md X 
 
 
4)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 26 
5)Desvio quadrático Médio ou variância: 
 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



 
 
 
6)Desvio Padrão: 
 
2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
 
 
7) Coeficiente de variação 
 
 
 
8) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
9. Distribuições de frequência na variável contínua 
A variável contínua é na maioria das vezes obtida por meio de medidas, e os dados têm frequência 
absoluta praticamente unitária (os dados são quase todos distintos) e neste caso, a tabela de distribuição se 
torna longa, trabalhosa e pouco eficiente, desta maneira se usa a distribuição na variável contínua. 
 
Exemplo 16: 
O professor de Educação Física do Colégio Estadual Felipe Augusto, coletou as idades de seus alunos e 
as apresentou por meio da tabela abaixo. 
 
15,6 7,8 13,8 5,1 12,4 9,5 12,2 10,3 13,8 5,5 
7,7 6,5 6,4 10,0 2,2 9,3 6,4 10,0 8,5 13,1 
11,8 12,7 15,5 2,7 6,4 6,8 5,1 11,2 16,6 3,6 
8,3 12,4 6,4 7,2 10,5 4,7 14,0 17,0 6,8 15,1 
12,2 13,2 4,7 8,4 14,1 10,8 17,0 14,0 13,1 10,7 
9,8 6,2 7,7 9,0 17,0 12,2 9,0 12,1 9,8 6,2 
8,7 6,5 13,7 11,8 7,7 15,5 5,7 5,1 10,2 7,7 
5,9 3,9 3,3 12,2 8,4 9,3 16,6 3,7 9,4 12,2 
14,0 6,9 10,8 8,5 6,4 8,6 10,0 10,0 10,9 9,3 
17,0 10,9 12,7 14,0 15,6 11,2 15,6 12,4 6,4 9,4 
 
 Essa tabela nos diz que seus elementos são quase todos distintos, portanto, trata-se de uma variável 
contínua. Neste caso trabalharemos com dados agrupados e seguiremos os seguintes passos para o estudo dessa 
distribuição. 
 9.1 Amplitude da amostra 
 A amplitude da amostra é dada pela diferença entre as observações de maior valor numérico e a de 
menor valor, neste caso. 
 
max minR x x 
= 17,0-2,2=14,8 
No caso das amostras que estudamos na página 16 segue: 
 A: 2,3,4,8,9,10 tem amplitude 
max minR x x 
= 8 e 
 B: 5,5,6,6,7,7 tem amplitude 
max minR x x 
= 2. 
Estes valores mostram que a amostra A tem maior dispersão ou variabilidade que a amostra B 
9.2 Número de classes 
 Queremos dividir R = 14,8 em classes, todas com mesma amplitude. Não existe regra única para 
escolher o número destas classes, é recomendável que se n é o número de elementos da amostra , então o 
número de classes K é dado por: 
 
 
 28 
a)Critério da raiz: 
[ ]K n
, sendo K o maior número inteiro menor ou igual a 
n
 ou 
b)Critério de Sturges: K 
1 3,322log n 
, sendo K o maior número inteiro menor que 
1 3,322log n
. Por 
simplicidade adotaremos o critério da raiz, logo 
[ ]K n
=
[ 100] 10
 classes. 
9.3 Amplitude de cada classe 
 A amplitude de cada classe é dada por: 
14,8
1,48
10
R
r
K
  
