CAP. 4 BAYES

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CAPÍTULO 4 
PROBABILIDADE DE BAYES 
 
1. Partição de um espaço amostral 
 
 Os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S, se: 
 a) 
 ( ) 0,para 1,2,3,...,ip B i k 
 
 b)
, para i jB B i j  
 
 c)
1
k
i
i
B S


 
 
Exemplo 1: 
No lançamento de um dado tem-se o espaço amostral 
 1,2,3,4,5,6S 
 e definimos os eventos 
     1 2 31 , 2,3,4 e 5,6 .B B B  
Os eventos 
1 2 3, eB B B
formam uma partição de S, pois, valem as três 
condições: a), b) e c). 
 
 
Teorema 1: Se os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S e 
,A S
 então 
 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B


 
Demonstração: A figura ilustra uma partição de S com 
A S
. Assim podemos escrever: 
 
 
1 2( ) ( ) ... ( )kA A B A B A B      
, como A é a união de conjuntos disjuntos, usamos a definição de 
probabilidade: 
 
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )kp A p A B p A B p A B      
(I) e para cada termo das parcelas usamos a 
probabilidade do produto, assim 
 
 
1 1 1( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 
2 2 2( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 
3 3 3( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 ............................................. 
 
( ) ( / ). ( )k k kp A B p A B p B 
. Substituindo em (I) segue: 
( )p A 
1 1( / ). ( )p A B p B
+
2 2( / ). ( )p A B p B
+
3 3( / ). ( )p A B p B
+...+
( / ). ( )k kp A B p B
e colocando em forma 
 somatório tem-se: 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B


. 
 
 
 
1B
2B
3B 4B
kB
A
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Exemplo 2: 
Na cidade de Catu existem três lojas que revendem televisores. A loja A revende 25%, a loja B, 35% 
e a C, 40% dos televisores. Um cliente deseja comprar um televisor de LCD com 42 polegadas, em virtude 
do bom atendimento e da localização dessas lojas, a probabilidade de comprar na loja A é 10%, na loja B é 
12% e na loja C é 18%, qual a probabilidade sair um televisor de 42 polegadas? 
Solução: Seja L: televisor de LCD com 42 polegadas 
 
Do enunciado podemos escrever: 
( ) 0,25; ( / ) 0,1p A p L A 
 
( ) 0,35; ( / ) 0,12p B p L B 
 e, portanto:
( )p L 
0,25x0,1+0,35x0,12+0,4x0,18=0,139 
( ) 0,4; ( / ) 0,18p C p L C 
 
 
2. Teorema de Bayes Se os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S e 
,A S
 
então 
 
1
( / ) ( )
( / )
( / ) ( )
j j
j k
i i
i
p A B p B
p B A
p A B p B



 
Da definição de probabilidade condicional, podemos escrever: 
 ( )
( / )
( )
j
j
p A B
p B A
p A

 
1
( / ) ( )
( / ) ( )
j j
k
i i
i
p A B p B
p A B p B


 
Exemplo 3: 
Adotando o mesmo enunciado do exemplo 1, podemos fazer a seguinte pergunta: Um televisor de LCD 
com 42 polegadas foi adquirido, qual a probabilidade de tem sido comprado na loja C? 
 
Solução: Devemos determinar 
( / )p C L  ( / ) ( )
( )
p L C p C
p L
=
0,4x0,18
0,139
=
0,072
0,518
0,139

 
 
Exemplo 4: 
Sejam as urnas e as bolas. Uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada. Se a bola retirada for 
branca, qual probabilidade de ter vindo da urna 
2U
? 
 
 Vermelhas Brancas 
 
1U
 3 5 
 
2U
 2 1 
 
3U
 2 3 
Solução: 
A
L
B C
 70 
 
 
Como são três urnas, suas probabilidades são iguais a 1/3: 
 
 
1 1( ) 1/3; ( / ) 5/8p U P B U 
 
 
2 2( ) 1/3; ( / ) 1/3p U P B U 
, logo podemos escrever: 
 
3 3( ) 1/3; ( / ) 3/5p U P B U 
 
 
2
1/ 3x1/ 3
( / )
1/ 3x5/8 1/ 3x1/ 3 1/ 3x3/ 5
p U B  
 
1/ 3 40
0,2139
5/8 1/ 3 3/ 5 187
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 Em um viveiro têm-se três gaiolas com as seguintes aves: 
 
 canários sabiás tico-ticos 
Fêmeas 3 4 1 
Machos 3 2 5 
 Uma ave fugiu da gaiola e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser sabiá ? 
Solução: 
 
 
( ) 1/3; ( / ) 3/ 6p C P F C 
 
 
( ) 1/3; ( / ) 4 / 6p S P F S 
, escrevemos: 
 
( ) 1/3; ( / ) 1/ 6p T P F T 
 
 f
1/ 3.4 / 6
( / )
1/ 3.3/ 6 1/ 3.4 / 6 1/ 3.1/ 6
p S F  
 
 
4
0,5
8

 
 
Exercícios de aplicação 14: 
 
1. Na sala do Curso de Administração 30% dos rapazes e 10% das garotas têm mais que 1,65 m de altura. 
Sabe-se que 60% dos alunos são rapazes. Se um aluno é selecionado aleatoriamente e tem mais que 1,65 m 
de altura, qual a probabilidade dele ser garota? 
 
 
 
 
 
 
 
 
C S T
F
B
1U 2U 3U
5 1 3
3
2 2
 71 
2. Uma urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata e uma urna B tem 4 moedas de ouro e 3 moedas de 
prata. Uma moeda é selecionada ao acaso e verifica-se que é de ouro. Qual a probabilidade de ter vindo da 
urna B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Na sala do 1° ciclo da ESAGS 20% dos rapazes e 12% das garotas estão estudando Matemática. Um 
estudante é escolhido ao acaso e observa-se que é estudante de Matemática. Qual a probabilidade do 
estudante ser rapaz sabendo-se que 60% do corpo discente é formado por rapazes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Em uma assembléia estão reunidos os alunos dos 3 primeiros semestres e tem as seguintes 
proporcionalidades 20% ,30% e 50% dos alunos respectivamente.Sabe-se que 10%, 5% e 2% 
respectivamente por série são portadores da gripe suína.Se um aluno dessa assembléia selecionado 
aleatoriamente é portador da gripe suína, então a probabilidade de ser aluno do 2º semestre é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 0,11. (B) 0,22. (C) 0,33. (D) 0,44. (E) 0,55. 
 
 72 
5. No terreiro de um sítio existem os seguintes animais: 
 
 Aves Suínos Ovinos 
Fêmeas 3 2 3 
Machos 4 3 5 
Um animal fugiu do terreiro e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser uma ave? 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Em um colégio 6% dos homens e 3% das mulheres têm descendência japonesa. Por outro lado 60% 
dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado ao acaso e tem descendência japonesa, qual 
 a probabilidade de ser homem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.(FGV 2009 02 P2) Segundo dados recentes, apenas uma em cada 100 pessoas adultas de uma população, 
tem nível superior. Das pessoas que têm nível superior, 80% têm emprego público, enquanto apenas 30% 
das que não têm nível superior têm emprego público. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e 
verifica-se que tem emprego público. A probabilidade de que essa pessoa venha a ter nível superior é: 
 
 
 
(A) 26,0%. 
(B) 56,6%. 
(C) 12,6%. 
(D) 0,6%. 
(E) 2,6%.