. Definindo xi como ponto médio da classe 
e fazendo a contagem dos elementos (idades dos alunos) em cada classe, segue a tabela. 
classes 
xi fi xi fi 
acf
 || xxi  || xxi  fi 2( )
i
x x
 fi 
2,20 |— 3,68 2,94 4 11,76 4 6,882 27,528 189,447696 
3,68 |— 5,16 4,42 7 30,94 11 5,402 37,814 204,271228 
5,16 |— 6,64 5,90 13 76,70 24 3,922 50,986 199,967092 
6,64 |— 8,12 7,38 9 66,42 33 2,442 21,978 53,670276 
8,12 |— 9,60 8,86 15 132,90 48 0,962 14,430 13,881660 
 9,60 |— 11,08 10,34 14 144,76 62 0,518 7,252 3,756536 
11,08 |— 12,56 11,82 13 153,66 75 1,998 25,974 51,896052 
12,56 |— 14,04 13,30 12 159,60 87 3,478 41,736 145,157808 
14,04 |— 15,52 14,78 4 59,12 91 4,958 19,832 98,327056 
15,52 |—| 17,00 16,26 9 146,34 100 6,438 57,942 373,030596 
 

 100 982,20 305,47 1333,4060 
 
Completada a tabela podemos calcular 
 
a) Média (Tomamos a média com uma casa decimal a mais que xi ) 
 982,2
9,822
100
i ix f
x
n
  
 
 
 
b) Moda 
( )mo X
 
 
Classe modal é a classe de maior frequência 8,12 |— 9,60. 
 
Utilizamos para a determinação da moda a fórmula de Czuber 
 
 
 
 29 
 
Fórmula de Czuber 
1
1 2
momo l
r
 

 
 
( )mo X
: Moda 
mol
: limite inferior da classe modal 
r
: amplitude da classe modal. 
1
: diferença da frequência superior e da 
inferior da classe modal. 
2
: diferença da frequência superior e da 
posterior da classe modal. 
 
 
Substituindo os valores em 
1
1 2
momo l
r
 

 
, segue 
8,12 6
1,48 6 1
mo


 e o valor da moda é 
( )mo X
= 8,12 +1,2685 = 9,3885 
 
c) Mediana 
 
 O cálculo da mediana para a variável contínua difere do modelo de variável discreta, neste caso a 
mediana esta localizada na classe mediana, porém, o valor do elemento da série não é identificável. 
 Sabemos que a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma distribuição ordenada. Se o 
número de elementos for ímpar, então a mediana é o elemento que ocupa a posição
1
2
n 
. Voltando ao exemplo 
verificamos que o número de elementos é par, logo 
se n é par, então 
100
50º
2 2
100
1 1 51º
2 2
n
n

 

    

 
e, devemos encontrar o elemento que ocupa 
0(50,5)
. Tomamos para isso a classe mediana e os elementos da 
frequência acumulada anterior e posterior do elemento
0(50,5)
. Usando semelhança de triângulos podemos 
escrever: 
 
 
 
 
9,6 50,5 48
11,08 9,6 62 48
9,6 2,5
1,48 14
md
md
 

 


 
 
 
9,6 (1,48 2,5) :14 0,264285714
( ) 9,8642857
md
md X
   

 
classes
r
Mo


2
1
9
14
15
6,64 8,12 9,6 11,08
fi
9,6 11,08
48
50,5
62
x
f
classe
ac
~
 
 30 
d) Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 305,472
3,05472
100
 
 
e) Desvio quadrático médio ou variância 
 S(X)= 2( )
var( )
1
i ix x f
X
n



 1333,4059
13,468746
99
 
 
f) Desvio padrão 
 dp(X)= 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 


13,46874717 3,669979179 
 
 
h) Gráficos. O gráfico da frequência é denominado histograma e é representado por barras e ligando os pontos 
médiodas classes tem-se o polígono de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios aplicativos 04: 
Exercício 1: 
A experiência com trabalhadores de uma indústria indica que o tempo requerido em minutos para que 
um operário aleatoriamente selecionado realize uma tarefa, esta indicado na tabela. Montar a tabela e 
determinar o que se pede: 
 
31 29 20 31 22 22 32 41 21 29 30 25 35 40 31 
32 21 36 38 39 32 21 36 38 39 28 36 23 36 31 
27 41 29 22 41 25 40 37 24 27 34 37 28 28 31 
36 20 30 22 35 24 25 23 33 34 32 27 28 34 30 
 
1)Amplitude da Amostra: R = xmax-xmin = 
 






















xi
fi
 
2,20 3,68 5,16 6,64 8,12 9,60 11,08 12,56 14,04 15,52 17,00
classe
0
mo
Histograma
com
Moda, Média, e Mediana
 
 31 
2) Número de Classes: K =[ n ] = 
 
 
3) Amplitude da Classe: r = R/K = 
 
 
classes xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
4)Média: 


n
fx
x
ii 
 
 
5)Moda: 
( )mo X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Mediana: 
( )md X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
7)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
8)Variância : 
 
 
2 ( )S X 
2( )
1
i ix x f
n



 
9)Desvio Padrão: 
 dp(X)= 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
 
10) Coeficiente de variação 
 
11) Construir o Histograma e o polígono da frequência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: Foram coletados os dados de uma pesquisa e obteve-se a distribuição na variável contínua. 
Determinar o que se pede. 
classes xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
2,1 |—— 3,1 3 
3,1 |—— 4,1 7 
4,1 |—— 5,1 10 
5,1 |—— 6,1 6 
6,1 |—— 7,1 3 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii 
 
 
 
 33 
 
2) Moda: 
( )mo X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Mediana: 
( )md X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Desvio Médio: 
| |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
5)Variância : 
 
 
2 ( )S X 
2( )
1
i i
x x f
n



 
6) Desvio Padrão: 
 dp(X) = 2( )
( ) var( )
1
i ix x f
S X X
n

 

 
 
 
7) Coeficiente de variação 
 
8) Construir o Histograma e o polígono da freqüência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
Exercícios aplicativos 05: 
01. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de geografia. A 
partir destes dados podemos dizer que 
 
ix
 
if
 
i ix f
 
5 2 
6 4 
7 8 
8 4 
9 2 
 
(A) A moda corresponde a nota 8. 
(B) A mediana corresponde a nota 8. 
(C) A média é 7. 
(D) A quantidade de alunos da amostra é 5. 
(E) nda 
 
02. Seja a amostra X: 4,5,5,3,3,5,7,6,6,7,8,8, então sua mediana é dada por 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 5,5 
(D) 6,5 
(E) nda 
 
03. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
frequências. Nestas condições podemos dizer que a mediana é 
 
classes 
if
 
0 |—— 2 3 
2 |—— 4 7 
4 |—— 6 10 
6 |—— 8 6 
8 |—— 10 3 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
04. Sejam as seguintes informações das amostras; 
Amostra A tem média 6 e desvio padrão 1 e a amostra B tem média 6,5 e desvio padrão 0,5. Então 
podemos afirmar que 
(A) A amostra A tem menor dispersão que a amostra B 
(B) A amostra A tem maior dispersão que a amostra B 
(C) As duas amostras têm a mesma dispersão 
(D) Não da para comparar as duas amostras quanto a dispersão 
(E) nda 
 
 35 
 
05. Após a análise dos dados de uma amostra, segue a representação gráfica da distribuição na forma de Box 
plot, sendo 
1 2 3, eq q q
 os seus quartis 
Nestas condições podemos dizer que a distribuição é 
(A) Simétrica à direita 
(B) Simétrica à esquerda 
(C) Assimétrica positiva 
(D) Assimétrica negativa 
(E) nda 
 
 
06.A tabela a seguir apresenta o número de acidentes por dia (
ix
) em uma rodovia, durante os primeiros 23 
dias do mês de janeiro de 2014. 
 
ix
 
if
 
0 9 
1 7 
2 5 
3 2 
 
A partir destes dados afirmamos que 
(A) o primeiro quartil é de 1 acidente por dia. 
(B) a moda é de 9 acidentes por dia. 
(C) a mediana é de 2 acidentes por dia. 
(D) a média é de 1 acidente por dia. 
(E) o terceiro quartil é de 3 acidentes por dia. 
 
07. A tabela a seguir representa uma distribuição na variável discreta e seus quartis 
1 2 3
, eq q q
 são 
respectivamente 
ix
 
if
 
2 5 
5 1 
8 7 
10 2 
12 4 
 
 
(A) 5, 8 e 10 (B) 1, 7 e 13 (C) 2, 8 e 10 (D) 2, 8 e 12 (E) 2, 5 e 12 
 
 
 36 
08. Após a análise dos dados de uma amostra que tem distribuição na variável discreta, obtiveram-se os 
seguintes valores para os quartis: 
1 2 3
3, 8 e 10q q q  
. Nestas condições a distribuição é 
 
 
(A) Simétrica. 
(B) Assimétrica negativa. 
(C) Assimétrica positiva 
(D) Assimétrica à direita 
(E) Não é Simétrica e nem Assimétrica 
 
09. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
frequências. Nestas condições dizemos que a mediana é 
 
classes 
if
 
 2,1 |—— 4,1 5 
 4,1 |—— 6,1 9 
 6,1 |—— 8,1 14 
 8,1 |—— 10,1 9 
10,1|—— 12,1 4 
 
(A) 6,1 
(B) 7,1 
(C) 7,3 
(D) 8,1 
(E) 10,1 
 
10. Se uma distribuição na variável contínua é perfeitamente simétrica em relação a média, então o intervalo 
[ , ]x x  
 contém aproximadamente 
 
(A) 95% dos elementos da distribuição. (B) 75% dos elementos da distribuição. 
(C) 68% dos elementos da distribuição. (D) 34% dos elementos da distribuição. 
(E) 14% dos elementos da distribuição 
 
11. Se uma variável X tem 
10 e ( ) 2x S X 
 e uma variável Y tem 
10 e ( ) 5y S Y 
, então 
 
 
 
(A) X tem maior dispersão que Y. 
(B) Y tem maior dispersão que X. 
(C) as duas variáveis têm a mesma dispersão. 
(D) não é possível comparar as duas variáveis. 
(E) X tem dispersão infinita. 
 
12.Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos: 
 
(A) A mediana. (B) O desvio padrão. (C) A moda. 
(D) A média geométrica. (E) A variância. 
 
 
 37 
13. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre: 
(A) o desvio padrão e a variância. (B) o desvio padrão e a mediana. 
(C) o desvio padrão e a moda. (D) o desvio padrão e o terceiro quartil. 
(E) o desvio padrão e a média. 
 
14. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de matemática. 
A partir destes dados podemos dizer que 
ixif
 
1 6 
3 3 
5 5 
7 10 
9 7 
 
 
 
 
(A) A moda corresponde a nota 9. (B) A mediana corresponde a nota 5. (C) A média é 5,7 
(D) A quantidade de alunos da amostra é 10. (E) A soma de todas as freqüências é 30. 
 
 
Exercícios aplicativos 06: 
1. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
freqüências. Nestas condições, podemos dizer que a média será: 
Classes 150 a 200 200 a 250 250 a 300 300 a 350 350 a 400 400 a 450 450 a 500 
if
 5 16 21 28 19 8 3 
 
 
 
 
 
(A) 352 (B) 353 (C) 315 (D) 314 (E) 313 
 
 2. A tabela a seguir apresenta as notas atribuídas aos ginastas de uma modalidade esportiva. 
ix
 
if
 
4,0 6 
4,2 5 
4,4 9 
4,6 6 
4,8 4 
 
 
 
A partir destes dados afirmamos que 
(A) o primeiro quartil é de 3,9. (B) a moda é de 9. 
(C) a mediana é de 4,5. (D) a média é 4,38. (E) o terceiro quartil 4,7. 
 
 
 38 
3. Os dados que seguem representam o índice de precipitação pluviométrica em uma cidade no ano de 
2013. 
Meses janeiro fevereiro março abril 
Índices mm) 68,5 35,1 332,2 92,8 
 
Assim, podemos dizer que os dados estão mais apropriados para o nível de medidas na variável 
(A) nominal. (B) ordinal. (C) intervalar. (D) de razão. (E) irracional. 
 
 
4. A experiência com trabalhadores de uma indústria indica o tempo em minutos requerido para que um 
operário realize uma tarefa. Segue tabela da distribuição na variável contínua dessa experiência. 
classes 
i
f
 
23 |— 26 6 
26 |— 29 7 
29 |— 32 11 
32 |— 35 8 
 
 
Nestas condições a moda obtida pela fórmula de Czuber é 
 
 
 
(A) 29,85 (B) 30,02 (C) 30,71 (D) 31,24 (E) 31,65 
 
5.Os alunos do terceiro ano do Ensino Médio do Colégio ABC apresentaram os seguintes resultados das 
avaliações em: 
Geografia: Média 5,0 e desvio padrão 1,6. 
Matemática: Média 6,4 e desvio padrão 1,5. 
Nessas condições podemos afirmar que 
(A) As notas de Geografia e Matemática apresentam baixa dispersão. 
(B) Só as notas de Matemática apresentam média dispersão. 
(C) As notas de Geografia apresentam alta dispersão. 
(D) As notas de Geografia apresentam menor dispersão que as de matemática. 
(E) Não é possível avaliar as notas usando o conceito de coeficiente de dispersão. 
 
 
 39 
6. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de matemática. A 
partir destes dados podemos dizer que 
 
ix
 
if
 
2,5 3 
5,0 7 
6,5 10 
8,0 6 
10,0 5 
 
 
 
 
 
 
(A) A moda é10 (B) A mediana é 5 (C) A média é 6,63 (D) A quantidade de alunos da amostra é 30 (E) A 
soma de todas as freqüências é 29. 
 
7. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta os dados de uma loja de presentes ao 
final da semana, contendo o número de clientes e seus gastos em presentes. Nestas condições podemos 
dizer que a moda segundo Czuber é 
 
classes 
if
 
 0 |—— 50 7 
 50 |—— 100 8 
100 |—— 150 10 
150 |—— 200 6 
200 |—— 250 4 
 
 
 
 
 
 
 (A) 116,6. (B)126,6. (C) 15,6. (D) 117,6. (E) 118,6. 
 
 
 40 
8. A tabela a seguir apresenta as idades dos alunos do primeiro ano de Administração. Nessas condições o 3º 
quartil é 
classes 
if
 
 17|—— 19 4 
19|—— 21 12 
21|—— 23 16 
23|—— 25 8 
25|—— 27 3 
 
 
(A) 23,20. (B) 23,25. (C) 23,45. (D) 23,55. (E) 23,65. 
 
9.A turma A de estatística I formada de 25 alunos tiveram média 7 na prova P1e a turma B formada por 30 
alunos tiveram média 6. Então a média combinada dos 55 alunos nas duas provas foi 
 
 
 
(A) 6,25. (B) 6,35 (C) 6,45 (D) 6,55. (E) 6,65 
 
10. Analise as afirmativas referentes a uma série na variável discreta ímpar de dados: 
I. A Moda sempre é um dos dados da série. 
II. A Média sempre é um dos dados da série. 
III. A Mediana sempre é um dos dados da série. 
Podemos afirmar que: 
(A) Somente a afirmativa II está correta. (B) Nenhuma afirmativa está correta. 
 
(C)Todas as afirmativas estão corretas. (D) .Somente a afirmativa III está correta. 
 (E) Somente a afirmativa I está correta 
 
 
11. Em recente pesquisa perguntou-se ao corpo discente qual o tempo semanal (em horas) destinado ao 
estudo extra-classe da disciplina Estatística I. As respostas forneceram um tempo médio de 5,5 horas e uma 
mediana de 6 horas. 
Podemos considerar que essa distribuição dos tempos é do tipo: 
 
 
 
 
 
 
(A) Simétrica negativa. (B) Assimétrica negativa. 
(B) (C) Assimétrica positiva. (D) Desviada à direita. (E) Simétrica.